第三章 3 垂径定理-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

'. AOC-135,BOC-45 3.D OB-OC..OBC-67.5 4.解:设OD-OB-x. :OA-OC. .C是AB的中点,OC过圆心O. '.A= ACO-22.5*$ .OC1AB. .ACB=180{*- OBC- A$ :AB-4.CD-1 -90{。 $BC=AB=2.OC=OD-CD=-1. :OD是AB的垂直平分线.',AD=BD. . A= ABD=22.5'CDB= A+ AB$D 在R△BCO中,由勾股定理. -45 *,CBD= OBC- ABD=45*$.CDB= 得-(--1):+2, 5 /CBD...CD-BC. 解得一 2..OD 5 设CD=BC-x.则AD-BD-、/2$. 2' .S= 5 x+2x2+1 5.B 11.菱形 12.20* 【解析】如图,连接AO,BO. 6.解:如图,连接AO QA-OB-OC: .CD过圆心,C为AB的中点; .OBC=C.A= OBA. ..CDAB.AC-BC .AB-18dm..'AC-BC-9dm. :AB-BC.AOB- BOC. 设圆的半径为xdm,则OA=OD=xdm. 2(180*-乙AOB)= ..OBA- ·CD-27dm. '.OC-(27-x)dm. 在Rt△OAC中,AC+OC-OA. .乙ABC-40{ 即9+(27-r)-x”,解得x-15. .OCB-OBC-20{。 ·.拱门所在圆的半径是15dm 13.证明:(1)':AB=CD...AB=CD. 7.1cm或7cm 【解析】根据题意可分以下两种情况 '.AB+AD=CD+AD.即BD-AC 讨论: 'AC-BD 如图①,当AB,CD位于圆心O的同侧时,EF-OF- (2)如图,连接OB,OC. F--3-5-4-4-3-1(cm); .AB-CD.'.AB-CD. . ACB-/DBC.*'EB-EC. .OB-OC. '.点E,O都在BC的垂直平分线 上..EOBC. 图① 14.解:(1)如图,连接AD,BE. 图② 如图②,当AB.CD位于圆心O的异侧时,EF=OF+ .AB-BC-CD-DE. .AB-BC-CD-DE. $E-5-3+5-4-4+3-7(em). .BC+CD+DE-AB+BC+CD. 综上,AB与CD之间的距离是1cm或7cm 8.A 即BE-AD...BE-AD. 9.D 【解析】如图,过点A作AB ·DE-AB,AE为公共边. MN于点B,连接AM. '.△ABE△EDA(SSS). “:AB过圆心A..MB-NB .BAE- DEA. ·半径为5的A经过点M(0. ·AB//DE..BAE+ DEA-180 -3).N(0.-9). '. BAE- DEA-90{。 *AM-5.OM-3.ON=9. (2)示例:①CH平分BCD;②CH//AB;③CH1AE 3 *.MN-9-3-6. 垂径定理 .BM-MNN-3. 1.B 2.解:(1)4 'OB-3+3-6. (2)如图,连接OC 由勾股定理,得AB-5一3-4.^.点A的坐标为 'ABICD.v.CE-DE-CD. (-4.-6). ·BE-1,OA-OB-OC-3. 10.2/5【解析】如图,连接OB,过点O 作OC1AB于点C,则OCP-90*。 .0E-3-1-2. 'OP=4. APO-30*'OC= 在R△COE中.CE= OC-OE=③-2-. *.CD-2CE-2/5. 数学九年级BS版 理,得BC=OB-OC=③-2-5.·$ ON-0E-6.5-6.1~2.24(m) AB.OC过点O...AB-2BC-2/5 ..MN-2EN-2X2.24-4.48(m). 11.50m【解析】设圆孤的圆心为O.如图所示,过点O .4.48<5. 作OC1AB于点C,交AB于点D,连接OA,则OA= '.此货船不能顺利通过拱桥 4 $D-250 m,AC-BC-AB-150m, 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角定理及其推论1 '$C-OA-AC-$250-150-2 200(m).$ 1.C 2.A 3. B 4.90{* 5. A $CD-OD-0C-250-200-50(m),即这些钢素 6.证明:.E为BC的中点: 中,最长的一根的长度为50m .BE-CE..EBD-EAB. 又:E-E. 路面 桥祺 '.△BEDo△AEB. 7.解:青青同学的答案不正确,正确的答案为 12.2 1 【解析】过点O作OF|CD 30{或150{ 于点F,OG1AB于点G,连接OB. 如图,·'弦AB的长等于半径,即OA一AB OD.OE,如图所示, -OB. $DF=CF,AG=BG-AB-3. '.△ABO是等边三角形,{AOB=60{。 .C-30°. .$FG-AG-AE-2. .劣张AB所对圆心角的度数为60{. 在Rt△BOG中,OG= OB-BG-2$ '.优孤ACB所对圆心角的度数为300{①. '.FG-OG. .ADB-150{。 '.△EOG是等腰直角三角形, 故弦AB所对圆周角的度数为30{或150” '.OEG-45*,0E-/②0G-2/② 8.B 【解析】如图,以点A为圆心,AB的长 . DFB-75*$OEF-30*, 为半径作A. OF-E-2. ·AB-AC-AD...B,C.D三个点均在 A上,由圆周角定理,得BDC= 在 Rt△ODF中,DF-OD-OF-13-$ 1BAC-22. -T1. CBD-2/BDC...CBD-44. ..CD-2DF-21 .CAD-2CBD-88”。 13.解:(1)证明:如图,过点O作OE1AB,垂足为E. 9.A【解析】:A是劣狐BC的中点,OA是O的半径, *AF-BE,CE-DE. '.AF-CF-BE-DE. '.OABC,故①正确; ' D-30' ABC- D-30”,AOC-6 60 即AC-BD (2)连接OC,OA,如图所示. .A是劣孤BC的中点..AC-AB. 由(])可知:OE AB:OE CD . AOC=AOB-60*, :OE-6CE-OC-OE-B--2/7. '.△AOC和△AOB都是等边三角形, 'OA-OB-AB-OC-AC-6, AE= OA-OE-10-6-8, '.四边形ABOC是菱形,故④正确; '.AC-AE-CE-8-2/7 .:OA1BC. 14.解:(1)如图,设拱桥所在圆的圆心为0,连接 $BC=2BE=2AB·cos30*-2$6 -63,故 OD,OB. AB-6m. .OCAB..BD- ②正确; 设OB-OC-rm,则OD-(r-4)m. 在Rt△BOD中,由勾股定理,得OB{-OD+BD. 综上所述,其中正确结论的序号是①②③④. 即?-(r-4){}+6,解得,-6.5. 10.100{【解析】·C是BD的中点,AB-CD. '.拱桥所在圆的半径为6.5m. (2)不能.理由如下: .CD-BC-AB. 如图,连接ON. :OF=OC-CE=OC-(CD- DE)-6.5-(4-3.6)-6.1(m). 心.在Rt△OEN中,由勾股定理,得EN= 50)-40*, 下册 参考答案23 垂径定理 要点提示 垂径定理及其推论:(1)垂直于魏的直提平这条糕,并且平夸魏所对的辙.如右图,直径CD1弦AB. 垂足为M,则AM一BM,AC一BC.AD一BD;(2)平舍戳(不是直径)的直径垂直于辞.并且平套所对 的秘,如右图,直径CD与非直径的弦AB交于点M,AM-BM,则CD AB,AC-BC,AD-BD 1 固基础 ..... 知识点1垂径定理 1.如图,O的半径OD弦AB 于点C,连接AO并延长交Q 知识点③ 垂径定理的应用 于点E,连接EB.若AB-4.CD 5.赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整 . 一1,则EB的长为 第1趣图 的中国古代单礼敬肩石拱桥,如图,主桥拱 A.2 B.3 C.4 D.5 呈圆孤形,跨度约为37m,拱高约为7m,则 2.如下图,AB为O的直径,CD是O的一 ( 赵州桥主桥拱的半径R约为 ) 条弦,AB[CD于点E. (1)若AB-10.CD=6,则OE= (2)若OA-3,BE-1,求弦CD的长 第5题图 C.35m A.20m. B.28m D.40m 6.(2024北京房山区月考)如图①所示的圆形 拱门屏风是我国古代常见的装饰隔断,既美 观又实用,彰显出中国元素的韵味,如图② 所示的为一款拱门的示意图,拱门最下端 知识点2 AB-18dm,C为AB的中点,D为拱门最高 垂径定理的推论 点,圆心O在线段CD上,CD-27dm.求拱 3.如图,在⊙O中,P是弦AB的中点,CD是过 门所在圆的半径 点P的直径,则下列结论不正确的是( ) A.AB CD B. AOD-/BOD C.AD-BD CB 图① 图② D.PO-PD 第3题图 2 4.如下图,AB是。O的一条弦,C是AB的中 点,连接OC并延长交AB于点D,连接OB DB.若AB-4,CD=1,求△BOD的面积 数学 九年级BS版 易错点 忽视两条弦和圆心的位置而出错 13.(教材第77页题3变式) 7.若O的直径为10cm,弦AB/CD,AB 已知在以点O为圆心的两 =8cm.CD=6cm,则AB与CD之间的 个同心圆中,大圆的弦AB 距离是 交小圆于点C,D,如右图 (1求证:AC-BD: 02 ......... 提能力 ......... (2)若大圆的半径R=10,小圆的半径- 8.如图,O的弦AB-8,P是。O上的动点 8.且圆心0到直线AB的距离为6,求AC (不与点A,B重合),连接AP,BP.过点0 的长. 分别作OE 1AP于点E,OF BP于点F, 连接EF,则EF的长为 、~ 。 B.3 C.2 A.4 D.1 第8题图 第9题图 ........ 03拓思维 9.如图,已知点M(0,-3),N(0,-9),半径为 5的A经过点M,N,则点A的坐标为 14.数学核心素养·推理能力如下图,有一 ( 座圆张形拱桥,桥下水面的宽度AB为 A.(-5,-6) B.(4.-6) 12m,拱高CD为4m. C.(-6,-4) D.(-4.-6) (1)求拱桥所在圆的半径; 10.如图,O的半径是3,P是弦AB延长线 (2)有一艘宽5m的货船,船舱顶部为矩 上的一个点,连接OP.若OP=4. APC 形,并高出水面3.6m.请问此货船是否能 -30*,则弦AB的长是 顺利通过拱桥(结果保留两位小数)? 桥拱{ 第10题图 第11题图 11.如图,某座桥可以近似地看作半径为250m 的圆张,桥拱和路面之间用数根钢索垂直 相连,其正下方的路面AB的长度为 300m,那么这些钢索中,最长的一根的长 度为 12.如图,在半径为/13的⊙O中. 弦AB与CD交于点E./DEE ,0 -75*,AB-6,AE-1:则CD的 长是 第12题图 下册第三章