第三章 2 圆的对称性-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

2圆的对称性 要点提示 1,圆的对称性：(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，圈有无数条对称轴：(2)圈是以圆心为 对称中心的中心对彝田形。实际上，一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆重合，这种性质 叫做圆的发转不变性， 2,圆心角、弦心距的概念：项点在國心的角叫微圈心角，过圈心作弦的垂线，图心到熊的委线段的长度叫做弦心距 3,圆心角、弧、弦之间的关系：(1)在同圆或等圆中，相等的国心角所对的“相苓，所对的猴相等：(2)在同圆或等 圆中，如果画个围心角、西条航、西条猴中青一组量相等，郡么它们所对应的其余各组量都分别相等 O1固基础● 。。。。 5.如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，D, C是BE的三等分点.若∠COD=34°，则∠E 知识点1圆的轴对称性和中心对称性 的度数是 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称 A.51° B.56 C.68 D.78 图形的是 6.古代数学文化如图，这是“太极” 8 图案的一部分，也称为“阴阳鱼”， A B 其柔和而流畅的曲线构造既包含 2.如图，AB的长为10cm,且CDLAB于点 了国人的智慧文化，同时也蕴藏着 第6题图 O,则图中阴影部分的面积为 很多的数学知识.该图案可以看作是三段弧 线的组合，即以AB为直径的半圆AB,以 cm. BC为直径的半圆BC,以AC为直径的半圆 AC,且满足AB=BC,A,B,C三点在同一直 线上.若AB=4cm,则该图案的面积为 cm2. 第2题图 第3题图 7.(教材第71页例题变式)如下图，AB,DE都 知识点2圆心角、弧、弦之间的关系 是⊙O的直径，C是⊙O上的一个点，且BE 3.如图，AB为⊙O的弦.若∠A=40°，则AB所 =CE.AD与CE的大小有什么关系？为 对的圆心角的度数为 什么？ A.40° B.80° C.100° D.120° 4.如图，已知A,B,C,D是⊙O上的点，∠1 ∠2.有下列结论：①AB=CD:②BD=AC: ③AC=BD:④∠BOD=∠AOC.其中正确 的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第4题因 第5题因 数学九年级BS版 ◆易错点没有弄清在同圆或等圆中，两个 13.(2024南京模拟)如下图，AB,CD是⊙O的 圆心角、两条弧以及两条弦之间的 两条弦，AC与BD相交于点E,AB=CD 关系而致错 (1)求证：AC=BD: 8.如图，在⊙O中，AB=2CD,则 (2)连接BC,作直线EO,求 下列结论正确的是 证：EO⊥BC A.AB2CD B.AB-2CD 第8题图 C.AB<2CD D.以上都不对 02提能力 9.如图，已知⊙O的半径等于2cm,AB是⊙O 的直径，C,D是⊙O上的两个点，且AD= DC=CB,则四边形ABCD的周长等于 ( A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.16 cm 念03拓思维 14.数学核心素养·推理能 第9随国 第10题圈 力如右图，点A,B,C,D,E 10.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， 在⊙O上，且AB=BC=CD 且AC=3BC,则弦AC与弦BC的关系是 =DE,AB∥DE. ( (1)求∠BAE,∠DEA的度数： (2)连接CO并延长交AE于点G,交AE于 A.AC=3BC B.AC=/3 BC 点H,写出三条与直径CH有关的正确结 C.AC=(/2+1)BC D.3AC=BC 论（不必证明）. 1L.如图，已知A,B是⊙O上两个点，∠AOB =120°，C是AB的中点，则四边形OACB 的形状是 第11题圈 第12题圈 12.如图，点A,B,C在⊙O上，分别连接AB, BC,OC.若AB=BC,∠B=40°，则∠OCB 下册第三章第三章圆 内，点C在圆外， .⊙A的半径r的取值范围为3<r<5. 1圆 12.解：(1)如图①，连接OQ. 1.C2.C PQ∥AB,PQ⊥OP,∴.OP⊥AB. 3.2弦AB、弦CD5AC,CD,BD,AD.BC .AB=6...OQ=OB=3. ∠ABC=30°，.PB=2OP 4.B5.OC>3 在R1△OBP中，PB=OP+OB. 6.解：由题意，得AC=/AB一BC=6. 设OP=x,则PB=2x,∴.(2x)=x+3, :Sax=2AC·BC=2AB·CD. 解得x=3(负值已舍去)，∴.OP=3, CD-AC BC-4.8. .PQ=OQ-OP=3-(5)=6. AB c(o) AC=6,点A在⊙C上. BC=8>6,点B在⊙C外. CD=4.8<6,点D在⊙C内 7.6.5cm或2.5cm【解析】根据题意可分以下两种情 图① 图② 况讨论： (2)如图②，连接OQ.由勾股定理，得PQ= 当点P在⊙0内时，半径为生9=6.5(cm: /OQ-OP:=9-OP 要使PQ的长取最大值，需(OP的长取最小值， 当点P在⊙0外时，半径为2=2.5(cm 此时OP⊥BC. 综上所述，⊙O的半径为6.5cm或2.5cm. “∠ABC-300P-20B-2, 8.C 9.54°【解析】如图，连接OP,O,P 2圆的对称性 1.A223.C4.D ) 5.A【解析】：D,C是BE的三等分点，∠COD=34”, :点P在小量角器上对应的刻度为63°， .∠EOD=∠BC=∠COD=34°， .∠0O.P=63 .∠BOE=102. .OP=00. OA=OE,∠A=∠E .∠OPO=∠00P=63°， :∠BOE-∠A+∠E,∴∠E-51. .∠P0,0=180°-63°-63°=54°， 6.8x【解析】AB=BC,.AB=BC,.S 即点P在大量角器上对应的刻度为54°， =S年顶m 10,2s或号。【解析】设经过xs后，点P在⊙0上. ∴S州g=S年mg十S4再S年wE=S年w, .'AB=4 cm, ⊙O从原点开始以每秒1个单位长度的速度向右 运动，同时距原点右边7个单位长度处有一点P以 小S生=S,mx=立元·AB=8mcm, 每秒2个单位长度的速度向左运动，∴.当第一次点P 7.解：AD=CE.理由如下： 在圆上时，(2+1)x=7-1,解得x=2:当第二次点P :AB,DE都是⊙O的直径， 在圆上时，(2+1)x=7+1,解得x=号综上所述，经 ∴∠AOD=∠BOE.∴.AD=BE BE=CE. 过2s或s后，点P在⊙0上. ∴.BE=CE,∴AD=CE 11.解：(1)，在矩形ABCD中，AB=3, 8.C【解析】如图，取AB的中点E,连接AE,BE. ∴.DC=3. :E为AB的中点， .AC=/3+4=5. ..AB=2AE=2BE. S -TAC.DE-DC.AD. .AB=2CD. DE=4-号 ∴AE-BE=CD, ..AE=BE=CD. (2)在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE= 在△ABE中，AB<AE+BE,∴.AB<2CD. 9.B AD-DE=3.2, 10.C【解析】如图，过点O作OD⊥AB交AC于点D, .AB<AE<AD<AC, 连接BD,O 若以点A为圆心作圆，B,C,D,E4个点中至少有 1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，则点B在圆 AC=3 BC, 下册参考各案 ∴.∠A0C=135,∠BOC=45 3.D OB=OC,∴.∠OBC=67.5. 4.解：设OD=OB=x, .OA-OC. :C是AB的中点，OC过圆心O, .∠A=∠AC0=22.5°， .OC⊥AB. ,.∠ACB=180°-∠OBC-∠A AB=4,CD=1, =90°. ,OD是AB的垂直平分线，∴AD=BD, .BC-AB-2.OC-OD-CD-x-1. ∠A=∠ABD=22.5°，∴.∠CDB=∠A+∠ABD 在R△BCO中，由勾股定理， =45°，∠CBD=∠OBC-∠ABD=45°，.∠CDB 得x=(x-1)十2， ∠CBD,.CD=BC. 5 设CD=BC=x,则AD=BD=Ex, 解得x二5OD=2 .1 ACAC-+DBC ...-op.nc 11.菱形 5. 6.解：如图，连接AO 12.20°【解析】如图，连接AO,BO. :CD过圆心，C为AB的中点， .OA=OB=OC, ∴.∠OBC=∠C,∠A=∠OBA. .CD⊥AB,AC=BC AB=BC,∴.∠AOB-∠BOC, .'AB=18 dm,..AC=BC-9 dm. 设圆的半径为xdn,则OA=OD=xdm. ∠0BA-专(180°-∠A0B)= CD=27 dm, ∴.OC=(27-x)dm. 2(180∠B0O=∠0BC 在Rt△OAC中，AC+OC=OA, :∠ABC=40°， 即9+(27-x)=x,解得x=15, ∴.∠OCB=∠OBC=20°. .拱门所在圆的半径是15dm. 13.证明：(1)AB=CD,∴.AB=CD, 7.1cm或7cm【解析】根据题意可分以下两种情况 ∴.AB+AD=CD+AD,即BD=AC 讨论： ..AC=BD. 如图①，当AB,CD位于圆心O的同侧时，EF=OF (2)如图，连接OB,OC OE=/3-3-√/5-4=4-3=1(cm): AB=CD,∴AB=CD. ∴.∠ACB=∠DBC,EB=EC .OB-OC. ∴.点E,O都在BC的垂直平分线 上，.EOL BC. 14.解：(1)如图，连接AD,BE 思① AB=BC=CD=DE, 如图②，当AB,CD位于圆心O的异侧时，EF=OF+ :.AB=BC=CD=DE, OE=√/5-3+√5-4平=4+3=7(cm). :BC+CD+DE=AB+BC+CD, 综上，AB与CD之间的距离是1cm或7cm. 8.A 即BE=AD,∴.BE=AD 9.D【解析】如图，过点A作AB⊥ DE=AB,AE为公共边， MN于点B,连接AM. ,.△ABE2△EDA(SSS), AB过圆心A,∴.MB=NB. ∴∠BAE=∠DEA. :半径为5的⊙A经过点M(0, ,AB∥DE,∴.∠BAE+∠DEA=180 -3),N(0,-9), .∠BAE=∠DEA=90° .∴.AM=5.OM=3,ON=9. (2)示例：①CH平分∠BCD:②CH∥AB:③CH⊥AE .MN=9-3=6, 3垂径定理 1.B :BM-=2MN=3. 2.解：(1)4 .OB=3+3=6 (2)如图，连接OC 由勾股定理，得AB=一3=4，.点A的坐标为 ABCD.CE-DE-CD. (一4，-6). .BE=1,0A=OB=OC=3, 10.2√5【解析】如图，连接OB,过点O ∴.0E=3-1=2. 作OC⊥AB于点C,则∠OCP=90°. OP=4,∠AP0=30°，.OC= 在R1△COE中，CE=√OC-O=√3-2=5， ∴.CD=2CE=25. zOP=2.在R△OCB中，由勾股定 数学九年级BS版