第二章 5 二次函数与一元二次方程-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

1 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系 要点提示 二次函数与一元二次方程的关系 (1)二次函数y一ar十bx十c(a:0)的图象与x轴的交点有三种情况:有2个交点、有1个交点、没交点,与此 相对应,一元二次方程ax*十hr十c一0(a0)的根也有三种情况:有画个来耀等的实数根、有画个耀等的实数 根,渡实数根. (2)二次&数y-ar十bx十c(a-0)的图象与x轴交点的横标就是一元二次方程ar十br十c-o(a-0)的& 固基础 -ar十bx十c的图象与x轴的交点坐标为 .. .... 知识点二次函数与一元二次方程的关系 6.已知抛物线y--c*十bx十c过点A(-3. 1.函数y三r*十z十的图象如图所示,则关 ),B(5,),且它与x轴只有一个交点,则 于x的方程x十ax十b一0的根是 的值是 A.没有实数根 7.已知抛物线y一ax*十bx十c(a,b,c是常数 Bx.-。-1 且都不等于0),a十b十c一0.有下列三个 C一一一4 结论: D.x.--1,x.-4 第1题图 ①若抛物线经过点(-3,0),则6-2a; 2.二次函数y一c*十x十c的部分对应值如 ②若b-c,则方程cr*十bx十a-0一定有一 下表: 个根为x一-2; 04 ③抛物线与:轴一定有两个不同的交点 其中正确的是 (填序号). 关于x的一元二次方程x十6x十(一0的解 8.已知抛物线y--(m十1)x十n与x轴只 1 为 ) 有一个交点: A.x--1.r.=-3 Bx--1,x=1 (1求n的值; C.x.--1,x.-3 D.=-3.r。-5 (2)求该抛物线的顶点坐标及与y轴的交点 3.(2024泸州)已知二次函数y-ax*十(2a- 坐标. 3)x十a一1(x是自变量)的图象经过第一。 二、四象限,则实数a的取值范围为( ) C.__ D.15 4.抛物线三一r十4x-4与坐标轴的交点个 数为 ) A.0 C.2 B.1 D.3 5.已知一元二次方程ax*十bx十c一0有两个 不相等的实数根x.-1,x。=-2,则函数y 数学 九年级BS版 易错点 漏掉函数是一次函数的情况 (2)不论n为何值,该函数的图象都会经过 9.(教材第53页题2变式)若函数y一(a一1) 一个定点,求定点的坐标 一4x十2a的图象与x轴有且只有一个交点; 则a的值为 2 提能力 ......... ......... 10.二次函数y=2r②-8x十m的图象与x轴 03拓思维 有两个交点,若其中一个交点的坐标为 14.数学核心素养·创新意识某班“数学兴 (一1,0),则另一个交点的坐标为 ( ) B.(3,0) A.(-3.0) 趣小组”对函数y-x一2x|的图象和性 C.(5,0) D.(9,0) 质进行了探究,探究过程如下: 11.经过A(2-3b,m),B(4b+c-1.m)两点的 (1)自变量x的取值范围是全体实数,:与 y的几组对应值如下: 抛物线y-一 2^{+bx-十2c(x为自变 量)与x轴有交点,则线段AB的长为 C .. 3 A.10 B.12 C.13 D.15 其中,n一 12.二次函数y=一c*十n.x的 (2)根据表中数据,在如下图所示的平面直 图象如图,对称轴为直线x 角坐标系中描点,并画出了函数图象的一 =2.若关于:的一元二次 部分,请你画出该函数图象的另一部分; 方程一r*十mx-t-0(t为 第12题图 (3)进一步探究函数图象发现: 实数)在1<x<5的范围内有解,则1的取 ①函数图象与x轴有 个交点,则 值范围是 方程x*-2lx-0有 个不相等 13.已知函数y=x^{}+(n-3)x+1-2m(m为 的实数根; 常数). 个不 (1)求证:不论n为何值,该函数的图象与 x轴总有两个公共点; 相等的实数根; ③关于x的方程x-2x=a有4个不相 等的实数根时,&的取值范围是 3-i23x 37/ 下册第二 第2课时 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 要点提示 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤;(1)将方程化为一元二次方程的一般形式ar十hx十c-0 (a去0);(2)作图,通过列表、描点,连线画出图象;(3)找点,找出二次函数图象与x轴的交点,并观察交点在哪 两个数之间;(4)列表,在两个数之间取值,用计算器求近似根,近似根就出现在对应y值正么妻替的位置,一般 取使y值囊楼近于事的:的值. A.0 C.2 B.1 固基础 D.1或2 5.已知二次函数y一ax*十bx十c的y与x的 知识点利用二次函数图象求一元二次方程的 部分对应值如下表: 近似根 R将 1.(教材第57页题1变式)如 图,小颖用计算器探索一元 二次方程ax++(-0-5-4-3-2-10# 则下列判断中:①抛物线开口向上:②抛物 的根,作出二次函数y一ax2 线与v轴交于负半轴;③当x一4时,v>0; _-1 十br十c的图象,并求得一 ④方程ar十bx十c一0的正根在3与4之 第1题图 间,其中正确的是 个近似根为x一一3.4,则方程的另一个近似 (填序号). ) 根(精确到0.1)为 C 6.(2024鞍山高新区期中)对于抛物线y一x* B.-3.4 A.)-4.4 一4r-6. C.)-2.4 D.-1.4 (1)将抛物线的表达式化为顶点式 2. 下表列出了函数y-ar*十bx十c(a0)中自变 (2)补全下列表格中的数据,在坐标系中利 量x与函数y的部分对应值,由表中数据可直 用五点法画出此抛物线 接得出一元二次方程ar*十hx十c-0(a字0)的 一个根的取值范围是 (3)结合图象,当一2<x<3时,y的取值范 -2 3.下表是一组二次函数y一r十3x-5的自变 (4)结合图象及所学习的知识,估算-4x 量r与函数值y的对应值: -6-0的两个根为 (精确到0.1,误差不超过0.2) 1.1⊙ 1.2 1.3 1.4 。 -0.490.04 0. 1.16 那么方程x*十3x-5一0的一个近似根是 02提能力 ._....... 4.根据下表中的对应值,试判断方程r士x士 -0(a,0.a,b.c为常数)的根的个数是( _ 3.24 。 3.25 -0.02 y=ax+b+c 0.03 数学九年级BS:当a<20时，w随a的增大而增大， .抛物线y=一x+4x一4与坐标轴的交点个数为2. ∴.当a=14时，心有最大值，最大值为3456，此时售价 5.(1,0),(-2,0)6.-16 为40+14=54（元）， 7.①②【解析】①a十b+c=0,.(1,0)是抛物线y= ∴.当售价为54元时，该商品每天的销售利润最大，最 ar+b.x十c与x轴的一个交点. 大利润为3456元. :抛物线经过点（一3,0），∴抛物线的对称轴为直线x 7.D 8.D【解析】设一次函数的表达式为y=x十b.把(20， 1中号》=-1名-1，耳6-2a,故0正确： 2 20.(30,0)分别代人，得20士6二20·解得-一2. ②：b=c,∴.抛物线y=cr2+br十a的对称轴为直线 130k+b=0, b=60. b 1 ∴.一次函数的表达式为y=一2r+60, x=-2=-1 设该超市每天获得的利润为元 又：a+b+c=0,.抛物线y=cx2十br十a过点(1， 由题意，得心=(x-10)(-2x+60)=一2(x一20) 0), +200, .抛物线过另一点(-2,0)， ∴.当x=20时，大=200. .方程cx2十bx十a=0一定有根为x=一2，故 故该超市每天销售苹果可获得的最大利润为200元. ②正确： 9.解：(1)设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定 ③△=6-4ac=(a+c)-4ac=(a-c)≥0，∴.当a 价为y元 =c时，抛物线与x轴只有一个交点，故③不正确. 由题意，得十0： 综上所述，其中正确的是①②. 8.解：(1)抛物线y=x一(m+1)r+m与x轴只有一 解得： 个交点， .一元二次方程x一(m十1)x十m=0有两个相等的 答：A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为 实数根，即△=[-(m十1)丁一4m=0, 120元. 整理，得m一2m十1=0， (2)设A种客房每间定价为a元， 解得m1=m:=1, 则w=(24-809)a=-c+4a= 1 .m=1. 10 (a (2)由(1)可知，m=1, 220)￥+4840. .该抛物线的表达式为y=x2一2x十1=(x一1)， -<0 ,该抛物线的顶点坐标为(1,0) 令x=0,则y=1, ∴.当a=220时，W取最大值，W题位=4840. .该抛物线与y轴的交点坐标为(0,1). 答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天 9.一1或2或1【解析】由题意可知，当该函数为一次函 的营业额W最大，最大营业额为4840元， 数时，其图象与x轴有且只有一个交点，此时a一1= 10.解：(1)一260 0,即a=1:当该函数为二次函数时，a一1≠0且△ (2)当1≤x<20时，W=pg=(-2x+60)(x+10)= (-4)-4(a-1)×2a=0,解得a1--1,ag=2.故a -2x+40x+600: 的值为-1或2或1. 当20≤x≤30时，W=pg=30(x+10)=30.x+300. 10.C 综上，w={-2x+40x+600(1≤x<20). 11.B【解析】，经过A(2一3b,m),B(4b十c一1，m)两 130x+300(20x≤30). 1 (3)在W=-2x+40.x+600中，令W=1000,得 点的抛物线y=一2x+br一：+2c(x为自变量)与 -2x2+40.x+600=1000, x轴有交点， 整理，得x2-20.x+200=0. 2-3h+4h+c-1 ,△=（一20）2一4×200=一400<0，.方程无实数 2 ,方程一 2×(-2) 解，.当1≤x<20时，W<1000. 由30x+300>100,得>23号 6x-:+2=0有实数根，即4=6-4×(-2)× 20≤x≤30且x为整数， (-+2e)≥0， .x可取24,25,26,27,28,29.30， .b=c+1,D≤4c, ∴销售额超过1000元的共有7天. .(c+1)2≤4c,∴.(c-1)≤0， 5二次函数与一元二次方程 .c-1=0,解得c=1, .b=c+1=2, 第1课时二次函数与一元二次 .AB=|(4b+c-1)-(2-3b)|=12. 方程之间的关系 12一5<t≤4【解析】如图，关于x的一元二次方程 1.D2.C3.A x2+mx-t=0的解就是抛物线y=一x+mx与直 4.C【解析】当y=0时，一x2十4x一4=0，解得x=x4 线y=t的交点的横坐标.由题意可知，m=4,.二次 =2,与x轴只有1个交点(2,0)： 函数y=一x+4r=一(x一2)2+4，∴该抛物线的顶 当x=0时，y=-4,与y轴有1个交点(0，一4)， 点坐标为(2,4)， 数学九年级BS版 当x=1时，y=3, =4 6.解：(1)抛物线的顶点式为y=(x一2)一10. 当x=5时，y=-5. "=3 (2)表格如下： 由图象可知，一5<≤4 -20 246… 时，抛物线y=一2+4x 与直线y=t在1<x<5 01235 y… 6 5-10-66 的范围内有交点. 函数图象如图所示， 故若关于x的一元二次 方程一x2十m.x一t=0(t “-5 为实数)在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围 是-5<t≤4. 13.解：(1)证明：令y=0,则x2+(m一3)x十1一2m=0. △=(m-3)-4(1-2m)=m2+2m+5-(m+1)月 +4>0, .关于x的方程x2+(m一3)x+1一2m=0有两个 不相等的实数根， .不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公 共点， (3)-10≤y<6 (2):y=x+(m-3)x+1-2m=(x-2)m+x2- (4)x=-1.2,x:=5.2 3.x十1，且不论m为何值，该函数的图象都会经过一 本章小结 个定点， 1.C2.C3.C x一2=0，解得x-2. 4.A 当x=2时，y=-1, 【解标：=-+-合=-（一）广- .定点的坐标为(2，一1). (-2024≤x<1)4=-2-x+1=-(x+2）广+ 14.解：(1)0 (2)函数图象的另一部分如图所示。 年1<r<202. 当x=1时=-+-=-1g=--文 +1=一1， .在L上，x为奇数的点是“整点”，则L上有1013 个“整点”：在L上x为整数的点是“整点”，则L上 有2024个“整点” (3)①33②4③-1<a<0 故L上“整点”的个数是1013+2024-1=3036. 第2课时利用二次函数图象求一元二次 5.一3【解析】：抛物线过点(0,0)，∴.m十m-6=0且 方程的近似根 m一2≠0，.m=一3. 1.D2.0<x<13.x=1.2 6.y<y<y【解析】抛物线y=ar2-2ax+1(a>0) 4.C【解析】：当x=3.24时，ar+br+c=一0.02< 的对称轴是直线=一是-1，即二次函数图象的开 0:当x=3.25时，a.x°+bx+c=0.03>0, .抛物线y=ax+bx十c与x轴有两个交点， 口向上，对称轴是直线x=1,.在对称轴的左侧y随 .方程a.r+br十c=0的根的个数是2. x的增大而减小.，点B(4,)关于对称轴的对称点 5.④【解析】：当x=0和x=3时，y=1,当x=1时，y 为(-2%，-2K-是<-11y<%< =3, 7.解：(1)由题意，得a十(2m-6)+1=2m-4, 抛物线开口向下，故①错误： 解得a=1. 当x=0时，y=1, (2)a=1, .抛物线与y轴交于正半轴，故②错误： ∴y=2+(2m-6)x+1, ,当x=0和x=3时，y=1, “抛物线对称轴为直线了0生》， “揽物线的对称轴是直线=一-3一m (3)当m>0时，可知点（一m,y),(m,y),(m十2，y) ∴.当x=4和x=一1时，y的值相同，即x=4时，y 从左至右分布 一3<0，故③错误： :当x=一1时，y=一3，当x=0时，y=1, ”y<y≤y: .方程a.x2+bx+c=0的一个根在-1与0之间，且 3-m<m十m+2 2 为负根， ·由抛物线的对称性可知，另一个根在3与4之间，且 3-m≥二m十m+2 2 为正根，故④正确. 解得1<m≤2； 下册参考各案 15