第二章 3 确定二次函数的表达式-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

3确定二次函数的表达式 要点提示 1,用顶点式确定二次函数的表达式：当已知抛物线的顶点坐标(h,k)和抛物线上另一点的坐标时，通常设抛物 线的函数表达式为顶点式y=a(x一h)十k(a,h,k为常数，a≠0). 2.用一般式确定二次函数的表达式：当已知条件是抛物线上任意三点时，通常设抛物线的函数表达式为一般式 y=ax2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0). 3,用交点式确定二次函数的表达式：当抛物线y-+bx十c与x轴有两个交点（无1,0），(，0)时，二次函数y =a.r+hr+c可转化为交点式y=a(x一x)(x一x)(a,i,x为常数，a≠0). :。。。。。 O1固基础念 。。 知识点2用一般式确定二次函数的表达式 4.(教材第42页例1变式)已知二次函数y= 知识点1用顶点式确定二次函数的表达式 ax十bx一6的图象经过点A(1,一3)，B(一1， 1.若二次函数图象的顶点坐标为(2，一1)，且抛物 一3)，则该二次函数的表达式为 () 线过点(0,3)，则二次函数的表达式是() A.y=3.x2-6 B.y=x2+2x-6 A.y=-(x-2)2-1 C.y=9x2+6x-6 D.y=9x2-6.x-6 By=-2x-2-1 5.已知抛物线y=ax2+bx十c(a,b,c是常数， C.y=(x-2)2-1 a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值 D.y-2x-2-1 如下表： 2.一个二次函数，当x=一1时，函数的最小值 -2-1012… 为2，图象经过点(1,6)，则这个二次函数的 …m0-3n-3 表达式为 (1)根据以上信息，可知抛物线开口向 3.如下图，在平面直角坐标系xOy中，二次函 ,对称轴为 数图象的顶点坐标为(4，一3)，该图象与x (2)求抛物线的表达式及m,n的值. 轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C,其 中点A的横坐标为1.求： (1)该二次函数的表达式： (2)tan∠ABC. 知识点3用交点式确定二次函数的表达式 6.若抛物线y=一2x2十bx+c与x轴的两个 交点为（一1,0），(3,0)，则该抛物线的表达 式为 ( A.y=-2x2-x+3B.y=-2x2+4x+5 C.y=-2x2+4x+8D.y=-2x2+4x+6 30 数学九，年级BS版 7.已知抛物线经过点A(2,0)和B(一1,0)，且 轨迹为抛物线c2.求抛物线2的表达式. 与y轴交于点C.若OC=2,则这条抛物线 的表达式为 A.y=x2-x-2 B.y=一x2-x-2或y=x2+x+2 C.y=-x2+x+2 D.y=x2-x-2或y=-x2+x+2 02提能力之 O3拓思维 8.已知二次函数y=x十b.x十c的图象经过点 12.若一次函数y=kx十m的图象经过二次函 (2,4),且顶点在直线y=2x十1上，则该二 数y=ax2十br十c的顶点，我们则称这两 次函数的表达式为 ( 个函数为“丘比特函数组” A.y=x2-x+2 B.y=x2-x+3 (1)请判断一次函数y=一3x十5和二次函 C.y=x2-x+5 D.y=x2-2x+4 数y=x2一4x+5是否为“丘比特函数组”， 并说明理由： 9.数学核心素养·应用意识某 (2)若一次函数y=x十2和二次函数y= 处有高低不同的各种喷泉，其中 ax十bx十c为“丘比特函数组”，已知二次 有一支高度为1m的喷水管，喷 函数y=ax2十bx十c的顶点在二次函数y 水最高点A离地面3m,此时点 =2x2一3.x一4图象上，并且二次函数y= A离喷水口的水平距离为号m。第9超园 ax2十bx十c的图象经过一次函数y=x十2 在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉 的图象与y轴的交点.求二次函数y=ax +bx十c的表达式. 的函数表达式为 (不要求写出自变量x的取值范围). 10.已知抛物线y=ax2+2ax十b上有两点 A(一2,4)，B(1,0),将抛物线沿水平方向 平移，平移后点A的对应点为A',点B的 对应点为B',且四边形AA'B'B刚好为菱 形，那么平移后的抛物线的顶点坐标为 11.在平面直角坐标系xOy中，抛物线c1:y ax2-4a十4(a<0)经过第一象限内的定 点P (1)点P的坐标为 (2)若a=一1，M(2,0)是x轴上的点，N为 抛物线c1上的点，Q为线段MN的中点. 设点V在抛物线c1上运动时，点Q的运动 下册第二章 31间的距离. 12.-2【解析】函数y-2r十b:图象的顶点坐标为 由(1)可知,平移前抛物线的顶点坐标为(6,4). ..根据勾股定理,得PP的长为 (6一3)+(4-0) -5. 顶点坐标为(-,-). 第4课时 二次函数y=ax2十bx十c的 由题意,得一 b 图象与性质 1.B2.一 -2. 3.D【解析】·抛物线开口向上..'.a0. 又-2-2,.,6--2满足题意。 #o.6<0. .对称轴在y轴右侧,.一 13.解:(1)当t-2时,抛物线为y-x-4x+1=(x 2 2)2-3. ·抛物线与y轴交点在x轴下方...c<0. &.抛物线的对称轴为直线x一2,顶点坐标为(2; 4.B 【解析】·y-+2x-2-(x+1)-3,,抛物线 -3). -r+2x-2开口向上,顶点坐标为(-1,一3),函数 (2)y-x-2tr+1. 的最小值是一3,对称轴为直线x=一1,故选项B错 误,符合题意. 5.D【解析】'y--4r+2-(r-2)-2.,该二次 ·当x<xr<1时,(x-x)(y一y)<0. 函数的图象开口向上,对称轴为直线x一2,顶点坐标 .y>y. 为(2,一2),.,该二次函数在x一2时取得最小值-2 又·当1<x<x:时,(xr-x)(y-y)>0 .当x--1时,-(-1)-4x(-1)+2-7;当 'yy. 4时,y-4-4×4+2-2.当-1x<4时,该二次 &抛物线的对称轴为直线x-1:即(-1; 函数的最大值为7,最小值为一2. 'y=-2x+1. 【解析】由题意,得y一一 6.y>> 将r=3代入y-r-2r+1,得y=4. '点(3,7)不在抛物线上. 10-- (3)抛物线的对称轴为直线x一!. .该二次函数的图象开口向下,对称轴为直线x-6 心点P(十1,v)在对称轴的右侧 .x的值越接近6,对应的y值越大. .P(t+1,y).Q(2t-4.y)是抛物线y=-2tx+ · 7-6 12-61 1-1-6.>. 1上的两点,且总满足y一y. 7.D 【解析】y--4x-4可化为y=(x-2)-8,将 . [t+12t-4. +1-t>12t-4-t1, 解得3<5. 其图象先向左平移3个单位长度,再向上平移5个单 位长度,得y-(r-2+3) -8+5-(r+1) -3. '..的最小值为3,最大值为5. 8. 【解析】y--2x+1-(x-1). 14.解:(1)①19 ②-2 .二次函数y-r-2x+1的图象向左平移两个单位 (2)二次函数y=r-br+e(bc≠0,3<x<5)的图 得到抛物线C. 象与r轴的一个交点为A,与y轴交于点B,点A与 '.抛物线C的表达式为y=(x十1). 点B的“雅和”相等..'.B(0,c),A(c,0). '.抛物线C开口向上,对称轴为直线x一一1. 将A(c,o)代入y=r-br+c.,得c-be+c-o. '.当>一1时,y随x的增大而增大. .bc0..c0..'c-b-1.设此函数图象上的一点 .23...y<y. 为(m,n{一bm+c),该点的“雅和”为t. 9.19【解析】):'y--3-x+1-(-)-.当x 则-m+(1-)n+c. 又”此二次函数的“礼值”为1一b; 3时,y随x的增大而增大.又:x6,.当r=6 '.:的最小值为1-6,即4c-(1-6) 二-1-b. 4 时,y取得最小值,最小值为6-3×6十1-19. 4(-1)-(b-1)--4(b-1,,b-1-0或8 10.B【解析】:'y-3.r-4:-2-3(-4)-2- .c-b-10...c-8. 3(-4+)- -2-3(-)-10.一 【解析】(1)②设一次函数y-3x+2(-1<x<3)图象 上的一点为(x,3x+2),该点的“雅和”为w,则w= +3r+2-4x+2.4>0,.x随x的增大而增大. .-1<x<3,*,当x=-1时,w取得最小值,最小 值为-4+2--2...一次函数y-3r+2(-1<x 11.B【解析】A.抛物线中,a>0,b<0.c0,则ac<0 而直线中ac0,b0.故A选项不符合题意;B.抛物 3)的“礼值”为-2. 线中,a>0,b>0,c>0,则ac0,面直线中,ac>0,b 3 确定二次函数的表达式 >0.故B选项符合题意;C.抛物线中,a<0,6>0.c 1.C 0.则ac<0.而直线中.ac<0.b<0,故C选项不符 2.y-(c+1)*十2 【解析】:当x一一1时,函数的最小 合题意;D.抛物线中,a<0,b<0.c0.则ac<0,而 值为2, 直线中,ac>0,6>0,故D选项不符合题意 '.这个二次函数图象的顶点坐标为(一1,2). 下册 参考答案 设这个二次函数的表达式为y=a(x+1)+2 +4..AB- (-2-1)+(4-0)-5,且四边形 ,图象经过点(1,6). AA'B'B为菱形,'$AA'-BB-AB-5..'抛物线是 ·.6-a(1+1)+2. 解得a-1..y=(x+1)+2. 沿水平方向平移了5个单位长度,,y-- 3.解:(1)设该二次函数的表达式为y=a(x-4)-3. 4(c+1)+15.顶点为(1.1). 根据题意,得点A的坐标为(1,0). 把A(1,0)代入y=a(x-4)-3,得0-a(1-4)-3, '.当抛物线向右平移5个单位长度时,平移后的抛 物线的顶点坐标为(4.1):当抛物线向左平移5个 1(x-40)-3. 故该二次函数的表达式为y一 单位长度时,平移后的抛物线的顶点坐标为(-6. ). .二次函数图象的顶点坐标为(4,一3). 11.解:(1)(2,4) .点B与点A关于直线x-4对称, (2)设点Q的坐标为(x。·y),点N的坐标为(x ·点B的坐标为(7,0) ). ·点M的坐标为(2.0),Q为线段MN的中点. . ..r-2xo-2.y-2yo. 'a=-1.'抛物线c。的表达式为y=-r+8. 4.A ,点N在抛物线c上.y=一r+8. 5.解:(1)上 直线x-1 $2y。=-(2ro-2)+8,即y=-2x+4r。+2. (2)把(-1,0),(0.-3),(2.-3)代入y-ar+br+c. '.抛物线c:的表达式为y--2x+4x+2. a-b十c-0. [a-1. 解得{--2 得c-3. 12.解:(1)一次函数y=-3x+5和二次函数y=x-4r .-3. 4a+26+--3. +5不是”丘比特函数组”.理由如下: ,y-x-4x+5-(x-2)*+1...二次函数图象的 '.抛物线的表达式为y--2x-3. 当x--2时,m-4+4-3-5; 点坐标为(2,1). 当x-2时,y--3r+5--1-1, 当r-1时,n-1-2-3--4. 6.D '.一次函数y--3r+5和二次函数y-r-4.r+5 7.D【解析】设这条抛物线的表达式为y一a(x一2)( 不是“丘比特函数组”. 十1. (2)设二次函数y=ar+bx十c的顶点坐标为(m,m +2). ·OC-2.,点C的坐标为(0,2)或(0.-2). 当点C的坐标为(0,2)时,a·(-2)×1-2,解得a 将(m,m+2)代入y-2x-3x-4,得m+2-2m- 一1.这条抛物线的表达式为y=一(x一2)(x+1). 3m-4,解得m-3,m=-1. 即y--+x+2; 当m-3时,二次函数y=ar{}+br十c的顶点坐标为 当点C的坐标为(0.-2)时,a·(-2)×1-一2,解得 (3,5),则该二次函数的表达式为y-a(x一3){+5. a-1.',这条抛物线的表达式为y-(x一2)(r十1),即 .一次函数y一x十2与y轴的交点为(0,2), --r-2. '将(0,2)代入y=a(x-3)*+5,得9a+5-2,解得 综上所述,这条抛物线的表达式为y=一十x+2或 立. y-r?-r-2. 8.D【解析】将点(2,4)代入y-r+bx十c,得4+2b+e *.二次函数y=ax+br+c的表达式为y=- -4,即c--2b,..该二次函数的表达式为y-r+b +2r十2; 当n=-1时,同理可得二次函数y-ar+bx十c的 表达式为y-r+2x+2. 综上,二次函数y-ar{}+bxr十c的表达式为y= 1.得-b+1-- 1+2+2或y--+2+2. -26,整理,得+46+4-0,解得 A b-b=-2..c-4...该二次函数的表达式为y-r 4 二次函数的应用 -2+4. 第1课时 应用二次函数求几何图形最值 9--8(-)0第}+3 1.B 2.1 10.(4.1)或(-6.1) 【解析】·△ABC为等腰直角三角形,..B-45^。 【解析】根据题意,得 ·四边形CDEF为矩形,.EFC-90..EFB= {4a-4a十b-4解得 1-- 90* .' BEF- B-45*. a+2a+b-0. ..EF-BF. -4. 设CF-rcm,则EF-BF-(2-x)cm 数学九年级BS版