第二章 1 二次函数-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

第二章 二次函数 1 二次函数 要点提示 1.二次函数的定义;一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y一ax}十u十c(a.b.c是常数,a) 的形式,则称y是x的二决蔓数,把y一ar十bx十c(a,b.c是常数,a子o)称为二次函数的一般式,ar,br,c分 别是二次函数的二次项,一次项和常数项,其中a,占分别是二次项系数和一次项系数. 2.列函数表达式的一般步骤:(1)审清题意;(2)我出等量关系;(3)列函数表达式. (单位:m{})与x之间的函数关系式为( /固基础 _~_ 知识点1二次函数的定义 A.x(12-) 2 B.y-x(12-x) 1.(教材第30页题1变式)下列各式中,y是; C.-r(24-x) D._2(24-) ) ( 的二次函数的是 2 B._1 7.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批 ) 商品,若每件商品的售价为x元,可卖出(350 C.y-22-1 D.-2-1 一10x)件,则销售这批商品所得的利润v(单 2.当函数y-(2一a)x一是二次函数时,a的 位:元)与每件商品的售价:之间的函数关系 取值为 ) C 式为 A.士2 B.-2 易错点,对二次函数的条件考虑不全 C.2 D.不能确定 8.已知y=(n-4)x”-“+2x”-3.x-1. 3.已知y-(-3)x-1十x-3是y关于x的 (1)当的值为 时,它是y关于 二次函数,则的值为 x的一次函数; 知识点2二次函数的一般式 4.已知二次函数y-2一3x十x,则其二次项 (2)当n的值为 系数a、一次项系数6、常数项c分别是 时,它是y关于x的二 ) r 次函数。 A.2,-3,1 B.2,3.1 C.1,3,2 D.1.-3.2 02提能力 ...4 5.已知二次函数-2x*十4x-1,它的二次项 9.下列函数关系中,是二次函数的是 ) 系数为a,一次项系数为b.常数项为c,则y A.在弹性限度内,弹策的长度y与所挂物体 一c-ar十b为 质量x之间的关系 知识点③ 建立二次函数模型 B.当距离一定时,火车行驶的时间/与速度 6.如图,王大爷用24m长的 7 v之间的关系 篱色围成一个菜园(矩形 C.等边三角形的周长C与边长a之间的 ABCD).若菜园靠墙的一 第6题图 关系 边AD的长为x(单位;m),则菜园的面积y D.圆的面积S与半径,之间的关系 数学 九年级BS 10.对于任意实数n,下列一定是二次函数的 售价x(单位:元/瓶)之间满足一次函数关 是 ( ) 系,其图象如上图所示 A.y-(m-2)x+3x+m (1)求y与:之间的函数关系式; B.y-(m+2)x+nx+4 (2)设该药店某天销售这种消毒液所获得的 C.y-(m+1)r 利润为w元,则 与x的函数关系式为 D.y-(n-1)r+4 11.一副三角板按如图所示的方式放置,点E 在BC上滑动,AE交BM于点D,EG交 MC于点F,且在滑动过程中始终保持EF -DE.若MB=4:设BE=x:EFC的面 积为y,则y关于x的函数表达式为 。 _~_ A.-2/③x By-2/3x+1 D.y-a(43-r) C.y-x(4/③-c) ##7## 03拓思维 15.数学核心素养·几何直观如下图,等腰 第11题图 第12题图 直角三角形ABC的直角边长与正方形 12.(2024德惠期末)如图所示的是一个迷宫游 MNPQ的边长均为10cm,边CA与边 戏盘的局部平面简化示意图,该矩形的长。 MN在同一直线上,开始时点A与点M重 宽分别为5cm,3cm,其中阴影部分为迷宫 合,让△ABC沿MN方向以1cm/s的速 中的挡板,设挡板的宽度为xcm,小球滚动 度匀速运动,运动到点A与点N重合时停 的区域(空白区域)面积为ycm{},则y关于。 止.设运动的时间为ts,运动过程中△ABC 的函数表达式为 与正方形MNPQ的重叠部分的面积为 (化简为一般式). Scm^{. 13.若函数y-(m-2)x*-w是y关于x的 (1)试写出S关于.的函数表达式,并写出 二次函数,则以n和4为两边长的等腰三 自变量7的取值范围; 角形的周长为 (2)当AM一2cm时,重叠部分的面积是 14.(教材第31页题4v瓶 # 变式)某药店购进 一批医用级消毒 液,进价为15元/瓶: 出售时售价最低为 0 1820(元/) 18元/瓶,且相关部门规定利润率不能高于 40%.该药店通过分析销售情况,发现这种 消毒液一天的销售量y(单位;瓶)与当天的 下册第二章∴.CD=AD-AC≈1.732×5-5=3.66(m), ∴.CD的长度约为3.66m 14.解：(1)如图，过点B作BF⊥AD于点F 在R1△ABF中， n∠BAF-器， (2)如图，延长CF交AD,BE的延长线于点G,连 接AB. .BF=AB·sin∠BAF= ”横截面是一个轴对称图形， 3sin37≈l.8. .DE∥AB,.∠A=∠GDE. 故真空管上端B到AD的距 AD⊥CD,BE⊥CE,.∠GDF+∠FDC=90. 离约为1.8m. .22 :∠DCF+∠FDC=90°， (2)在R1△ABF中， .∠GDF=∠DCF=20°， a∠BAP-福 ∠A=0,G=5*品1.81m. ∴.AF=AB·cos∠BAF=3cos37°≈2.4. ∴.AG=AD+DG=10+1.81=11.81(cm), BF⊥AD,CD⊥AD,BC∥FD. ,∴.AB=2AG·c0s20°≈2×11.81×0.94≈22,2 .四边形BFDC是矩形， (cm). ..CD=BF=1.8.BC=FD. 故点A,B之间的距离约为22.2cm. CE=0.5, ∴.DE=CD-CE=1.3, 第二章二次函数 在R1△EAD中， 1二次函数 ian∠EAD-器. 1.C2.B3.-14.D5.y=-x2-2x+46.D 小品-04AD-325 7.y=一10.x2+560.x一7350【解析】根据题意，得y= (.x-21)(350-10x)=-10x2+560x-7350. .BC=DF=AD-AF=3.25-2.4=0.85≈0.9. 故安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为 8.12(24我中或1与或-1或0或1 0.9m. 15.解：(1)在R1△DAE中，∠AED=60°，AE=3m, 【解桥】1)由题意，得mm=2 m一4十2=0， 解得m=2. ∴.AD=AE·1an60°=33(m), 故当m的值为2时，它是y关于x的一次函数 ∴.灯管支架底部距地面的高度AD为33m (2)可分以下四种情况讨论： (2)如图，延长FC交AB于点G. ①当m一4=0时，解得m=4: ∠A=90°，∠AFC=30°， ②当m一m=1时，解得m,=1士5，m 2 ∴.∠LDGC=90°-∠AFC=60. :∠GDC=60°， ,△DGC是等边三角形，.DC=DG @当中2头时，部得=-山 .'EF-8m.AE=3m. ④当m-m=0时，解得m=0,m:=1, ∴.AF=AE+EF=11m. 综上所述，当m的值为4或或与或-1或0 2 在R△AFG中，AG=AF1an30°=11×昼=1E 3 或1时，它是y关于x的二次函数. 9.D (m).由(1)知，AD=3√5m, 10.C【解析】，当m=2时，y=(m-2)x2+3x十m= DC=DG=AG-AD=1山，3-35=23≈1.2m. 3 3 3x十2，∴.A选项不符合题意：：当m=一2时，y= 故灯管支架CD的长度约为1.2m. (m+2)x十mx十4=一2x十4，.B选项不符合题 意，当m=士1时，y=(m-1)x2十4x=4r,.D选 项不符合题意：：m+1≥1，.对于任意实数，y= 60 (m十1)x一定是二次函数，.C选项符合题意. 11.D【解析】如图，过点F作FH⊥EC于点H,则 ∠FHE=90°，∠FEH+∠EFH=90 b60》 30 :∠DEF=90, 16.解：(1)如图，过点C作CF⊥DE于点F, .∠DEB+∠FEH=90°， CD=CE=5cm,∠DCE=40°，.∠DCF=20°，DF .∠EFH=∠DEB. =EF. 在△DEB和△EFH中， .DF=CD·sin20°≈5×0.34=1.7(cm), I∠B=∠FHE, ,.DE=2DF=3.4cm. ∠DEB=∠EFH, 故线段DE的长约为3.4cm DE=EF, 数学九年级BS版 ∴.△DEB≌△EFH(AAS),∴BE=HF 最大值为0.：当x=一3时，y=一9：当x=1时，y= BE=x,∴HF=x. 一1.∴.当-3≤x≤1时，它的最小值为-9. MB=4,∠B=90°，∠C=30°， 7.C8.B .EC-BC-BE .() 【解析】设点B的坐标为(2，b). △EFC的面积y=子4疗- :G是△OAB的重心，∴.BE为△OAB的中线，∴.OE =AE,.E(1,0). 故y关于x的函数表达式为y-4厅-》 :GGE-21,GE-号BE, 12.y=x2-8.x+15【解析】通过平移将空白区域转化 为长为(5一x)cm、宽为(3一x)cm的矩形，则其面积 ∴点G的横坐标为宁。一)+=号×2-1D+1 为y=(5-x)(3-x)=x2-8x+15. 13.10或11【解析】由题意，得m2-5m+8=2,且m 专点G的纵坐标为号（。一)十-号0)十 2≠0，∴.m=3.若以3为腰长，则三边长分别为3,3， 4,3+3=6>4,能组成三角形，符合题意，周长为3+ 3十4=10：若以4为腰长，则三边长分别为3,4,4,3 (号， +4>4>4一3，能组成三角形，符合题意，周长为4+ 4+3=11.综上，等腰三角形的周长为10或11. 设直线OB的表达式为y=kx,则有2k=b,k= 2b, 14.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b(k≠ 0). 六直线0B的表达式为y=如， 将(18,24)，(20,20)分别代入y=kx十b, 当6r=f时=0，=0， 1 用十么动解得合2 1b=60. 利铜率不能高于0%，5≤40%， d2 解得x21. 0G/x轴8=b. 故y与x之间的函数关系式为y-一2x+60(18≤x 解得么=0（合去），4=子 21). (2)=-2.x2+90x-900(18≤x≤21) c》 15.解：(1)：△ABC是等腰直角三角形，四边形MNPQ 10.解：(1)根据题意可知， 是正方形， ∴.△AMR是等腰直角三角形， 1k十k-4=2, k+2<0, ∴.MR=AM=tcm, 解得k=一3. S=Sm=号AM,MR=1=F0<< (2)由(1)可知，该二次函 10). 数的表达式为y=一x, (2)2cm “点A(m十1，一4)在该二 5 2二次函数的图象与性质 次函数的图象上， .一4=一(m+1)产，解得m1=1,m2=一3.故m的 第1课时二次函数y=x2和y=一x2的 值为1或-3. 图象与性质 (3)该二次函数的图象如图所示.一4y≤0 1.A2.B3.C 11.解：(1)把A(2,m),B(n,1)分别代入y=x2, 4.D【解析】，A(一1，m),B(1,m),.点A与点B关于 y轴对称.n>0,m一n<m,.由点B(1,m),C(2, m一n)在同一个函数图象上可知，当x>0时，y随x .m=4,n=土1. 的增大而减小，故只有D选项符合题意. 点B在第一象限，∴n=1, 5.解：(1)-9 (2)如图，作点B关于y轴的对称点 (2)由(1)可知，点A的坐标是（一3，一9）， B'(-1,1),连接AB,AB与y轴的交 ·点A关于y轴的对称点B的坐标是(3，一9)， 点即为点P, ·点A,B关于x轴的对称点C,D的坐标分别是 设直线AB的表达式为y=kx十b, (-3,9).(3.9). 把A(2,4),B(-1,1)分别代入， 对于抛物线y=x,当x=一3时，y=9:当x=3时，y 4=2k+b:解得 k=1. =9， 得 1=-k+b, 6=2, .C,D两点在抛物线y=x上. ∴.y=x+2. 6.0一9【解析】：二次函数y=一x2的图象开口向 令x=0,则y=2,.点P的坐标为(0,2). 下，顶点(0,0)是它的最高点，当-3≤x≤1时，它的 12.解：(1)，抛物线y=一x2与直线y=3x+m都经过 下册参考各案