第2章二次函数 寒假巩固提升训练题 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》寒假巩固提升训练题（附答案） 一、单选题 1．某工厂1月份的产值为500万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂3月份的产值与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．关于二次函数的图象的性质下列说法中错误的是（   ） A．图象有最高点，最大值为0 B．函数图像关于轴对称 C．时，随的增大而减小 D．时，随的增大而增大 3．已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．下列平移中，不能使二次函数经过点的是（   ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向下平移3个单位 D．向上平移4个单位 5．如图，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C．D． 6．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，那么水面宽度为（  ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，点的横坐标为，则点的横坐标为（   ） A．3 B．4 C．3.5 D．2 8．二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 二、填空题 9．若是二次函数，则m的值是 ． 10．抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 11．在平面直角坐标系中，二次函数的最小值为 ． 12．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间t（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了 ． 13．已知抛物线中，且与轴交于点，求当时，自变量的取值范围是 ． 14．某养殖户用80米长的隔离网在某湖泊中间围成一个长方形养殖区域用来饲养某种大米虾．如图，该长方形养殖区域中间有两条隔离网，则围成的养殖区域最大面积是 平方米． 15．如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是 ． 16．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是 ． 三、解答题 17．已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； (2)求此函数图象与轴交点的坐标． 18．已知：二次函数． (1)若图象经过原点，求二次函数的表达式； (2)求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 19．如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．求二次函数与一次函数的解析式． 20．中国元素遍布巴黎奥运会的每一个角落．某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自奥运会开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x（，且x为整数）天与该天销售量y（单位，件）之间满足的函数关系如下表所示．为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（单位：元）与第x（，且x为整数）天之间成一次函数关系且满足．已知该纪念品的成本价为20元/件． 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y/件 220 240 260 280 300 320 340 … (1)求y关于x的函数解析式； (2)求这20天中，第几天的销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店决定从第10天开始，每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天的销售量y之间仍然满足原来的函数关系，问第几天的销售利润取得最大值？ 21．如图，抛物线过点、、，顶点为M． (1)求该二次函数的解析式； (2)求顶点M的坐标； (3)x轴上是否存在一点P，使得的值最小？若点P存在，求出点P的坐标． 22．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B C D B A C 1．解：1月份产值是500万元，增长率是x，则2月份产值是万元，3月份产值是万元， ∴． 故选：B． 2．解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为， ∴函数图像有最低点，最小值为0，函数图像关于轴对称，在对称轴右侧，随的增大而增大，在对称轴左侧随的增大而减小， ∴时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， ∴四个选项中，只有A选项说法错误，符合题意， 故选：A． 3．解：∵与x轴交于点，两点， ∴方程的两个根为，， 故选：B． 4．C解：抛物线， 则当向左平移2个单位，得到， 当时，，抛物线经过，故此A不符合题意； 则当向右平移2个单位，得到， 当时，，抛物线经过，故此B不符合题意； 则当向下平移3个单位，得到， 当时，，抛物线不经过，故此C符合题意； 则当向上平移4个单位，得到， 当时，，抛物线经过，故此D不符合题意； 故选：C． 5．解：， ， 一次函数图象与轴的正半轴相交， ①当时， 则二次函数的图象开口向下，经过原点且对称轴为直线， ②当时， 则二次函数的图象开口向上，经过原点且对称轴为直线， 故正确； 故选：D． 6．解：如图，以中点O为原点建立平面直角坐标系， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴C坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴水面宽度为． 故选：B． 7．解：由题可得：设 ∵点在抛物线的第一象限的图象上， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴, ∵四边形为正方形， ∴, 过点作轴于点，过点作轴于点, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵点的横坐标为， ∴ ∴在中，, ∴, 点的横坐标为3, 故选：A． 8．解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，可有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为， ∴， 又∵当时，可有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴， 而本结论中没有说明，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越大，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤． 故选：C． 9．解： 是二次函数， ，， ，， 故答案为：． 10．解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为． 故答案为：直线；． 11．解：， 当时，取到最小值为：， 故答案为：． 12．解：根据二次函数解析式 当时，取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进的距离是 故答案为：． 13．解：抛物线中， 抛物线的图象开口向上， 抛物线与轴交于点，，如图， 当时，二次函数图象在x轴上方， 或， 故答案为：或． 14．解：设养殖园的面积为平方米，宽为米，则长为米， 根据题意，得 ， ∵， ∴开口向下， ∴当时，S最大，最大值为200． 即围成养殖园的最大面积平方米． 故答案为：200． 15．解：由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值， ∵图象交于点，点， ∴当时，， 故答案为：． 16．解：如图，连接，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（1）解：由， ∴顶点坐标为； （2）解：令，即， 解得：，， ∴函数图象与轴交点的坐标为，． 18．（1）解：抛物线经过原点 ． 把代入， 得：， 解得， 二次函数的表达式为． （2）证明：令，则． ． ． ． 方程有两个不相等的实数根． 无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 19．解：∵二次函数的图像过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 化成一般式为， 当时，得：， ∴， ∵点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称， ∴点、点的纵坐标相等， ∴当时，得：， 解得：或， ∴， ∵一次函数的图像经过点，， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 即：二次函数的解析式为，一次函数的解析式为． 20．（1）解：由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得y是x的一次函数， 设，把代入可得： ，解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：设总利润为w元，则 ； ∵， ∴当时，w取得最大值， 所以，第5天利润最大，最大利润为：（元）； （3）解：设第x天的销售利润为元， 当时，同（2）当时，取得最大值，最大利润为：元； 当时， ， ∴， ∵，所以抛物线开口向下，又， ∴， ∴当时，随x的增大而减小， 当时有最大值，最大值为， 而， 综上：第5天的销售利润取得最大值． 21．（1）解：依题意， 把、、代入 得 ,解得 ∴抛物线的解析式为； （2）（2）由（1）得， ∴顶点M的坐标为.； （3）解：存在．理由如下 如图，连接，与x轴交于点P，即的值最小． 设直线的解析式为 把和点代入 ． 解得． ∴直线的解析式为． 当时，由得， ∴点P的坐标为． 22．（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，设，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； 综上所述：或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$