第二章 二次函数 本章小结-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

本章小结 考点1 二次函数的概念 次函数y=ax-2ax+1(a>0)的图象上,则 ( 1.下列函数中,是二次函数的是 ,,的大小关系是 (用“<”连接). A.y-3x-2 B.y 7.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ar* C.y-x2+1 D.y-(x-1)-* +(2n-6)x+1经过点(1,2m-4). 考点2 二次函数的图象与性质 (求a的值; 2.在平面直角坐标系中,二次函数y三ar^{}士 (2)求抛物线的对称轴(用含n的式子表 4ax十4a一4的图象只经过三个象限,则a 示): 的取值范围为 ( ) (3)点(-n,y).(n,y).(n十2,y)在抛物 A.a<1 B.0<a<1 线上,若y<y<y,求n的取值范围. C.a>1 D.a>0 3.函数y=ax+1与y=ax②+ax+1(a去0)的 ( 图象可能是 ) 。 1),L:y=-x-x+1(1<x<2024).把 L.,L。合起来的图形记为L.在图象L上, 把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”,则 L上“整点”的个数是 . ) A.3036 B.3035 C.2027 D.2024 ### 考点3 用待定系数法求二次函数的表达式 8.若二次函数的图象如图所示,则它所对应的 函数表达式为 ) 第4题图 第5题图 A.-2.2-4x 5.二次函数y=(m-2)x-3x+n}+n-6的$ B.y--x(x-2) 图象如图所示,则的值是 C.--(x-1)*+2 第8题图 D.y--2+4x 下册第二章 9.已知抛物线=ar*十bx十c的开口大小与 B.y-- 开口方向均与抛物线y=-3-*+1相同,且 与x轴相交于点(一2,0).(1.0),则该抛物 线的表达式为 D.y--r*+x十1 10.若二次函数y=ax②}十4ax十c图象的顶点纵坐 13.在平面直角坐标系中,已知抛物线C:y 标为4,且图象过点(一3,0),则该二次函数的 2x-(m+1)x+n.将抛物线C.绕原点旋 表达式为 转180后得到抛物线C,在抛物线C上; 11.(2024驻马店平舆模拟)如右 当x 1时,v随x的增大而增大,则的 图,已知二次函数y一ax?- C 取值范围是 ) 4x十c的图象经过点A(一1. A.m>5 B.m<5 -1)和点B(3,-9). C.n-5 D.m<-5 (1)求该二次函数的表达式; 14.已知下列函数:①y-x”;②y=-x”;③y=(x (2)直接写出该抛物线的对称轴及顶点 1)*+2.其中图象通过平移可以得到函数y-x 坐标; 十2x-3的图象的有 (填序号). (3)点P(m,n)与点Q均在该函数图象上 考点5二次函数与一元二次方程的关系 (其中n0),且这两点关于抛物线的对称 15.根据关于x的二次函数y三x十px+,可 轴对称,求n的值及点Q到x轴的距离 列表如下: 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 -8.75-2 -15 -0.590.84 2.29 方程十bx十a一0的正数解满足( ) A.解的整数部分是0,十分位是5 B.解的整数部分是0,十分位是8 C.解的整数部分是1,十分位是1 D.解的整数部分是1,十分位是2 16.(2024达州)抛物线y=-r十bx十c与 轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于 1.另一个交点的横坐标小于1,则下列结论 正确的是 ( ) A.b+c>1 B.6-2 C.b+4c0 D.c<0 $7.若抛物线=ar^{}+x十c经过A(-1,4). 考点4 二次函数图象的几何变换 B(2,4)两点,则关于x的一元二次方程 a(x-3)-4-3-bx -c的解为 能得到的抛物线是 -→ ) 18.(2024南京秦淮区校级模拟)已知函数y= A.y 2十1 mr^②}-(m-2)x-2(m为常数) 数学 九年级BS版 (1)求证:不论n为何值,该函数的图象与 (3)在该运动员入水点的正前方有M,N两 x轴总有公共点; 点,且EM- 27 (2)求该函数的图象经过的定点坐标 运动路线对应的抛物线的表达式为y a(x-h)}十,且顶点C距水面4m.若该运 动员出水点D在MN之间(包括M.N两 点),求a的取值范围. MD水面 考点6 二次函数的实际应用 19.如下图,某跳水运动员进行10m跳台跳水 一10),运动员(将运动员看成一点)在空中 运动的路线是经过原点O的抛物线,在跳 某个规定动作时,运动员在空中最高处点 距水面高度5m以前,必须完成规定的翻 腾,打开动作,并调整好入水姿势,否则就 会失误,运动员入水后,运动路线为另一条 抛物线. (1)求该运动员在空中运动时对应抛物线 的表达式并求出入水处点B的坐标; (2)若该运动员在空中调整好入水姿势时, 恰好距点E的水平距离为5m,该运动员此 次跳水会不会失误?通过计算说明理由; 下册第二章当x=1时y=3, -4 6.解：(1)抛物线的顶点式为y=(x一2)-10 当x=5时，y=一5. .3 1=3 (2)表格如下： 由图象可知，一5<1≤4 x…-20246… 时，抛物线y=一x2十4x 与直线y=t在1<x<5 -101235 y…6-6-10-6 的范围内有交点. 函数图象如图所示 故若关于x的一元二次 方程一x2十m,x一t=0(t =-5 为实数)在1<x<5的范围内有解，则1的取值范围 是一5<t≤4. 13.解：(1)证明：令y=0,则x2+(m一3)x十1一2m=0. ,△=(m-3)'-4(1-2m)=m2+2m十5=(m+1) +4>0, ∴.关于x的方程x+(m一3)x+1一2m=0有两个 不相等的实数根， 不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公 共点. (3)-10≤y<6 (2),y=x2十(m一3)x+1-2m=(x-2)m十x2 (4).=-1.2,=5.2 3.x十1，且不论m为何值，该函数的图象都会经过一 本章小结 个定点， 1.C2.C3.C ∴.x一2=0，解得x=2. 4.A 当x=2时，y=一1， 【解析1：y=-父+2x-之=-(x-)广-6 .定点的坐标为(2，一1) (-2024≤x<1),y=-元-x+1=-(x+2）'+ 14.解：(1)0 (2)函数图象的另一部分如图所示. 号1<r<2020 当x=1时y=-x+号x- +1=-1, .在L,上，x为奇数的点是“整点”，则L,上有1013 个“整点”：在L上x为整数的点是“整点”，则L:上 -2 有2024个“整点” (3)①33②4③-1<a<0 故L上“整点”的个数是1013+2024-1=3036. 第2课时利用二次函数图象求一元二次 5.一3【解析】，抛物线过点(0,0)，.m十m一6=0且 方程的近似根 m-2≠0，.m=一3. 1.D2.0x13.x=1.2 6.y,<y<为【解析】抛物线y=ax2-2a.r+1(a>0) 4.C【解析】，当x=3.24时，a.x+br+c=一0,02< 的对际轴是直线=一。=1，印二次两数图象的开 0:当x=3.25时，ax+bx+c=0.03>0, ∴抛物线y=a.z十r十c与x轴有两个交点， 口向上，对称轴是直线x一1，∴.在对称轴的左侧y随 .方程ax十bx十c=0的根的个数是2. x的增大面诚小.：点B(4,”)关于对称轴的对称点 5.①【解析】：当x=0和x=3时，y=1,当x=1时，y 为(-2-2<-是<-11y<< =3, 7.解：(1)由题意，得a+(2m-6)十1=2m-4, .抛物线开口向下，故①错误： 解得a=1. 当x=0时，y=1, (2)a=1, .抛物线与y轴交于正半轴，故②错误： .y=x+(2m-6).x+1 当x=0和x=3时，y=1, 六抛物线对称轴为直线x一0,3-3 六抛物线的对称输是直线=一-3一m 22 (3)当m>0时.可知点（一m,y),(m,),(m十2，y) .当x=4和x=一1时，y的值相同，即x=4时，y= 从左至右分布 一30，故③错误： :当x=一1时，y=一3，当x=0时，y=1 ”为<为≤· ∴.方程ax+bx+c=0的一个根在一1与0之间，且 3-m<m十m+2 2 为负根， .由抛物线的对称性可知，另一个根在3与4之间，且 3-m≥二m十m十2 2 为正根，故④正确， 解得1<m≤2； 下册参考答案 15 当m<0时，∴.m<一m<3-m, y=a(x-3)2+b(x-3)+c,当y=4时，a(x-3)F+ ·为>”，不符合题意： b(x-3)+c=4,即a(x-3)2-4=3b-bx-c,则点 当m=0时，m=一m,则y=y,不符合题意. A,B也向右平移了3个单位长度，∴.方程a(x-3) 综上，m的取值范围是1<m≤2 一4=3b一bx-c的解为x,=2,x4=5. 8.D9.y=-3.x-3x+6 18.解：(1)证明：①当m=0时，函数表达式为y=2x一 10.y=一4(x+2)2+4【解析】，该二次函数图象的对 2,此一次函数与x轴有交点： 称轴为直线=名-2顶点坐标为（一2,4 ②当m≠0时，函数表达式为y=m.x一(m-2)x一2. 令y=0,则有m.x-(m一2)x-2=0, ∴.该二次函数的表达式为y=a(x十2)+4.把(-3， △=(m-2)2-4m·(-2)=m2-4m+4+8m=m+ 0)代入，得a(一3十2)2十4=0，解得a=一4，∴.该二 4十4=(m十2)≥0，.不论m为何值，方程mx2 次函数的表达式为y=一4(x+2)?+4. (m-2)x一2=0总有解， 11.解：(1)将A(-1.一1)和B(3,-9)代人y=ax2-4x 即不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点： 十c, (2)y=mx2-(m-2)x一2=mx2一mx十2x-2 +解得|2- m(x2一x)+2x-2 1c=-6, 当x=1时，y=0, .二次函数的表达式为y=x一4x一6. 当x=0时，y=-2. (2)由y=x2-4.x-6=(x一2)-10可知， .不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是 该抛物线的对称轴为直线x一2，顶点坐标为(2， (1,0),(0,-2). -10). (3)将P(m,m)代人y=x2一4x-6,得n=m-4n 19.解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x一1)+5。 一6，解得m:=一1，m:=6. m>0,.m=6, 把(0,0)代入表达式，得4=-是 P点坐标为(6,6) :点P与点Q关于对称轴直线x=2对称， 抛物线的表达式为y=一号(x-D+号 .点Q到x轴的距离为6. 12.D 令y=-10.则-10=--10+号， 13.D【解析】原抛物线C开口向上，对称轴为直线x 解得x1=-2(舍去)，x=4. =m+1 故点B的坐标为(4，一10). (2)该运动员此次跳水失误了，理由如下： 绕原点旋转180°后得到抛物线C。的开口向下，对称 轴为直线x=一m十] 当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为5一号 41 :在抛物线C上，当x<1时，y随x的增大而增大， 子将名代人表达式，得y一号×（侵一）'十 4-1m-5 5=-105 16 14.①③15.C 16.A【解析】设抛物线y=一x+bx+c与x轴交于两 -10-（-10)-< 点，横坐标分别为x,,且x<, ∴该运动员此次跳水失误了 依题意可知，<1，x>1. :a=一1<0，.抛物线开口向下， (③)：EM=号，EN=号，点E的坐标为-号，-10， ∴.当x=1时，y>0,即-1十b十c>0 .点M,N的坐标分别为(9，-10)，(12，一10). ,∴.b十c>1,故A选项正确，符合题意： :该运动员人水后运动路线对应的抛物线表达式为 当=2时，抛物线的对称轴为直线x=一之=一 y=a(r-h)+k, 2a -2 当抛物线过点M时，顶点C的横坐标为4十9 2 =-1 而由x1<1,x>1不能得出对称轴为直线x=1, 号纵坐标为一10-4=一14. 故B选项不正确，不符合题意： 则y=a(-》 -14 ,抛物线与坐标轴有2个交点， ,.方程一x2十x十c=0有两个不等实数解，即△= 把M9,-10)代入，得-10=-a(9-受)-14，解得 -4ac>0.又，'a=-1, ∴.+4c>0,故C选项错误，不符合题意： 无法判惭c的符号，故D选项错误，不符合题意。 17.x=2,x=5【解析】：抛物线y=az2+hx十c经过 同理，当抛物线经过点N(12,-10)时，a= A(一1,4)，B(2,4)两点，∴.当ax2十bx十c=4时，x= 16 一1或2.将上述抛物线向右平移3个单位长度得到 故a的取值范围为<a<号 16 数学九年级Bs版