本册专题训练五 二次函数的实际应用-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

3上， ∴.BC=60-3.x=30m. ,∴.n=-m-3m+3, 设BF=tm,则CF=(30-t)m, .m十n=-m-2m+3=-(m+1)2+4, .矩形ABFE的面积为10tm,矩形EFCD的面积为 ∴.当m=一1时，m十取得最大值4. 10(30-t)m2, 11.2或一5【解析】由题意，得该抛物线的对称轴为直 .W=30×101=300t,W。=-100(30-t)2+320× 线x=m. 10(30-t). 一1<0，∴.抛物线开口向下， 根据题意，得300t-100(30-t)2+320×10(30-t)= ∴.当x<m时，y随x的增大而增大；当x>m时，y 28800, 随x的增大而减小. 解得4=19,4=12， 当m≥1时，y的最大值在x=1处取得，即一(1 ∴.CF=11m或18m m)+m+1=4,解得m=2: 2.解：(1)如图所示. 当-2<m<1时，y的最大值在x=m处取得，即m y/kg 十1=4，解得m1=一√5，m2=3(不合题意，舍去)： 当m≤一2时，y的最大值在x=一2处取得，即 30 2 -（一2一m)+m+1=4,解得m=一子（不合题意， 7 2 15 1 舍去) 5 综上所述，实数m的值为2或一√. 051015202530354045x/元 12.C 设y=kx十b. 13.解：(1)把(-2,2)，(4,5)代入y=a.r+c, 把(20,30)和(25,25)的坐标分别代入y=kx+b, 1 得a+c-2:解得a- 20k+怎30解得-1 得25k+6=25, 1b=50. 16a+e=5, c-1, .y=-x+50. “抛物线的表达式为y=子+1 (2)①由题意，得=(x-18)(-x+50)=一x2+68.x -900=-(x-34)2+256. (2)BF=BC.证明如下： 一1<0，当x=34时，地有最大值， 设B(+1) .获得最大利润时，销售单价为34元 ②当w=240时，-(x-34)2+256=240, F(0,2) 解得x1=38,x.=30. BF-r+(+1-2)'=r+(号r-刂 :超市本着尽量让顾客享受实惠的销售原则， ∴.=240时的销售单价为30元. (r+1)BF=子r+1 3.解：1)由题意，得y=700-15×200=-20x+ 10 BCLx轴BC-r1BF-BC 1000. (3)①当m>0,即点P在点F上方时， :销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， 以B,C,F,P为顶点的四边形是菱形 ,.10≤x30. .BC=CF=PE. (2)由题意，得(r-10)(-20.x+1000)=7500, 由(2)可知，BC=BF,.BC=CF=BF, 解得x1=25,x2=35, .△BCF为等边三角形， 10≤x≤30，.x=25. ∴.∠BCF=60°，∴∠OCF=30°， 故该商品的销售单价为25元。 .在R1△OCF中，CF=2OF=4,∴.PF=CF=4, (3)设销售该商品每天的总利润为心元，则 .OP=PF+OF=6,.P(0,6),∴m=6: =(x-10-m)(-20x十1000)=-20(x-50)(x ②当m=O,即点P与原点重合时，四边形FBCP是 10一m), 边长为2的正方形，此时点B(2,2)在抛物线上，满足 一该函数图象的对称轴为直线x=50+10+m一m 2 2 题意. +30. 综上所述，自然数m的值为6或0. m>0,10≤x≤30，x在对称轴左侧. 专题训练五二次函数的实际应用 :抛物线开口向下， 1.解：(1)y=-3.x2+60x10≤x<20 .随x的增大而增大， (2)'y=-3x2+60x=-3(x-10)2+300, ∴.当x=30时，*=6000， .抛物线对称轴为直线x=10, 即-20(30-50)(30一10-m)=6000, a=-3<0, 解得m=5. ,当x=10时，y取最大值，最大值是300. 4.解：(1)E(-3,12),b=1,c=18. 故矩形花圃ABCD的最大面积是300m. (2)当手心R距DH所在直线的水平距离为3cm时， (3)由(2)，得当x=10时，y取最大值，最大值是300， 手心R的横坐标为8. 下册参考各案 由(1)可得该抛物线的表达式为y=一号+x十18。 .直线OA的表达式为y=x 如图，设直线OA与抛物线对称轴交于点H,则点H 把x=8代入抛物线的表达式，得y= ×64+8+ 1 的坐标为(2,2)， .BH=m-2. 18-=号 Sau=15∴2×m-2×5=15. 放手心R距水平台面GH的高度为号m m一8（负值已含去）， (3)如图，过点B作BM⊥GH于点 .点B的坐标为(2,8). M,连接BN, (3)由PA-PB≤AB可知，当点P 在线段AB的延长线上时，如图，PA 当y=0时，即0=一 3x+r+18, 一PB取得最大值，最大值为AB 解得x1=9,x=一6（不合题意，合 的长. 去)， 设直线AB的表达式为y=n.x+d. ∴点N的坐标为(9,0). 把A(5,5),B(2,8)分别代入y=.x 在R1△BMN中，BM=18cm,MN=9-3=6(cm), +d,得5n+d=5, m∠BNH兴=8 12n+d=8, 专题训练六二次函数与几何的综合问题 原邦日二 .直线AB的表达式为y=一x+10, 1.解：(1)将B(0,-4),C(2,0)代人y=ax2+x+m, 令x2-4.x=-x+10, 得a十2- m=-4, 解得=一2，=5（不合题意，含去）. 解得 1 a=2' 对于y=一x+10, 当x=-2时，y=12, 心抛物线的函数表达式为y一乞r十【一4 点P的坐标为(-2,12)， (2):当号+一4=0时函=24=-4 此时，PA-PB=AB=√(5-2)+(5-8)=32. 3.解：(1)将A(2,a)代人y=x,得a=4, .点A的坐标为（一4,0）. ·点A的坐标为(2,4). 设直线AB的函数表达式为y1=kx十b(k≠0). 将A(2,4)代入y=k,得4=2k,解得k=2, 将A(一4,0)，B(0,一4)代人M=kx+(k≠0)， ∴.直线1的表达式为y=2x 用达0 k=-1, (2)存在，分三种情况讨论： 16=-4, ①如图①，当AP=AO时，过点A作AB⊥x轴于 ∴.直线AB的函数表达式为y1= -x-4. 点B, 如图，过点D作DE⊥r轴，交AB于 .PB=OB. 点E 点A的坐标为(2,4)， 设点D的坐标为(m,2m+m一4) ,点B的坐标为(2,0)， .点P的坐标为(4,0)： 则点E的坐标为(m,一m一4). ②如图②，当OA一OP时，符合题意的点P有两个，分 由图可知，5m-号0A,DE-号 别为点P和点P :点A的坐标为(2,4) ×4(-m-4-2i-m+4）--(m+2)+4 ∴.0A=2+4平=25 当m=一2时，Sm取最大值， ∴OP=OP=25,∴点P和点P'的坐标分别为 ∴.当点D的坐标为（一2，一4）时，△ABD的面积 (2/5,0)和(-25,0)： 最大， 2.解：(1)：抛物线过点O(0,0),且它的对称轴为直 线x=2, ∴.抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0). 设抛物线的表达式为y=a.x(x一4) 把A(5,5)代入，得5a=5, 解得a=1,则y=x(x-4)=x2-4x 故此抛物线的表达式为y=x一4.x (2):B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象 限，可设点B的坐标为(2，m)(m>0). 设直线OA的表达式为y=k.x, 把A(5,5)代人y=kx,得5k=5,解得k=1, 图3 32 数学九年级BS版专题训练五 二次函数的实际应用 (限时：45分钟) 类型《1最大面积问题 类型《2最大利润问题 1.(2024连云港东海模拟)如下图，用长为60m 2.某超市销售一种进价为18元/kg的商品，经 的护栏围成一块靠墙且中间用护栏EF隔 市场调查后发现，每天的销售量y(单位： 开的矩形花圃ABCD,其中EF∥AB,且墙 kg)与销售单价x(单位：元)有如下表所示 长为30m. 的关系： (1)设AB=xm,矩形花圃ABCD的面积为 /元 20 22.5 25 37.5 40 ym,则y关于x的函数表达式为 y/kg … 30 27.5 25 12.5 10 ,x的取值范围为 (1)根据表中的数据在下图中描点、连线，并 用所学知识求出y关于x的函数表达式： (2)求矩形花圃ABCD的最大面积： (2)设该超市每天销售这种商品的利润为吧 (3)在(2)的情况下，若将矩形ABFE和矩形 (不计其他成本，单位：元) EFCD分别种植甲、乙两种鲜切花.甲种鲜 ①求出关于x的函数表达式，并求出获得 切花的年收入W,(单位：元)与种植面积S1 最大利润时，销售单价为多少； (单位：m)的函数关系式为W,=30S1:乙种 ②超市本着尽量让顾客享受实惠的销售原 鲜切花的年收入W:(单位：元)与种植面积 则，求=240时的销售单价。 S(单位：m)的函数关系式为W,=一S十 y/kg 320S2.若两种鲜切花的年收入之和达到 40 28800元，求CF的长 2 30m 15 5 0510152025303540457元 下册专题训练 73 3.数学核心素养·应用意识（2024南充模 类型3实物抛物线模型 拟)电商小李在某平台上对一款成本单价为 4.现有一种洗手液瓶子如图①所示.已知瓶子 10元的商品进行直播销售，规定销售单价不 上面有两段圆弧CE和DF,它们的圆心分 低于成本价，且不高于成本价的3倍.通过 别为点D和点C,下面是矩形CGHD,且CG 前几天的销售发现，当销售定价为15元时， =6cm,GH=10cm,点E到台面GH的距 每天可售出700件，销售单价每上涨10元， 离为12cm,如图②所示.以GH所在的直线 每天销售量就减少200件.设此商品销售单 为x轴，线段GH的垂直平分线为y轴，建 价为x(单位：元)，每天的销售量为y(单位： 立平面直角坐标系.当手按住顶部A下压 件). 时，洗手液从喷口B流出，其路线呈抛物线 形，此时喷口B距台面GH的距离为18cm, (1)求y与x之间的函数关系式，并写出x 且到OA的距离为3cm,该抛物线的表达式 的取值范围； (2)若销售该商品每天的利润为7500元，求 为y=一 3x+b十c,且恰好经过点E. 该商品的销售单价； (3)小李热心公益事业，决定每销售1件该商 品就捐款m元(m>0).当每天销售最大利润 E (不包括捐款)为6000元时，求m的值 G O H 图① 图② 1)直接写出点E的坐标和b,c的值； (2)接洗手液时，当手心R距DH所在直线 的水平距离为3cm时，手心R距水平台面 GH的高度为多少？ (3)若该洗手液流出的路线与GH所在直线 的交点为N,求出∠BNH的正切值. 74 数学九年级BS版