复习专题06 复数（20题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

复习专题06 复数 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：复数的基本概念 】 1．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据相等条件求参数、复数的基本概念 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 3．（24-25高二上·上海·期中）已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的基本概念、判断命题的必要不充分条件 【分析】由复数为纯虚数，求出，判断即可. 【详解】复数为纯虚数，则， 解得，或， 所以若为纯虚数不一定得到，但是由一定能得到为纯虚数， 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件， 故选：B 2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的基本概念 【分析】根据复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故选：D. 【题型二：求复数的实部和虚部 】 1．（2023·福建福州·模拟预测）欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】由欧拉公式化简复数z，再由复数的定义即可得出答案. 【详解】因为， 因为，所以z的虚部为. 故选：D. 2．（24-25高一下·天津·期中）已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（    ） A． B． C．-3 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的概念列出等式求出，即可求解. 【详解】由题意：，解得：， 所以，虚部为， 故选：C 3．（24-25高一下·江苏盐城·期中）复数.则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据题意可得，即可得虚部. 【详解】因为复数， 所以复数的虚部是. 故选：D. 4.（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、求复数的实部与虚部 【分析】由复数的实部和虚部的概念可得，结合交集的计算可得结果. 【详解】由题意，，，则. 故选：C. 5.（2025·河北保定·一模）的虚部为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的周期性规律，将复数化为的形式，则复数的虚部可求. 【详解】因为，所以， 其虚部为. 故选：A. 6．（24-25高一下·宁夏吴忠·期中）下列命题为真命题的是（ ） A．复数的虚部为; B．若为虚数单位，则; C．在复数集中，方程有两个解，依次为; D．已知是虚数单位，若，则实数; 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、虚数单位i及其性质、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数虚部的定义可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；根据复数方程的根可判断C；根据复数的乘法和复数相等的条件求出的值可判断D. 【详解】对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，若为虚数单位，则，故B正确； 对于C，， 所以在复数集中，方程有两个解，依次为， 故C正确； 对于D，已知是虚数单位，若，则， 有，解得，故D正确. 故选：BCD. 7.（24-25高一下·河南·阶段练习）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的实部与虚部 【分析】应用复数定义分别判断实部及虚部判断A，B，再根据复数类型计算求参判断C，D. 【详解】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 8．（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的分类及辨析 【分析】根据复数的分类条件，逐项判断即可. 【详解】对于A，当，时，复数为纯虚数，故A错误； 对于B，当，时，，为虚数，故B错误； 对于C，当时，为实数，故C错误； 对于D，当时，，为纯虚数，故D正确. 故选：ABC. 9．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【答案】(1)或; (2)且； (3). 【难度】0.85 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据复数的概念分别列等式求解即可. 【详解】（1）当复数是实数时，，解得或； （2）当复数是虚数时，，解得且； （3）当复数是纯虚数时，则，解得. 10.（2024高三上·全国·专题练习）设是虚数， (1)求证为实数的充要条件为； (2)若，推测为实数的充要条件； (3)由上结论，求满足条件，及实部与虚部均为整数的复数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或． 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、探求命题为真的充要条件、求复数的实部与虚部 【分析】（1）（必要性）设，带入中，化简为标准形式，再由实数的定义即可得到；（充分性）由，得出，带入中即可得到为实数. （2）设带入中，再由实数的定义可知虚部为零，得到，即可知为实数的充要条件是. （3）由题设知，为虚数，由（2）知，设，带入中，可得由题意即可求得的取值范围，进而求得实部与虚部均为整数的复数. 【详解】（1）（必要性）设，知 为实数，则，即易得． （充分性）反之，若， ∴为实数． （2）设为实数． 易得，即． 反之，由得为实数． ∴为实数的充要条件是． （3）由题设知，为虚数，否则不等式不成立，且为实数． 由（2）知，， 设，则由 知．取或2或3，及，易得相应的． ∴或． 11．（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【答案】(1)实部为2，虚部为3，是虚数 (2)实部为，虚部为，是虚数 (3)实部为，虚部为1，是虚数 (4)实部为，虚部为0，是实数 (5)实部为0，虚部为，是纯虚数 (6)实部为0，虚部为0，是实数 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的分类及辨析 【分析】根据复数得出实部及虚部，进而根据复数类型定义判断复数是实数还是虚数或纯虚数即可. 【详解】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数； 【题型三：根据相等条件求参数 】 1．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数的基本概念、求复数的模、根据相等条件求参数 【分析】利用复数的基本概念依次判断即可. 【详解】对于选项A，设，R , 由可知，，即， 但是不能说明一定不等于零，所以不能说明是纯虚数； 对于选项B，设，R , 由可知，即，，所以可知是纯虚数； 对于选项C，复数实部为，虚部不等于，所以可知是纯虚数； 对于选项D，设，R , 由可知，，则， 又因为，所以，同理且，可知，，所以可知是纯虚数； 故选：A. 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、根据相等条件求参数 【分析】由复数相等可列出方程组求解. 【详解】由题意， 所以，解得，所以. 故选：D. 3.（2024·全国·模拟预测）已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】先根据复数相等求解出，然后再判断出能满足条件的方程即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因此所选方程的两根为，仅有符合要求， 故选：A. 4．（23-24高一下·新疆·期中）已知，则 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、根据相等条件求参数 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可． 【详解】由，得，解得． 故答案为：1． 5．（22-23高一下·西藏拉萨·期末）已知，i为虚数单位，且，则 . 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】 利用复数相等列方程组求解. 【详解】因为，则， 故答案为：0. 6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数（且），是实数，且，求z的实部的取值范围. 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】利用已知复数的类型建立方程，结合给定条件求解参数范围即可. 【详解】因为为实数，所以， 所以，，所以， 因为，所以. 因为，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，可解得. 即z的实部的取值范围为. 7．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、根据相等条件求参数 【分析】根据复数相等列出方程组，解出，的值． 【详解】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． 8．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】根据相等条件求参数、复数的相等 【分析】由复数相等的条件列方程组求解． 【详解】解：由， 得， 解得：或． 9．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、根据相等条件求参数 【分析】由复数相等的条件列方程组求解． 【详解】解：由， 得，解得． ，． 【题型四：复数的相等 】 1．（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等求解即可. 【详解】 又，根据复数的相等， 故则 故选：B. 2．（22-23高三下·上海杨浦·阶段练习）已知复数和复数．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的相等 【分析】两个复数相等的条件是实部相等和虚部相等，以及充分必要条件的成立条件即可判断. 【详解】充分性：当时，若，则，所以充分性不成立； 必要性：当时，则且，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 3．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知复数，.若，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】由复数相等列出方程，得到的表达式，结合换元法，由二次函数的值域，即可得到结果. 【详解】由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中， 当时，取得最小值，， 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 故答案为： 4.（24-25高二上·广东广州·阶段练习），，并且，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由复数相等的条件表示出，再结合二次函数和正弦函数的性质求出范围即可； 【详解】由题意可得，， 所以， 因为， 所以当时，最大值为3；当时，最小值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）设实数，，满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、复数的相等 【分析】结合给定条件将用三角函数表示，再利用三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为， 所以， ， 又， 所以． 故答案为： 【题型五： 已知复数的类型求参数 】 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）设，则“”是“复数为实数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知复数的类型求参数 【分析】由复数为实数求得的值，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】若复数为实数，则，即． 又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件． 故选：C． 2．（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（   ） A．复数的任何偶数次幂都不小于零 B．若实数，则是纯虚数 C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数 D．若复数满足，则均为实数 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的基本概念、已知复数的类型求参数、复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解. 【详解】对于A中，由虚数单位，可得A错误； 对于B中，若，那么，所以B错误； 对于C中，虚轴上的点对应复数，所以C错误； 对于D中，若复数满足，虚数不能比较大小，则均为实数，D正确. 故选：D. 3．（24-25高一下·江西·期中）已知复数是纯虚数，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的定义求参数值即可. 【详解】由题意知，解得. 故答案为：2 4．（24-25高一下·广东惠州·期中）使不等式（为虚数单位）成立的实数 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据不等式可知，解方程并验证即可. 【详解】由，易知， 解得或， 又时，成立； 时，，与矛盾； 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·期中）已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为 . 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的定义计算可得. 【详解】由题意可得，解得所以. 故答案为：3. 6．（2025·山西临汾·三模）已知，复数为纯虚数，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的概念列出等式求解即可. 【详解】由题意可得， 解得：， 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 【答案】(1)或 (2)且 (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的类型列式求参. 【详解】（1）当，即或时，复数z是实数. （2）当，解得且时，复数z是虚数. （3）当且，即时，复数z是纯虚数 （4）当且，即时，复数z是0. 8．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，. (1)若为实数，求； (2)若为虚数，求的取值范围； (3)若为纯虚数，求. 【答案】(1)或5 (2)且 (3) 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）由复数是实数，得到，即可求解； （2）由复数是虚数，得到，即可求解； （3）由复数是纯虚数，列出方程组，再用模长公式即可求解 【详解】（1）由题意得 得或5 （2）由题意得 得且 （3）由题意得 得故，所以,所以． 9．（23-24高一下·天津滨海新·期中）取何实数时，复数． (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）对于复数（），当时，为实数，构造方程计算； （2）对于复数（），当时，为虚数，构造方程计算； （3）对于复数（），当且时，为纯虚数，构造方程计算. 【详解】（1）当复数为实数时，其虚部等于零，即. 可得或，即或. 所以，当或时，复数为实数. （2）当复数为虚数时，其虚部不等于零，即，得且，即且. 所以，当且时，复数为虚数. （3）当复数为纯虚数时，其实部等于零且虚部不等于零，即. 解方程，可得或，即或. 结合，即，可得且. 综合以上两个条件，舍去，所以. 所以，当时，复数为纯虚数. 10．（24-25高一下·广东广州·期中）实数分别取什么数值时，复数是： (1)纯虚数； (2)与复数互为共轭. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算 【分析】根据纯虚数和共轭复数概念分别列出关于的方程或方程组，然后求解的值. 【详解】（1）根据纯虚数的定义，可列出方程组. 解方程，得或. 解不等式，得且. 综合方程和不等式的解，可得. （2）根据共轭复数的定义，可列出方程组. 解方程，得或. 解方程，得. 综合两个方程的解，可得. 【题型六：判断复数对应的点所在的象限 】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、实轴、虚轴上点对应的复数 【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 2.（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A． B．的虚部为 C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．的最大值为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、求复数的模、求复数的实部与虚部 【分析】由欧拉公式及复数的相关概念逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B， 由，其虚部为，B错误； 对于C，，则复数在复平面内对应的点位于第一象限，C错误； 对于D， ，当时取等号，D正确， 故选：D. 3．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算、求复数的模 【分析】先求等式右边复数的模长，然后由复数的除法求出，根据共轭复数得到，然后由复数的几何意义进行判断. 【详解】根据复数的模长公式，， 则，故，故， 根据复数的几何意义，在复平面上对应点是，在第四象限. 故选：D 4．（23-24高一下·福建福州·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、判断复数对应的点所在的象限 【分析】由欧拉公式及复数的相关概念计算逐项计算判断即可. 【详解】对于A：，则复数为纯虚数，故A错误； 对于B：，因为，所以，， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误； 对于C：，， ，， 因此的面积为， 因为， 所以面积的最大值为，故C错误； 对于D： ， 所以 ，故D正确. 故选：D 【题型七：根据复数的坐标写出对应的复数 】 1．（24-25高一下·湖南永州·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】根据复数的几何意义及对称性求解即可. 【详解】由题意知对应的点为， 对应的点为，． 故选：C. 2．（24-25高一下·湖南湘西·期中）若复数所对应的点在第四象限，则所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】根据复数所在象限有，即可判断所在的象限. 【详解】由已知复数在第四象限，则，所以在第一象限． 故选：A 3．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（    ） A．的实部与虚部相等 B． C．向量对应的复数为 D．若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、在各象限内点对应复数的特征、求复数的模、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数对应点计算判定C，D，根据复数运算及模长计算可判断选项A，B. 【详解】复数，对应的向量分别为， 则对应的，实部与虚部互为相反数，A选项错误； ，所以，B选项正确； 向量对应的复数为，C选项正确； 若， 在复平面内对应的点位于第三象限，则，则的取值范围为，D选项错误； 故选：BC 【题型八： 复数范围内方程的根 】 1.（24-25高三下·浙江·阶段练习）已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面上对应的点将单位圆n等分.下列复数是方程的根的是（   ） A．1 B．i C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】三角函数定义的其他应用、复数的坐标表示、复数范围内方程的根 【分析】根据题意可知在复数范围内的根为，结合选项逐项验证可得答案. 【详解】由题意得，方程在复数范围内有个根，根据三角函数定义得这个根在复平面上对应的点坐标为， ∴在复数范围内的根为. A.当时，，故是方程的根，A正确. B.，由得，不是整数，B错误. C.，由得，符合要求，C正确. D.当时，，故是方程的根，D正确. 故选：ACD. 【题型九：共轭复数的概念和计算 】 1．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）设复数在复平面内对应的点为，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则或 B．若点的坐标为，则的共轭复数对应的点在第三象限 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算、与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模 【分析】利用复数的模长的定义判断A，利用复数的几何意义判断B、D，利用实系数一元二次方程解的情况判断C. 【详解】对于A，设，故A错误； 对于B，若点的坐标为，则，所以，对应的点为，在第三象限，故B正确； 对于C，若是关于的方程的一个根， 则也为该方程的一个根，由韦达定理得， 所以，，故C正确； 对于D，设，，所以， 则点的集合所构成的图形为以原点为圆心，1和为半径的两个圆构成的圆环， 所以其面积为，故D正确； 故选： BCD. 2．（24-25高一下·广西来宾·阶段练习）复数，则下列结论正确的是（   ） A．若z是纯虚数，则 B．若z是实数，则 C．若，则z在复平面内所对应的点位于第四象限 D．若，则或 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】对于AB：根据复数的定义运算求解；对于C：根据复数的几何意义分析判断；对于D：分析可知z是实数，结合选项B分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：若z是纯虚数，则，解得，故A正确； 对于选项B：若z是实数，则，解得或，故B错误； 对于选项C：若，则， 所以复数z在复平面内所对应的点为，位于第四象限，故C正确； 对于选项D：若，可知z是实数， 由选项B可知或，故D正确； 故选：ACD. 3．（2024·湖北荆州·三模）棣莫弗定理：若为正整数，则，其中为虚数单位，已知复数， 则 ，的实部为 ． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、求复数的实部与虚部、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】化解复数，由棣莫弗定理可得， ，根据复数模及共轭复数定义即可求解. 【详解】因为复数， 所以由棣莫弗定理可得， ， 所以. 所以， 所以的实部为. 故答案为：①985；②. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、共轭复数的概念及计算 【分析】先计算共轭复数，再根据复数相等求解即可. 【详解】由题意，, 因为， 所以， 解得. 5．（江苏省南通市高品质高中2025届高三下学期5月高考科研卷数学试题）已知是虚数；且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】ABC选项，设，根据得到或，进而依次检验，判断ABC；D选项，先根据得，再代入计算即可. 【详解】对A，设，则， ， 因为，所以，解得或或， 当时，不是虚数，舍去， 当时，，， 当时，，， 综上， ，故A 正确； 对B，由A知，，故B正确； 对C，当时, 则， ， 同理当时，可验证，故C错误； 对D，， 当时，， 故， 当时，， 故，故D正确. 故选：ABD. 6．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知都是复数，下列选项中正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则是实数 D．若，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的相关定义，以及复数的运算公式，即可求解. 【详解】若，则或，故A正确； 若， ，满足，但，故B错误； 若，则是实数，故C正确； 若，则，得或，所以，故D正确. 故选：ACD. 7．（24-25高一下·甘肃定西·期中）设复数（，为虚数单位），，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数代数形式的乘法运算、复数的模及复数相等的条件，求出、，即可得解. 【详解】因为，则， 所以，所以或，又， 所以，则，所以，，故A、C正确，B错误； ，故D正确. 故选：ACD 8．（24-25高一下·甘肃定西·期中）设 ， 是复数，则下列命题中的真命题是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算、判断命题的真假 【分析】对于A，利用共轭复数的定义即可判断；对于B，利用共轭复数的定义即可判断；对于C，利用复数共轭复数相乘的性质即可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A，若，则 ，，所以 为真； 对于B，若，则 和 互为共轭复数，所以 为真； 对于C，设 ，， 若 ，则 ，即 ， 所以 ，所以 为真； 对于D，若，，则， 而 ，，所以 为假． 故选：ABC 【题型十： 复数的坐标表示 】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知复数z满足，则的最小值为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示 【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z， 由复数的几何意义可知，将问题转化为x轴上的动点Z到定点距离的最小值，即可接替. 【详解】设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足， 由复数的几何意义可知，点Z到点和的距离相等， 所以在复平面内，点Z的轨迹为x轴， 又表示点Z到点的距离， 所以的最小值为x轴上的动点Z到定点距离的最小值， 所以的最小值为2． 故答案为： 2 2．（24-25高一下·广东广州·期中）设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、复数的向量表示 【分析】根据复数与向量的对应关系以及向量的运算法则来求解向量对应的复数. 【详解】已知向量，对应的复数分别为，. 根据向量运算法则，那么向量对应的复数为向量对应的复数减去向量对应的复数.即，化简得：. 故答案为：. 3．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知复数 满足 ， 则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的向量表示、求复数的模、复数的坐标表示 【分析】可以采用向量方法求解，原问题等价于：已知，，求. 【详解】原题等价于，，求. ，， ， . 故答案为：. 【题型十一： 求复数的模 】 1.（2025·河北邯郸·模拟预测）已知复数z满足，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】利用求根公式和复数模的公式求解可得. 【详解】由求根公式可得，所以. 故选：B 2．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求复数的模 【分析】首先根据复平面内关于实轴对称的点的坐标特征求出复数，然后再根据复数模的计算公式求出. 【详解】，其在复平面内对应的点为. 因为复数与复数对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以对应的点为，那么复数. 由，其中，，将其代入模的计算公式可得： . 故选：B. 3．（2025·重庆·模拟预测）对于复数，如果复数同时满足以下两个条件：①，且，使得，②，则称为的反演.已知复数的实部等于1，为的反演，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求复数的实部与虚部、求复数的模 【分析】设，则，利用判别式法可求的最小值. 【详解】设，则， 所以，故，故， 故， 设，则，其中， 若，则； 若，则即， 故， 故，故， 故， 故选：C. 4．（24-25高一下·福建福州·期中）设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算 【分析】求出方程的两个虚根，可判断A选项；利用韦达定理可判断BCD选项. 【详解】由可得，可得，解得或， 由韦达定理可得，， 对于A选项，由题意可知，方程的两个虚根、互为共轭复数，即，A对； 对于B选项，，所以，，B对； 对于C选项，， 所以，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 5．（24-25高一下·山东临沂·期中）著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求复数的模 【分析】利用题设定义得，进而可得，结合条件，即可求解. 【详解】因为，则， 又，所以， 由，得到，又，且， 则，所以， 故选：D. 【题型十二：复数加减乘除法的代数运算 】 1．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数对应点的对称，可得出，再由复数的加法及复数的模求解. 【详解】因为，所以点． 因为点A与点B关于直线对称， 所以， 所以． 故选：A 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、在各象限内点对应复数的特征、复数加减法的代数运算 【分析】如图，由运算得解. 【详解】如图，正方形的三个顶点对应的坐标为，，， 设第四个顶点为，由，则， 所以为正方形的对角线，则， ，解得， ，即第四个顶点对应的复数为. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】通过复数乘法法则计算出复数，再根据复数与复平面内点的对应关系确定其坐标，最后根据坐标判断所在象限. 【详解】因为．所以该复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A. 4．（24-25高一下·山西·期中）已知复数（），且为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据共轭复数的定义结合复数乘法计算，最后应用纯虚数的定义计算求解. 【详解】由题知，，则. 又是纯虚数，则且， 得. 故选：D. 5.（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】设出复数的代数形式，结合复数模的意义列式求解即得.. 【详解】设， 由，得，即， 由，，得， 有，整理得， 而， 所以. 故答案为： 6．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数，且，则 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】复数加减法的代数运算、根据相等条件求参数 【分析】根据复数运算及复数相等得出参数值，最后计算即可求解. 【详解】由，则， 所以，解得， 所以． 故答案为：2. 7．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知复数满足，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】设，，然后根据题意列方程可求出，，，再求即可. 【详解】设，， 所以， 又， 所以，，， 所以， 又， 所以． 故答案为： 8．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数，满足，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、由复数模求参数、复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的代数形式，结合模的计算公式得到的值，从而利用整体法即可得解. 【详解】依题意，设， 则， 所以，，， 则，即， 则 . 故答案为：. 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）若复数，则（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数除法、共轭复数的概念、模的计算公式即可求解. 【详解】，. 故选：A. 10．（2025·浙江·二模）已知复数满足为虚数单位，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由复数的除法运算得出，再根据复数模的计算公式即可求解． 【详解】，则， 故选：B． 11．（24-25高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的运算法则求得，进而利用共轭复数的概念求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：B. 12．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】先根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模的计算公式求出；也可利用复数模的性质来求解. 【详解】方法一： 由题意，， 所以，. 方法二： 已知，则. 已知，则. 因为，根据复数模的性质，可得： . 故选：B. 13．（2025·江西·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算 【分析】根据复数的几何意义，得，再结合复数的除法运算，即可求解. 【详解】由题意知，，则. 故选：D. 14．（2025·江西·三模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算 【分析】首先求出的值，然后利用复数的除法计算出复数. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：A. 15．（2025高三·全国·专题练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算 【分析】利用复数乘除法运算法则直接计算即可. 【详解】  由题意得， 故选：B. 16．（2024·山西太原·一模）复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、根据除法运算结果求复数特征 【分析】利用复数的四则运算以及共轭复数的定义求解即可. 【详解】，共轭复数为， 故选：C 17．（24-25高一下·山西·期中）已知复数（），且为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据共轭复数的定义结合复数乘法计算，最后应用纯虚数的定义计算求解. 【详解】由题知，，则. 又是纯虚数，则且， 得. 故选：D. 18．（24-25高一下·山东济南·期中）复数z满足，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由条件，根据复数相等的定义列方程可求得，再由模长公式求解. 【详解】设, 则，所以且， 故，， 所以，故， 故选：D 19．（2025·广西南宁·模拟预测）已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】方法一、设代入化简，即可求得复数z； 方法二、利用为实数可得，即可得出的虚部. 【详解】方法一、设，， 所以， ，，所以的虚部为， 故选：A． 方法二、，得，则有， 所以的虚部为， 故选：A． 20．（2025·山西忻州·模拟预测）若，i为虚数单位，为z的共轭复数，则复数（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据虚数单位的幂次规律化简，再通过复数的运算法则求出，最后根据共轭复数的定义求出． 【详解】，即，即，所以． 故选：C． 【题型十三：根据复数对应坐标的特点求参数 】 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知复数． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程求参数值； （2）由复数对应点所在的象限列不等式组求参数范围. 【详解】（1）由题意得，得，故. （2）由题设，在复平面内对应的点为， 因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以， 得或，则，即的取值范围为． 2．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知复数，（，）. (1)若复平面内表示复数的点位于第一象限，求m的取值范围； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据复数的几何意义列出不等式即可求解； （2）根据对应关系用含的式子来表示即可. 【详解】（1）对应的点为， 故且，故， （2），，（，）， 故，故，故， ，故当时，的最小值为. 3．（24-25高一下·天津东丽·期中）已知复数，. (1)若，求； (2)若为实数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）化简复数，再计算其模； （2）根据虚部为得到方程，解得即可； （3）根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）当时，，所以； （2）因为，为实数， 所以，解得或. （3）复数，在复平面内对应的点为， 依题意可得，解得，即实数的取值范围为. 4．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知，为虚数单位，复数． (1)若，求m的值； (2)若复数z对应的点A在第三象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点A关于实轴对称的点B位于曲线上，求m值． 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【难度】0.94 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）利用复数是实数的充要条件列式求解. （2）求出点的坐标，再结合已知建立不等式组求解. （3）求出点的坐标，再代入曲线方程求解. 【详解】（1）由复数是实数，，得， 所以. （2）依题意，点在第三象限，则，解得， 所以m的取值范围是. （3）由（2）得在曲线上，则， 所以或. 5．（24-25高一下·广西·期中）已知复数． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）化简复数，根据复数是纯虚数，列出方程组，即可求解； （2）由复数在复平面内所对应的点在第四象限，根据复数的几何意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）由复数， 因为复数是纯虚数，则满足，解得或（舍去）， 所以实数的值为. （2）由复数， 若在复平面内所对应的点在第四象限，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 6．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【难度】0.85 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）依题意可得实部为，解得即可； （2）依题意可得，解不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，解得或； （2）复数在复平面内对应的点为， 依题意可得， 则或 解得或，即实数的取值范围为或． 【题型十四： 复数范围内方程的根 】 1．（24-25高一下·河北·期中）已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】将代入，求得，进而得到答案. 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以， 即，所以且，解得，， 所以． 故选：D． 【题型十五： 与复数模相关的轨迹图形问题 】 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【详解】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 2．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数在复平面内表示一个圆周，则在复平面内表示的点构成的形状为：（     ）. A．圆周 B．椭圆周 C．双曲线的一部分 D．线段 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的几何意义得出故，进而得出在直线上结合自变量范围得出线段. 【详解】表示点，故， ，由此可知表示：，在直线上， 又，所以表示一条线段. 故选：D. 3．（2024·宁夏·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解． 【详解】令， 因为，所以， 即点在以为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内， 所以在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D 4．（24-25高一下·吉林·期中）已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C．的虚部为 D．若复数满足，则的取值范围为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、判断复数对应的点所在的象限 【分析】先化简复数，再根据复数的模，复数的几何意义，复数的运算及虚部的概念可判断A、B、C；由，根据复数的几何意义得到复数的轨迹，从而得到复数的取值范围即可判断D. 【详解】由题意，得. 对于A，，故A正确； 对于B，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B不正确； 对于C，的虚部为，故C正确； 对于D，由知，的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 则表示圆上的点到点的距离， ，，即，故D正确. 故选：ACD. 5．（23-24高一下·广东广州·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．复数对应的点在第二象限 B．若为虚数单位，则 C．在复数集中，方程的两个解分别为和 D．复平面内满足条件的复数z所对应的点Z的集合是以点为圆心，2为半径的圆 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】虚数单位i及其性质、复数的基本概念、与复数模相关的轨迹（图形）问题、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的定义可判断A；根据的性质可判断B；根据复数方程的根可判断C；根据复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A，复数对应的点为，在第四象限，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，， 所以在复数集中，方程有两个解，分别为和，故C正确； 对于D，复平面内满足条件的复数对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面，故D错误. 故选：BC 6．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】先确定所表示的图形，再分析的几何意义，最后结合图形求出的最大值． 【详解】设（），则． 已知，根据复数的模的计算公式可得． 等式两边同时平方可得， 这表示复平面上以点为圆心，半径的圆． 因为，所以，则， 它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离． 根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为： ． 因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即． 的最大值为． 故选：A． 因z在复平面内对应的点位于第二象限，所以，故，故， 故选：A 7．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【详解】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 8．（2025·江西新余·模拟预测）我们称复数与对应，若复数在复平面内的图象分别如图①、②所示，则与对应的复数在复平面内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设曲线上的点，表示出，令，根据的大小关系可排除B、D；根据时的斜率可排除C. 【详解】，故：， 曲线上的点到原点的距离，直线的斜率为， 记， 则时，有，， 即取定一条过原点的射线交两曲线交于两个点，其中离原点远的为②，排除B、D； 而末端值时，直线的斜率为，故排除C. 故选：A． 8．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】求出复数和的模比较即可判断选项A，利用复数的几何意义即可求解出俩个复数的距离即可判断选项B，满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，利用圆的周长公式即可求解选项C,满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，分别以，为半径的两个圆所夹的圆环，利用圆的面积公式即可求解. 【详解】对A：由题意得，， 所以，，所以， 所以，两点不在以原点为圆心的同一个圆上，故A错误； 对B：，两点之间的距离为，故B正确； 对C：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，所以其周长为，故C错误； 对D：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心， 分别以，为半径的两个圆所夹的圆环， 所以其面积为，故D正确． 故选：BD. 9．（24-25高一下·湖北·期中）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数，则实数或 D．若复数满足，则 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、共轭复数的概念及计算 【分析】A选项，可判断；B选项，举出反例可判断；C选项，得到方程组，求出可判断；D选项，，从而根据模长公式得到方程，化简得可判断. 【详解】对于A选项，，则，故A正确； 对于B选项，不妨设，故，但，故B错误； 对于C选项，复数，则， 解得，故C错误； 对于D选项，复数满足，即， 即，化简得，故D正确. 故选：AD. 10．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A． B． C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由复数的几何意义以及模长公式即可判断AB，先确定复数对应的点的轨迹，即可得到其周长以及面积，即可判断CD. 【详解】对于A，，则， 且，，而，故A错误； 对于B，因为，则，即， 故B正确； 对于C，设，且，由可得，即， 以复数对应的点形成的图形是以原点为圆心，为半径的圆， 其周长为，故C正确； 对于D，因为，，由可得， 复数对应的点形成的图形是以原点为圆心， 半径与的两个圆所夹圆环内点的集合， 其面积为，故D错误； 故选：BC 11．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列有关复数的叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的虚部为 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的乘方 【分析】根据复数的运算､复数的概念､复数模的计算及几何意义判断各选项. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，，则的虚部为，故B不正确； 对于C，设，由得，所以，故C正确； 对于D，若，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确. 故选：ACD. 【题型十六：求复数的最值问题 】 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，利用复数模的意义求出在复平面内对应点的轨迹，再结合复数的几何意义及圆的性质求出最小值. 【详解】设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 2．（24-25高三下·江苏·阶段练习）如果复数z满足，那么的最大值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数模的几何意义确定复数z的对应点在两点之间运动（含端点），结合的几何意义求其最大值. 【详解】令且，则， 所以其表示点到、两点的距离和3，而的距离为3， 所以在两点之间运动（含端点）， 由表示点到点的距离，故其最大距离为， 所以的最大值是. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）若复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由复数模求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的模的几何意义，结合的几何意义，设出圆上任意一点坐标，利用两点间距离公式列式，化简求得的取值范围. 【详解】由于复数满足，故复数对应的点在圆心为原点，半径为2的圆上， 设圆上任意一点的坐标为，表示圆上的点到和两点距离之和， 即①， ①式平方得，由于，所以，所以， 所以，所以 . 故答案为：. 4．（2024·吉林·模拟预测）复数满足，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由复数模求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，结合复数的几何意义，列出方程组即可求解. 【详解】设复数， 由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 联立，解得，所以， 经检验，满足， 则. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知i为虚数单位，若，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据给定条件，求出复数z在复平面内对应点的轨迹，再利用几何意义求出范围. 【详解】由，得复数z在复平面内对应点Z的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 是点Z到定点的距离， 而，所以圆C外， ， 所以的取值范围为， 故答案为：. 6．（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由模长运算，可得复数的模长，根据复数的几何意义与圆的性质，可得答案. 【详解】已知，则. 因为，所以， 表示复数所对应的点到所对应的点的距离， 说明对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上半径，即. 故答案为：. 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的模的几何意义确定点的集合所表示的图形，再根据圆的面积公式计算该图形的面积． 【详解】根据复数模的几何意义，复数在复平面内对应的点到原点的距离为． 已知，这表示点到原点的距离大于等于且小于等于，所以点的集合形成的图形是以原点为圆心，半径和半径的两个圆所夹的圆环（包括内外圆周）． 半径为的圆的面积，半径为的圆的面积． 所以圆环的面积． 故答案为：． 8．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 9．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．设复数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合圆的性质求解. 【详解】为， 表示复平面内复数z对应的点与点的距离为， 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，表示点与点的距离， 而，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 10．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）若，则的最大值为 ． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，由题设可得，由复数的几何意义求解最值即可. 【详解】设， 则， 得， 表示以为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离， 所以. 故答案为：6. 11．（24-25高一下·浙江·期中）已知，复数，，且，若，则的最小值 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数加减法则运算可得，再由二次函数性质计算可得当时取得最小值. 【详解】由可得，即可得； 因此； 当时，取得最小值. 故答案为： 12．（23-24高一下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围. 【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13．（2024高一下·全国·专题练习）设是复数且，则的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故答案为：. 14．（22-23高二下·陕西咸阳·期中）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据已知条件，结合复数模的性质，即可求解. 【详解】∵， ∴， 即的取值范围为. 故答案为：. 15．（22-23高一下·浙江台州·期中）已知复数z满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可. 【详解】表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值， 减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：.    【题型十七： 复数的乘方 】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知复数z满足，当取得最小值时， ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】根据公式，代入复数运算，以及1的变形，转化为关于的二次函数求最值，即可求解. 【详解】设，因为，则，且． ， 当时取等号，此时，所以． 故答案为： 2．（2025高三·全国·专题练习）已知复数z满足，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】利用立方差公式计算得出，再利用复数的运算化简可得结果. 【详解】由已知得，故， 所以． 故答案为：. 【题型十八：复数模的投影向量 】 1．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由复数模求参数、求投影向量 【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解. 【详解】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 【题型十九：新定义问题 】 1．（2023·云南曲靖·一模）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据复数加减运算结果求复数特征、判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算 【分析】根据题意求得，得到，化简，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】因为复数（其中）为“等部复数，可得， 即，可得， 则在复平面内对应的点为位于第一象限. 故选：A. 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）法国数学家佛朗索瓦·韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的关系，因此人们把这个关系称为韦达定理，韦达定理也可用于复数系一元二次方程中，即这也是因式分解中的“十字相乘法”. 设 (为坐标原点)的三个顶点为复平面上的三点，它们分别对应复数， 且 则的面积为（   ） A．6 B．6 C．12 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、复数的平方根与立方根 【分析】根据题意可知知 是方程 的两根，再利用因式分解可得 ，即得 在复平面上的顶点坐标，即可求解. 【详解】 ， 根据韦达定理知 是方程 的两根， 因式分解可得方程两根为 ，不妨设 ， 则 在复平面上的顶点坐标为 ， 所以，故A正确. 故选 ：A. 【题型二十：复数运算的几何意义 】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数加减法几何意义的运用 【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可. 【详解】 A √ B × 由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上 C √ 如图，，，对应的向量分别为，，，则，，即， D √ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题06 复数 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：复数的基本概念 】 1．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 3．（24-25高二上·上海·期中）已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【题型二：求复数的实部和虚部 】 1．（2023·福建福州·模拟预测）欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高一下·天津·期中）已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（    ） A． B． C．-3 D．3 3．（24-25高一下·江苏盐城·期中）复数.则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（    ） A． B． C． D． 5.（2025·河北保定·一模）的虚部为（    ） A． B． C． D．3 6．（24-25高一下·宁夏吴忠·期中）下列命题为真命题的是（ ） A．复数的虚部为; B．若为虚数单位，则; C．在复数集中，方程有两个解，依次为; D．已知是虚数单位，若，则实数; 7.（24-25高一下·河南·阶段练习）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 8．（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 9．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 10.（2024高三上·全国·专题练习）设是虚数， (1)求证为实数的充要条件为； (2)若，推测为实数的充要条件； (3)由上结论，求满足条件，及实部与虚部均为整数的复数． 11．（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【题型三：根据相等条件求参数 】 1．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.（2024·全国·模拟预测）已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·新疆·期中）已知，则 ． 5．（22-23高一下·西藏拉萨·期末）已知，i为虚数单位，且，则 . 6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数（且），是实数，且，求z的实部的取值范围. 7．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值． 8．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 9．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中、．求x、y的值． 【题型四：复数的相等 】 1．（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三下·上海杨浦·阶段练习）已知复数和复数．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知复数，.若，则的取值范围是 . 4.（24-25高二上·广东广州·阶段练习），，并且，则的取值范围为 . 5．（24-25高一下·全国·课后作业）设实数，，满足，则的最大值为 ． 【题型五： 已知复数的类型求参数 】 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）设，则“”是“复数为实数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（   ） A．复数的任何偶数次幂都不小于零 B．若实数，则是纯虚数 C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数 D．若复数满足，则均为实数 3．（24-25高一下·江西·期中）已知复数是纯虚数，则 ． 4．（24-25高一下·广东惠州·期中）使不等式（为虚数单位）成立的实数 . 5．（24-25高一下·上海·期中）已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为 . 6．（2025·山西临汾·三模）已知，复数为纯虚数，则 ． 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 8．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，. (1)若为实数，求； (2)若为虚数，求的取值范围； (3)若为纯虚数，求. 9．（23-24高一下·天津滨海新·期中）取何实数时，复数． (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ 10．（24-25高一下·广东广州·期中）实数分别取什么数值时，复数是： (1)纯虚数； (2)与复数互为共轭. 【题型六：判断复数对应的点所在的象限 】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 2.（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A． B．的虚部为 C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．的最大值为 3．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（23-24高一下·福建福州·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 D． 【题型七：根据复数的坐标写出对应的复数 】 1．（24-25高一下·湖南永州·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南湘西·期中）若复数所对应的点在第四象限，则所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（    ） A．的实部与虚部相等 B． C．向量对应的复数为 D．若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 【题型八： 复数范围内方程的根 】 1.（24-25高三下·浙江·阶段练习）已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面上对应的点将单位圆n等分.下列复数是方程的根的是（   ） A．1 B．i C． D． 【题型九：共轭复数的概念和计算 】 1．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）设复数在复平面内对应的点为，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则或 B．若点的坐标为，则的共轭复数对应的点在第三象限 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 2．（24-25高一下·广西来宾·阶段练习）复数，则下列结论正确的是（   ） A．若z是纯虚数，则 B．若z是实数，则 C．若，则z在复平面内所对应的点位于第四象限 D．若，则或 3．（2024·湖北荆州·三模）棣莫弗定理：若为正整数，则，其中为虚数单位，已知复数， 则 ，的实部为 ． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 5．（江苏省南通市高品质高中2025届高三下学期5月高考科研卷数学试题）已知是虚数；且，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知都是复数，下列选项中正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则是实数 D．若，则 7．（24-25高一下·甘肃定西·期中）设复数（，为虚数单位），，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·甘肃定西·期中）设 ， 是复数，则下列命题中的真命题是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【题型十： 复数的坐标表示 】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知复数z满足，则的最小值为 ． 2．（24-25高一下·广东广州·期中）设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是 ． 3．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知复数 满足 ， 则 . 【题型十一： 求复数的模 】 1.（2025·河北邯郸·模拟预测）已知复数z满足，则（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．（2025·重庆·模拟预测）对于复数，如果复数同时满足以下两个条件：①，且，使得，②，则称为的反演.已知复数的实部等于1，为的反演，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高一下·福建福州·期中）设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东临沂·期中）著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型十二：复数加减乘除法的代数运算 】 1．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25高一下·山西·期中）已知复数（），且为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5.（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 . 6．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数，且，则 ． 7．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知复数满足，则 ． 8．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数，满足，则 ． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）若复数，则（    ） A．1 B．5 C． D． 10．（2025·浙江·二模）已知复数满足为虚数单位，则（    ） A．2 B． C．1 D． 11．（24-25高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，若，则（ ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 13．（2025·江西·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·江西·三模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025高三·全国·专题练习）（    ） A． B． C． D． 16．（2024·山西太原·一模）复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·山西·期中）已知复数（），且为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 18．（24-25高一下·山东济南·期中）复数z满足，则（    ） A． B．2 C． D． 19．（2025·广西南宁·模拟预测）已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 20．（2025·山西忻州·模拟预测）若，i为虚数单位，为z的共轭复数，则复数（    ）． A． B． C． D． 【题型十三：根据复数对应坐标的特点求参数 】 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知复数． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 2．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知复数，（，）. (1)若复平面内表示复数的点位于第一象限，求m的取值范围； (2)若，求的最小值. 3．（24-25高一下·天津东丽·期中）已知复数，. (1)若，求； (2)若为实数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 4．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知，为虚数单位，复数． (1)若，求m的值； (2)若复数z对应的点A在第三象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点A关于实轴对称的点B位于曲线上，求m值． 5．（24-25高一下·广西·期中）已知复数． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围． 6．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 【题型十四： 复数范围内方程的根 】 1．（24-25高一下·河北·期中）已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．7 B．3 C． D． 【题型十五： 与复数模相关的轨迹图形问题 】 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数在复平面内表示一个圆周，则在复平面内表示的点构成的形状为：（     ）. A．圆周 B．椭圆周 C．双曲线的一部分 D．线段 3．（2024·宁夏·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25高一下·吉林·期中）已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C．的虚部为 D．若复数满足，则的取值范围为 5．（23-24高一下·广东广州·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．复数对应的点在第二象限 B．若为虚数单位，则 C．在复数集中，方程的两个解分别为和 D．复平面内满足条件的复数z所对应的点Z的集合是以点为圆心，2为半径的圆 6．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 8．（2025·江西新余·模拟预测）我们称复数与对应，若复数在复平面内的图象分别如图①、②所示，则与对应的复数在复平面内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（   ）． A． B． C． D． 8．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 9．（24-25高一下·湖北·期中）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数，则实数或 D．若复数满足，则 10．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A． B． C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是 11．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列有关复数的叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的虚部为 C．若，则 D．若，则 【题型十六：求复数的最值问题 】 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为 . 2．（24-25高三下·江苏·阶段练习）如果复数z满足，那么的最大值是 ． 3．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）若复数满足，则的取值范围是 . 4．（2024·吉林·模拟预测）复数满足，则 . 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知i为虚数单位，若，则的取值范围为 . 6．（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 . 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为 ． 8．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 9．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．设复数，且，则的取值范围是 . 10．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）若，则的最大值为 ． 11．（24-25高一下·浙江·期中）已知，复数，，且，若，则的最小值 . 12．（23-24高一下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． 13．（2024高一下·全国·专题练习）设是复数且，则的最小值为 . 14．（22-23高二下·陕西咸阳·期中）已知，，则的取值范围为 . 15．（22-23高一下·浙江台州·期中）已知复数z满足，则的取值范围为 ． 【题型十七： 复数的乘方 】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知复数z满足，当取得最小值时， ． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知复数z满足，则 ． 【题型十八：复数模的投影向量 】 1．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 【题型十九：新定义问题 】 1．（2023·云南曲靖·一模）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）法国数学家佛朗索瓦·韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的关系，因此人们把这个关系称为韦达定理，韦达定理也可用于复数系一元二次方程中，即这也是因式分解中的“十字相乘法”. 设 (为坐标原点)的三个顶点为复平面上的三点，它们分别对应复数， 且 则的面积为（   ） A．6 B．6 C．12 D． 【题型二十：复数运算的几何意义 】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$