第01讲 二次根式与勾股定理（重点速记+12大核心考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第1讲 二次根式与勾股定理（12大核心考点） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 二次根式的概念与性质 1．二次根式的有关概念 一般地，我们把形如_________________的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 注意： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是________，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有_______________性． 2.二次根式的性质： （1）． （2）．一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数 （3）．一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 （4）．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积 （5）．两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根 3．最简二次根式 被开方数不含________；被开方数中不含__________________________________．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 知识点2 二次根式的有关计算 1.二次根式的乘法： （1）． （2）逆用： （3）推广：① ② 2．二次根式的除法： （1） （2）逆用： （3）推广：① ②，其中． 3．二次根式的加减 （1）法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____________，再将_____________的二次根式进行合并． （2）步骤： ①将各个二次根式化成最简二次根式； ②找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变． （3）注意： ①化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分． ②整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用． ③根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式． 4．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． （3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式． 知识点 3 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于_____________.如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么_____________. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 知识点4 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 知识点5 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足_____________，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 考点一：二次根式的有关定义 例1．（24-25八年级下·山东临沂·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西河池·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）若最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 考点二：二次根式的性质 例2．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【变式训练】 4．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东临沂·期中）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第2个数是（   ） 第一行         第二行       2            第三行               …… A． B． C． D． 考点三：二次根式的计算 例3．（2025八年级下·湖北·专题练习）计算： (1) ； (2)． 【变式训练】 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： ． 8．（24-25八年级下·山东临沂·期中）计算： (1)；(2)． 9．（2025八年级下·内蒙古·专题练习）计算： (1)；(2)． 考点四：二次根式的求值 例4．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知：，． (1)求的值； (2)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【变式训练】 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若，则代数式的值为 ． 11．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）已知，则的值为 ． 12．（24-25八年级下·江西新余·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ．． ，即．，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______． (2)若，求的值． 考点五：二次根式的应用 例5．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【变式训练】 13．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图用6个完全相同的小长方形拼成一个无重叠的大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（   ） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为24 14．（24-25八年级下·山东德州·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … 请你利用发现的规律，计算： ． 15．（24-25八年级下·山东临沂·期中）（1）请用：“”、“”、“”填空： ①______；②______；③______． （2）由（1）中各式猜想与（，）的大小关系，并说明理由． （3）学以致用：某园林设计师要用篱笆围成一个矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体（墙体足够长），为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少是多少米？ 考点六：勾股定理的有关计算 例6．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）在中，，，点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F，连接，若． (1)求证：； (2)求的长． 【变式训练】 16．（2025·安徽芜湖·二模）如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）中，，，的对边分别为a，b，c，，，面积为1，则 ． 18．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接． (1)求证：； (2)连接，与之间有怎样的位置和数量关系？请说明理由． 考点七：勾股定理与平方关系 例7．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【变式训练】 19．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 20．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 21．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ． 考点八：勾股定理与翻折问题 例8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，将矩形纸片沿对角线对折，点落在点的位置，与相交于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求． 【变式训练】 22．（24-25八年级下·北京房山·期中）如图，折叠矩形纸片，先折出折痕（对角线），再折叠使落在对角线上，得到折痕，已知，，则折痕的长是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·四川南充·期中）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC中点B(8，4)，若将沿AC折叠，使B落在处，则的纵坐标是 ． 24．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 考点九：勾股定理的证明 例9．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【变式训练】 25．（23-24八年级上·全国·课后作业）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A．B． C． D． 26．（24-25八年级下·山东临沂·期中）某版本教材提供了一种勾股定理无字证明的方法：如图所示，，古人把正方形沿，两线段剪成四块四边形①、②、③、④，使得，之后再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他们通过这种简单的剪切、拼接，就以实验的方式验证了勾股定理．现在，探究小组，经过分析初步得出了下面一些结论： ①．；②．若测得，，设，，则；③．．④．N，O，J，P分别为正方形四边的中点． 上面结论正确的是 ． 27．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为（为斜边），其中满足，求的斜边的长． 考点十：勾股定理的应用 例10．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据： ①测得的长度为8米：（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． (1)求风筝的高度． (2)若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【变式训练】 28．（24-25八年级下·广东汕头·期中）2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入． (1)烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？ (2)烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 29．（24-25八年级下·北京·期中）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：现在有一根竖直的木头，绳子系在其顶端．将绳子垂到地面时，绳子还有三尺余在地上．拉着绳子后退，离木头根部八尺时，绳子被拉直用完．问绳子的长度是多少？ 30．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，某栋楼房发生火灾，在这栋楼离地面24米的处有一老人需要救援，已知消防车高为4米，救人时消防车上的云梯必须伸长至最长25米． (1)求此时消防车的位置与楼房的距离的长； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车需从处驶近到处，云梯移动至，消防车高为，问消防车靠近的距离也为4米吗？请说明理由． 考点十一：勾股定理的逆定理 例11．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【变式训练】 31．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，呼和浩特某小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，两条街道互相垂直． (1)由于绿化区的存在，小区居民要想从点A走再到点C必须经过点B绕行，为了方便居民出入，该小区计划在该绿化区中开辟一条从点A直通点C的小路（小路宽度忽略不计）．若此计划落实，则居民从点A到点C能少走多少米？ (2)求这片绿化区的面积． 32．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在一条东西走向的河道的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因．由村庄到取水点的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．是否为从村庄到河边最近的路？（即与是否垂直？）请通过计算加以说明． 33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，网格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画出以为边的正方形，点E和点F均在小正方形的顶点上； (2)在图中画出以为斜边的等腰直角，点H在小正方形的顶点上； (3)连接，请直接写出线段的长． 考点十二：勾股定理与最值问题 例12．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【变式训练】 34．（24-25八年级下·河南三门峡·阶段练习）如图，A，B个村在河的同侧，且， A，B两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W（元）． 35．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 36．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）要使式子有意义，则x的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C． D． 3．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）已知，则的值保留小数点后两位是（    ） A．6.93 B．3.47 C．3.46 D．1.73 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 6．（2025·陕西咸阳·一模）如图，、分别是的高线、中线，，，．则长为（   ） A． B． C． D．1 7．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图2中大正方形的面积为32，线段的长为，图2中4个全等的直角三角形面积和为（   ） A．28 B．24 C．20 D．16 8．（24-25八年级下·四川德阳·期中）如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 二、填空题 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ； （2）若a、b都是无理数，且，请写出一组符合条件的a、b的值： ． 10．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知点满足，则点到原点的距离为 ． 11．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高的树顶飞到另一棵高的树顶上，若两棵树相距，则小鸟至少要飞 ．    12．（24-25八年级下·广西玉林·期中）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最大值为 ． 13．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处．若，，．则的长为 ． 14．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题 15．（24-25八年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 16．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证： (2)求四边形的面积． 17．（24-25八年级下·陕西延安·期中）风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，之后逐渐变成了一项娱乐活动．小希自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，她设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离为；放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线的长度，计算出已放出风筝线的长度为．已知点在同一平面内，，．若此时小希手里的余线仅剩，她想要让风筝沿射线方向再上升到点（小希的位置不变），她能否成功？请说明理由． 18．（24-25八年级下·浙江金华·期中）【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，， ，即， ， ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则_______________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 20．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长． (2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 二次根式与勾股定理（12大核心考点） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 二次根式的概念与性质 1．二次根式的有关概念 一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 注意： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． 2.二次根式的性质： （1）． （2）．一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数 （3）．一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 （4）．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积 （5）．两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根 3．最简二次根式 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 知识点2 二次根式的有关计算 1.二次根式的乘法： （1）． （2）逆用： （3）推广：① ② 2．二次根式的除法： （1） （2）逆用： （3）推广：① ②，其中． 3．二次根式的加减 （1）法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． （2）步骤： ①将各个二次根式化成最简二次根式； ②找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变． （3）注意： ①化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分． ②整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用． ③根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式． 4．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． （3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式． 知识点 3 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 知识点4 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 知识点5 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 考点一：二次根式的有关定义 例1．（24-25八年级下·山东临沂·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不等于0．根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，即， 解得． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 2．（23-24八年级下·广西河池·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解： A、，不是最简二次根式，故此选项错误； B、，不是最简二次根式，故此选项错误； C、，不是最简二次根式，故此选项错误； D、是最简二次根式，故此选项正确． 故选：D． 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）若最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了同类二次根式的定义及解一元一次方程等知识点，正确理解题意是解答本题的关键． 根据同类二次根式的定义得到，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为． 考点二：二次根式的性质 例2．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值，掌握二次根式的性质即是解题的关键；根据二次根式的性质及绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故答案为：． 【变式训练】 4．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴上点的位置确定，，a的符号是解题的关键． 利用数轴上点的位置确定，，，再利用二次根式的性质解答即可． 【详解】解：根据数轴可得，，，， ∴，， ∴原式 ． 故选：A． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式性质求解即可，熟练运用二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 6．（24-25八年级下·山东临沂·期中）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第2个数是（   ） 第一行         第二行       2            第三行               …… A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第2个数是第30个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第2个数是， 故选：D． 考点三：二次根式的计算 例3．（2025八年级下·湖北·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质， （1）先根据二次根式乘法及性质进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘法和除法进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 1； （2）原式 ． 【变式训练】 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式；由，利用平方差公式计算，即可求解； 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·山东临沂·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据乘法公式计算，再算加减． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 9．（2025八年级下·内蒙古·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、负整指数幂的运算和指数幂的运算、平方差公式的应用． 根据负整指数幂的运算法则可得：，根据指数幂的运算法则可得：，从而可得：原式，再合并同类二次根式即可； 根据立方根的定义可得：，根据平方差公式可得：，根据二次根式的乘法法则和除法法则可得：，从而可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． ； （2）解： ． 考点四：二次根式的求值 例4．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知：，． (1)求的值； (2)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】(1)17 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，无理数的估算，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）先求出的值，再根据代值计算即可； （2）根据无理数的估算方法分别求出a、b的范围，进而求出m、n的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵m为a整数部分，n为b小数部分， ∴， ∴． 【变式训练】 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，先求出，从而可得，推出，将所求式子变形并整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江西新余·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ．． ，即．，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______． (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】此题考查已知式子的值求代数式的值，正确掌握分母有理数化简方法，完全平方公式是解题的关键． （1）分子、分母同乘以，进而即可得到答案； （2）根据例子求出，原式变形得到，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ 考点五：二次根式的应用 例5．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3) (4)这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解题意是解题的关键； （1）根据，当且仅当时取到等号．(，均为正数)即可求解． （2）根据例题的方法，，即可求解． （3）将看成整理，即，进而根据，代入即可求解； （4）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵， ∴ ∴当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：，． （3）解：∵ ∴ 设 ∴ 当时，即时，有最小值，最小值为 故答案为：． （4）设这个矩形的长为，所用的篱笆总长为， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是． 【变式训练】 13．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图用6个完全相同的小长方形拼成一个无重叠的大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（   ） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为24 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握二次根式的运算法则． 根据小长方形的长宽列式，依次计算，即可求解． 【详解】解：A、大长方形的长为：，故该选项正确，不符合题意， B、大长方形的宽为：，故该选项正确，不符合题意， C、大长方形的周长为：，故该选项不正确，符合题意， D、大长方形的面积为：，故该选项正确，不符合题意， 故选：C． 14．（24-25八年级下·山东德州·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … 请你利用发现的规律，计算： ． 【答案】 【分析】①；②；③，得到，列式计算即可． 本题考查了二次根式中规律探索，实数的计算，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：①； ②； ③， 故， 故 ， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·山东临沂·期中）（1）请用：“”、“”、“”填空： ①______；②______；③______． （2）由（1）中各式猜想与（，）的大小关系，并说明理由． （3）学以致用：某园林设计师要用篱笆围成一个矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体（墙体足够长），为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少是多少米？ 【答案】（1）①；②；③；（2）猜想，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证． （1）分别进行出对应小题中两个式子的结果，再比较大小即可； （2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；根据，可由完全平方公式得到，据此可证明结论； （3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为米，利用第（2）问的公式即可求得最小值． 【详解】解：（1）①，， ∵， ∴； ②，， ∵， ∴； ③， ∴； （2）猜想，理由如下： 当，时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）设花圃的长为a米，宽为b米，则， ∴， 根据（2）的结论可得：． ∴篱笆至少需要32米． 考点六：勾股定理的有关计算 例6．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）在中，，，点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F，连接，若． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4.5 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，证明，根据垂直的定义即可得证； （2）根据勾股定理可得，再由三线合一定理得到，则可利用勾股定理求出的长，进而得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ， ，点是的中点， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得：． 【变式训练】 16．（2025·安徽芜湖·二模）如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵，中为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， 故选：D． 17．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）中，，，的对边分别为a，b，c，，，面积为1，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，因式分解的应用．由三角形的面积公式可求得，根据勾股定理求得，再利用因式分解将原式整理得，再整理代入求解即可． 【详解】解：∵中，，面积为1， ∴，即， ∵中，，， ∴， ∴， 故答案为：10． 18．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接． (1)求证：； (2)连接，与之间有怎样的位置和数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角，三角形的内角和定理等可求出，然后根据角平分线的性质即可得证； （2）根据含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的定义等可得，根据三线合一的性质，在中，根据含角的直角三角形的性质得出，在中，由勾股定理得，，证明为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：，， 理由：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用． 考点七：勾股定理与平方关系 例7．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 【变式训练】 19．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 20．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 21．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，进而求出DC，再用勾股定理即可得结论． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 考点八：勾股定理与翻折问题 例8．8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，将矩形纸片沿对角线对折，点落在点的位置，与相交于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． （1）证明，得出，则结论得证； （2）设，则，，在中，根据勾股定理有，解方程得出的长为，进而根据三角形的面积公式，即可得解． 【详解】（1）证明：由折叠可知， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）设，则，， 在中，根据勾股定理有． 解得：， 的长为， ∴ 【变式训练】 22．（24-25八年级下·北京房山·期中）如图，折叠矩形纸片，先折出折痕（对角线），再折叠使落在对角线上，得到折痕，已知，，则折痕的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、二次根式的运算，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．设点落在上点处，连接，先根据矩形的性质、勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，，设，则，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求解即可得答案． 【详解】解：如图，设点落在上点处，连接， 四边形是矩形，且，， ，， ， 由折叠的性质得：，，， ，， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ， 故选：B． 23．（23-24八年级下·四川南充·期中）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC中点B(8，4)，若将沿AC折叠，使B落在处，则的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，翻折问题，勾股定理，掌握坐标与图形的性质是解题的关键．过点作轴垂足为，根据折叠的性质及矩形的性质可得，最后根据直角三角形面积的两种算法即可解答． 【详解】解：过点作轴，垂足为，则轴， ∵四边形为矩形， ∴， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中 ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点纵坐标为：． 24．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用勾股定理列方程． （1）可推出，设，则，在中，根据勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果； （2）可求得，的值，设，则，在中，根据勾股定理列出，求得x的值，进一步得出结果； （3）由（1）的结论可知：，，从而，，利用勾股定理即可求得的值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由得，， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴， 设，则， 在中，由得， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点， 则， ∴四边形是矩形， ∵点D与点B重合， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：，又点O是长方形中心， ∴， 同（1）， ∴，， ∴． 考点九：勾股定理的证明 例9．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.5千米 (3) 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用； （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， ∴梯形的面积为或， ， ， 即， （2）解：设千米，则千米， 在中，， 即，解得：，即， （千米）， 答：新路比原路少千米， （3）解：由题得，， 在中，， 在中，， ， 即，解得：． 【变式训练】 25．（23-24八年级上·全国·课后作业）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：B． 26．（24-25八年级下·山东临沂·期中）某版本教材提供了一种勾股定理无字证明的方法：如图所示，，古人把正方形沿，两线段剪成四块四边形①、②、③、④，使得，之后再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他们通过这种简单的剪切、拼接，就以实验的方式验证了勾股定理．现在，探究小组，经过分析初步得出了下面一些结论： ①．；②．若测得，，设，，则；③．．④．N，O，J，P分别为正方形四边的中点． 上面结论正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】连接，根据勾股定理，正方形的判定和性质，方程组的应用，判定解答即可． 本题考查勾股定理，正方形的判定和性质，二元一次方程组的实际应用，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵对角线交于点I， ∴， 故①正确； 根据题意，得， 解得， 故②正确； 根据题意，得， ∴N，O，J，P分别为正方形四边的中点． 故④正确； ∵不一定是， 故不一定成立． 故③错误； 故答案为：①②④． 27．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为（为斜边），其中满足，求的斜边的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的斜边的长为 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）证明，根据列式可得； （2）过点A作交延长线于H，设，由勾股定理得，整理得，由可得，故可得结论； （3）把代入得，求出的值，再求的值即可． 【详解】（1）证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ； 又∵ ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点A作交延长线于H，设， 在中，， 在中，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∵ ∴， ∴， 解得，， ∵ ∴， ∴（负值舍去） ∴的斜边的长为． 考点十：勾股定理的应用 例10．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据： ①测得的长度为8米：（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． (1)求风筝的高度． (2)若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论∶ 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）如图：由题意得，米，∴米， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴他应该往回收线7米． 【变式训练】 28．（24-25八年级下·广东汕头·期中）2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入． (1)烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？ (2)烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长． 【答案】(1)120米 (2)需要，封锁的公路长为100米，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键； （1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，且，再由三角形面积求的得长即可； （2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，根据，判断有危险，再根据勾股定理求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：由题意得米，米，米， 如图，过C作， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 解得：（米）， 答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米； （2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下： 如图，由（1）可知，， 公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米， 按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁， 以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、， ，， ， 在中，， ， 即需要封锁的公路长为100米． 29．（24-25八年级下·北京·期中）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：现在有一根竖直的木头，绳子系在其顶端．将绳子垂到地面时，绳子还有三尺余在地上．拉着绳子后退，离木头根部八尺时，绳子被拉直用完．问绳子的长度是多少？ 【答案】尺 【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长． 本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题． 【详解】解：设绳索长为x尺，则木桩高为尺， ∴在中，，， ∴根据勾股定理，得， 解得． ∴绳索长为尺． 30．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，某栋楼房发生火灾，在这栋楼离地面24米的处有一老人需要救援，已知消防车高为4米，救人时消防车上的云梯必须伸长至最长25米． (1)求此时消防车的位置与楼房的距离的长； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车需从处驶近到处，云梯移动至，消防车高为，问消防车靠近的距离也为4米吗？请说明理由． 【答案】(1)米 (2)不是，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质，从题中抽象出勾股定理这一数学模型，利用勾股定理解是解题关键． （1）根据题意得：米，米，米，四边形为矩形，结合图形，利用勾股定理求解即可； （2）由题意得 米，米，确定米，再由（1）中结果，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米，四边形为矩形， ∴米， ∴米， ∴米； （2）解：不是，理由如下： 由题意得 米，米， 米， 由（1）得米； 米， 即消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为8米． 考点十一：勾股定理的逆定理 例11．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)元． 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． （1）先在中，利用勾股定理可求，在中，易求，再利用勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且； （2）分别利用三角形的面积公式求出，即是四边形的面积，再乘以80，即可求总花费． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 如图，在中，，，， ∴ 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，； （2）∵，， ∴， 费用（元）． 答：铺满这块空地共需花费元． 【变式训练】 31．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，呼和浩特某小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，两条街道互相垂直． (1)由于绿化区的存在，小区居民要想从点A走再到点C必须经过点B绕行，为了方便居民出入，该小区计划在该绿化区中开辟一条从点A直通点C的小路（小路宽度忽略不计）．若此计划落实，则居民从点A到点C能少走多少米？ (2)求这片绿化区的面积． 【答案】(1)居民从点到点将少走 (2)这片绿地的面积是 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识． （1）连接，利用勾股定理求出的长，再求出的结果即可得到答案； （2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即，再根据列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走； （2）解：∵，，， ∴， ∴ 是直角三角形，即， ∵，， ， 答：这片绿地的面积是． 32．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在一条东西走向的河道的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因．由村庄到取水点的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．是否为从村庄到河边最近的路？（即与是否垂直？）请通过计算加以说明． 【答案】是，理由见解析 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； 【详解】解：是，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∴由点到直线的距离垂线段最短可知，是从村庄到河边的最近路； 33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，网格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画出以为边的正方形，点E和点F均在小正方形的顶点上； (2)在图中画出以为斜边的等腰直角，点H在小正方形的顶点上； (3)连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定，勾股定理和逆定理，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据正方形的判定和性质画出图形即可． （2）根据网格特点和勾股定理及其逆定理，结合等腰三角形的判定作图即可； （3）利用网格特点和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求： 理由：， ∴四边形是菱形，， ∴菱形是正方形； （2）解：如图，即为所求： 证明：， ， ∴是等腰直角三角形； （3）解：． 考点十二：勾股定理与最值问题 例12．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)千米 (4) 【分析】（1）根据可得四边形为直角梯形，则，根据，可得，则，由，可得，，进而可得，再根据可得，据此即可得出答案； （2）连接，过点作于点，根据，可得四边形是矩形，进而可得千米，千米，于是可得千米，然后利用勾股定理即可求得、两个村庄之间的距离； （3）由题意可知，点在的垂直平分线上，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；设千米，则千米，在和中，分别利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可求出的距离； （4）根据轴对称—最短路线的求法即可求出：先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则就是代数式的最小值；然后利用轴对称的性质、矩形的判定与性质及勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：依题意得：，，，， ， ， 四边形为直角梯形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理，得：， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （3）解：由题意可知，点在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （4）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 【点睛】本题是四边形—三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用（包括：选址使到两地距离相等、求最短路径等），轴对称—最短路线问题，线段的垂直平分线，矩形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，这是解本题的关键，而构造出直角三角形则是解本题的难点． 【变式训练】 34．（24-25八年级下·河南三门峡·阶段练习）如图，A，B个村在河的同侧，且， A，B两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W（元）． 【答案】水厂位置见解析，铺设水管的总费用为15000元 【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作点A关于的对称点，连接交于O，点O即为水厂的位置．过点作交的延长线于点E，过点A作于点F，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点， 连接交于O， ∴， ∴点O即为水厂的位置． 过点作交的延长线于点E，过点A作于点F， 则，，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 在中，， 由勾股定理得． ∴（元）． 故铺设水管的总费用为15000元． 35．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【答案】蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 【分析】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键．把圆柱体展开，连接，然后可知和，进而可由两点之间，线段最短可知即为所求 【详解】解：如解图，圆柱体的展开图为长方形， 所以， 由题意可知，， 所以在 中， 由勾股定理得，， 所以 ， 则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 36．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 【答案】（1）见解析；（2）25；（3）6.3125千米；（4）20 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，，则，分别用含，，的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图2所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理即可求解； （3）如图3所示，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；利用勾股定理得，，进而得，再根据千米，千米，千米得千米，即可解答； （4）根据轴对称最短路线的求法即可求出． 【详解】（1）证明：根据题意，，，，， 则， 四边形的面积， ， ， ； （2）解：如图2所示，连接，过点作于点，   ，， ， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， （千米）， 由勾股定理得：（千米）， 则两个村庄之间的距离为25千米． 故答案为：25； （3）解：如图3所示，连接，作线段的垂直平分线交于，则点即为所求；    连接，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在（2）的背景下，则千米，千米，千米， 千米， ， 千米． 即的长为6.3125千米； （4）解：如图4，， 设，则， 先作出点关于的对称点，连接，过点作于点，    则， 当点三点共线时，有最小值， 由轴对称可得：， 的最小值为， 即：就是代数式的最小值． 代数式的最小值为． 故答案为：20． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）要使式子有意义，则x的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据“时，二次根式有意义”求解即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，当时有意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：要使式子有意义， 则， 解得． 故选：D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形中，若两较短的边的长的平方和等于最长边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为2，3，4的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为的三条线段能构成直角三角形，符合题意； D、∵， ∴长为的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）已知，则的值保留小数点后两位是（    ） A．6.93 B．3.47 C．3.46 D．1.73 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合计算，先化简二次根式和利用平方差公式去括号，再计算乘法后得到对应式子的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故选：C ． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理，根据正方形的面积公式得，，，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案．熟练掌握正方形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：，，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：B． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，由得到，从而得到，进而求得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：C 6．（2025·陕西咸阳·一模）如图，、分别是的高线、中线，，，．则长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线，高线，直角三角形的性质，勾股定理，先根据三角形高的定义结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，利用直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半得到，再利用勾股定理求出，进而得到，求出，最后利用中线的定义求出，由即可求解． 【详解】解：∵是的高线， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 故选：B． 7．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图2中大正方形的面积为32，线段的长为，图2中4个全等的直角三角形面积和为（   ） A．28 B．24 C．20 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，首先得出图2中间小正方形的边长为4，根据四个全等的直角三角形面积等于大正方形的面积减去中间小正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴图2中小正方形的边长为4， ∵大正方形的面积为32， ∴图2中4个全等的直角三角形面积和为． 故选：D． 8．（24-25八年级下·四川德阳·期中）如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，进而判定①；根据勾股定理与等量代换可得②正确；根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③；再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 与不一定相等， 故不成立，故①错误； 由①中证明， ∴， 连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设与的交点为， ∵，， ∴，， ∴， ∵, ∴，故③错误， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大． 二、填空题 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ； （2）若a、b都是无理数，且，请写出一组符合条件的a、b的值： ． 【答案】 3 （答案不唯一） 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的加减运算： （1）根据同类二次根式的定义，列出方程进行求解即可； （2）根据无理数的和为有理数，得到无理数部分互为相反数，进行构造即可． 【详解】解：（1）∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）由题意，可设，则：，满足题意； 故答案为：（答案不唯一）． 10．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知点满足，则点到原点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，两点间的距离，根据二次根式有意义的条件得到，进而求出的值，再利用两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点到原点的距离为； 故答案为：． 11．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高的树顶飞到另一棵高的树顶上，若两棵树相距，则小鸟至少要飞 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质与判定，过点作于C，则可证明四边形矩形得到的长，再求出的长，最后利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于C，    ∵， ∴四边形矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 则小鸟至少要飞， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·广西玉林·期中）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最大值为 ． 【答案】75 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质结合题意计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且n为正整数，是大于1的整数， ∴n的最大值为， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处．若，，．则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理的知识，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．首先根据余角的性质得到，可证明，易得，进而可知，可有；在中，由勾股定理可得，结合可得，然后根据“阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积”求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积 ． 故答案为：15． 三、解答题 15．（24-25八年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简二次根式，进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可； （2）先进行平方差公式的计算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 16．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证： (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是： （1）根据勾股定理求出，然后计算得出，最后根据勾股定理的逆定理即可得证； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解： ． 17．（24-25八年级下·陕西延安·期中）风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，之后逐渐变成了一项娱乐活动．小希自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，她设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离为；放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线的长度，计算出已放出风筝线的长度为．已知点在同一平面内，，．若此时小希手里的余线仅剩，她想要让风筝沿射线方向再上升到点（小希的位置不变），她能否成功？请说明理由． 【答案】不能成功，理由见解析 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质及勾股定理的应用，过点作于点，证明四边形是矩形，得出，根据勾股定理求出、，即可解决问题． 【详解】解：不能成功． 理由如下： 如图，过点作于点． ， ． 四边形是矩形． ． 在直角中，． 假设能上升，如图，连接， ． 在中，． ，余线仅剩， ． 不能再上升，即不能成功． 18．（24-25八年级下·浙江金华·期中）【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，， ，即， ， ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键； （1）仿照题的方法化简即可； （2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可； （3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解： ； （3）解：∵， ∴ 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则_______________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次根式的乘法与除法运算； （1）由新定义可得，再计算即可； （2）由新定义可得，再计算即可； （3）由新定义可得，再进一步计算即可； 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：， ； （3）解：与是关于12的共轭二次根式， ， ． 20．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长． (2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)点A、C、E在一条直线上； (3)25 【分析】本题考查了勾股定理和最短路径问题，涉及到了二次根式等知识，解题关键是理解题意，会构造图形，利用了数形结合的思想方法． （1）利用勾股定理分别求出，，即可求解； （2）延长至F，使，连接，证明四边形是矩形，得到，求出，由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，即可求解； （3）利用前面两题的方法先构造出图形，再求解即可． 【详解】（1）解：已知，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴． （2）解：当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是； 理由如下：如图，延长至F，使，连接 由， 则，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是． （3）解： 如图，H为线段上一动点，分别过点P、Q作，连接、．已知，，，设． ∴，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小， 延长至G，使，连接， 同理可证四边形是矩形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，最小值是25， ∴代数式的最小值是25． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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