高一数学期末冲刺模拟试卷01（江苏专用，测试范围：苏教版2019必修第二册）-2024-2025学年高一数学下学期

2024-2025学年高一数学下学期期末冲刺模拟试卷01 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2.已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 3.已知圆锥的体积为（单位：），且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是（ ）（单位：）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中水果品种相同的概率为（ ） A. B. C. D. 5.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB进行测量，AB与地面垂直，从地面C点看塔顶A的仰角为，沿直线BC前行20米到点D此时看塔顶A的仰角为，根据以上数据可得古塔AB的高为（ ）米. A. B. 20 C. 10 D. 6.已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（ ） A. 18.2 B. 19.6 C. 19.8 D. 21.7 7.设为锐角，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8.如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.一条青采巷，半部常州史！这个“江南名士第一巷”，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次“红色青果”知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（ ） A. 样本的众数为75 B. 样本的平均数为68.5 C. 样本的中位数为70 D. 估计该校学生中得分超过80分的约占20% 10.已知直线，平面，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知是关于x的实系数方程的一个根，则实数p的值为_______． 13.若事件A与B相互独立，，，则__________． 14.在直角三角形ABC中，已知CH为斜边AB上的高，，，现将沿着CH折起，使得点B到达点，且平面平面ACH，则三棱锥的外接球的表面积为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知是单位向量，满足，记与夹角为． （1）求； （2）若平面向量在上的投影向量为，求． 16.记内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）若，且，求的面积． 17.为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 18.如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求点到平面的距离. 19.在锐角中，角，，的对边为，，，若，. （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的面积； （3）如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末冲刺模拟试卷01 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】， 得， 得， 故选：A 2.已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】由题意得，解得或3，经检验，均满足要求. 故选：C 3.已知圆锥的体积为（单位：），且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是（ ）（单位：）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，母线为， 依题意，解得. 故选：A 4.一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中水果品种相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，设个苹果分别记为：和，个桃子编号为， 从盘中任选两个，可得 共种情况． 选中的水果品种相同的选法有：，，有种． 所以选中的水果品种相同概率为：． 故选：C. 5.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB进行测量，AB与地面垂直，从地面C点看塔顶A的仰角为，沿直线BC前行20米到点D此时看塔顶A的仰角为，根据以上数据可得古塔AB的高为（ ）米. A. B. 20 C. 10 D. 【答案】A 【解析】设古塔AB的高为米， 在中，可得； 在中，可得； 由题意可知：，即，解得， 所以古塔AB的高为米. 故选：A 6.已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（ ） A. 18.2 B. 19.6 C. 19.8 D. 21.7 【答案】C 【解析】由题意可知：， 可得， 且，解得， 所以新样本数据的方差为. 故选：C. 7.设为锐角，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由为锐角，得，而， 因此， 所以 故选：B 8.如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】连接相交于，取的中点，连接， 由于平面，平面，故， 又，故，平面， 故平面，平面，故， 由，，故， 在中，， 在中，， 故，进而得， 故，由于，故， 又平面，故平面 故点的轨迹为线段，其轨迹所围成的图形为三角形； 其中， 故三角形面积为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.一条青采巷，半部常州史！这个“江南名士第一巷”，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次“红色青果”知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（ ） A. 样本的众数为75 B. 样本的平均数为68.5 C. 样本的中位数为70 D. 估计该校学生中得分超过80分的约占20% 【答案】ABC 【解析】依题意，，解得， 选项A，∵最高小矩形的中点横坐标为75，∴众数是75，故A正确； 选项B，平均数为，故B正确； 选项C，∵，∴样本的中位数为70，故C正确； 选项D，估计该校学生中得分超过80分的约占，故D错误． 故选：ABC． 10.已知直线，平面，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，由平面平行传递性可得，故A正确； 对于B，，则与可以平行，也可以相交，故B错误； 对于C，根据两个相交平面同时垂直于第三平面，则它们的交线垂直于第三平面，故C正确； 对于D，根据若一条直线与两个相交平面分别平行，则这条直线与两个平面的交线平行，故D正确； 故选：ACD 11. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 【答案】BC 【解析】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知是关于x的实系数方程的一个根，则实数p的值为_______． 【答案】12 【解析】因为是关于x的实系数方程的一个根， 则也是关于x的实系数方程的一个根， 由韦达定理可得，解得. 故答案为：12. 13.若事件A与B相互独立，，，则__________． 【答案】0.94 【解析】因与相互独立，且，，则， 所以. 故答案为： 14.在直角三角形ABC中，已知CH为斜边AB上的高，，，现将沿着CH折起，使得点B到达点，且平面平面ACH，则三棱锥的外接球的表面积为___________. 【答案】 【解析】直角三角形ABC中，，，则斜边，， CH为斜边AB上的高，则，，， 平面平面，平面平面， ，平面，则平面， 又，所以两两垂直， ，，， 则三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知是单位向量，满足，记与夹角为． （1）求； （2）若平面向量在上的投影向量为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，则， 若，则， 即，可得， 且，所以. （2）由（1）可知：，， 由题意可设， 因为平面向量在上的投影向量为，则， 由题意可得：，可得，解得， 则，可得， 所以. 16.记内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，由余弦定理可得， 又，所以， 又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角， 又，所以， 所以 ， 所以． （2）由（1）可得，，且， 因为， 所以 ， 所以，， 所以． 17.为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为； （2）若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率 18.如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）因为，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）连接，因为，，为的中点， 则，所以四边形为菱形，所以， 又，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （3）因为平面，平面， 所以，，，又， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，即， 所以为等腰直角三角形， 所以，又，，， 所以，又平面，平面，所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即， 即，解得，即点到平面的距离为. 19.在锐角中，角，，的对边为，，，若，. （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的面积； （3）如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）因为，， 所以，即， 由余弦定理得， 又，∴． （2）因为是的中点，所以，两边平方可得， 即， 又，所以， 面积为. （3）令为锐角，，则， 在中由正弦定理得，即 ， 在中由正弦定理得，即 ，同理可得， 所以 ， 当，即时，取最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$