3.8 圆内接正多边形课件2024-2025学年北师大版九年级数学下册

第三章 圆 3.8 圆内接正多边形 1.圆内接正多边形 2.圆内接正多边形的有关概念 3.正多边形的作图（重点、难点） 学习目标 新课导入 1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形. 2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体? 新课讲解 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形. 这个圆叫做该正多边形的外接圆. 新课讲解 正n边形的各角相等，且每个内角为： 每个外角为： 新课讲解 例 如图所示，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心， OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线分别交⊙ O于点D，E，求证：六边形ABCDEF 为圆内接正六边形. 分析： 紧扣正多边形的定义，结合同圆中弧、圆心角的 关系证明. 新课讲解 解： ∵三角形AOB 是正三角形， ∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°，OB=OA. ∴点B 在⊙ O 上. ∵ FC ∥ AB，∴∠ FOA= ∠ OAB=60°，∠ COB= ∠ OBA=60°. ∴∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD= ∠ DOE= ∠ EOF= ∠ FOA=60° . ∴六边形ABCDEF 为圆内接正六边形. 新课讲解 利用尺规作一个已知圆的内接正六边形. 由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆 的半径R.所 以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦， 就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形. 新课讲解 例 作一个正三角形，使其半径为0.9 cm. 分析： 用量角器画，先求出其中心角；用尺规画，则先考虑等分圆周. 新课讲解 解： 作法一： (1)作半径为0.9 cm的⊙O； (2)用量角器画∠AOB ＝∠BOC ＝120°； (3)连接 AB，BC，CA.则△ABC为所求作的正三角 形，如图所示． 新课讲解 作法二： (1)作半径为0.9 cm的⊙O； (2)作⊙O的任一直径AB； (3)分别以A，B为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交 ⊙O于点C，F和D，E；(4)连接AD，DE，EA. 则△ADE为所求作的正三角形，如图所示． 课堂小结 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做 正多边形. 把一个圆n(n≥3)等分，顺次连接各等分点，就得 到一个正n边形. 我们把这个正n边形叫做圆的内 接正n边形. 当堂小练 1.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是(　　) A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin 36° C．a＝2rtan 36° D．r＝Rcos 36° A 当堂小练 2.在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹)． 解： 如图所示． (答案不唯一) 拓展与延伸 一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(　　) A．2 B. C．1 D. A 这个正多边形共有　 　条对称轴，对称轴都过该多边形的 　 　.  　中心　 1.如图所示的正多边形中，　 　是这个正多边形的中心，　 　是这个正多边形的中心角，　 　的长是这个正多边形的边心距.  　6　 该多边形是否为中心对称图形？　 　(填“是”或“否”)；若是中心对称图形，则对称中心是　 　.  　点O　 　是　 　OP　 　∠AOB　 　点O　 课后练习 2.(北师9下P105、人教9上P108)填表： 圆内接 正多边形 内角度数 半径 OA＝2 OA＝2 OA＝2 中心角度数 边长 边心距 2 60° 120° 2 90° 90° 1 2 120° 60° 4.【例1】(北师9下P105、人教9上P108)如图，正三角形ABC内接于☉O，AB＝2 cm，求☉O的半径. 解：如图，过点O作OD⊥BC于点D，连接BO， ∵正三角形ABC内接于☉O， ∴点O既是三角形的内心也是外心， ∴∠OBD＝30°，BD＝CD＝BC＝AB＝ cm，∴OD＝OB，∵OD2＋BD2＝OB2，＋()2＝OB2， 解得OB＝2，即☉O的半径为2 cm. 5(北师9下P98改编、人教9上P106改编)(2024北京开学)如图，☉O的半径为4. (1)求作它的内接正六边形ABCDEF； (2)求正六边形ABCDEF的边长和面积. 解：(1)如图，正六边形ABCDEF就是所求作的正六边形. 答案图 (2)如图，连接OF，OE，且过点O作OH⊥EF， 由正六边形ABCDEF可得△OFE是等边三角形， ∴∠FOH＝30°，EF＝OF＝4， 即正六边形ABCDEF的边长为4. ∴FH＝2，根据勾股定理得OH＝2 ， ∴S△OFE＝4×2 ＝4 ， ∴S正六边形ABCDEF＝6×4 ＝24 答案图 (2)求正六边形ABCDEF的边长和面积. 6.如图，☉O的半径为2，正方形ABCD，A'B'C'D'分别是☉O的内接正方形和外切正方形，求两个正方形的面积比S内∶S外. 解：如图，连接OA，作OM⊥AD于点M. ∵☉O的半径为2，∴OA＝2， ∵在Rt△AOM中，∠OAM＝45°，∴OM＝OA＝， ∴AB＝2OM＝2 ，A'B'＝2OA＝4， ∴S内∶S外＝AB2∶A'B'2＝(AB∶A'B')2 ＝(2 ∶4)2＝ 答案图 7.(北师9下P98)如图，正三角形ABC的外接圆☉O的半径为2，求该正三角形的边长. 解：如图，连接OB，过O作OD⊥BC于D， ∵☉O是正三角形ABC的外接圆， ∴OB平分∠ABC，∴∠OBD＝30°， ∵∠ODB＝90°，∴OD＝OB＝2＝1， 在Rt△OBD中，由勾股定理得BD＝， ∵OD⊥BC，∴BC＝2BD＝2 即该正三角形的边长为2 8.(北师9下P98改编)如图，☉O的半径为4. (1)求作它的内接正三角形ABC； (2)求△ABC的面积. 解：(1)如图，△ABC即为所求作. (2)如图，连接AO，BO，过O作OD⊥AB于D， ∵△ABC是正三角形， ∴∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°， ∵OB＝4，∴OD＝2，∴BD＝2 ，∴AB＝4 ， ∴S△ABO＝AB×OD＝4 2＝4 ， ∴△ABC的面积＝3S△ABO＝3×4 ＝12 答案图 ★9. 0.50 (创新题)如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依次作到第n个内切圆，它的半径与R的比为___________.  请完成课本本节对应习题 布置作业 谢谢大家观看 $$