期末专题04 因式分解（知识梳理+6大题型+2种易错+2种解题秘籍）-2024-2025学年下学期八年级数学期末试题调研与押题预测（北师大版，山西地区适用）

期末专题04 因式分解 因式分解 1.定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因式 特别解读 1.因式分解的对象是多项式，结果是整式的积2.因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变3.因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止， 2.整式乘法与因式分解的关系 (1)整式乘法与因式分解，一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形 (2)可以利用整式乘法检验因式分解结果的正确性 公因式 1. 定义把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 2. 公因式的确定方法 确定公因式的系数:若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数(2)确定字母及字母的指数:取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的(3)若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式。 特别提醒 公因式必须是多项式中每一项都含有的因式。在某项或某些项中含有而其他项中没有的因式能成为公因式的一部分 公因式可以是单项式，也可以是多项式 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式 提公因式法 1.定义如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法 特别解读 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商 2.提公因式法的一般步骤(1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所得的商;(3)写成积的形式 用平方差公式分解因式 1．平方差公式法 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 即： ． 2.运用平方差公式分解因式的步骤 判:判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项放在后面 二定:确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其余都必须用括号括起来，表示一个整体三套:套用平方差公式进行分解四整理:将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式 特别解读 三个条件: 1. 是一个二项式; 2. 2.两项都是平方的形式; 3. 3.两项符号相反。 用完全平方公式分解因式 1．完全平方式 形如 的式子称为完全平方式．完全平方式的条件： （1）多项式是二次三项式。 （2）首末两项是两个数（或式子）的平方且符号相同，中间项是这两个数（或式子）的积的 2 倍，符号可以是＂＋＂，也可以是＂一＂。 2．完全平方公式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 即： ． 3.因式分解的一般步骤 (1)当多项式有公因式时，先提取公因式;当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式:(2)当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式:(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了 特别解读 1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的 完全平方公式的逆用 2.结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定乘积项的符号可以是“+”，也可以是“-”，而两个平方项的符号必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式进行因式分解. 3.用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式， 题型一、判断是否是因式分解 1．（22-23八年级下·山西太原·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．m2+5m+4＝m（m+5）+4 B．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2 C．a（m﹣n）＝am﹣an D．15m2n＝3m•5mn 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】依据因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式来求解． 【详解】解：A：等号的右边不是积的形式，故A不是因式分解，不符合题意； B：符合因式分解的概念，故B符合题意； C：等号的右边不是积的形式，故C不是因式分解，不符合题意； D：等号的左边不是多项式，故D不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的概念，掌握概念是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山西太原·期末）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案． 【详解】解：A项是整式的乘法，故A不符合题意； B项多项式转化成几个式子的积，存在分式，故B不符合题意； C项把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故C符合题意； D项没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故D不符合题意； 故选：C． 3．（22-23八年级下·山西临汾·期末）下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，即可得到答案． 【详解】解：A.没有把一个多项式转化为几个整式的积的形式，故A错误，不符合题意； B.是整式的乘法，故B错误，不符合题意； C.是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故C正确，符合题意； D. 是整式的乘法，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，是解题的关键． 题型二、提公因式法分解因式 4．（22-23八年级下·山西运城·期末）因式分解：＝ ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键． 5．（22-23八年级下·山西太原·期末）多项式“”分解因式的结果为，则原多项式中“”处所缺的项为 ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】将进行计算，再与前面多项式进行比较即可得答案． 【详解】解：， 所以“” 处所缺的项为， 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解及整式的运算，解决本题的关键是熟练掌握提公因式法进行因式分解． 6．（23-24八年级下·山西晋中·期末）下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解： 解：原式 …………………………第一步 ………………………………第二步 ………………………………第三步 ……………………………………第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解： A．提公因式法        B．平方差公式         C．完全平方公式           D．整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解． 【答案】(1)A (2) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解； （1）根据提公因式法即可求解； （2）根据题意中的分解因式的方法求解即可． 【详解】（1）解：，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了提公因式法进行因式分解： 故选：A． （2）解： 题型三、平方差公式分解因式 7．（22-23八年级下·山西太原·期末）下列各数中，能整除的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】根据平方差公式将其分解即可得出因数． 【详解】解： ∵含有因数， ∴能被整除． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 8．（22-23八年级下·山西太原·期末）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式、提公因式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】利用提取公因式法分解因式、利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可得． 【详解】解：A、，则此项不符合题意； B、，则此项不符合题意； C、，则此项符合题意； D、不能分解因式，则此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 9．（22-23八年级下·山西临汾·期末）（1）因式分解：； （2）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 任务： ①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为__________； ②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为__________； ③第__________步出现错误，错误的原因是__________； ④因式分解正确的结果为__________． 【答案】（1）；（2）①，②乘法分配律，③二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号，④ 【知识点】完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】（1）先提取公因式b，再根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）①根据平方差公式即可进行解答；②根据乘法分配律即可进行解答；③根据去括号的法则即可进行解答；④根据题意，进行因式分解，即可得出结论． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：① ②乘法分配律 ③二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号 ④原式 ． 故答案为：；乘法分配；二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法于步骤，以及完全平方公式、平方差公式、去括号的法则等． 题型四、完全平方公式分解因式 10．（22-23八年级下·山西运城·期末）阅读与思考：“作差法”比较大小 比较代数式与的大小时，可以使用如下方法： ， ∵，∴， ， 这种比较大小的方法叫“作差法”． 任务： (1)比较大小： ； (2)若，，，试比较A与B的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】完全平方公式分解因式、提公因式法分解因式 【分析】（1）直接利用作差法，然后利用非负数的性质得出结论即可； （2）直接利用作差法，判断差的正负确定出A与B的大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 【点睛】此题考查了非负数的性质，作差法是比较两个式子大小常用的方法，掌握完全平方公式是解决问题的关键． 11．（22-23八年级下·山西运城·期末）在学习对复杂多项式进行因式分解时，白老师示范了如下例题： 因式分解：． 解：设． 原式． (1)例题中体现的主要思想方法是 ； A．函数思想；B．整体思想；C．分类讨论思想；D．数形结合思想． (2)请你模仿以上例题分解因式：． 【答案】(1)B (2) 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】（1）对解答的过程进行分析，结合相应的思想方法进行判断即可； （2）仿照所求的求解方式进行解答即可． 【详解】（1）解：例题中体现的主要思想方法是整体思想， 故选：B； （2）设， ． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 12．（22-23八年级下·山西运城·期末）（1）因式分解：； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】提公因式法分解因式、求一元一次不等式的解集、完全平方公式分解因式 【分析】（1）利用提公因式法及完全平方公式因式分解即可； （2）利用解一元一次不等式的步骤解不等式即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原不等式去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：． 【点睛】此题考查了因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握因式分解的方法和解不等式的步骤是解题的关键． 题型五、综合提公因式和公式法分解因式 13．（23-24八年级下·山西运城·期末）（1）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来． （2）因式分解：． 【答案】（1），数轴见解析；（2） 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了不等式组的解法以及因式分解：（1）分别解出两个不等式，求出解集后用数轴表示即可；（2）提取公因式后，再根据完全平方公式即可． 【详解】解：（1） 解不等式得：， 解不等式得：，         所以原不等式组的解集为：， 该解集在数轴上表示为：      （2） 14．（23-24八年级下·山西太原·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可； （2）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 15．（23-24八年级下·山西晋中·期末）（1）因式分解： （2）解不等式组 并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2）．数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，一元一次不等式组的解法，掌握因式分解的定义与分解方法，一元一次不等式组的解题步骤是解题关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （2）先分别解每个不等式，在数轴表示它们解集，得出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）； （2）， 由①得：． 由②得：． 在数轴上表示不等式①②的解集为： ∴不等式组的解集为． 16．（22-23八年级下·山西太原·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式 【分析】（1）先提公因式y，再利用平方差公式即可进行因式分解； （2）先提公因式，再整理即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 【点睛】本题考查因式分解．根据式子特点选择合适的因式分解方法是解题关键． 17．（22-23八年级下·山西晋中·期末）（1）分解因式：； （2）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴见解析． 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】（1）根据提公因式法以及平方差公式，可分解因式； （2）先解不等式，可得每个不等式的解集，根据不等式组的解集是不等式的公共部分，可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 解不等式①得：； 解不等式②：； 在同一数轴上表示不等式①②的解集为： 所以原不等式组的解集为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解和求解不等式组的解集的知识，掌握提公因式法和平方差公式，以及不等式的求解方法，是解答本题的关键． 题型六、因式分解的应用 18．（22-23八年级下·山西太原·期末）已知一个圆的面积为，则该圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】因式分解的应用、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】根据提公因式法及公式法将原式变形求解即可． 【详解】解：， ∴圆的半径是， 故选：A． 【点睛】题目主要考查提公因式法及公式法分解因式的应用，理解题意，熟练掌握因式分解方法是解题关键． 19．（21-22八年级下·山西太原·期末）如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中所标注的线段长度表示长方形ABCD的面积，可得到的表示一个多项式因式分解的代数恒等式为 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】根据长方形的面积=长×宽，长方形的面积=1个正方形的面积+2个矩形的面积，通过两种计算方法，得到代数恒等式m2+2mn=m（m+2n），得到等式． 【详解】解：∵长方形ABCD的面积=m2+2mn， 长方形ABCD的面积=m（m+2n）， ∴m2+2mn=m（m+2n）． 故答案为：m2+2mn=m（m+2n）． 【点睛】本题考查因式分解的应用，用两种计算方法计算长方形的面积从而得到等式． 20．（19-20八年级下·山西太原·期末）若m+n=1，mn=-6，则代数式的值是 ； 【答案】-6 【知识点】因式分解的应用 【分析】利用提公因式法因式分解，再把m+n=1，mn=-6代入计算即可． 【详解】解：∵m+n=1，mn=-6， ∴m2n+mn2=mn（m+n）=（-6）×1=-6． 故答案为：-6． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法因式分解是解答本题的关键． 21．（18-19八年级下·山西晋中·期末）已知，，则的值为（   ） A．-2 B．1 C．-1 D．2 【答案】D 【知识点】因式分解的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】首先将所求式子进行因式分解，然后代入即可得解. 【详解】 将，，代入，得 上式=， 故选：D. 【点睛】此题主要考查利用完全平方式进行因式分解求值，熟练掌握，即可解题. 【例1】因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例2】多项式分解因式得 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法 【分析】本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】， 故答案为：． 求字母值的方法 ①待定系数法，设因式形式，展开后对比系数列方程;②特殊值代入法，取特值(如 0、1)代入恒等式求字母;③公式法，利用完全平方、平方差公式的结构特征求解;④因式定理，根据因式与根的关系，代入根值列方程。注意符号、漏解，最后验证结果。 十字相乘法步骤 1.拆系数：将 拆成两数 拆成两数 。 2．十字交叉验中项：交叉相乘得 ，验证是否等于 。 3．写因式：若符合，直接写成 。 1．下列各数中，能整除的是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式分解得到，即可得出答案． 【详解】解： ， ∴能整除的是2024， 故选：D． 2．运用提公因式法将多项式“”分解因式，应提取的公因式是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公因式 【分析】根据公因式的定义以及多项式各项得出答案． 【详解】解：多项式的公因式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式． 3．已知能用完全平方公式因式分解，则m的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数、完全平方公式分解因式 【分析】根据的结构特征判断m的值即可． 【详解】解：∵能用完全平方公式因式分解， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 4．把提公因式后，其中一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】先提取公因式 把原式分解因式，从而可以得到另一个因式． 【详解】解： 另一个因式是5-m． 故选B 【点睛】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握“利用提公因式的方法分解因式”是解本题的关键． 5．分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】直接提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 6．分解因式：= ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可得出答案. 【详解】，故答案为. 【点睛】本题考查的是因式分解，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键. 7．若m+n＝1，mn＝﹣6，则代数式m2n+mn2的值是 ． 【答案】-6 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】利用提公因式法因式分解，再把m+n＝1，mn＝﹣6代入计算即可. 【详解】解：∵m+n＝1，mn＝﹣6， ∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝（﹣6）×1＝﹣6． 故答案为：﹣6. 【点睛】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确分解因式是解题的关键. 8．分解因式： (1)； (2)； (3)利用因式分解计算：． 【答案】(1) (2) (3)4900 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式分解； （2）提公因式后化简； （3）运用完全平方公式进行分解计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 9．（1）分解因式：ab3﹣a3b； （2）在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将（2x+y）2﹣（x+2y）2分解因式 小彬： 原式＝（4x2+4xy+y2）﹣（x2+4xy+4y2）……第1步 ＝3x2﹣3y2……第2步 ＝3（x+y）（x﹣y）……第3步 小颖： 原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x+2y）……第1步 ＝（3x+3y）（x+3y）……第2步 ＝3（x+y）（x+3y）……第3步 任务： ①经过讨论，他们发现小彬的解答正确，他第1步依据的乘法公式用字母表示为_____，小颖的解答错误，从第_____步开始出错，错误的原因是_____． ②按照小颖的思路，写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①；1；第二个因式内，去括号后，最后一项没有变号；②见解析 【知识点】综合运用公式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】（1）综合利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可得； （2）①写出完全平方公式即可，小颖的解答从第1步开始出错，错在第二个因式内，去括号后，最后一项没有变号； ②先计算平方差公式，再计算整式的加减即可得． 【详解】解：（1）原式 ； （2）①小彬的解答正确，他第1步依据的乘法公式用字母表示为，小颖的解答错误，从第1步开始出错，错误的原因是去括号后，最后一项没有变号， 故答案为：；1；第二个因式内，去括号后，最后一项没有变号； ②原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常见方法（提取公因式法、十字相乘法、公式法、换元法、分组分解法）是解题关键． 10．阅读下列材料：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙地运用配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式进行因式分解，还能结合非负数的意义来解决一些问题． 如： 解：原式 ． (1)请你仿照以上方法，完成因式分解：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)-2 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式分解因式 【分析】（1）先加上再减去即可求解； （2）先对等式左边进行分组配方，再求出m，n的值，最后代入即可． 【详解】（1）原式 ． （2）∵， ∴， ∴． ∵，． ∴，． ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了配方法，解题关键是掌握配方的步骤，对于四项及以上的情况可以考虑先分组再配方． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题04 因式分解 因式分解 1.定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因式 特别解读 1.因式分解的对象是多项式，结果是整式的积2.因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变3.因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止， 2.整式乘法与因式分解的关系 (1)整式乘法与因式分解，一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形 (2)可以利用整式乘法检验因式分解结果的正确性 公因式 1. 定义把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 2. 公因式的确定方法 确定公因式的系数:若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数(2)确定字母及字母的指数:取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的(3)若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式。 特别提醒 公因式必须是多项式中每一项都含有的因式。在某项或某些项中含有而其他项中没有的因式能成为公因式的一部分 公因式可以是单项式，也可以是多项式 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式 提公因式法 1.定义如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法 特别解读 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商 2.提公因式法的一般步骤(1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所得的商;(3)写成积的形式 用平方差公式分解因式 1．平方差公式法 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 即： ． 2.运用平方差公式分解因式的步骤 判:判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项放在后面 二定:确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其余都必须用括号括起来，表示一个整体三套:套用平方差公式进行分解四整理:将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式 特别解读 三个条件: 1. 是一个二项式; 2. 2.两项都是平方的形式; 3. 3.两项符号相反。 用完全平方公式分解因式 1．完全平方式 形如 的式子称为完全平方式．完全平方式的条件： （1）多项式是二次三项式。 （2）首末两项是两个数（或式子）的平方且符号相同，中间项是这两个数（或式子）的积的 2 倍，符号可以是＂＋＂，也可以是＂一＂。 2．完全平方公式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 即： ． 3.因式分解的一般步骤 (1)当多项式有公因式时，先提取公因式;当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式:(2)当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式:(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了 特别解读 1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的 完全平方公式的逆用 2.结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定乘积项的符号可以是“+”，也可以是“-”，而两个平方项的符号必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式进行因式分解. 3.用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式， 题型一、判断是否是因式分解 1．（22-23八年级下·山西太原·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．m2+5m+4＝m（m+5）+4 B．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2 C．a（m﹣n）＝am﹣an D．15m2n＝3m•5mn 2．（23-24八年级下·山西太原·期末）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·山西临汾·期末）下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型二、提公因式法分解因式 4．（22-23八年级下·山西运城·期末）因式分解：＝ ． 5．（22-23八年级下·山西太原·期末）多项式“”分解因式的结果为，则原多项式中“”处所缺的项为 ． 6．（23-24八年级下·山西晋中·期末）下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解： 解：原式 …………………………第一步 ………………………………第二步 ………………………………第三步 ……………………………………第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解： A．提公因式法        B．平方差公式         C．完全平方公式           D．整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解． 题型三、平方差公式分解因式 7．（22-23八年级下·山西太原·期末）下列各数中，能整除的是(　　) A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·山西太原·期末）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级下·山西临汾·期末）（1）因式分解：； （2）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 任务： ①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为__________； ②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为__________； ③第__________步出现错误，错误的原因是__________； ④因式分解正确的结果为__________． 题型四、完全平方公式分解因式 10．（22-23八年级下·山西运城·期末）阅读与思考：“作差法”比较大小 比较代数式与的大小时，可以使用如下方法： ， ∵，∴， ， 这种比较大小的方法叫“作差法”． 任务： (1)比较大小： ； (2)若，，，试比较A与B的大小． 11．（22-23八年级下·山西运城·期末）在学习对复杂多项式进行因式分解时，白老师示范了如下例题： 因式分解：． 解：设． 原式． (1)例题中体现的主要思想方法是 ； A．函数思想；B．整体思想；C．分类讨论思想；D．数形结合思想． (2)请你模仿以上例题分解因式：． 12．（22-23八年级下·山西运城·期末）（1）因式分解：； （2）求不等式的解集． 题型五、综合提公因式和公式法分解因式 13．（23-24八年级下·山西运城·期末）（1）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来． （2）因式分解：． 14．（23-24八年级下·山西太原·期末）分解因式： (1) (2) 15．（23-24八年级下·山西晋中·期末）（1）因式分解： （2）解不等式组 并把它的解集表示在数轴上． 16．（22-23八年级下·山西太原·期末）分解因式： (1)； (2)． 17．（22-23八年级下·山西晋中·期末）（1）分解因式：； （2）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 题型六、因式分解的应用 18．（22-23八年级下·山西太原·期末）已知一个圆的面积为，则该圆的半径是（    ） A． B． C． D． 19．（21-22八年级下·山西太原·期末）如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中所标注的线段长度表示长方形ABCD的面积，可得到的表示一个多项式因式分解的代数恒等式为 ． 20．（19-20八年级下·山西太原·期末）若m+n=1，mn=-6，则代数式的值是 ； 21．（18-19八年级下·山西晋中·期末）已知，，则的值为（   ） A．-2 B．1 C．-1 D．2 【例1】因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例2】多项式分解因式得 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法 【分析】本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】， 故答案为：． 求字母值的方法 ①待定系数法，设因式形式，展开后对比系数列方程;②特殊值代入法，取特值(如 0、1)代入恒等式求字母;③公式法，利用完全平方、平方差公式的结构特征求解;④因式定理，根据因式与根的关系，代入根值列方程。注意符号、漏解，最后验证结果。 十字相乘法步骤 1.拆系数：将 拆成两数 拆成两数 。 2．十字交叉验中项：交叉相乘得 ，验证是否等于 。 3．写因式：若符合，直接写成 。 1．下列各数中，能整除的是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．运用提公因式法将多项式“”分解因式，应提取的公因式是(　　) A． B． C． D． 3．已知能用完全平方公式因式分解，则m的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 4．把提公因式后，其中一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 5．分解因式： ． 6．分解因式：= ． 7．若m+n＝1，mn＝﹣6，则代数式m2n+mn2的值是 ． 8．分解因式： (1)； (2)； (3)利用因式分解计算：． 9．（1）分解因式：ab3﹣a3b； （2）在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将（2x+y）2﹣（x+2y）2分解因式 小彬： 原式＝（4x2+4xy+y2）﹣（x2+4xy+4y2）……第1步 ＝3x2﹣3y2……第2步 ＝3（x+y）（x﹣y）……第3步 小颖： 原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x+2y）……第1步 ＝（3x+3y）（x+3y）……第2步 ＝3（x+y）（x+3y）……第3步 任务： ①经过讨论，他们发现小彬的解答正确，他第1步依据的乘法公式用字母表示为_____，小颖的解答错误，从第_____步开始出错，错误的原因是_____． ②按照小颖的思路，写出正确的解答过程． 10．阅读下列材料：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙地运用配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式进行因式分解，还能结合非负数的意义来解决一些问题． 如： 解：原式 ． (1)请你仿照以上方法，完成因式分解：． (2)若，求的值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$