3.7 切线长定理　课件　2024-2025学年北师大版九年级数学下册

第三章 圆 3.7 切线长定理 理解、掌握切线长定理的概念.（重点、难点） 学习目标 新课导入 前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能够过点P画出⊙O的切线吗？ 1.猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？ 2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？ 新课讲解 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长. P C O 思考：切线长和切线的区别和联系？ 新课讲解 切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量. 新课讲解 P A B O 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 请你们结合图形用数学语言表达定理 PA、PB分别切⊙O于A、B,连结PO PA = PB ∠OPA=∠OPB 新课讲解 练一练 1.已知⊙O的半径为3 cm，点P和圆心O的距离为6 cm. 过点P画⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长. 如图，PA，PB为⊙O的切线． 由题意可知OA＝3 cm，PO＝6 cm，OA⊥PA，∴PA＝ (cm)． 又由切线长定理知PA＝PB， ∴PB＝33 cm. 解： 新课讲解 例 典例分析 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP. 求证：(1)∠APB＝2∠ABC； (2)AC∥OP. 新课讲解 (1)由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ ∠APB， 而要证∠APB＝2∠ABC，即证明∠ABC＝ ∠APB＝∠BPO，利用同角的余角相等可证； (2)证明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也 可用同位角相等来证． 分析： 新课讲解 (1)∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ ∠APB， PA＝PB， ∴PO⊥AB，∴∠ABP＋∠BPO＝90°. 又∵PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB. ∴∠ABP＋∠ABC＝90°. ∴∠ABC＝∠BPO＝ ∠APB， 即∠APB＝2∠ABC. 证明： (2)∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB. 由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP. 课堂小结 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 当堂小练 1.如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝50°，下列结论不正确的是(　　) A．PA＝PB B．∠APO＝25° C．∠OBP＝65° D．∠AOP＝65° C 当堂小练 2.如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于点D，BC与CD相交于点C，连接OD，OC，对于下列结论：①OD2＝DE·CD；②AD＋BC＝CD；③OD＝OC；④S梯形ABCD＝ CD·OA；⑤∠DOC＝90°.其中正确的结论是(　　) A．①②⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤ A 拓展与延伸 既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是(　　) A．矩形　 B．菱形　 C．正方形　 D．矩形或菱形 C 1.如图，PA，PB是☉O的切线，切点分别是A，B.若∠APB＝60°，OA＝3，则OP＝　 　.  　6　 课后练习 2.(北师9下P96)如图，P为☉O外一点，PA，PB分别切☉O于点A，B，CD切☉O于点E且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝4，则△PCD的周长为　 　.  　8　 A.32　 B.34　 C.36　 D.38 3.(北师9下P95改编)如图，四边形ABCD的四条边都与☉O相切，且BC＝10，AD＝7，则四边形ABCD的周长为( ) B 4.(北师9下P96、人教9上P100)(2023韶关期中)如图，△ABC的内切圆☉O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，求AF，BD，CE的长. 解：方法1：根据切线长定理， 设AE＝AF＝x，BF＝BD＝y，CE＝CD＝z. 根据题意，得，解得， 即AF＝4，BD＝5，CE＝9. 方法2：设AF＝x， 则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x， BD＝BF＝AB－AF＝9－x. 由BD＋CD＝BC，可得(9－x)＋(13－x)＝14. 解得x＝4. 因此AF＝4，BD＝5，CE＝9. 5.(人教9上P102改编)如图，直线AB，BC，CD分别与☉O相切于E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm. (1)求∠BOC的度数；(2)求BE＋CG的长；(3)求☉O的半径. 解：(1)如图，连接OF. 根据切线长定理得 BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°. (2)求BE＋CG的长；(3)求☉O的半径. (2)由(1)知，∠BOC＝90°. ∵OB＝6 cm，OC＝8 cm， ∴由勾股定理得BC＝＝10 cm， ∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10 cm. (3)∵OF⊥BC，∴OF＝＝4.8 cm. 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，☉O分别内切Rt△ABC的三边AB，BC，CA于D，E，F，半径r＝2，求△ABC的周长. 解：根据切线长定理，得BD＝BE，CE＝CF，AD＝AF. 如图，连接OE，OF，则OE⊥BC，OF⊥AC， 又∠C＝90°，∴四边形OECF是矩形， 又∵OE＝OF，∴矩形OECF是正方形， ∴CE＝CF＝r＝2. 又∵BC＝5，∴BE＝BD＝3.设AF＝AD＝x， ∴AC＝x＋2，AB＝x＋3，在Rt△ABC中， 根据勾股定理，得(x＋2)2＋25＝(x＋3)2， 解得x＝10.则AC＝12，AB＝13. 故△ABC的周长是5＋12＋13＝30. ★7. 0.50 如图，以AB为直径的☉O分别与四边形ABCD的边切于点A，B，E，连接DB，DB＝DC. (1)求证：CE＝2DE； (2)若☉O的半径为2 ，求S四边形ABCD. (1)证明：作DF⊥BC于点F，∵DB＝DC，∴CF＝BF. 由题意知AD，BC是☉O的切线，∴∠DAB＝∠ABF＝∠DFB＝90°， ∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF. 又∵DE是☉O的切线， ∴AD＝DE，∴CF＝BF＝AD＝DE，∴BC＝2DE. ∵CE，CB是☉O的切线，∴BC＝CE，∴CE＝2DE. (2)若☉O的半径为2 ，求S四边形ABCD. (2)解：设CF＝x，则DE＝x，CE＝2x， ∴CD＝3x.∵DF＝AB＝4 ， 在Rt△DCF中，有(4 )2＋x2＝(3x)2， 解得x＝2，∴AD＝2，BC＝4， ∴S四边形ABCD＝(AD＋BC)·AB＝(2＋4)×4 ＝12 请完成课本本节对应习题 布置作业 感谢大家 $$