专题02 分解素因数（4知识点+5大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新六年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

专题02 分解素因数（4知识点+5大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01素数与合数 （1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数； （2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数； （3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数三类． 知识点02 分解素因数 分解素因数 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数． 把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 分解素因数主要方法： 1.口算法分解素因数 例如：． 2.树枝分解法分解素因数 例如： 常常适用于较小数目 3.用短除法分解素因数 （1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。 （2）得出商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直得出的商是素数为止。 （3）然后把各个除数和最后的商按从小到的顺序写成连乘的形式。 例如： 用短除法分解素因数，初步阶段同学们容易出现错误： 第一左侧边选用的除数出现合数，如：60＝4×3×5 一定注意分解素因数的时候，每个因数都必须是素数。 第二最后的商还是合数。如： 一看91，常用的2，3，5都不行，于是短除停止了，其实91还是合数，要继续除以7，商13，才停止短除。 知识点03 公因数与最大公因数 1、公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数． 2、最大公因数 几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数． 3、两个数互素 如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素． 4、求最大公因数 求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数． 5、求最大公因数方法 特殊情况： 1、倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。） 2、互素关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35） 一般情况： 列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。 ①列举法：如，求18和27的最大公因数 先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、18 27的因数有：1、3、9、27 再找出两个数的公因数： 1、3、9 最后找出最大公因数： 9 ②单列举法：如，求18和27的最大公因数 先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18 再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数 最后找出最大公因数： 9 ③短除法： 除到商是互素为止，最后把所有的除数相乘3×3=9 ④除法算式法： 用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。 9就是18和27的最大公因数 知识点04 公倍数与最小公倍数 1、公倍数与最小公倍数 公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数． 2.求最小公倍数： 列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。 ①列举法：如，求18和12的最小公倍数 先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、72 12的倍数：12、24、36、48、 再找出两个数的最小公倍数：36 ②单列举法：如，求18和12的最小公倍数 先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72 再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36 ③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数 把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。 如，求18和12的最小公倍数。可以把18翻倍：18×2=36，36又是12的倍数，所以36是18和12的最小公倍数。 ④短除法：用这两个数同时除以一个质数（要能整除） 如，求18和12的最小公倍数，先用18和12同时除以质数2，再同时除以质数3，除到两个商是互质数（公因数只有1）为止。 【题型1 素数与合数】 【例1-1】（23-24六年级上·上海杨浦·期中）写出大于80小于90的正整数中的所有素数 ． 【答案】83，89 【分析】根据素数的定义“除了1和该数本身以外不再有其他的因数的数被称为素数”，掌握定义是解题的关键． 【详解】解：大于80小于90的正整数中的素数有：83，89． 故答案为：83，89． 【例1-2】（23-24六年级上·上海·阶段练习）最小的自然数是 ，最小的素数是 ，最小的合数是 ． 【答案】 0 2 4 【分析】本题考查了自然数、素数与合数的知识，掌握“除了1和它本身，没有其他因数的数叫素数”是解题关键．根据自然数、素数和合数的定义即可得到答案． 【详解】解：最小的自然数是0，最小的素数是2，最小的合数是4， 故答案：0，2，4． 【例1-3】12的素因数是(      ) A．2，2，3 B．1，2，3 C．4，6，12 D．1，2，3，4 【答案】A 【分析】由素因数的含义可得：，从而可得答案． 【详解】解：因为：， 所以：的素因数为： 故选A． 【点睛】本题考查的是素因数的含义，以及分解素因数的方法，掌握以上知识是解题的关键． 【例1-4】（24-25六年级上·上海普陀·期中）在2、4、5、8中，与2互素的数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了互素的数的特点，理解互素的数除了之外没有更多的公约数是解题的关键． 【详解】解：与2互素的数是5， 故答案为：5． 【变式1-1】（24-25六年级上·上海崇明·期末）下列各组数中两个数不是互素的是（    ） A．3和5 B．6和9 C．14和15 D．18和1 【答案】B 【分析】本题主要考查了互素数的定义，“两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素”，根据互为素数的意义求解即可． 【详解】解：A．3和5只有公因数1，是互素数，故A不符合题意； B．6和9有公因数1和3，不是互素数，故B符合题意； C．14和15只有公因数1，是互素数，故C不符合题意； D．18和1只有公因数1，是互素数，故D不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】（23-24六年级上·上海静安·期中）28的素因数有 ． 【答案】2和7 【分析】本题考查了素因数的相关知识点，结合题目中所给条件进行分析，求出所给数字的素因数进行解答即可． 【详解】解：， 28的素因数有：2，7， 故答案为：2和7． 【变式1-3】（23-24六年级上·上海杨浦·期中）已知，则a的素因数有 个，因数有 个． 【答案】 【分析】此题考查因数，关键是根据素因数的概念解答. 【详解】 ∴的素因数有个，因数有， 共个． 故答案为:，． 【变式1-4】一个两位数，十位数是最小的合数，个位数是最小的素数，则这个两位数是 . 【答案】42； 【解析】解：最小的合数是4，最小的素数是2，故这个两位数是42. 【题型2分解素因数】 【例2-1】（23-24六年级上·上海虹口·期中）把24分解素因数的正确算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分解素因数，熟练掌握知识点并牢记每个因数必须是质数是解题的关键．根据分解素因数的方法，把一个合数写成几个质数连乘的形式，叫做分解素因数，据此回答即可． 【详解】解：把24分解素因数的正确算式是， 故选：B． 【例2-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）将48分解素因数得， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 按照有理数的乘法法则，把写成多个素因数相乘的形式，即将分解素因数即可． 【详解】解：， 将分解素因数得，， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各式中，表示分解素因数的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分解素因数，任何一个合数都可以写成几个素数相乘的形式．其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解素因数，据此解答即可． 【详解】解：A、因为1既不是质数也不是合数，所以不是分解素因数，不符合题意； B、是计算得数，不是分解素因数，不符合题意； C、素因数分解错误，不符合题意； D、是分解素因数，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】（24-25六年级上·上海·期中）将70分解素因数： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解素因数，熟练掌握分解素因数的定义是解答本题的关键．把一个合数用几个素（质）数相乘的形式表示出来，叫做分解素（质）因数． 【详解】解：分解素因数为：， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25六年级上·上海浦东新·期中）分解素因数： . 【答案】 【分析】本题主要考查了分解素因数，分解素因数就是把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，根据有理数的乘法法则进行判断即可，解题时注意：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 【详解】解：∵， ∴84分解素因素可得：， 故答案为：． 【变式2-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）分解素因数： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解素因数，熟练掌握分解素因数的定义是解答本题的关键．把一个合数用几个素（质）数相乘的形式表示出来，叫做分解素（质）因数． 【详解】解： 故答案为：． 【题型3 公因数与最大公因数】 【例3-1】（23-24六年级上·上海闵行·期中）55和56的最大公因数是 ． 【答案】1 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查了最大公约数，熟记“两个或多个整数共有约数中最大的一个就是最大公约数”是解题关键． 【详解】解：55和56的最大公因数是1， 故答案为：1． 【例3-2】（24-25六年级上·上海·期中）甲数，乙数，甲数和乙数的最大公因数是 ． 【答案】 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查最大公因数，几个数的公因数中最大的一个叫做这几个数的最大公因数，根据最大公因数的定义即可得出答案． 【详解】解：甲数和乙数的最大公因数是， 故答案为：． 【例3-3】（22-23六年级上·上海奉贤·期中）在中填入适当的数，并填空： A= ，B= ，A和B的最大公因数是 ； 【答案】15；5；2；30；60；30 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】根据公因数的概念求解即可． 【详解】根据题意可得， 依次填入的数为：15 ；5；2； ∴，A和B的最大公因数是30． 故答案为：15；5；2；30；60；30． 【点睛】此题考查了最大公因数的求解，解题的关键是熟练掌握最大公因数的求解方法． 【例3-4】（22-23六年级上·上海青浦·期中）如图，街道在点B处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯，要求在点A、B、C处各安装一盏路灯，问最少要安装多少盏路灯？    【答案】8 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】先求出与的最大公因数是8，进一步即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴与的最大公因数是8， ∴最少需要的路灯数为：（盏）， 答：最少要安装8盏路灯． 【点睛】此题考查了最大公因数的应用，熟练掌握最大公因数的求法是解题的关键． 【变式3-1】（23-24六年级上·上海杨浦·期中）甲数，乙数，它们的最大公因数是（    ） A．6 B．36 C．12 D．210 【答案】A 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查最大公因数，熟练掌握最大公因数的求法是解题的关键． 【详解】解：两数的最大公因数是， 故选A． 【变式3-2】（23-24六年级上·上海黄浦·期末）若数，则和的最大公因数是 ． 【答案】14 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查了最大公因数的求法．根据最大公因数与最小公倍数的求法即可求解． 【详解】解：，， 和的最大公因数是， 故答案为：14． 【变式3-3】（22-23六年级上·上海青浦·期中）已知，，且A和B的最大公因数是21，则 ． 【答案】7 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】根据最大公因数是21，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵，，且A和B的最大公因数是21， ∴， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是最大公因数的含义，理解概念是解本题的关键． 【变式3-4】（22-23六年级上·上海·阶段练习）一张长45厘米，宽6分米的铁皮，要把它切割成面积相等的正方形，且没有剩余，切割成的正方形铁皮至少有几张？ 【答案】切割成的正方形铁皮至少有张 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】根据题意，正方形面积相等就意味着边长相等，切割成的正方形铁皮的边长最长就是和的最大公因数，在得到边长以后，求至少可以切割成几张正方形铁皮，直接用这张纸的面积除以正方形面积即可得到答案． 【详解】解：6分米厘米， ， 和的最大公因数为， 切割成的正方形铁皮的边长最长可以是厘米， （张）， 答：切割成的正方形铁皮至少有张． 【点睛】本题考查两个数的最大公因数解实际应用题，读懂题意，熟练掌握求两个数的最大公因数是解决问题的关键． 【题型4 公倍数与最小公倍数】 【例4】（24-25六年级上·上海·期末）6和15的最小公倍数是 ． 【答案】 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查的是最小公倍数的确定；由，，从而可得最小公倍数． 【详解】解：6和15的最小公倍数是， 故答案为： 【变式4-1】（24-25六年级上·上海松江·期中）求24和36的最小公倍数．( ) 【答案】72 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查了有最小公倍数，根据最小公倍数的求法求解． 【详解】解：∵，， ∴24和36的最小公倍数是：， 故答案为：72． 【变式4-2】一箱苹果，一筐苹果有七十几个，如果每7个一数，每5个一数，都多3个，问这筐苹果有几个？ 【答案】73个 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】找出5，7的最小公倍数，结合一筐苹果有七十几个即可得出结论． 【详解】解：因为5、7互素， 所以5和7的最小公倍数是：35． （个） 答：这筐苹果有73个． 【点睛】本题考查了约数与倍数，找出5，7的最小公倍数是解题的关键． 【变式4-3】（22-23六年级上·上海·阶段练习）书店里有两种书，甲种书厚18毫米，乙种书厚24毫米，将这两种书分别叠放起来，当两种书的高度第一次相平时，甲、乙两种书各叠了多少本？ 【答案】甲种书叠了本，乙种书叠了本 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】根据最小公倍数知识直接求解即可得到答案． 【详解】解：与最小公倍数为， 甲种书有（本）；乙种书有（本）； 答：甲种书叠了本，乙种书叠了本． 【点睛】本题考查最小公倍数，根据题意，准确找到最小公倍数是解决问题的关键． 【题型5 最大公因数与最小公倍数】 【例5-1】（23-24六年级上·上海杨浦·期中）甲乙两数的最大公约数是13，最小公倍数是195，如果甲数是39，则乙数是 ． 【答案】 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查有理数的乘法、最大公约数、最小公倍数，解答本题的关键根据甲乙两数的最大公约数是，最小公倍数是，，甲数是， 即可求得乙数． 【详解】解：∵甲乙两数的最大公约数是，最小公倍数是， 甲数是 ∴乙数是 故答案为: ． 【例5-2】（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）若，，且M、N的最大公因数是10，则M、N的最小公倍数是 ． 【答案】 【知识点】分解质因数、 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题考查了分解素因数，最大公因数，最小公倍数；准确计算是解决本题的关键． 【详解】， ， ， ，， ， 故答案为． 【例5-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）用短除法求70、98和112的最大公因数和最小公倍数． 【答案】最大公因数为；最小公倍数为 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题考查了短除法求最大公因数和最小公倍数，根据短除法进行计算，即可求解． 【详解】解： 最大公因数为，最小公倍数为 【变式5-1】（24-25六年级上·上海·期中）已知分解素因数：．若M、N两数的最大公因数是10，那么M、N两数的最小公倍数是 ． 【答案】420 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】该题主要考查了最大公因数和最小公倍数，解题的关键是掌握最大公因数和最小公倍数的定义． 根据M、N两数的最大公因数是10，求出，再求出最小公倍数即可． 【详解】解：由题知，M、N两数的最大公因数是10， ∴， ∴， 那么M、N两数的最小公倍数为． 故答案为：420． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海·期中）已知a、b是正整数，设，其中表示a与b的最小公倍数，表示a与b的最大公因数， 求 ． 【答案】90 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法．根据定义的新的运算方法求解即可． 【详解】解：， 而的最小公倍数为84，的最大公因数为6， ∴， 故答案为：90． 【变式5-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知，且的最大公因数是10，则的最小公倍数是 ． 【答案】60 【知识点】公因数与最大公因数、 公倍数与最小公倍数 【分析】本题主要考查灵活利用求两个数最大公因数与最小公倍数的方法解决问题．因为最大公因数也就是这几个数的公有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的乘积，所以A和B的最大公因数是10，即，由此求出最小公倍数． 【详解】解：因为，A和B的最大公因数是10， 即， 所以， 所以A和B的最小公倍数是； 故答案为：60． 【变式5-4】（24-25六年级上·上海·期中）用短除法求18和45的最大公因数和最小公倍数． 【答案】最大公因数是9，最小公倍数是90 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查有理数的乘法，最大公因数、最小公倍数，运用短除法作答即可． 【详解】 解： 18和45的最大公因数：，最小公倍数：． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·期中）在等式中，3和5都是15的（    ） A．素数 B．素因数 C．公因数 D．倍数 【答案】B 【分析】本题主要考查素因数的概念，熟练掌握素因数是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：3和5都是15的素因数； 故选B． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）与6互素的数是（　　） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了互素的定义，互素，就是互为质数，两个整数之间除了1之外没有更多的公约数．根据互素的定义进行判断即可． 【详解】解：A．6和4除了公因数1外，还有公因数2，所以6与4不互素； B．6和7公因数只有1，所以与6互素的数是7； C．6和8除了公因数1外，还有公因数2，所以6与8不互素； D．6和9除了公因数1外，还有公因数3，所以6与9不互素； 故选：B． 3．（23-24六年级上·上海崇明·期末）已知，，如果A和B两数的最大公因数42，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查了最大公因数的有关计算，解题的关键是根据，，得出A和B的最大公因数是，求出k的值是多少即可． 【详解】解：∵，， ∴A和B两数的最大公因数为， ∴． 故选：B． 4．（23-24六年级上·上海浦东新·期末）下面说法中，正确的语句是（    ） A．1既不是素数也不是合数 B．互素的两个正整数没有公因数 C．能被整除 D．任意一个数的倒数是 【答案】A 【分析】本题主要考查了素数与合数的定义，公因数的定义，整除的定义，倒数的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、1既不是素数也不是合数，原说法正确，符合题意； B、互素的两个正整数有公因数1，原说法错误，不符合题意； C、如果一个自然数除以另一个不为0的自然数所得的商为自然数且没有余数，那么被除数就叫做能被除数整除，原说法错误，不符合题意； D、任意一个数（0除外）的倒数是，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）有一个长12米、宽米的长方形儿童活动区域，为加强安全保护，准备在地面不重叠、不留缝地铺满一种正方形的泡沫地垫．市场上有（单位：厘米×厘米）四种尺寸，如果想选尺寸较大的地垫，应该选择（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查了公因数的应用，根据题意可得正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且是最大的， 【详解】解：∵用整块正方形的地砖铺满客厅的地面，长米、宽米， ∴正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且是最大的， ∵，； ，； ∴符合要求的是选的正方形地砖； 故选：C． 6．（24-25六年级上·上海普陀·期中）著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都等于两个素数之和．下列4个算式中，符合这个猜想的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了素数、质数、合数，熟练掌握素数、质数、合数的定义是解题的关键． 根据素数、质数、合数的定义即可得到答案． 【详解】解：4个算式中，符合这个猜想的是， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海·期末）在正整数中，既是偶数又是素数的是 ． 【答案】2 【分析】本题考查素数，偶数，解题的关键是掌握素数，偶数的定义． 由素数，偶数的定义，即可判断． 【详解】解：既是素数又是偶数的正整数是2． 故答案为： 2． 8．（24-25六年级上·上海·期末）8和24的最大公因数是 ． 【答案】8 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题主要查了最大公因数．根据最大公因数求法解答即可． 【详解】解：8和24的最大公因数是8． 故答案为：8 9．（24-25六年级上·上海普陀·期中）一个数的最小倍数是18，这个数的素因数有 ． 【答案】2，3，3 【分析】本题主要考查了有最小公倍数，素因数．利用分解质因数的方法解答即可． 【详解】解：把18分解质因数为：， 故这个数的素因数有：2，3，3． 故答案为：2，3，3． 10．（23-24六年级上·上海普陀·期末）如果有两个正整数互素，且它们的和是12，那么这两个数可以是 ．（写出所有情况） 【答案】5和7，1和11 【分析】本题主要考查了素数的知识，理解并掌握素数的定义是解题关键．素数一般指质数，指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．据此即可获得答案． 【详解】解：如果有两个正整数互素，且它们的和是12，那么这两个数可以是5和7，1和11． 故答案为：5和7，1和11． 11．（24-25六年级上·上海·阶段练习）小乌在计算168、180和三个数的最小公倍数时，不小心把168看成了165，但最后结果依然正确，那么最小的正整数是 ． 【答案】 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】根据题意先将三个数分解质因数，对于三个数的最小公倍数，取三个数的不同的质因数的最高幂，即可求解． 【详解】解： ，， 依题意，正整数至少包含因数，， 对于三个数的最小公倍数，取不同的质因数的最高幂，则 故答案为：． 12．（24-25六年级上·上海·阶段练习）学校组织出游，某班学生刚好能坐满一辆四十几座的大巴．到达目的地后分组活动，如果每组8名学生，则有3组各少1人；如果每组6人则恰好有1组只有一半人，那么这个班一共有 人． 【答案】 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查了公倍数的应用；如人一组，那么有组各少人，可看成人一组少人；如每组人则恰好有组只有一半人，也可看成人一组少人；和的最小公倍数，在之间的和的公倍数，据此解答即可． 【详解】解：由分析可知，要求的这个班共有学生即和的倍数少人， 和的最小公倍数，在之间的和的公倍数； 这个班共有：人 ； 答：这个班共有学生人． 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）一个素数的4倍与另一个素数的7倍的和是370，则这两个数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊素数2的运用；设这两个素数分别为和则，则必然是偶数，否则和就不会是偶数了，既是偶数又是素数的数，只有，所以，代入方程，求出的值，然后求和，即可得解． 【详解】解：设这两个素数分别为和 则：， ， ， ， 答：这两个素数的和是． 故答案为：． 三、解答题 14．（23-24六年级上·上海·期中）用短除法将下列各数分解素因数 (1)40 (2)114 【答案】(1)短除法见解析， (2)短除法见解析， 【知识点】分解质因数 【分析】根据短除法求素因数的方法求解即可． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 【点睛】本题主要考查了求一个数的素因数，掌握短除法是解题的关键． 15．（24-25六年级上·上海长宁·期中）观察下图，回答下列问题： (1)请在内填写适当的数； (2)根据短除法填空，并求出_________； (3)写出A、B的最小公倍数是________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】此题考查了短除法，最大公因数和最小公倍数的求解，解题的关键是熟练掌握最大公因数的求解方法． （1）根据短除法求解即可； （2）根据（1）中即可解答； （3）由（1）即可解答． 【详解】（1）解：根据短除法： （2）解：由（1）知； （3）解：由（1）得：A、B的最小公倍数是：． 16．（24-25六年级上·上海·期中）求34，68，136三个数的最大公因数和最小公倍数． 【答案】最大公因数是：，最小公倍数是： 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解． 【详解】解：，，， 最大公因数是：， 最小公倍数是： 17．（24-25六年级上·上海·期中）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，如果甲数为6，则乙数是多少？ 【答案】乙数是15或45 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查了最大公因数或最小公倍数，熟练掌握最大公因数和最小公倍数，是解题的关键．分两种情况：根据甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，甲数为6，求出乙数即可． 【详解】解：∵， ∴甲数为6，乙数是15； ∵， ∴甲数为6，乙数是45； 综上分析可知：乙数是15或45． 18．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）为了迎接国庆节的到来，需要在笔直的公路一侧插上彩旗，原来每米插一面彩旗，现在改成每米插一面彩旗．在施工过程中发现，包括两端的彩旗在内，一共有面彩旗不需要移动，这条路长多少米？ 【答案】米 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题主要考查最小公倍数的应用，有理数的混合运算，正确求出不需要移动的彩旗之间的距离是米是解题的关键． 根据题意，可得不需要移动的彩旗数，就是间隔距离是之间的距离是米和米的最小公倍数的米数的旗数不需要移动，根据总路程=间隔距离（不需要移动的彩旗数），计算即可得出答案． 【详解】解：∵和的最小公倍数为， ∴不需要移动的彩旗之间的距离是米， 根据题意可得（米）， 故这条路长米， 19．（24-25六年级上·上海崇明·期中）“学生艺术节”快到了，六年级学生排练舞蹈．舞蹈老师要求除了领舞的1人外，其余的人要作队形变换，既要能平均分成4组，又要能平均分成6组．那么至少要选拔多少名学生参加跳舞？ 【答案】13名 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查了最小公倍数，公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数． 【详解】 解：， ， 答：至少要选拔13名学生参加跳舞． 20．（24-25六年级上·上海·阶段练习）有一张长方形纸片，长为30厘米，宽为18厘米，如果要把这张纸片剪成大小相等的正方形纸片（正方形边长是大于1厘米的整数），而且没有剩余． (1)有几种不同的剪法？正方形的边长分别是多少厘米？ (2)按正方形纸片可能的最大边长进行裁剪，该长方形能剪出几个正方形？ 【答案】(1)有3种不同的剪法，正方形的边长分别为2厘米，3厘米，6厘米； (2)15个 【知识点】公因数与最大公因数、数的整除 【分析】本题主要考查了求两个数的公因数，数的整除： （1）根据题意只需要求出30和18的公因数即可得到答案； （2）根据（1）所求可知正方形的边长为6厘米，用长方形纸片的面积除以边长为6厘米的正方形面积即可得到答案． 【详解】（1）解：因为， 所以30和18的公因数有1，2，3，6， 答：有3种不同的剪法，正方形的边长分别为2厘米，3厘米，6厘米； （2）解：个， 答：按正方形纸片可能的最大边长进行裁剪，该长方形能剪出15个正方形． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分解素因数（4知识点+5大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01素数与合数 （1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数； （2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数； （3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数三类． 知识点02 分解素因数 分解素因数 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数． 把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 分解素因数主要方法： 1.口算法分解素因数 例如：． 2.树枝分解法分解素因数 例如： 常常适用于较小数目 3.用短除法分解素因数 （1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。 （2）得出商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直得出的商是素数为止。 （3）然后把各个除数和最后的商按从小到的顺序写成连乘的形式。 例如： 用短除法分解素因数，初步阶段同学们容易出现错误： 第一左侧边选用的除数出现合数，如：60＝4×3×5 一定注意分解素因数的时候，每个因数都必须是素数。 第二最后的商还是合数。如： 一看91，常用的2，3，5都不行，于是短除停止了，其实91还是合数，要继续除以7，商13，才停止短除。 知识点03 公因数与最大公因数 1、公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数． 2、最大公因数 几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数． 3、两个数互素 如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素． 4、求最大公因数 求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数． 5、求最大公因数方法 特殊情况： 1、倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。） 2、互素关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35） 一般情况： 列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。 ①列举法：如，求18和27的最大公因数 先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、18 27的因数有：1、3、9、27 再找出两个数的公因数： 1、3、9 最后找出最大公因数： 9 ②单列举法：如，求18和27的最大公因数 先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18 再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数 最后找出最大公因数： 9 ③短除法： 除到商是互素为止，最后把所有的除数相乘3×3=9 ④除法算式法： 用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。 9就是18和27的最大公因数 知识点04 公倍数与最小公倍数 1、公倍数与最小公倍数 公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数． 2.求最小公倍数： 列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。 ①列举法：如，求18和12的最小公倍数 先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、72 12的倍数：12、24、36、48、 再找出两个数的最小公倍数：36 ②单列举法：如，求18和12的最小公倍数 先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72 再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36 ③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数 把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。 如，求18和12的最小公倍数。可以把18翻倍：18×2=36，36又是12的倍数，所以36是18和12的最小公倍数。 ④短除法：用这两个数同时除以一个质数（要能整除） 如，求18和12的最小公倍数，先用18和12同时除以质数2，再同时除以质数3，除到两个商是互质数（公因数只有1）为止。 【题型1 素数与合数】 【例1-1】（23-24六年级上·上海杨浦·期中）写出大于80小于90的正整数中的所有素数 ． 【例1-2】（23-24六年级上·上海·阶段练习）最小的自然数是 ，最小的素数是 ，最小的合数是 ． 【例1-3】12的素因数是(      ) A．2，2，3 B．1，2，3 C．4，6，12 D．1，2，3，4 【例1-4】（24-25六年级上·上海普陀·期中）在2、4、5、8中，与2互素的数是 ． 【变式1-1】（24-25六年级上·上海崇明·期末）下列各组数中两个数不是互素的是（    ） A．3和5 B．6和9 C．14和15 D．18和1 【变式1-2】（23-24六年级上·上海静安·期中）28的素因数有 ． 【变式1-3】（23-24六年级上·上海杨浦·期中）已知，则a的素因数有 个，因数有 个． 【变式1-4】一个两位数，十位数是最小的合数，个位数是最小的素数，则这个两位数是 . 【题型2分解素因数】 【例2-1】（23-24六年级上·上海虹口·期中）把24分解素因数的正确算式是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）将48分解素因数得， ． 【变式2-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各式中，表示分解素因数的式子是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25六年级上·上海·期中）将70分解素因数： ． 【变式2-3】（24-25六年级上·上海浦东新·期中）分解素因数： . 【变式2-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）分解素因数： ． 【题型3 公因数与最大公因数】 【例3-1】（23-24六年级上·上海闵行·期中）55和56的最大公因数是 ． 【例3-2】（24-25六年级上·上海·期中）甲数，乙数，甲数和乙数的最大公因数是 ． 【例3-3】（22-23六年级上·上海奉贤·期中）在中填入适当的数，并填空： A= ，B= ，A和B的最大公因数是 ； 【例3-4】（22-23六年级上·上海青浦·期中）如图，街道在点B处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯，要求在点A、B、C处各安装一盏路灯，问最少要安装多少盏路灯？    【变式3-1】（23-24六年级上·上海杨浦·期中）甲数，乙数，它们的最大公因数是（    ） A．6 B．36 C．12 D．210 【变式3-2】（23-24六年级上·上海黄浦·期末）若数，则和的最大公因数是 ． 【变式3-3】（22-23六年级上·上海青浦·期中）已知，，且A和B的最大公因数是21，则 ． 【变式3-4】（22-23六年级上·上海·阶段练习）一张长45厘米，宽6分米的铁皮，要把它切割成面积相等的正方形，且没有剩余，切割成的正方形铁皮至少有几张？ 【题型4 公倍数与最小公倍数】 【例4】（24-25六年级上·上海·期末）6和15的最小公倍数是 ． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海松江·期中）求24和36的最小公倍数．( ) 【变式4-2】一箱苹果，一筐苹果有七十几个，如果每7个一数，每5个一数，都多3个，问这筐苹果有几个？ 【变式4-3】（22-23六年级上·上海·阶段练习）书店里有两种书，甲种书厚18毫米，乙种书厚24毫米，将这两种书分别叠放起来，当两种书的高度第一次相平时，甲、乙两种书各叠了多少本？ 【题型5 最大公因数与最小公倍数】 【例5-1】（23-24六年级上·上海杨浦·期中）甲乙两数的最大公约数是13，最小公倍数是195，如果甲数是39，则乙数是 ． 【例5-2】（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）若，，且M、N的最大公因数是10，则M、N的最小公倍数是 ． 【例5-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）用短除法求70、98和112的最大公因数和最小公倍数． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海·期中）已知分解素因数：．若M、N两数的最大公因数是10，那么M、N两数的最小公倍数是 ． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海·期中）已知a、b是正整数，设，其中表示a与b的最小公倍数，表示a与b的最大公因数， 求 ． 【变式5-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知，且的最大公因数是10，则的最小公倍数是 ． 【变式5-4】（24-25六年级上·上海·期中）用短除法求18和45的最大公因数和最小公倍数． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·期中）在等式中，3和5都是15的（    ） A．素数 B．素因数 C．公因数 D．倍数 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）与6互素的数是（　　） A．4 B．7 C．8 D．9 3．（23-24六年级上·上海崇明·期末）已知，，如果A和B两数的最大公因数42，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24六年级上·上海浦东新·期末）下面说法中，正确的语句是（    ） A．1既不是素数也不是合数 B．互素的两个正整数没有公因数 C．能被整除 D．任意一个数的倒数是 5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）有一个长12米、宽米的长方形儿童活动区域，为加强安全保护，准备在地面不重叠、不留缝地铺满一种正方形的泡沫地垫．市场上有（单位：厘米×厘米）四种尺寸，如果想选尺寸较大的地垫，应该选择（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25六年级上·上海普陀·期中）著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都等于两个素数之和．下列4个算式中，符合这个猜想的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海·期末）在正整数中，既是偶数又是素数的是 ． 8．（24-25六年级上·上海·期末）8和24的最大公因数是 ． 9．（24-25六年级上·上海普陀·期中）一个数的最小倍数是18，这个数的素因数有 ． 10．（23-24六年级上·上海普陀·期末）如果有两个正整数互素，且它们的和是12，那么这两个数可以是 ．（写出所有情况） 11．（24-25六年级上·上海·阶段练习）小乌在计算168、180和三个数的最小公倍数时，不小心把168看成了165，但最后结果依然正确，那么最小的正整数是 ． 12．（24-25六年级上·上海·阶段练习）学校组织出游，某班学生刚好能坐满一辆四十几座的大巴．到达目的地后分组活动，如果每组8名学生，则有3组各少1人；如果每组6人则恰好有1组只有一半人，那么这个班一共有 人． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）一个素数的4倍与另一个素数的7倍的和是370，则这两个数的和是 ． 三、解答题 14．（23-24六年级上·上海·期中）用短除法将下列各数分解素因数 (1)40 (2)114 15．（24-25六年级上·上海长宁·期中）观察下图，回答下列问题： (1)请在内填写适当的数； (2)根据短除法填空，并求出_________； (3)写出A、B的最小公倍数是________． 16．（24-25六年级上·上海·期中）求34，68，136三个数的最大公因数和最小公倍数． 17．（24-25六年级上·上海·期中）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，如果甲数为6，则乙数是多少？ 18．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）为了迎接国庆节的到来，需要在笔直的公路一侧插上彩旗，原来每米插一面彩旗，现在改成每米插一面彩旗．在施工过程中发现，包括两端的彩旗在内，一共有面彩旗不需要移动，这条路长多少米？ 19．（24-25六年级上·上海崇明·期中）“学生艺术节”快到了，六年级学生排练舞蹈．舞蹈老师要求除了领舞的1人外，其余的人要作队形变换，既要能平均分成4组，又要能平均分成6组．那么至少要选拔多少名学生参加跳舞？ 20．（24-25六年级上·上海·阶段练习）有一张长方形纸片，长为30厘米，宽为18厘米，如果要把这张纸片剪成大小相等的正方形纸片（正方形边长是大于1厘米的整数），而且没有剩余． (1)有几种不同的剪法？正方形的边长分别是多少厘米？ (2)按正方形纸片可能的最大边长进行裁剪，该长方形能剪出几个正方形？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$