2024-2025学年苏科版七年级数学下期末提分特训（六）--《定义、命题、证明》原卷+解析卷

2024-2025学年苏科版七年级数学下期末提分特训（六）--《定义、命题、证明》 【特训目的】 1.精准掌握定义、命题、真命题、假命题、定理、证明等概念的内涵。例如，能清晰区分定义（对名称或术语的含义进行描述、规定，如“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”）和命题（判断一件事情的句子，如“两直线平行，同位角相等” ）。 2.熟练分析命题的条件和结论，会将命题改写成“如果……那么……”的形式。例如，对于“同角的余角相等”，能准确改写为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”。 3.熟悉证明过程中可依据的内容，包括基本事实（如“两点确定一条直线”）、定义、已学过的定理等，为证明题提供理论支撑。 4.快速判断一个句子是否为命题，并辨别其真假；准确提炼命题中的条件和结论，规范改写命题形式，提升逻辑分析能力。 5.能够根据已知条件，运用学过的定义、定理等，有条理地进行简单几何命题的证明，掌握证明的步骤和格式，做到推理严谨、书写规范。 【知识清单】 一．定义 1.概述对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义。 2.例如：数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值；只有符号不同的两个数称为互为相反数等。 二．命题 1.定义：判断一件事情的句子叫命题。 2.组成：命题由题设（条件）和结论组成。 3.分类： （1）真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题。 （2）假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确，即结论不成立，这样的命题叫做假命题。判断一个假命题只需举出一个反例。 三．证明 1.定义：根据已知真命题，确定某个命题的真实性的过程，叫做证明。经过证明的真命题称为定理。 2.步骤： （1）根据题意，画出图形； （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证； （3）进行推理证明，证明过程要言必有据，依据是基本事实、定义、定理、等式性质、不等式性质等。 四．三角形的内角和定理及其推论 1.内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180°。 2.外角性质：三角形的一边与另一边的延长线组成的角是外角。三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和等（虽题目未提及，但此为相关重要推论）。 五．互逆命题 1.定义：把一个命题的条件与结论互换，就得到它的逆命题。 2.真假判断：原命题成立，逆命题不一定成立。可分别判断原命题和逆命题的真假，证明逆命题为假命题也可通过举反例。 《定义、命题、证明》期末提分特训 （时间 ：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.下列关于单项式的定义，说法正确的是（ ） A. -3x2y的系数是-3，次数是2 B. 单项式是数与字母的积组成的式子，单独的一个数或一个字母不是单项式 C. ab的系数是，次数是2 D. x + 1是单项式 2，C正确。选项D：x + 1是由x与1两项组成，是多项式不是单项式，所以D错误。 2. 对于数轴的定义，理解正确的是（ ） A. 画一条直线就可以表示数轴 B. 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线 C. 数轴上的点只能表示有理数 D. 单位长度可以不统一 3.下列语句中，属于命题的是（ ） A. 画一个角等于已知角 B. 对顶角相等吗 C. 直角都相等 D. 延长线段AB到C 4.命题“同旁内角互补”是（ ） A. 真命题 B. 假命题 C. 无法确定 D. 以上都不对 5.把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式是（ ） A. 如果是等角，那么余角相等 B. 如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等 C. 如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等 D. 如果两个角互余，那么这两个角相等 6.已知∠A + ∠B = 180°，∠B+∠C=180°，则∠A=∠C，推理的依据是（ ） A. 同角的余角相等 B. 同角的补角相等 C. 等角的余角相等 D. 等角的补角相等 7.下列说法正确的是（ ） A. “对顶角相等”与“相等的角是对顶角”是互逆定理 B. “两直线平行，同位角相等”的逆命题是真命题 C. 任何命题都有逆命题，任何定理都有逆定理 D. “直角三角形的两个锐角互余”没有逆定理 8.如图在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,将△BDC沿CD折叠,点B恰好落在AC边上的点B'处,若∠ADB'=20°,则∠A的度数为(　　) A.20° B.25° C.35° D.40° 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图,∠ABC=∠ACB,点E,F分别在BA,BC的延长线上,AD,BD,CD分别平分∠EAC,∠ABC,∠ACF.有以下结论:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③DB平分∠ADC;④∠ADC=90°-∠ABD;⑤∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10. 如图 ，D 是△ABC 的边 AC 上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确 的是（ ） A. AC＞BC B. AC=BC C. ∠A＞∠ABC D. ∠A=∠ABC 二．填空题（共30分） 11若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是3，则m2+2(a + b)-4cd的值为______。 12．命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题是　 　． 13．若命题“ 不是方程ax－2y＝1的解”为假命题，则有理数a的值为________． 14.命题“对顶角相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）。 15.把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果______，那么它们的余角相等。 16．如图AD∥BC，∠DAC＝60°，∠ACF＝25°，∠EFC＝145°，则直线EF与BC的位置关系是________． 第16题图 第17题图 第18题图 17．有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B＝90°.按图9所示的方式剪去它的一个角(虚线部分)，在剩下的四边形ADEC中，若∠1＝165°，则∠2的度数为________°. 18.如图将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么α，β，和γ之间的关系式是________________. 19．甲、乙、丙、丁四个人一起到餐馆大吃海喝了一顿，因为甲的钱包落在宿舍，所以钱就由乙、丙、丁三个人出．回到宿舍以后，甲找到了钱包，想要把钱还给其他三个人，结果乙摆摆手说：“不用了，我反正还欠你40元钱，正好抵了．”丙说：“你把补我的那份给丁吧，我正好欠他90块钱．”于是甲只付钱给丁，一共给了310元．那么，在餐馆付饭钱时丁付了　 　元． 20．甲、乙两车在A、B两城不断来回开行，速度不变（忽略掉头等时间）．其中甲车从A城开出，乙车从B城开出，两车在距A城36公里处第一次相遇．当甲车还没有到达B城时，两车又在距B城若干公里的某处第二次相遇，并且后来再在距B城36公里处第三次相遇．那么第二次相遇时，两车距离B城　 　公里． 三．解答题（60分） 21．（8分）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请你将它改写为“如果……那么……”的形式，找出命题的条件和结论，并判断其真假． (1)大于90°的角是钝角． (2)正数都大于0吗？ (3)互为相反数的两个数的和为0. (4)用量角器画∠AOB＝90°. 22.（8分）已知:如图,PQ∥MN,△ABC的顶点A与B分别在MN与PQ上,∠C=45°,设∠CBQ=∠α,∠CAN=∠β. (1)如图①,当点C落在PQ的上方时,AC与PQ交于点D,求证:∠β=∠α+45°; (2)如图②,当点C落在MN的下方时,BC与MN交于点F,请判断∠α与∠β的数量关系,并说明理由. 23．（10分）(1)如图(a)，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠COE＝2∠BOE，∠DOE＝70°，求∠COE的度数． (2)如图(b)，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°. ①请你数一数，图中有________个小于平角的角； ②求出∠BOD的度数； ③请通过计算说明OE是否平分∠BOC. 24．（10分）如图在△ABC中三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB交边BC于点D. (1)如图①，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由． (2)如图②，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F. ①求证：BF∥OD； ②若∠F＝35°，求∠BAC的度数． 25．（12分）（1）如图1，将一张三角形纸片沿着AD折叠，使点C落在边AB上的C'处，若∠CAB＝70°，则∠CAD＝　 　，其中AD是∠CAB的　 　线． （2）如图2，将一张三角形纸片沿着DE折叠（点D、E分别在边AB和AC上），并使得点A和点A'重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝　 　． （3）如图3，将长方形纸片沿着BC各BD折叠成图示的形状，BE和BI重合， ①∠CBD的度数是多少？请说明理由． ②如果∠IBD＝58°17'，求∠ABC的度数． 26．（12分）探究与发现： 探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 如图①，∠FDC与∠ECD为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠ECD的数量关系． 探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种数量关系？ 如图②，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系． 探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？ 如图③，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A＋∠B的数量关系． 探究四：若将△ADC改为任意六边形ABCDEF呢？ 如图④，在六边形ABCDEF中，DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版七年级数学下期末提分特训（六）--《定义、命题、证明》 【特训目的】 1.精准掌握定义、命题、真命题、假命题、定理、证明等概念的内涵。例如，能清晰区分定义（对名称或术语的含义进行描述、规定，如“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”）和命题（判断一件事情的句子，如“两直线平行，同位角相等” ）。 2.熟练分析命题的条件和结论，会将命题改写成“如果……那么……”的形式。例如，对于“同角的余角相等”，能准确改写为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”。 3.熟悉证明过程中可依据的内容，包括基本事实（如“两点确定一条直线”）、定义、已学过的定理等，为证明题提供理论支撑。 4.快速判断一个句子是否为命题，并辨别其真假；准确提炼命题中的条件和结论，规范改写命题形式，提升逻辑分析能力。 5.能够根据已知条件，运用学过的定义、定理等，有条理地进行简单几何命题的证明，掌握证明的步骤和格式，做到推理严谨、书写规范。 【知识清单】 一．定义 1.概述对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义。 2.例如：数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值；只有符号不同的两个数称为互为相反数等。 二．命题 1.定义：判断一件事情的句子叫命题。 2.组成：命题由题设（条件）和结论组成。 3.分类： （1）真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题。 （2）假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确，即结论不成立，这样的命题叫做假命题。判断一个假命题只需举出一个反例。 三．证明 1.定义：根据已知真命题，确定某个命题的真实性的过程，叫做证明。经过证明的真命题称为定理。 2.步骤： （1）根据题意，画出图形； （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证； （3）进行推理证明，证明过程要言必有据，依据是基本事实、定义、定理、等式性质、不等式性质等。 四．三角形的内角和定理及其推论 1.内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180°。 2.外角性质：三角形的一边与另一边的延长线组成的角是外角。三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和等（虽题目未提及，但此为相关重要推论）。 五．互逆命题 1.定义：把一个命题的条件与结论互换，就得到它的逆命题。 2.真假判断：原命题成立，逆命题不一定成立。可分别判断原命题和逆命题的真假，证明逆命题为假命题也可通过举反例。 《定义、命题、证明》期末提分特训 （时间 ：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.下列关于单项式的定义，说法正确的是（ ） A. -3x2y的系数是-3，次数是2 B. 单项式是数与字母的积组成的式子，单独的一个数或一个字母不是单项式 C. ab的系数是，次数是2 D. x + 1是单项式 【答案】：C 【解析】：根据单项式的定义，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 。选项A：-3x2y的系数是-3，次数是2 + 1=3，不是2，所以A错误。选项B：单独的一个数或一个字母也是单项式，所以B错误。选项C：ab的数字因数是，即系数是，字母a的次数是1，字母b的次数是1，所以次数是1 + 1 = 2，C正确。选项D：x + 1是由x与1两项组成，是多项式不是单项式，所以D错误。 2. 对于数轴的定义，理解正确的是（ ） A. 画一条直线就可以表示数轴 B. 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线 C. 数轴上的点只能表示有理数 D. 单位长度可以不统一 【答案】：B 【解析】：根据数轴的定义，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。选项A：只画一条直线，没有规定原点、正方向和单位长度，不能表示数轴，所以A错误。选项B：符合数轴的定义，B正确。选项C：数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数，比如等，所以C错误。选项D：数轴上的单位长度必须统一，这样才能准确表示数，所以D错误。 3.下列语句中，属于命题的是（ ） A. 画一个角等于已知角 B. 对顶角相等吗 C. 直角都相等 D. 延长线段AB到C 【答案】：C 【解析】：命题是判断一件事情的语句。A选项“画一个角等于已知角”是描述性语言，没有对事情作出判断；B选项“对顶角相等吗”是疑问句，没有作出判断；C选项“直角都相等”对直角的性质作出了判断，属于命题；D选项“延长线段AB到C”是描述性语言，没有作出判断。所以选C。 4.命题“同旁内角互补”是（ ） A. 真命题 B. 假命题 C. 无法确定 D. 以上都不对 【答案】：B 【解析】：只有两直线平行时，同旁内角才互补，若两直线不平行，同旁内角不互补 。所以“同旁内角互补”这个命题缺少前提条件，是假命题，选B。 5.把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式是（ ） A. 如果是等角，那么余角相等 B. 如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等 C. 如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等 D. 如果两个角互余，那么这两个角相等 【答案】：C 【解析】：命题由题设和结论两部分组成，“等角的余角相等”中，题设是“两个角是等角的余角”，结论是“这两个角相等”，所以改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等，选C。 6.已知∠A + ∠B = 180°，∠B+∠C=180°，则∠A=∠C，推理的依据是（ ） A. 同角的余角相等 B. 同角的补角相等 C. 等角的余角相等 D. 等角的补角相等 【答案】：B 【解析】：因为∠A和∠C都是∠B的补角 ，根据“同角的补角相等”这一性质（同一个角的补角大小相等），所以由∠A + ∠B = 180°，∠B+∠C=180°，可以得出∠A=∠C。A选项同角的余角相等是指同一个角的余角相等；C选项等角的余角相等是针对两个相等的角的余角情况；D选项等角的补角相等是两个相等的角，它们各自的补角相等，均不符合本题条件。 7.下列说法正确的是（ ） A. “对顶角相等”与“相等的角是对顶角”是互逆定理 B. “两直线平行，同位角相等”的逆命题是真命题 C. 任何命题都有逆命题，任何定理都有逆定理 D. “直角三角形的两个锐角互余”没有逆定理 【答案】：B 【解析】：选项A：“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题 ，因为相等的角不一定是对顶角，不满足逆命题为真才能成为互逆定理的条件，所以它们不是互逆定理，A错误。选项B：“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，这是平行线的判定定理，是真命题，B正确。选项C：任何命题都有逆命题，但只有逆命题为真的定理才存在逆定理，不是所有定理都有逆定理，C错误。选项D：“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形” ，该逆命题是真命题，所以“直角三角形的两个锐角互余”有逆定理，D错误。综上，答案选B。 8.如图在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,将△BDC沿CD折叠,点B恰好落在AC边上的点B'处,若∠ADB'=20°,则∠A的度数为(　　) A.20° B.25° C.35° D.40° 【答案】：C 【解析】：∵∠ACB=90°，:.∠A+∠B=90°,∵△CDB'是由△CDB翻折得到，:.∠CB'D=∠B, ∵∠CB'D =∠A+ ∠ADB'=∠ A+20°,..∠A+∠A+20°=90°，解得∠A=35°.故选:C. 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图,∠ABC=∠ACB,点E,F分别在BA,BC的延长线上,AD,BD,CD分别平分∠EAC,∠ABC,∠ACF.有以下结论:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③DB平分∠ADC;④∠ADC=90°-∠ABD;⑤∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】：D 【解析】：∵AD平分∠EAC， ∠EAC =2∠EAD；∠EAC= ∠ABC +∠ACB,∠ABC=∠ACB；∠EAD = ∠ABC,∴AD∥BC，∴.①正确; AD∥BC,∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC= ∠ACB,∴.∠ABC=∠ACB =2∠DBC,∴∠ACB=2∠ADB，∴.②正确;∵BD平分∠ABC，∴.∠ABD=∠DBC, ∵∠ADB=∠DBC，∠ADC= 90°-2 ABC,∴.∠ADB不等于∠CDB，∴.③错误;∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF ∠DAC=1/2∠EAC,∠DCA=1/2∠ACF,∵∠EAC=∠ACB+ ∠ACB， ∠ACF = ∠ABC + ∠BAC,∠ABC + ∠ACB +∠BAC=180°∴. ∠ADC =180°-(LDAC+∠ACD)=180°-2(∠EAC+∠ACF)=180°-2(∠ABC+∠ACB + ∠ABC + ∠BAC)=180°-1/2(180°+∠ABC)=90°-∠ABC =90°-∠ABD，∴④正确;∠BDC=∠DCF-∠DBF=1/2∠ACF-∠ABC=∠BAC，⑤正确，故选:D. 10. 如图 ，D 是△ABC 的边 AC 上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确 的是（ ） A. AC＞BC B. AC=BC C. ∠A＞∠ABC D. ∠A=∠ABC 【答案】：A 【解析】：∵AD=BD，∴∠A=∠ABD.∠ABC> ∠A，所以C选项和D选项错误;:.AC>BC，所以A选项正确;B选项错误.故选A 二．填空题（共30分） 11若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是3，则m2+2(a + b)-4cd的值为______。 【答案】：5 【解析】：根据相反数的定义：互为相反数的两个数和为0，因为a，b互为相反数，所以a + b = 0；根据倒数的定义：互为倒数的两个数乘积为1，由于c，d互为倒数 ，所以cd = 1； 根据绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，已知lml= 3，则m2=9。将a + b = 0，cd = 1，m^{2}=9代入m^{2}+2(a + b)-4cd可得： 9 + 2×0 - 4×1=9 + 0 - 4 = 5 。 12．命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题是　 　． 【答案】如果两个角相等，那么两个角都是直角． 【解析】命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题为：如果两个角相等，那么两个角都是直角．故答案为：如果两个角相等，那么两个角都是直角． 13．若命题“ 不是方程ax－2y＝1的解”为假命题，则有理数a的值为________． 【答案】－3　 【解析】当x＝1，y＝－2时，a＋4＝1，解得a＝－3. 14.命题“对顶角相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）。 【答案】：假 【解析】：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角” ，相等的角不一定是对顶角，比如两直线平行，同位角相等，同位角不是对顶角，所以该逆命题为假命题。 15.把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果______，那么它们的余角相等。 【答案】：两个角是相等的角 【解析】：命题改写为“如果…那么…”形式时，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论，“等角的余角相等”中题设是“两个角是相等的角”，结论是“它们的余角相等”。 16．如图AD∥BC，∠DAC＝60°，∠ACF＝25°，∠EFC＝145°，则直线EF与BC的位置关系是________． 【答案】 平行 【解析】 ∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝60°.∵∠ACF＝25°，∴∠FCB＝35°，∴∠EFC＋∠FCB＝145°＋35°＝180°，∴EF∥BC. 第16题图 第17题图 第18题图 17．有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B＝90°.按图9所示的方式剪去它的一个角(虚线部分)，在剩下的四边形ADEC中，若∠1＝165°，则∠2的度数为________°. 【答案】 105 【解析】 ∵∠B＝90°，∴∠BDE＋∠BED＝180°－∠B＝90°.又∵∠BDE＋∠2＝180°，∠BED＋∠1＝180°，∴∠1＋∠2＝360°－（∠BDE＋∠BED）＝270°.∵∠1＝165°，∴∠2＝105°. 18.如图将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么α，β，和γ之间的关系式是________________. 【答案】γ＝2α＋β 　 【解析】根据折叠的性质得∠A＝∠A′.∵∠BDA′＝∠A＋∠AFD，∠AFD＝∠A′＋∠CEA′，又∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，∴∠BDA′＝γ＝α＋α＋β＝2α＋β. 19．甲、乙、丙、丁四个人一起到餐馆大吃海喝了一顿，因为甲的钱包落在宿舍，所以钱就由乙、丙、丁三个人出．回到宿舍以后，甲找到了钱包，想要把钱还给其他三个人，结果乙摆摆手说：“不用了，我反正还欠你40元钱，正好抵了．”丙说：“你把补我的那份给丁吧，我正好欠他90块钱．”于是甲只付钱给丁，一共给了310元．那么，在餐馆付饭钱时丁付了　 　元． 【答案】570 【解析】由甲只付钱给丁，一共给了310元，还有抵消了原来甲欠他的40元钱， 故本次饭费每人350元，∴一共饭费为：350×4=1400（元），因为丁给丙一块付费，则丁一共付费700﹣90﹣40=570（元）．故答案为：570． 20．甲、乙两车在A、B两城不断来回开行，速度不变（忽略掉头等时间）．其中甲车从A城开出，乙车从B城开出，两车在距A城36公里处第一次相遇．当甲车还没有到达B城时，两车又在距B城若干公里的某处第二次相遇，并且后来再在距B城36公里处第三次相遇．那么第二次相遇时，两车距离B城　 　公里． 【答案】72 【解析】设两车首次相遇于C处，第二次相遇于D处，第三次相遇于E处，考虑两车第二次相遇的情形，如图1，甲还没有到达B城，便与C相遇于D处，其实是乙到达A城后，在回程途中追上甲，这样甲到达D，B之间的E处时，乙到达B城折回与甲第三次相遇，则两车首次相遇时合开的路程记为S=AB，第一、三次相遇之间，甲开行距离为CE，乙开行距离为CA+AB+BE，两车合开的路程为2S，由于速度不变，甲应开行了2×36=72公里，即CE=72公里，而题设EB=36公里，所以S=AC+CE+EB=36+72+36=144公里，BC=S﹣AC=144﹣36=108公里，甲、乙速度之比=36：108=1：3，于是易算得两车第一次相遇于C后，乙到达A站时，甲到达F处，CF=12公里，如图2；从而甲在回程图中追赶乙，需从A起，追赶48+48÷（3﹣1）=72公里，即AD=72公里，从而知DB=S﹣AD=144﹣72=72公里． 故答案为：72． 三．解答题（60分） 21．（8分）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请你将它改写为“如果……那么……”的形式，找出命题的条件和结论，并判断其真假． (1)大于90°的角是钝角． (2)正数都大于0吗？ (3)互为相反数的两个数的和为0. (4)用量角器画∠AOB＝90°. 解：(1)(3)是命题，(2)(4)不是命题． (1)(3)改写如下：(1)如果一个角大于90°，那么这个角是钝角．这个命题的条件是“一个角大于90°”，结论是“这个角是钝角”，是假命题． (3)如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0.这个命题的条件是“两个数互为相反数”，结论是“这两个数的和为0”，是真命题． 22.（8分）已知:如图,PQ∥MN,△ABC的顶点A与B分别在MN与PQ上,∠C=45°,设∠CBQ=∠α,∠CAN=∠β. (1)如图①,当点C落在PQ的上方时,AC与PQ交于点D,求证:∠β=∠α+45°; (2)如图②,当点C落在MN的下方时,BC与MN交于点F,请判断∠α与∠β的数量关系,并说明理由. 解:(1)证明:∵∠CDQ是△CBD的一个外角,∴∠CDQ=∠α+∠C.∵PQ∥MN,∴∠CDQ=∠β,∴∠β=∠α+∠C.∵∠C=45°,∴∠β=∠α+45°. (2)∠α=∠β+45°.理由如下:∵∠CFN是△ACF的一个外角,∴∠CFN=∠β+∠C.∵PQ∥MN,∴∠CFN=∠α,∴∠α=∠β+∠C.∵∠C=45°,∴∠α=∠β+45°. 23．（10分）(1)如图(a)，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠COE＝2∠BOE，∠DOE＝70°，求∠COE的度数． (2)如图(b)，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°. ①请你数一数，图中有________个小于平角的角； ②求出∠BOD的度数； ③请通过计算说明OE是否平分∠BOC. 解：(1)设∠BOE＝x.因为∠COE＝2∠BOE，所以∠COE＝2x.因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠DOB＝70°－x.因为∠AOD＋∠DOE＋∠COE＝180°，所以70°－x＋70°＋2x＝180°， 解得x＝40°，所以∠COE＝80°. (2)①9②因为∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，所以∠AOD＝25°，所以∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－25°＝155°. ③OE平分∠BOC.因为∠AOC＝50°，所以∠BOC＝180°－50°＝130°.因为∠DOE＝90°， 所以∠BOE＝∠BOD－∠DOE＝155°－90°＝65°，所以∠BOE＝∠BOC，即OE平分∠BOC. 24．（10分）如图在△ABC中三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB交边BC于点D. (1)如图①，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由． (2)如图②，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F. ①求证：BF∥OD； ②若∠F＝35°，求∠BAC的度数． 解：(1)∠AOC＝∠ODC.理由：∵三个内角的平分线交于点O，∴∠OAC＋∠OCA＝(∠BAC＋∠ACB)＝(180°－∠ABC)．∵∠OBC＝∠ABC，∴∠AOC＝180°－(∠OAC＋∠OCA)＝90°＋∠ABC＝90°＋∠OBC.∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴∠ODC＝90°＋∠OBD，∴∠AOC＝∠ODC. (2)①证明：∵BF平分∠ABE，∴∠EBF＝∠ABE＝(180°－∠ABC)＝90°－∠OBD.∵∠ODB＝90°－∠OBD，∴∠EBF＝∠ODB，∴BF∥OD. ②∵BF平分∠ABE，∴∠FBE＝∠ABE＝(∠BAC＋∠ACB)．∵∠BCF＝∠ACB，∴∠F＝∠FBE－∠BCF＝(∠BAC＋∠ACB)－∠ACB＝∠BAC.∵∠F＝35°，∴∠BAC＝2∠F＝70°. 25．（12分）（1）如图1，将一张三角形纸片沿着AD折叠，使点C落在边AB上的C'处，若∠CAB＝70°，则∠CAD＝　 　，其中AD是∠CAB的　 　线． （2）如图2，将一张三角形纸片沿着DE折叠（点D、E分别在边AB和AC上），并使得点A和点A'重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝　 　． （3）如图3，将长方形纸片沿着BC各BD折叠成图示的形状，BE和BI重合， ①∠CBD的度数是多少？请说明理由． ②如果∠IBD＝58°17'，求∠ABC的度数． 解（1）由翻折不变性可知∠CAD＝∠C′AD＝∠CAB＝35°，故答案为35°，角平分线． （2）如图2中，连接AA′．∵∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A， ∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A＝∠EAD+∠EA′D＝2∠A＝140°． 故答案为140° （3）如图3中，①∵∠CBD＝∠CBE+∠DBE＝∠ABE+∠EBF＝（∠ABE+∠EBF）＝90°．∴∠CBD＝90°．②∵∠CBE+∠IBD＝90°，∴∠ABC＝∠CBE＝90°﹣58°17′＝31°43′． 26．（12分）探究与发现： 探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 如图①，∠FDC与∠ECD为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠ECD的数量关系． 探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种数量关系？ 如图②，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系． 探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？ 如图③，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A＋∠B的数量关系． 探究四：若将△ADC改为任意六边形ABCDEF呢？ 如图④，在六边形ABCDEF中，DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系． 解：探究一：∵∠FDC＝∠A＋∠ACD，∠ECD＝∠A＋∠ADC， ∴∠FDC＋∠ECD＝∠A＋∠ACD＋∠A＋∠ADC＝180°＋∠A. 探究二：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD， ∴∠P＝180°－∠PDC－∠PCD＝180°－∠ADC－∠ACD＝180°－(∠ADC＋∠ACD) ＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A. 探究三：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD， ∴∠P＝180°－∠PDC－∠PCD＝180°－∠ADC－∠BCD＝180°－(∠ADC＋∠BCD) ＝180°－(360°－∠A－∠B)＝(∠A＋∠B)． 探究四：∠P＝(∠A＋∠B＋∠E＋∠F)－180°. 学科网（北京）股份有限公司 $$