精品解析：河南省青桐鸣2024-2025学年高一下学期5月联考数学试题（人教A版）

2027届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（人教A） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2024年，某大学的新能源汽车技术专业在河北省录取的八名学生的高考总分分别为，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 596 B. 597 C. 598 D. 599 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. “直线与直线相交”是“点共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为（ ） A. B. C. D. 5. 在锐角三角形中，的面积为，若，则（ ） A. 4 B. C. D. 5 6. 如图，在长方体中，，点分别是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 此长方体的表面积为112 B. 与是相交直线 C. 与是异面直线 D. 直线与平面相交 7. 在中，，点满足，直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正六棱柱的底面边长为5，点分别为线段的中点，若异面直线与所成角的余弦值是，则此正六棱柱的体积为（ ） A. B. 或 C. D. 或 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2024年11月14日是第18个联合国糖尿病日，活动主题是“糖尿病与幸福感”．某市的糖尿病患者中中老年组、中年组、中青年组、青年组人数的比例为，为了解各年龄段群组（中老年组､中年组､中青年组､青年组）饮食结构之间的差异，市卫生局计划从糖尿病患者中抽取220人进行饮食结构调查，则下列说法正确的是（ ） A. 应采用分层随机抽样抽取 B. 应采用抽签法抽取 C. 中年组患者应抽取60人 D. 被抽到的中青年组患者和青年组患者人数之和比中年组患者人数多 10. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 11. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若与共线，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 底面半径为，高为的圆柱形木桶（木桶的厚度忽略不计）中装满水，现将一个半径为的实心铁球放入木桶中使球完全浸没，然后拿出铁球（沾在铁球与手上的水忽略不计），则此时水面的高度为__________. 13. 已知，，则__________. 14. 如图，在梯形中，，则将此梯形绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________（结果用含的式子表示）． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数为虚数单位． （1）若复数的实部与的虚部相等，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围； （3）当时，若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 16. 某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识（综合安全事故､自然灾害等）网络测试，满分为100分.测试完后抽取了400份试卷，把分数按依次分为第一至第六组（所有得分均满足），其中与的人数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分. （1）求图中的值，并估计本次测试的及格率（“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例）； （2）分别求图中的值与的值； （3）已知落在区间的样本平均分是63，方差是7，落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 17. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）已知的周长为，外接圆的面积为，求的面积. 18. 如图1，在梯形中，，且，现将沿折起，将沿折起，使重合为点，得到四棱锥，如图2. （1）证明：平面平面； （2）点满足，求平面截此四棱锥所得截面的面积； （3）求直线与平面所成角的正切值. 19. 对于向量均为非零向量，定义运算. （1）对于非零向量一定成立吗？并给出理由； （2）已知为非零向量，若向量与向量共线，向量，与向量垂直，求； （3）已知向量，向量，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（人教A） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2024年，某大学的新能源汽车技术专业在河北省录取的八名学生的高考总分分别为，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 596 B. 597 C. 598 D. 599 【答案】B 【解析】 【分析】首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算法则计算可得． 【详解】将这组数据由小到大排列为： ， 因为，所以选取第6个和第7个数的平均数作为结果， 所以这组数据的第75百分位数是. 故选：B． 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行计算即可 【详解】. 故选：A. 3. “直线与直线相交”是“点共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由基本事实3及其推理即可判断. 【详解】由直线与直线相交，得点确定一个平面，故充分性成立； 当点共面时，直线与直线有可能平行，还有可能相交，故必要性不成立. 故选：A. 4. 如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件找出二面角的平面角，然后根据等腰直角三角形求出平面角的大小，从而得到答案. 【详解】， 点在以为直径的圆的圆周上， 平面平面，, 又平面平面， 因为平面，所以, 是二面角的平面角， 又. 故选：C. 5. 在锐角三角形中，的面积为，若，则（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形面积公式和同角三角函数关系得到，由中点得到，两边平方，结合向量数量积运算法则求出答案 【详解】由， 得， 为锐角，， ∵，∴为的中点， ∴， ∴ . 故选：B. 6. 如图，在长方体中，，点分别是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 此长方体的表面积为112 B. 与是相交直线 C. 与是异面直线 D. 直线与平面相交 【答案】C 【解析】 【分析】对于A求出长方体的表面积即可判断，对于B即证平面平面即可判断，对于C，根据异面直线定义即可判断，对于D即证直线平面即可判断. 【详解】此长方体的表面积为，故A错误； 连接，因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，又平面平面， 所以与无公共点，故B错误； 又因为平面，所以直线平面，故D错误. 因为平面平面， 所以与异面，故C正确. 故选：C. 7. 在中，，点满足，直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，根据向量的线性表示，将向量用向量表示出来，然后求出的值，进而用向量可将向量表示出来，从而可根据已知的线段长度和角求出结果. 【详解】如图，设，则， 又，所以解得 所以， 所以. 故选：A. 8. 如图，正六棱柱的底面边长为5，点分别为线段的中点，若异面直线与所成角的余弦值是，则此正六棱柱的体积为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用异面直线夹角的定义，结合余弦定理求出正六棱柱的高，进而求出体积. 【详解】在正六棱柱中，连接，则， （或其补角）为异面直线与所成的角，设此正六棱柱的高为， 在中，，， 则，即，解得或， 此正六棱柱的体积，所以或. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2024年11月14日是第18个联合国糖尿病日，活动主题是“糖尿病与幸福感”．某市的糖尿病患者中中老年组、中年组、中青年组、青年组人数的比例为，为了解各年龄段群组（中老年组､中年组､中青年组､青年组）饮食结构之间的差异，市卫生局计划从糖尿病患者中抽取220人进行饮食结构调查，则下列说法正确的是（ ） A. 应采用分层随机抽样抽取 B. 应采用抽签法抽取 C. 中年组患者应抽取60人 D. 被抽到的中青年组患者和青年组患者人数之和比中年组患者人数多 【答案】AC 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念及计算公式即可分别判断． 【详解】因为糖尿病患者中中老年组、中年组、中青年组、青年组人数的比例不同， 所以应采用分层随机抽样抽取，故A正确，B错误； 依题意，被抽到的中年组患者人数为（人）， 被抽到的中青年组患者和青年组患者人数之和为（人），所以C正确，D错误； 故选：AC． 10. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简得到，根据复数的概念，以及复数的分类和共轭复数的性质，逐项分析计算，即可求解. 【详解】，， 故复数， 对于A，若复数是纯虚数，则，解得，所以A错误； 对于B，若，则，解得，所以B正确； 对于C，若，则，可得，所以C正确； 对于D，若，可得复数是实数，所以，解得或，D正确. 故选：BCD. 11. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若与共线，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的数量积定义,向量垂直数量积为0的关系,证明A选项,利用垂直关系证明B,C.根据向量的模长概念,利用基本不等式求出最小值. 【详解】对于A，由可得，所以，得，又，得，所以，故A正确； 对于B，因为，所以与不共线，因为，所以，因为与共线，则，故B正确； 对于在方向上的投影向量为，故C错误； 对于， 当且仅当时，取得最小值，最小值为，故D正确. 故选:ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 底面半径为，高为的圆柱形木桶（木桶的厚度忽略不计）中装满水，现将一个半径为的实心铁球放入木桶中使球完全浸没，然后拿出铁球（沾在铁球与手上的水忽略不计），则此时水面的高度为__________. 【答案】56 【解析】 【分析】设水面下降的高度为，利用体积相等，求出的值即得. 【详解】设水面下降的高度为，利用体积相等可得， 解得，故此时水面的高度为. 故答案为：56. 13. 已知，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用两边取平方，结合向量数量积的定义和运算律即可求得. 【详解】由，可得， 因为，所以， 即， 解得. 故答案为：. 14. 如图，在梯形中，，则将此梯形绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________（结果用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】分析题意得出梯形绕直线旋转一周所形成的几何体为一个圆锥及圆台中挖掉一个小圆锥，根据圆锥及圆台体积公式求解即可． 【详解】如图，连接，则， 过点作，则， 所以，所以，故， 过点作的平行线，与的延长线交于点，则， 绕直线旋转一周所形成的几何体为底面半径为，高为的圆锥， 直角梯形绕直线旋转一周所形成的几何体为圆台，其中上底面半径为，下底面半径为，高为， 绕直线旋转一周所形成的几何体为底面半径为，高为的圆锥， 所以绕直线旋转一周所形成的几何体为圆台中挖掉一个圆锥， 故此梯形绕直线旋转一周形成的几何体的体积． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数为虚数单位． （1）若复数的实部与的虚部相等，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围； （3）当时，若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据复数实部与虚部的定义列出方程即可求解； （2）根据复数的几何意义，列出方程组求解即可； （3）将复数代入方程，结合复数的运算列出方程组求解即可． 【小问1详解】 由题意得，解得． 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， 所以，解得，． 16. 某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识（综合安全事故､自然灾害等）网络测试，满分为100分.测试完后抽取了400份试卷，把分数按依次分为第一至第六组（所有得分均满足），其中与的人数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分. （1）求图中的值，并估计本次测试的及格率（“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例）； （2）分别求图中的值与的值； （3）已知落在区间的样本平均分是63，方差是7，落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 【答案】（1）0.01；85% （2），. （3）72；59.2 【解析】 【分析】（1）先求出a，再根据频率算出及格率即可；（2）根据及格率和平均值构造方程组计算即可；（3）根据分层抽样的平均值和方差公式计算即可. 【小问1详解】 ， 所以及格率为. 【小问2详解】 由题意可知：0.85， 得， 平均分， 解得，. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，这400份答卷分数在的份数为， 分数在的份数为，所以， 总方差. 17. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）已知的周长为，外接圆的面积为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用余弦定理，结合正弦定理角化边求解即可； （2）先由外接圆面积得到外接圆半径，进而可求b边，进而可得，再用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，因为，所以, 所以，因为，所以. 【小问2详解】 设外接圆的半径为，由，得， 又因为， 因为的周长为，所以， ，得， 所以的面积为. 18. 如图1，在梯形中，，且，现将沿折起，将沿折起，使重合为点，得到四棱锥，如图2. （1）证明：平面平面； （2）点满足，求平面截此四棱锥所得截面的面积； （3）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1） 证明：在折起后的四棱锥中，， 因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意可得，进而得到平面，进而求证即可； （2）设平面与的交点为，则平面截此四棱锥所得截面为四边形，进而证明平面，结合线面平行的性质可得，可得，再证明平面，可得，进而求解截面的面积； （3）先证明平面，可得为直线与平面所成的角，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面与的交点为， 则平面截此四棱锥所得截面为四边形， 因为平面平面， 则平面，又因为平面平面平面， 所以，所以，因为，所以， 因为，平面， 所以平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以， 所以截面面积为. 【小问3详解】 因为在梯形中，，所以， 又， 所以，则， 由（1）得平面，因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 又因为， 所以， 即直线与平面所成角的正切值为. 19. 对于向量均为非零向量，定义运算. （1）对于非零向量一定成立吗？并给出理由； （2）已知为非零向量，若向量与向量共线，向量，与向量垂直，求； （3）已知向量，向量，且，求的取值范围. 【答案】（1）第一个不一定成立，第二个成立，理由为： 不一定成立， 一定成立. 理由如下：设向量， 则，而，所以不一定成立. 因为，所以，， ， 所以. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据向量新定义计算判断即可； （2）根据已知向量的新定义计算得出，最后计算模长； （3）根据新定义结合基本不等式计算求解范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则，由与共线，得. 由题意得，，， 因为与垂直，所以0， 又，得所以，所以. 【小问3详解】 ，， 当时，因为， 两式相减得，所以， 得； 又由，得； 同理，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以， 又，所以， 故， 所以 ， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $