专题05 二次函数综合压轴题-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编（辽宁专用）

专题05 二次函数综合压轴题 题型概览 题型01 二次函数综合压轴题 ( 题型01 )二次函数综合压轴题 1．（2025·辽宁营口·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求二次函数的表达式和点B的坐标． (2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点B的坐标为 (2)点M的坐标为或 【难度】0.65 【知识点】角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解； （2）先求出点D的坐标为，可得，，，的长， 过点A作于点E，再由，可得，再由勾股定理求出，从而得到，是等腰直角三角形，进而得到，再由，可得，过点M作轴于点F，可得是等腰直角三角形，设点M的坐标为，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； 令，则， 解得：， ∴点B的坐标为； （2）解：对于， 令，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵点， ∴，， 如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 过点M作轴于点F， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点M的坐标为， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或2或4， ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键． 2．（2025·辽宁沈阳·一模）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上． (1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由： (2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标； (3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”， ①求点的坐标； ②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)点是直线上的点的“共圆点”，理由见解析 (2)或或 (3)①；② 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、线段周长问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、圆的基本概念辨析 【分析】（1）先求解，，再计算，，即可判断； （2）先求解反比例函数为：，如图，结合，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得答案； （3）①如图，求解，设，则，由点与点是抛物线上的点的“共圆点”，可得，再建立方程求解即可； ②求解平移后的抛物线为：，平移后的对应点，如图，关于轴的对称点，连接，可得，当三点共线时，，此时周长最短；再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图， 当时，，当时，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点为直线上的点的“共圆点”； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， 如图，， ∵点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”， ∴根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得： 或或， 综上：的坐标为：或或 （3）解：①如图， ∵抛物线为， ∴对称轴为直线，此时， ∴， 设，则， ∵点与点是抛物线上的点的“共圆点”， ∴， ∴， 解得：，（舍去），， ∴； ②∵，将抛物线平移，使其顶点落在原点， ∴平移后的抛物线为：， ∴平移后的对应点， 如图，∵关于轴的对称点，连接， ∴， 当三点共线时，， 此时周长最短； 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，一次函数，反比例函数，二次函数的图象与性质，平移的性质，勾股定理的应用，圆的定义，理解题意是解本题的关键． 3．（2025·辽宁大连·一模）已知，抛物线（），与x轴交于A，B，（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． (1)抛物线的对称轴为 （用含有a的式子表示）； (2)若当时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； (3)如图1，当时，点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接，过点E作轴，交于点H，以为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求m的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①或；② 【难度】0.4 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）直接利用对称轴的计算公式计算即可； （2）分和，利用二次函数的增减性进行求解即可； （3）①求出的坐标，进而求出的解析式，由题意，求出，，利用矩形的周长公式列出方程进行求解即可； ②求出抛物线的顶点坐标，进而求出翻折后的抛物线的解析式，求出翻折后的抛物线的顶点恰好在轴上，和翻折后的抛物线恰好经过原点两种临近情况的值，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； 故答案为：； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，时，随着的增大而减小， ∵当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 当时，时，随着的增大而减小， ∵当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 综上：或； （3）①当时，则：，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，当时，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∵点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F，轴，交于点H， ∴，，，， ∴，， ∴当矩形的周长为时，， ∴， 当，即：时，， 解得：或（舍去）； 当，即：时，， 解得：； 综上：或； ②∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 由题意，得：直线的解析式为， ∴点关于的对称点为：， ∴翻折后的抛物线的解析式为， 当抛物线的顶点恰好在轴上时，则：， ∴， 当抛物线过原点时，则：，解得：， ∵翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴， ∴． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点是点，的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点，的“合作点”． (1)已知点，，点是点，的“合作点”，求出点的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，点，点是点，的“合作点”，试求出中关于的函数表达式； (3)把（2）中关于的函数表达式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的轴交于点，点是新函数图像上一动点，它的横坐标为m．过点作轴于点，当点与点都不与点重合时，以，为边作矩形，设矩形的周长为． ①求与的函数解析式； ②若对于的每一个取值，都有两个的值与它对应，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【难度】0.4 【知识点】其他问题(二次函数综合)、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）设，根据“合作点”的定义计算即可得解； （2）由题意可得，即，由“合作点”的定义可得，由①可得，代入②计算即可得解； （3）①分三种情况：当点在轴左侧时；当点在直线上方，即；当点在轴右侧，直线下方，即时；分别利用矩形的性质求解即可；②画出函数图象，利用函数图象求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵，，点是点，的“合作点”， ∴，， ∴； （2）解：∵点是抛物线上一动点， ∴，即， ∵点是点，的“合作点”， ∴， 由①可得：， 代入②得：； （3）解：①由题意可得：， 当时，，即， ∴， ∵轴， ∴， 如图，当点在轴左侧时， ， 当时，∵四边形为矩形， ∴，， ∴； 如图，当点在直线上方，即时， ， 同理可得：，， ∴； 如图：当点在轴右侧，直线下方，即时， ， 同理可得：，， ∴； 综上所述，； ②的函数图象如图所示： ， 由图象明显可得，当或时，对于的每一个取值，都有两个的值与它对应． 【点睛】本题考查了新定义、二次函数的图象与性质、矩形的性质，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 5．（2025·辽宁铁岭·一模）【发现问题】 数学小组在活动中，研究了一道有关相似三角形的问题． 例：如图1，在中，点D是线段AC上一点，连接BD，若． 求证：． 证明：， ，，． 小强同学经过分析，思考后，将这个三角形放在平面直角坐标系中发现了一些规律． 【提出问题】 如图2，点恰好与点重合，边在轴上，若点的纵坐标始终为，，那么随着的变化，点A的位置发生变化；小强同学通过描点、观察，提出猜想：按此方式描出的若干个点A都在某二次函数图象上． 【分析、解决问题】 （1）当时，若，所对应的点的坐标为______． （2）当时，请帮助小睿同学证明他的猜想． 【深度思考】 （3）点的坐标为，当时，的最大值为，最小值为，且，求此时t的值．（规定：当点A与点B重合时，依然满足） 【答案】（1）点A的坐标为或；（2）按此方式描出的若干个点都在二次函数的图象上，证明见解析；（3）的值为或1 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、坐标与图形综合、其他问题(二次函数综合) 【分析】题目主要考查相似三角形的性质，坐标与图形，二次函数的应用等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质进行分类讨论是解题关键． （1）设点A坐标为，根据题意得出当A在点B右侧时，得到，利用发现问题中的结论代入即可得出结果；当A在点B左侧时，得到，利用发现问题中的结论代入即可得出结果； （2）设点A坐标为，则点，，，根据即可列出函数解析式； （3）根据题意得出，，，根据得到 ，得出对称轴为直线，然后分情况分析：①当时；②当时；③当时；④当时；分别求解即可． 【详解】解：（1）设点A坐标为， 当A在点B右侧时，，则， ∵，， ∴，即， ∴； 当A在点B左侧时，，则， ∵，， ∴，即， ∴， ∴点A的坐标为或． 故答案为：或 （2）设点， 则点，，， 依题意可知：， 由【发现问题】可知：， ， ， 按此方式描出的若干个点A都在二次函数的图象上． （3）点， 则点，，， 依题意可知：， 有【发现问题】可知：， ， ， ，则，抛物线开口向上，对称轴为直线． ①当时，，， ， ， 解得：； ②当时，，， ， ， 解得：（不符合，舍去），（不符合，舍去）； ③当时，，， ， ， 解得：（不符合，舍去），（不符合，舍去）； ④当时，，， ， ， 解得：； 综合①②③④可知，的值为或1． 6．（2025·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，如果某点的横坐标与纵坐标的和为 5，则称此点为“感悟点”．例如： 点，…都是“感悟点”． (1)点P在反比例函数 图像上，且点 P 的横坐标是4，请判断点 P 是否是“感悟点”．答： （填“是”或“否”）； (2)求函数的图象上的“感悟点”的坐标； (3)若点A，B是二次函数的图象上的两个“感悟点”，点A在点 B的左侧， ①求A，B两点坐标； ②若点C在二次函数的图象上，且位于A，B两点之间，点D是平面内的“感悟点”，设点C，D的横坐标都是m，当m为何值时，的长最大，并求出其最大值； (4)点P是在平面直角坐标系中的“感悟点”，过点P分别作x轴，y轴的垂线， ①设两条垂线与坐标轴围城的四边形面积为s，点P的横坐标为x，求s关于x的函数表达式； ②在（4）①的条件下，直线与函数s的图像有四个交点时，从左到右分别记作点E，F，G，H，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2)“感悟点”的坐标为 (3)①点，；②当时，CD取最大值为 (4)①；② 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、求反比例函数值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）代入点的横坐标求出纵坐标，再验证点的横坐标与纵坐标之和是否为5即可． （2）联立方程与，解方程组即可； （3）①联立与，解方程得到横坐标，再求纵坐标； ②的长度由纵坐标差决定，转化为二次函数求最值问题，表达式为，通过顶点式求最大值即可； （4）①感悟点坐标为，垂线围成的面积为，直接根据几何意义写出面积表达式； ②分析方程的解的分布，利用一元二次方程根与系数的关系，利用距离关系建立方程求解． 【详解】（1）解：将点横坐标4代入，得到点纵坐标为1， 则，横坐标与纵坐标的和为： ，符合“感悟点”定义， 所以点 P 是 “感悟点”． 故答案为：是． （2）解：联立方程， 将代入， 得到，解得：， 再将代入回，解得：． 所以函数的图象上的“感悟点”的坐标为． （3）解：①联立， 解得或， 即，． ②点坐标为，其中，点坐标为， 长度为：， 当时，最大值为． （4）解：①“感悟点”的坐标为， 垂线围成的面积为， 所以． ②方程有四个解时，． 设四个点坐标从左到右为，，，， 则是方程的两个解，是方程的两个解， ∴；， 则：，， 由，得， 即， 解得． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，二次函数与一次函数的交点，二次函数的性质，绝对值函数的性质，几何图形的面积计算，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）定义：在平面直角坐标系中，是自变量的函数，下面构建一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后函数称为原函数的变构函数，例如：二次函数的变构函数为． (1)求一次函数的变构函数的函数表达式； (2)点在反比例函数的变构函数图象上，求的值； (3)已知二次函数和一次函数，点在的变构函数的图象上，过点作轴与的变构函数的图象交于点，设点的横坐标为，长为，当时，求关于的函数表达式； (4)函数的解析式，点、的坐标分别为、，连接，线段与二次函数的变构函数的图象只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 【答案】(1)； (2)的值为或； (3)； (4)或或． 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、由反比例函数值求自变量、求一次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据变构函数定义即可求解； （）反比例函数的变构函数为，然后分当时，当时代入求解即可； （）由定义得的变构函数为，的变构函数为，分当时和当时求解即可； （）找出临界点时的值，然后根据线段与二次函数的变构函数的图象只有一个公共点时即可求出的值或取值范围． 【详解】（1）解：由题意，当时，， 当时，， ∴一次函数的变构函数的函数表达式为； （2）解：∵反比例函数的变构函数为， 又∵点在的变构函数图象上， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上：的值为或； （3）解：由定义得的变构函数为，的变构函数为， 当时， ∵点在的图象上， ∴， ∵点在的图象上，且轴， ∴， ∴长  -8分 当时，点在的图象上， ∴， ∵点在的图象上，且轴， ∴， ∴长， 综上：关于的函数表达式； （4）解：由定义得的变构函数为， 如图， ∵点、的坐标分别为、， ∴当经过点时， ，解得：； 当经过点时， ，解得：； 当顶点在上时，即点在上， ∴， 当与轴交点在上时，即在上， ∴， ∴线段与二次函数的变构函数的图象只有一个公共点时或或． 8．（2025·辽宁大连·一模）已知y1是自变量x的函数，当（k为常数，）时，称函数为函数的“k级函数”．点和点分别在函数和的图象上，此时称点B为点A关于的“k级点”． 例如：函数，当时，，则函数是函数的“2级函数”．点为点关于的“2级点”． (1)如图，点在反比例函数的图象上，当点 B 为点A关于的“1级点”时，求点B的坐标； (2)函数为函数的“k级函数”． ①求a的值； ②若点A在函数的图象上，点B为点A关于的“k级点”，当点A在点B上方时，请直接写出自变量x的取值范围 ； (3)函数为函数的“级函数”，点C在函数的图象上，点为点C关于的“级点”． ①当时，的取值范围是，求t的值； ②点M，N在函数的图象上，它们的横坐标分别为a，，以线段为对角线作矩形，平行x轴．当矩形与函数的图象有且只有三个公共点时，设第三个公共点为K，若矩形的边长度为5，请直接写出点K的纵坐标 ． 【答案】(1) (2)①；② (3)①的值为或；②或 【难度】0.4 【知识点】求反比例函数值、其他问题(二次函数综合)、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，反比例函数，一次函数的性质，熟练利用分类讨论，正确画出图形是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）①根据题意可得，对应左边两边未知数的系数即可解答； ②表示出点的纵坐标，按照题意列不等式即可解答； （3）①根据点为点C关于的“级点”求得点的坐标，即可求得的解析式，分类讨论，按照题意求解即可； ②分类讨论，分点在点的左边或点在点的右边，分别求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 则点的纵坐标为， ； （2）解：①∵函数为函数的“k级函数”， ， 则， 解得； ②设，则， 根据题意可得， 解得， 故答案为：； （3）解：①∵函数为函数的“级函数”， ， ∵点为点C关于的“级点”， 设点的纵坐标为， ， 解得， ， ∵点C在函数的图象上， ， ， ∴， ， ∴当时，， 当时，， 对称轴为直线， 当时，， 当，即在对称轴左侧时， 则当时，取最小值， 即， 解得（舍去）， ； 当，即在对称轴右侧时， 则当时，取最小值， 即，解得， ， ，即， 成立， 综上，的值为或； ②， 则函数的对称轴为直线， 矩形与函数的图象有且只有三个公共点， 在函数的对称轴的两侧， 即，解得， 情况一：当点在点的上边时， 如图，当的纵坐标比大时， 则，解得，故情况不存在， 如图，当的纵坐标比小时， ， 则点的纵坐标比点的纵坐标大， 即， 解得（负值舍去）， 把代入函数可得， 故点的纵坐标等于点的纵坐标为； 情况二：当点在点的下边时，当的纵坐标比大时， ， 则点的纵坐标比点的纵坐标小， 即， 解得（负值舍去）， 把代入函数可得， 故点的纵坐标等于点的纵坐标加为， 综上，点的纵坐标为或， 故答案为：或． 9．（2025·辽宁大连·一模）抛物线（，为常数）经过点，与轴的交点是点，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． (1)求，的值； (2)若点在上方，当为何值时，的面积最大； (3)点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标； (4)在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点和点的纵距记为． ①求关于的表达式； ②点是平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4)①；②的值为或4或 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意，抛物线（，为常数）经过点，且对称轴为直线，代入计算，即可求解，的值； （2）作轴交轴于点，交于点，过点作于点，抛物线与轴的交点是、，求出点、的坐标，推出直线的函数，即可设、，根据得出二次函数，通过二次函数的图象即可求解； （3）根据题意作图，根据对称的性质得、，在中，利用勾股定理，求出，得．设，得，解得的值即可求解； （4）①设点，则点和点的纵距为，与轴的交点为、，再分取值范围、、去绝对值符号，即可求解； ②点横坐标为、，结合四边形是平行四边形，可得、轴，设、，分或两种情况讨论，通过去绝对值计算即可求解的值． 【详解】（1）解：抛物线（，为常数）经过点， 当时，， 其对称轴为直线， ，解得：， ，，抛物线． （2）解：如图，作轴交轴于点，交于点，过点作于点， 抛物线与轴的交点是、， 当时，解得：或， 点在点左边， ，． 设经过点，点的函数解析式为， 得，解得：， 经过点，点的直线函数为． 设，，则， ， 当时，的面积最大． （3）解：如图，根据题意，点关于直线的对称点恰好在直线，连接、、， 点与点关于直线对称， ，， ， 在中，， ， 点． 设， ，， ，解得：， ． （4）解：①设点，则点和点的纵距为， 其与轴的交点为，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：． ②由（1）得抛物线，由（4）①得， 如图所示： 点横坐标为，，且四边形是平行四边形， ，轴， 设，， 有两种情况，如下： I、由①可得，当时，或， ， ， 当时，解得或，皆舍去， 当时，解得或； II、当时，， ， ； 综上所述，当或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，用待定系数法求解一次函数、二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，对称图形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中两点距离公式，去绝对值的计算，平行四边形的判定与性质，理解题意、分类求解是解题关键． 10．（2025·辽宁抚顺·一模）一般地，在实数范围内的两个变量x，y，以及对应关系f，对于每一个实数x，y都有唯一确定的实数与之对应，则称f为定义在实数范围内的一个函数，即（x为使对应关系成立的全体实数）．例如：若，则；若，则．如图，函数的图象与x轴交于点A，且，与y轴交于点C，且．函数的图象经过点A和点C． (1)求的表达式． (2)如图，若为函数图象上的一点，作垂直x轴，垂足为E，延长交的图象于点F，此时称点D与点F互为“垂直点”，两垂直点函数值的差，即称为“垂直差”．当时，求的最大值以及此时的值． (3)若是函数图象上不与点B重合的一点，当的面积与的面积相等时，求出的值． 【答案】(1) (2)的最大值为3，此时的值为1.5． (3)或或 【难度】0.4 【知识点】面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出解析式即可； （2）根据列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可； （3）求出点坐标，进而求出，根据的面积与的面积相等，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：，，， ． 当时，； 当时，． 点． 把点代入，得 解得 ． （2）， ． 拋物线的开口向下． 当时，有最大值，最大值为3． 此时． 的最大值为3，此时的值为1.5． （3）当时，． 解得． 点的坐标为 点的坐标为． ． ． ． ，， ． 解得（舍去），，，． ∴当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，的值为，，． 11．（2025·辽宁抚顺·一模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标绝对值相等，则称该点为“绝值点”．例如，，，…都是“绝值点”．若某函数图象上只存在两个“绝值点”，则称该函数为“绝值函数”．例如的图象上存在，两个“绝值点”，则称函数为“绝值函数”． (1)求反比例函数图象上的“绝值点”的坐标； (2)判断二次函数是不是“绝值函数”，请说明理由； (3)“绝值函数”的“绝值点”分别是点A，（点A在点的左侧），与轴交于点，当的面积为1时，求的值． 【答案】(1)， (2)是“绝值函数”，理由见解析 (3)或 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、其他问题(二次函数综合)、新定义下的实数运算、一次函数与几何综合 【分析】（1）根据“绝值点”的定义得，反比例函数图象上的横坐标与纵坐标绝对值相等，得到，则有或，解得，或无解，即可求解； （2）当时，，即，解得，，则两个“绝值点”分别为，；当时，，即，方程无解，即可得出结论； （3）根据二次函数为“绝值函数”，则分两种情况：当时，当时，分别 求出b的值，再检验即可求解． 【详解】（1）解：由“绝值点”的定义得，反比例函数图象上的横坐标与纵坐标绝对值相等， ， 或 ， 或， ，或无解 反比例函数图象上“绝值点”的坐标为，． （2）解：是“绝值函数”， 二次函数图象上的横坐标与纵坐标绝对值相等， 当时，，即， ，， 两个“绝值点”分别为，， 当时，，即， 方程无解 二次函数的图象上只存在两个“绝值点”， 二次函数是“绝值函数”． （3）解：二次函数为“绝值函数”， 当时，，即， ，， ， ， ， ， ，， 检验：当时，． 当时，，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解； 当时，，即， ∵， ∴方程无解； 二次函数只存在两个“绝值点”， 二次函数为“绝值函数”． 当时，， 当时，，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解， 当时，，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解 二次函数存在四个“绝值点” 二次函数不是“绝值函数” 不合题意，故舍去， 当时，，即 ， ， ， ， ， 检验：当时， 当时，，即， ∵， ∴方程无解， 当时，，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解， 二次函数只存在两个“绝值点” 二次函数为“绝值函数” 当时， 当时，，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解， 当时，，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解， 二次函数存在四个“绝值点” 二次函数不是“绝值函数”， 不合题意，故舍去， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了新定义与一次函数、反比例函数、二次函数的运用，一元二次方程根的判别式等，解题关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题． 12．（2025·辽宁盘锦·一模）①我们规定：二次函数与互为中心对称函数； ②定义：表示两个数中的最小值，对于函数和，当时，；当时，，则函数． (1)已知二次函数，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大．则该二次函数的解析式为______，其中心对称函数的解析式为______．并求出当、同时随增大而减小时，的取值范围． (2)在（1）的条件下，求出函数； (3)若宽为3的矩形中，点，矩形与（2）中的函数的图像有三个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，当时，同时随的增大而减小 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】（1）根据二次函数的性质求出a的值，即可得到的解析式，结合二次函数的性质即可解答； （2）联立，求出或，根据定义函数，即可解答； （3）由（2）中函数解析式，画出函数图像，求出最值，结合矩形的性质，设函数的图象与x轴交点为两点（M点在N点左侧），分点在x轴上方和下方，两种情况，结合图形讨论即可． 【详解】（1）解：二次函数中，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大， ，且， ， ， ， 二次函数的图象关于，且， 二次函数图象开口向下， 当时，随增大而减小； 综上所述，当时，同时随的增大而减小； （2）解：联立   解得：或， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述：； （3）解：由（2）知，， 二次函数的图象关于对称，且， 二次函数图象开口向下， 当时，随增大而增大， ， 当时，随增大而增大， 同理得：当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数在上有一个最小值，最小值为； 设函数的图象与x轴交点为两点（M点在N点左侧）， 当点在x轴上方时，如图， 令，解得或（舍去）； ∴， 同理，令，解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∵宽为3的矩形中，点，， ∴在轴上，，， ∴直线的解析式为， ∵，， 矩形与函数的图像只有一个交点或没有交点， 当点在x轴下方时，如图， 当点重合时，矩形与函数的图像有两个交点， 此时，，即； 如图，当点重合时，矩形与函数的图像有三个交点， 此时，，即； ∴当时，如图，矩形与函数的图像有三个交点， ∴矩形与（2）中的函数的图像有三个交点时，的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质和新定义，二次函数与特殊四边形的综合问题，理解新定义是解题的关键． 13．（2025·辽宁营口·一模）已知是自变量x的函数，若（为常数且为整数），则称是x的“a维函数”，例如：x的“1维函数”为；称（t为常数且为整数）是x的“t阶a维函数”，例如：x的“2阶1维函数”为． (1)写出自变量x的“3阶维函数”的表达式． (2)已知函数y是“1阶2维函数”、“4阶1维函数”与“3阶0维函数”的和，请写出y的表达式． (3)在满足（2）的条件下，设函数y的图像M上的最低点为A，与y轴交点为B，点C为图像M上一定点，若将图像M向右平移，保持最低点始终在直线上，记平移后得到的图像为N．当点A平移到点H时，此时图像M上的点C移至B点． ①求在平移过程中，图像M上的两点A、C间所夹的曲线扫过的区域的面积S． ②如果过点和的直线与图像M、图像N都相交且只有3个交点，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②3或 【难度】0.4 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）依据x的“t阶a维函数”的定义解答即可； （2）依据x的“t阶a维函数”的定义解答即可； （3）①过点A作x轴的平行线，过点H作y轴的平行线，它们交于点，过点H作于点E，过点B作于点F，利用待定系数法求得的解析式，利用平移的性质和待定系数法求得点H的坐标，图象N的解析式，得到平移的距离，依据图象M上的两点A、C间所夹的曲线扫过的区域的面积S等于平行四边形的面积，求得平行四边形的面积即可； ②利用分类讨论的思想方法分：当直线与图象M只有一个交点时和当直线与图象M只有一个交点时两种情况讨论解答，将直线的解析式与抛物线的解析式分别联立，令即可求得m值． 【详解】（1）解：自变量x的“3阶维函数”的表达式为； （2）解：∵“1阶2维函数”表达式为、“4阶1维函数”表达式为、与“3阶0维函数”表达式为， ∵函数y是“1阶2维函数”、“4阶1维函数”与“3阶0维函数”的和， ∴． （3）解：①由（2）知：， ∴函数y的图象M上的最低点为， 则直线的解析式为， 令，则， ∴． ∵将图象M向右平移，保持最低点始终在直线上，点A平移到点H， ∴设， ∴图象N的解析式为， ∵点B在图象N上， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴图象M向右平移了，向上平移了， ∴． 过点A作x轴的平行线，过点H作y轴的平行线，它们交于点，过点H作于点E，过点B作于点F，如图， 则图象M上的两点A、C间所夹的曲线扫过的区域的面积S等于平行四边形的面积． 由题意：，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②设直线的解析式为， ∵点和， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 由题意得图像M解析式，图像N解析式， ∵直线与图象M、图象N都相交且只有3个交点， ∴直线与图象M只有一个交点或直线与图象N只有一个交点或经过点， 联立直线与图象M得， ∴， ∴， 联立直线与图象N得， ∴， ∴， 当直线与图象M只有一个交点时， ， ∴或， 当时，，直线与图象没有交点，不合题意； 当时，，直线与图象没有交点，不合题意； 当直线与图象只有一个交点时， ， ∴， 当时，，直线与图象有两个交点，符合题意； 当时，，直线与图象有两个交点，符合题意； 当直线经过图象和图象的交点时，，此时，直线与图象有两个交点，直线与图象有两个交点，符合题意； 综上，m的值为3或． 【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，平移的性质，一次函数的图象与性质，直线与抛物线的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 14．（2025·辽宁丹东·一模）定义：为函数的“基因数”，若点（k为常数且）在这个函数F的图象上，则点A称为这个函数F的k倍值点．例如的“基因数”是，点是函数的2倍值点，的“基因数”是，点是函数的倍值点． (1)若函数的“基因数”是，则函数向上平移1个单位，得到函数，则函数的“基因数”是________； (2)若函数的“基因数”是，将函数的图象沿x轴翻折，得到的函数的图象，则函数的“基因数”是________； (3)若函数的“基因数”是，且图象过点，点，点，当时，求n的取值范围； (4)设函数的“基因数”是，点A是在第一象限的1倍值点，作射线，在射线上取一点，，过点B作y轴的平行线交的图象于点C，过点C作x轴的平行线交的图象于点D，以，为边作矩形． ①求矩形周长最大时点C的坐标； ②在①的结论下，矩形不动，将的图象沿方向平移个单位得到，在上恰存在的k倍值点M，使直线将矩形的面积均分，请直接写出点M的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)①；②4或 【难度】0.4 【知识点】一次函数图象平移问题、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本 （1）根据新定义的“基因数”得到函数的解析式，再根据一次函数平移规律“左加右减，上加下减”求得函数的解析式，即可由新定义求解； （2）行銢出函数的解析式，再根据翻折的性质得出函数的解析式，即可由新定义求解； （3）先求得函数的解析式为：，从而求得函数的对称轴为直线，，则，得到，把代入，得，求得，即可求解； （4）①先求得，再用待定系数法求得直线的解析式为，从而可求得，，，则矩形周长，利用二次函数的最值即可求解； ②设点，根据直线将矩形的面积均分，得到直线经过矩形对角线的中点，利用待定系数法求得直线直线的解析式为，把代入得，即可求得，然后根据将的图象沿方向平移个单位得到，得到的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，从而得到函数的解析式为， 把代入求出t值即可． 【详解】（1）解：∵函数的“基因数”是， ∴函数的解析式为：， ∵函数向上平移1个单位，得到函数， ∴函数的解析式为：， ∴函数的“基因数”是． 故答案为：． （2）解：∵函数的“基因数”是， ∴函数的解析式为：， ∴函数顶点坐标为， ∵将函数的图象沿x轴翻折，得到的函数的图象， ∴函数的解析式为： ∴函数的“基因数”是， 故答案为：． （3）解：∵函数的“基因数”是， ∴函数的解析式为：， ∵图象过点，点， ∴函数的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）解：①∵函数的“基因数”是， ∴函数的解析式为：， ∴函数的对称轴为直线， ∵点A是在第一象限的1倍值点， ∴设，代入，得 解得：，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得 解得：， ∴直线的解析式为 ∵点在射线上， ∴ ∴ ∵轴， ∴点C横坐标为p， ∴， ∴ ∵轴 ∴点C与点D关于直线， ∴ ∴ ∴矩形周长 ∵， ∴当时，矩形周长有最大值， ∴． ②设点， ∵直线将矩形的面积均分， ∴直线经过矩形对角线的中点， 由①知， ∴  ， ∴的中点坐标为 ∴设直线直线的解析式为， 把代入得， ∴ ∴直线直线的解析式为， 把代入得 解得： ∴ ∵将的图象沿方向平移个单位得到， ∴的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到， ∴函数的解析式为， 把代入得 化简整理得 解得：，， ∴点M的横坐标为4或． 【点睛】本题考查新定义，待定系数法求函数解析式，一次函数图象平移，二次函数的图象性质，二次函数图象的翻折，矩形的性质，综合性较强，难度较大，属中考试压轴题目． 15．（2025·辽宁·一模）定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（m是常数，且），则称点A，B是一对“m阶差值点”． (1)在点，，中，能与点构成一对“3阶差值点”的是________． (2)若点A，是一对“2阶差值点”，且点A在函数的图像上，求点A的坐标； (3)如图，抛物线交y轴于点C，点M在抛物线的对称轴上，点M的纵坐标为t，且． ①若点M与点C是一对“阶差值点”，求t的值； ②点Q为平面内一点，点P为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． (4)点A，B是一对“m阶差值点”，且直线过点，当直线AB上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)点A的坐标是或； (3)①；②存在，a的值是1或； (4)或． 【难度】0.15 【知识点】一次函数与几何综合、其他问题(二次函数综合)、反比例函数与几何综合、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据“m阶差值点”的定义，逐一分析判断即可； （2）根据题意，可设，根据“2阶差值点”的定义可得关于的方程，整理并求解，即可获得答案； （3）①首先确定点坐标，点坐标，结合“阶差值点”的定义，即可获得答案； ②根据题意，可知点C，M或点P，Q可以是一对“1阶差值点”，当点C，M是一对“1阶差值点”时，首先确定点坐标，过点P，M分别作y轴的垂线，垂足为，证明，结合全等三角形的性质可确定点坐标，进而确定的值；同理当点在点C上方时，求解a 的值，即可获得答案； （4）首先根据题意确定直线的解析式为，结合直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，易知直线经过由组成的正方形区域（含边界），然后分和两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于点，， ∵， ∴点，不是一对“3阶差值点”； 对于点，， ∵， ∴点，是一对“3阶差值点”； 对于点，， ∵， ∴点 不是一对“3阶差值点”． 故答案为：； （2）根据题意，可设， ∵点，是一对“2阶差值点”， ∴，整理可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴点A的坐标为或； （3）①∵抛物线的对称轴为， ∴， 将代入，可得， ∴点， ∵点M，C是一对阶差值点， ∴，解得， ②存在， 根据题意，可知点C，M或点P，Q可以是一对“1阶差值点”， 当点C，M是一对“1阶差值点”时，如下图， 则有，解得， ∴， 过点P，M分别作y轴的垂线，垂足为，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 将点代入， 得； 同理当点在点C上方时，如下图， 可得， 将点代入， 得 ． 综上所述，a 的值是1或； （4）若点，是一对“m阶差值点”， 则有， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得， 又，可得， ∴， 又∵直线过点， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点， 即直线经过由组成的正方形区域（含边界），如图， 当时， 令，则有， 此时，解得，即m的取值范围为； 当时， 令，则有， 此时，解得，即m的取值范围为． 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了新定义“m阶差值点”、一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的应用等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键． 16．（2025·辽宁本溪·一模）定义：在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某三角形的腰，且该等腰三角形底边与轴垂直，则称这个等腰三角形为点，的“逐梦三角形”．设等腰三角形的底边长为，底边上的高为，把叫等腰三角形的“胖瘦度”． (1)如图1，在中，，，，求该三角形的“胖瘦度”； (2)如图2，若，是直线上的两点，点，的“逐梦三角形”以为底，且，均在点的右侧，若，，求值； (3)若，是抛物线上的两点，点，的“逐梦三角形”以为底，且，均在点的同侧（左侧或右侧），点的横坐标是点的横坐标的2倍，设点的横坐标为． ①若，求的值； ②过，分别作垂直于轴的直线，，该抛物线在，之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为，直接写出与之间函数关系式．（不用写出自变量的取值范围） 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【难度】0.15 【知识点】一次函数与几何综合、y=ax²+bx+c的图象与性质、等腰三角形的性质和判定、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，坐标中点的对称性，直线与抛物线的交点问题以及函数分段表达式的构建．熟练掌握等腰三角形的性质，坐标中点的对称性，直线与抛物线的交点问题以及函数分段表达式的构建是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质，结合“胖瘦度”的定义直接计算即可； （2）过作于点，由，，等腰三角形可得，，设，，可在平面直角坐标系中得到长度的代数式，结合求解即可； （3）①先根据点横坐标，点横坐标代入抛物线求出纵坐标，再根据“胖瘦度”列出等式，分情况讨论绝对值内式子正负，去掉绝对值符号求解方程，再结合舍去不符合的值，得到的值； ②分情况讨论，注意点P在y轴右侧和y轴左侧时情况不同，找到不同情况下的最高点即可． 【详解】（1）解：过点作于点， ， 为边上中线， ， ， ． （2）解：由题意得如图所示等腰三角形， 过作于点， ，， ，， ，是直线上的两点， 设，， ， ． （3）解：①， ∵点的横坐标是点的横坐标的2倍，设点的横坐标为， ∴点的横坐标为． 当时，， 当时，， ∴，， ， ∴结合（1）可知，点的横纵坐标之差的绝对值相等， ， 或， ，或，； ， 与不符合题意，舍去， 或； ②点的横坐标是点的横坐标的倍，设点的横坐标为， 点的横坐标为， 由等腰三角形可知点的横坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，直线，之间的部分（包括端点）的最高点为顶点， ∴， 又，两点的纵坐标不能相等， ，即， 当，且时，； 当时，点在轴左侧，此时最高点即为点， 当时，； 当，且点在轴右侧时，最高点即为点 当时，； 综上所述，． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数综合压轴题 题型概览 题型01 二次函数综合压轴题 ( 题型01 )二次函数综合压轴题 1．（2025·辽宁营口·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求二次函数的表达式和点B的坐标． (2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·辽宁沈阳·一模）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上． (1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由： (2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标； (3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”， ①求点的坐标； ②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标． 3．（2025·辽宁大连·一模）已知，抛物线（），与x轴交于A，B，（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． (1)抛物线的对称轴为 （用含有a的式子表示）； (2)若当时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； (3)如图1，当时，点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接，过点E作轴，交于点H，以为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求m的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点是点，的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点，的“合作点”． (1)已知点，，点是点，的“合作点”，求出点的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，点，点是点，的“合作点”，试求出中关于的函数表达式； (3)把（2）中关于的函数表达式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的轴交于点，点是新函数图像上一动点，它的横坐标为m．过点作轴于点，当点与点都不与点重合时，以，为边作矩形，设矩形的周长为． ①求与的函数解析式； ②若对于的每一个取值，都有两个的值与它对应，直接写出的取值范围． 5．（2025·辽宁铁岭·一模）【发现问题】 数学小组在活动中，研究了一道有关相似三角形的问题． 例：如图1，在中，点D是线段AC上一点，连接BD，若． 求证：． 证明：， ，，． 小强同学经过分析，思考后，将这个三角形放在平面直角坐标系中发现了一些规律． 【提出问题】 如图2，点恰好与点重合，边在轴上，若点的纵坐标始终为，，那么随着的变化，点A的位置发生变化；小强同学通过描点、观察，提出猜想：按此方式描出的若干个点A都在某二次函数图象上． 【分析、解决问题】 （1）当时，若，所对应的点的坐标为______． （2）当时，请帮助小睿同学证明他的猜想． 【深度思考】 （3）点的坐标为，当时，的最大值为，最小值为，且，求此时t的值．（规定：当点A与点B重合时，依然满足） 6．（2025·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，如果某点的横坐标与纵坐标的和为 5，则称此点为“感悟点”．例如： 点，…都是“感悟点”． (1)点P在反比例函数 图像上，且点 P 的横坐标是4，请判断点 P 是否是“感悟点”．答： （填“是”或“否”）； (2)求函数的图象上的“感悟点”的坐标； (3)若点A，B是二次函数的图象上的两个“感悟点”，点A在点 B的左侧， ①求A，B两点坐标； ②若点C在二次函数的图象上，且位于A，B两点之间，点D是平面内的“感悟点”，设点C，D的横坐标都是m，当m为何值时，的长最大，并求出其最大值； (4)点P是在平面直角坐标系中的“感悟点”，过点P分别作x轴，y轴的垂线， ①设两条垂线与坐标轴围城的四边形面积为s，点P的横坐标为x，求s关于x的函数表达式； ②在（4）①的条件下，直线与函数s的图像有四个交点时，从左到右分别记作点E，F，G，H，当时，直接写出t的值． 7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）定义：在平面直角坐标系中，是自变量的函数，下面构建一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后函数称为原函数的变构函数，例如：二次函数的变构函数为． (1)求一次函数的变构函数的函数表达式； (2)点在反比例函数的变构函数图象上，求的值； (3)已知二次函数和一次函数，点在的变构函数的图象上，过点作轴与的变构函数的图象交于点，设点的横坐标为，长为，当时，求关于的函数表达式； (4)函数的解析式，点、的坐标分别为、，连接，线段与二次函数的变构函数的图象只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 8．（2025·辽宁大连·一模）已知y1是自变量x的函数，当（k为常数，）时，称函数为函数的“k级函数”．点和点分别在函数和的图象上，此时称点B为点A关于的“k级点”． 例如：函数，当时，，则函数是函数的“2级函数”．点为点关于的“2级点”． (1)如图，点在反比例函数的图象上，当点 B 为点A关于的“1级点”时，求点B的坐标； (2)函数为函数的“k级函数”． ①求a的值； ②若点A在函数的图象上，点B为点A关于的“k级点”，当点A在点B上方时，请直接写出自变量x的取值范围 ； (3)函数为函数的“级函数”，点C在函数的图象上，点为点C关于的“级点”． ①当时，的取值范围是，求t的值； ②点M，N在函数的图象上，它们的横坐标分别为a，，以线段为对角线作矩形，平行x轴．当矩形与函数的图象有且只有三个公共点时，设第三个公共点为K，若矩形的边长度为5，请直接写出点K的纵坐标 ． 9．（2025·辽宁大连·一模）抛物线（，为常数）经过点，与轴的交点是点，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． (1)求，的值； (2)若点在上方，当为何值时，的面积最大； (3)点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标； (4)在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点和点的纵距记为． ①求关于的表达式； ②点是平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 10．（2025·辽宁抚顺·一模）一般地，在实数范围内的两个变量x，y，以及对应关系f，对于每一个实数x，y都有唯一确定的实数与之对应，则称f为定义在实数范围内的一个函数，即（x为使对应关系成立的全体实数）．例如：若，则；若，则．如图，函数的图象与x轴交于点A，且，与y轴交于点C，且．函数的图象经过点A和点C． (1)求的表达式． (2)如图，若为函数图象上的一点，作垂直x轴，垂足为E，延长交的图象于点F，此时称点D与点F互为“垂直点”，两垂直点函数值的差，即称为“垂直差”．当时，求的最大值以及此时的值． (3)若是函数图象上不与点B重合的一点，当的面积与的面积相等时，求出的值． 11．（2025·辽宁抚顺·一模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标绝对值相等，则称该点为“绝值点”．例如，，，…都是“绝值点”．若某函数图象上只存在两个“绝值点”，则称该函数为“绝值函数”．例如的图象上存在，两个“绝值点”，则称函数为“绝值函数”． (1)求反比例函数图象上的“绝值点”的坐标； (2)判断二次函数是不是“绝值函数”，请说明理由； (3)“绝值函数”的“绝值点”分别是点A，（点A在点的左侧），与轴交于点，当的面积为1时，求的值． 12．（2025·辽宁盘锦·一模）①我们规定：二次函数与互为中心对称函数； ②定义：表示两个数中的最小值，对于函数和，当时，；当时，，则函数． (1)已知二次函数，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大．则该二次函数的解析式为______，其中心对称函数的解析式为______．并求出当、同时随增大而减小时，的取值范围． (2)在（1）的条件下，求出函数； (3)若宽为3的矩形中，点，矩形与（2）中的函数的图像有三个交点时，直接写出的取值范围． 13．（2025·辽宁营口·一模）已知是自变量x的函数，若（为常数且为整数），则称是x的“a维函数”，例如：x的“1维函数”为；称（t为常数且为整数）是x的“t阶a维函数”，例如：x的“2阶1维函数”为． (1)写出自变量x的“3阶维函数”的表达式． (2)已知函数y是“1阶2维函数”、“4阶1维函数”与“3阶0维函数”的和，请写出y的表达式． (3)在满足（2）的条件下，设函数y的图像M上的最低点为A，与y轴交点为B，点C为图像M上一定点，若将图像M向右平移，保持最低点始终在直线上，记平移后得到的图像为N．当点A平移到点H时，此时图像M上的点C移至B点． ①求在平移过程中，图像M上的两点A、C间所夹的曲线扫过的区域的面积S． ②如果过点和的直线与图像M、图像N都相交且只有3个交点，请直接写出m的值． 14．（2025·辽宁丹东·一模）定义：为函数的“基因数”，若点（k为常数且）在这个函数F的图象上，则点A称为这个函数F的k倍值点．例如的“基因数”是，点是函数的2倍值点，的“基因数”是，点是函数的倍值点． (1)若函数的“基因数”是，则函数向上平移1个单位，得到函数，则函数的“基因数”是________； (2)若函数的“基因数”是，将函数的图象沿x轴翻折，得到的函数的图象，则函数的“基因数”是________； (3)若函数的“基因数”是，且图象过点，点，点，当时，求n的取值范围； (4)设函数的“基因数”是，点A是在第一象限的1倍值点，作射线，在射线上取一点，，过点B作y轴的平行线交的图象于点C，过点C作x轴的平行线交的图象于点D，以，为边作矩形． ①求矩形周长最大时点C的坐标； ②在①的结论下，矩形不动，将的图象沿方向平移个单位得到，在上恰存在的k倍值点M，使直线将矩形的面积均分，请直接写出点M的横坐标． 15．（2025·辽宁·一模）定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（m是常数，且），则称点A，B是一对“m阶差值点”． (1)在点，，中，能与点构成一对“3阶差值点”的是________． (2)若点A，是一对“2阶差值点”，且点A在函数的图像上，求点A的坐标； (3)如图，抛物线交y轴于点C，点M在抛物线的对称轴上，点M的纵坐标为t，且． ①若点M与点C是一对“阶差值点”，求t的值； ②点Q为平面内一点，点P为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． (4)点A，B是一对“m阶差值点”，且直线过点，当直线AB上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，请直接写出m的取值范围． 16．（2025·辽宁本溪·一模）定义：在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某三角形的腰，且该等腰三角形底边与轴垂直，则称这个等腰三角形为点，的“逐梦三角形”．设等腰三角形的底边长为，底边上的高为，把叫等腰三角形的“胖瘦度”． (1)如图1，在中，，，，求该三角形的“胖瘦度”； (2)如图2，若，是直线上的两点，点，的“逐梦三角形”以为底，且，均在点的右侧，若，，求值； (3)若，是抛物线上的两点，点，的“逐梦三角形”以为底，且，均在点的同侧（左侧或右侧），点的横坐标是点的横坐标的2倍，设点的横坐标为． ①若，求的值； ②过，分别作垂直于轴的直线，，该抛物线在，之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为，直接写出与之间函数关系式．（不用写出自变量的取值范围） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$