专题03 方程与不等式-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编（辽宁专用）

专题05 方程与不等式 题型概览 题型01 一次方程（组） 题型02 一元二次方程 题型03 分式方程 题型04 不等式（组） 题型05 方程与不等式综合 ( 题型01 )一次方程（组） 1．（2025·辽宁丹东·一模）成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁锦州·一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今五人共车，两车空；三人共车，八人步．问人与车各几何？”其大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐5人，则空余2辆车；若每辆车乘坐3人，则有8人步行．问人与车各多少？若设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁大连·一模）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两 ，则还差8两（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语），这个问题中共有几人分几两银子？设共有x人，分y两银子，根据题意可列方程组为（  ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁铁岭·一模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁沈阳·一模）小明在文具店购买笔记本和水性笔（两种物品都买）；其中笔记本每本元，水性笔每支元，小明一共花费了元，则小明共有几种购买方案？下列答案正确的是（　 　） A．种 B．种 C．种 D．种 6．（2025·浙江·一模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁沈阳·一模）若是关于x、y的二元一次方程，则 ． 8．（2025·辽宁大连·一模）解方程组： 9．（2025·辽宁·一模）方程：． ( 题型0 2 )一元二次方程 1．（2025·辽宁大连·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（2025·辽宁铁岭·一模）关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是 3．（2025·辽宁本溪·一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 4．（2025·辽宁朝阳·一模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 5．（2025·辽宁大连·一模）方程的根是 ． 6．（2025·辽宁鞍山·一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则它的根是 ． 7．（2025·辽宁大连·一模）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知年投入资金万元，年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该社区年至年投入资金的增长率； (2)如果投入资金年增长率保持不变，求该社区在年投入资金多少万元？ 8．（2025·辽宁锦州·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． (1)求与之间的函数关系式； (2)水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 9．（2025·辽宁大连·一模）小明用一条长为的绳子围成一个矩形． (1)当围成矩形面积是，求该矩形的长与宽； (2)能围成面积是的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由． ( 题型0 3 )分式方程 1．（2025·辽宁营口·一模）某工程队承担铺设一段长为450米的管道，由于引进了新设备，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的倍，结果提前5天完成任务，设原计划每天铺设管道的长度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁阜新·一模）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长2000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（   ） A．每天比原计划多铺设5米，结果延期10天才完成 B．每天比原计划少铺设5米，结果延期10天才完成 C．每天比原计划多铺设5米，结果提前10天才完成 D．每天比原计划少铺设5米，结果提前10天才完成 3．（2025·辽宁沈阳·一模）分式方程的解是 ． 4．（2025·辽宁·一模）若分式的值为2，则 ． 5．（2025·辽宁朝阳·一模）方程的解为 ． 6．（2025·辽宁沈阳·一模）【问题背景】4月23日是“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高； 素材二：用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多2个． 【问题解决】 问题：分别求出两种书架的单价． 7．（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 8．（2025·辽宁沈阳·一模）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多，求该市今年居民用水的价格是多少元． 9．（2025·辽宁大连·一模）A、B两地铁路全长，从A地到B地乘坐甲列车比乘坐乙列车多用，已知甲列车行驶的平均速度是乙列车行驶的平均速度的0.8倍．求乙列车行驶的平均速度． ( 题型0 4 )不等式（组） 1．（2025·辽宁大连·一模）若，则下列不等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁大连·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁沈阳·一模）不等式的最大整数解是（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 4．（2025·辽宁大连·一模）不等式的解集为 . 5．（2025·辽宁朝阳·一模）解不等式组． 6．（2025·辽宁大连·一模）解不等式组： ( 题型0 5 ) 方程与不等式综合 1．（2025·辽宁铁岭·一模）环境污染和气候变化是全球范围内的关切事项．为此学校组织了一次以环保为主题的有奖问答活动，设有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道扣1分． (1)在这次活动中小明恰好得到60分，求小明答对多少道题； (2)如果在这次活动中小明要想超过90分，那么他至少需要答对多少道题？ 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的倍． (1)若厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本，求书架上每本数学书和每本语文书的厚度； (2)在（1）的条件下，若书架上已摆放10本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？ 3．（2025·辽宁辽阳·一模）中国结由来已久，始于上古，兴于唐宋，盛于明清．中国结不仅具有造型、色彩之美，而且因其形意而得名，体现着人们追求真、善、美的良好愿望．手工课上，教师展示编1个吉祥结需要3段红绳和1段金绳，编1个如意结需要1段红绳和2段金绳． (1)小华现在共有12段红绳，14段金绳，在所有红绳和金绳都用完的情况下，可以编吉祥结和如意结各多少个？ (2)小华需要编吉祥结和如意结共10个作为节日礼物，金绳充足，但是红绳只有26段，他还要保留10段以备他用，他最多可以编几个吉祥结？ 4．（2025·辽宁·一模）班级计划购买甲，乙两种笔记本奖励校运动会上表现积极的同学，经了解，甲笔记本销售单价是乙笔记本销售单价的1.5倍，购买4本甲笔记本和6本乙笔记本共需120元． (1)求甲，乙两种笔记本的销售单价各是多少元； (2)该班级需购买甲，乙两种笔记本共30本，且购买金额不超过340元，那么最多可以购买甲种笔记本多少本？ 5．（2025·辽宁铁岭·一模）某校准备带领九年级同学参加物理和化学的实验考试，需要准备甲，乙两种手套，学校计划前往商场购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：副） 总费用 （单位：元） 甲种手套 乙种手套 35 20 130 29 40 178 (1)甲种手套，乙种手套每副各多少元？ (2)该学校决定购买甲乙两种手套共1000副，且总费用不超过2350元，那么该中学最少可以购买甲种手套多少副？ 6．（2025·辽宁大连·一模）某工程队计划在天内修路，施工天后使用新设备，现在该工程队每天比原来每天多修路． (1)若该工程队恰好工作天完成修路任务，求原来每天修路多少？ (2)若该工程队使用新设备又施工天后，计划发生变化，准备至少比计划提前天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 7．（2025·辽宁沈阳·一模）某学校计划为刚结束的演讲比赛购买A，B两种奖品共20个．已知A种奖品的单价是20元，B种奖品的单价是15元 (1)如果学校共花费350元，求购买A种奖品多少个？ (2)如果学校购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，求至少购买A种奖品多少个？ 8．（2025·辽宁葫芦岛·一模）“天宫课堂”在中国空间站开讲，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，丰富物理兴趣小组的实验项目，决定购入两款物理实验套装，其中款套装的单价比款套装单价的倍少元，用元买款套装的数量是用元买款套装数量的一半． (1)求套装的单价分别是多少元？ (2)根据学校的实际情况，需要一次性购买款套装和款套装共个，两种套装的总费用不超过元，学校最多可以购进多少个款套装？ 9．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的3倍，问此次购进最少要花多少钱？ 10．（2025·辽宁鞍山·一模）在春季研学活动中，某校组织学生参加“走红色传承路，弘扬优秀革命传统”活动，需要租用旅游客车．租车公司有两种客车，若租用60座客车，则有一辆车只能坐一半人，若租用45座客车则需多租1辆，但正好坐满； (1)请求出该校共有多少名学生参加活动？ (2)若学校打算同时租用两种客车，已知60座客车的租金是4500元/辆，45座客车的租金是4000元/辆，在每位学生都有座位的条件下，请直接写出怎样租车最为合算？ 11．（2025·辽宁营口·一模）智能快递机器人是一种能够自主完成快递分拣任务的智能设备．它可以自主感知、识别、分拣快递包裹，大大提高了物流企业的分拣速度和效率．某物流公司为提高工作效率，拟购买甲、乙两种型号智能快递机器人共10台进行快递分拣工作，1台甲型智能快递机器人和3台乙型智能快递机器人每天一共可分拣快递36万件；3台甲型智能快递机器人比2台乙型智能快递机器人每天可多分拣快递20万件． 求： (1)甲、乙两种型号智能快递机器人每台每天分别可分拣快递多少万件？ (2)该物流公司每天快递量不超过100万件，则该公司最多可以购买甲型智能快递分拣机器人多少台？ 12．（2025·辽宁锦州·一模）为提升游客在景区内参观游览的便利性，某景区计划购进两种型号的观光车．已知型观光车的单价是型观光车单价的1.5倍，用45万元购进型观光车的数量比用40万元购进型观光车的数量少5辆． (1)A型和B型观光车的单价各是多少万元？ (2)该景区决定用不多于130万元的资金购进A型和B型观光车共50辆，最多可以购买多少辆A型观光车？ 13．（2025·辽宁抚顺·一模）为了更好地迎接抚顺市中考体育球类技能测试：篮球运球、足球运球等．某中学根据本校实际情况需要购进一批篮球和足球，已知每个篮球比每个足球贵20元，用500元购进的篮球和用400元购进的足球数量相等． (1)求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？ (2)学校计划用不超过9100元购进两种球共100个，学校最多能购进多少个篮球？ 14．（2025·辽宁葫芦岛·一模）某中学组织部分学生赴博物馆参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准；每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． (1)求甲旅行社一次最多能接待的人数； (2)为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数的合理范围． 15．（2025·辽宁本溪·一模）从沈阳站到大连北站铁路里程约为520千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． (1)求高铁的平均速度； (2)沈阳市某校共有30名师生前往大连参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为180元，学校预计提供交通补助费单程不超过6000元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票． 16．（2025·辽宁朝阳·一模）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为元，所有工人的工资总金额不超过万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 17．（2025·辽宁丹东·一模）某树苗销售商从农户处购进A、B两种树苗共1500棵，A种树苗共花费10000元，B种树苗共花费7500元，其中每棵B种树苗的进价是每棵A种树苗进价的1.5倍． (1)求每棵A种树苗的进价是多少元； (2)已知A种树苗需要另支付运输费1000元，若该树苗销售商计划A种树苗至少要获利，求A种树苗的最低销售单价． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 方程与不等式 题型概览 题型01 一次方程（组） 题型02 一元二次方程 题型03 分式方程 题型04 不等式（组） 题型05 方程与不等式综合 ( 题型01 )一次方程（组） 1．（2025·辽宁丹东·一模）成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了列二元一次方程组的应用，找准等量关系是解题关键．根据将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等可得，再根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：D． 2．（2025·辽宁锦州·一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今五人共车，两车空；三人共车，八人步．问人与车各几何？”其大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐5人，则空余2辆车；若每辆车乘坐3人，则有8人步行．问人与车各多少？若设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解此题的关键；设有x人，y辆车，根据“若每辆车乘坐5人，则空余两辆车；若每辆车乘坐3人，则有8人步行”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设有x人，y辆车， 由题意得：， 故选：． 3．（2025·辽宁大连·一模）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两 ，则还差8两（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语），这个问题中共有几人分几两银子？设共有x人，分y两银子，根据题意可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系．根据每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两 ，则还差8两，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 故选B． 4．（2025·辽宁铁岭·一模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设人数为人，车数为辆，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设人数为人，车数为辆， 由题意得，， 故选：． 5．（2025·辽宁沈阳·一模）小明在文具店购买笔记本和水性笔（两种物品都买）；其中笔记本每本元，水性笔每支元，小明一共花费了元，则小明共有几种购买方案？下列答案正确的是（　 　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解答本题的关键． 设购买笔记本本，水性笔支，根据题意得，即，再结合、都是正整数，即可求解． 【详解】解：设购买笔记本本，水性笔支， 根据题意得：，即， 、都是正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 两种物品都买， 有两种购买方案， 故答案为：D． 6．（2025·浙江·一模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得，据此列出相应的方程组即可． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 依题意得， 故选：A． 7．（2025·辽宁沈阳·一模）若是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的定义、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二元一次方程的定义可得，解方程组求出的值即可求解． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， ， 解得：， ． 故答案为：． 8．（2025·辽宁大连·一模）解方程组： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据加减消元法求解即可． 【详解】解： ①，得③ ，得 解得， 将代入①，得 方程组的解是 9．（2025·辽宁·一模）方程：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据代入消元法解答即可． 【详解】解：， 由，得， 将代入得：， 解得， 将代入，解得， 这个方程的解为． ( 题型0 2 )一元二次方程 1．（2025·辽宁大连·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且． 故选：C． 2．（2025·辽宁铁岭·一模）关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此由求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（2025·辽宁本溪·一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程，即有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 4．（2025·辽宁朝阳·一模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】且 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式．解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 5．（2025·辽宁大连·一模）方程的根是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】解：， 或， 所以，． 故答案为：，． 6．（2025·辽宁鞍山·一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则它的根是 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式与方程的解法，由条件可得或，再分两种情况解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴或， 当时， 原方程为：， ∴， 解得：， 当时， 原方程为：， ∴， 解得：， 故答案为：或 7．（2025·辽宁大连·一模）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知年投入资金万元，年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该社区年至年投入资金的增长率； (2)如果投入资金年增长率保持不变，求该社区在年投入资金多少万元？ 【答案】(1)该社区年至年投入资金的增长率为 (2)该社区在年投入资金万元 【难度】0.85 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设该社区年至年投入资金的增长率为，根据题意列方程即可求解； （2）用万元乘以年投入资金的百分比，即可求解． 【详解】（1）解：设该社区年至年投入资金的增长率为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）； 答：该社区年至年投入资金的增长率为； （2）（万元）， 答：该社区在2025年投入资金3.456万元． 8．（2025·辽宁锦州·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． (1)求与之间的函数关系式； (2)水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 【答案】(1) (2)水杯的售价为50元或38元． 【难度】0.85 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用——销售问题以及二次方程的应用．根据销售量与原销售量和增加销售量的关系，总利润与每个利润和销售量的关系，列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）根据题意得，注意的取值范围； （2）设每个水杯的售价为元，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，． 答：与之间的函数关系式为． （2）解：设每个水杯的售价为元． 根据题意得． 解得：． 答：水杯的售价为50元或38元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元． 9．（2025·辽宁大连·一模）小明用一条长为的绳子围成一个矩形． (1)当围成矩形面积是，求该矩形的长与宽； (2)能围成面积是的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由． 【答案】(1)长方形的长为，宽为 (2)不能，见解析 【难度】0.65 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式结合矩形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据矩形的面积公式结合矩形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出不能围成一个面积为的矩形． 【详解】（1）解：设矩形的长为，则矩形的宽为， 根据题意，可以列出方程， 整理，得， 解方程，得，， 长>宽， ， ， 答：长方形的长为，宽为； （2）解：不能，理由如下： 设矩形的长为，则矩形的宽为， 可以列出方程 整理，得， ， 方程无解， 不能围成面积是的矩形． ( 题型0 3 )分式方程 1．（2025·辽宁营口·一模）某工程队承担铺设一段长为450米的管道，由于引进了新设备，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的倍，结果提前5天完成任务，设原计划每天铺设管道的长度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式的运用，理解数量关系，掌握分式方程的运用是关键． 设原计划每天铺设管道的长度为米，则实际施工时每天铺设管道的长度是，结果提前5天完成任务，由此列分式方程即可求解． 【详解】解：设原计划每天铺设管道的长度为米，则实际施工时每天铺设管道的长度是，结果提前5天完成任务， ∴， 故选：A ． 2．（2025·辽宁阜新·一模）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长2000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（   ） A．每天比原计划多铺设5米，结果延期10天才完成 B．每天比原计划少铺设5米，结果延期10天才完成 C．每天比原计划多铺设5米，结果提前10天才完成 D．每天比原计划少铺设5米，结果提前10天才完成 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，明确题意，由列出的分式方程找出题干缺失的条件是解题的关键． 由给定的分式方程，可找出缺失的条件为：每天比原计划多铺设米，结果提前天完成，此题得解． 【详解】解：∵利用工作时间列出方程：， ∴缺失的条件为：每天比原计划多铺设米，结果提前天完成． 故选：C． 3．（2025·辽宁沈阳·一模）分式方程的解是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；先去分母，然后再进行求解方程即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验：是原方程的解； 故答案为． 4．（2025·辽宁·一模）若分式的值为2，则 ． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解题步骤是解题的关键． 先去分母，化为一元整式方程，再检验即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故答案为：5． 5．（2025·辽宁朝阳·一模）方程的解为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查解分式方程．根据去分母，化成整式方程，再检验即可求解． 【详解】解：去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 6．（2025·辽宁沈阳·一模）【问题背景】4月23日是“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高； 素材二：用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多2个． 【问题解决】 问题：分别求出两种书架的单价． 【答案】A种书架的单价为1100元，B种书架的单价为1000元． 【难度】0.65 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的应用，设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，根据数量总价单价，结合用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多2个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设种书架的单价为元，则种书架的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：A种书架的单价为1100元，B种书架的单价为1000元． 7．（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、分式化简求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查求代数式的值，分式方程求解及规律探索，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接代入求解即可； （2）根据题意写出相应式子，然后得出方程求解即可； （3）根据题意得出5个式子为一个周期，循环出现，确定，，，求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：1； （2）根据提题意，得，，，，， ， ， ， ， ⋯⋯， ∵， ∴． 解得，． 经检验是方程的解，且符合题意． ∴． （3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现， ，，， ∴ ∵， ∴时，的最小值是． 8．（2025·辽宁沈阳·一模）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多，求该市今年居民用水的价格是多少元． 【答案】2元 【难度】0.65 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系是解题的关键．设该市去年每立方米水费是元，今年居民用水的价格为每立方米水费是元，那么去年12月份的用水量为，今年7月份的用水量为，然后根据已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多列出方程解出答案，然后代入算出答案即可． 【详解】解：设该市去年每立方米水费是元，今年居民用水的价格为每立方米水费是元， 根据题意，得， 解得， 经检验：是原方程的解． （元/立方米）． 答：该市今年居民用水的价格是2元/立方米． 9．（2025·辽宁大连·一模）A、B两地铁路全长，从A地到B地乘坐甲列车比乘坐乙列车多用，已知甲列车行驶的平均速度是乙列车行驶的平均速度的0.8倍．求乙列车行驶的平均速度． 【答案】乙列车行驶的平均速度为 【难度】0.65 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙列车行驶的平均速度为．根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设乙列车行驶的平均速度为． 根据题意，得． 方程两边乘，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：乙列车行驶的平均速度为． ( 题型0 4 )不等式（组） 1．（2025·辽宁大连·一模）若，则下列不等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是确定使用了不等式的哪个性质，不等号的方向是否发生变化． 根据不等式的基本性质逐项判断可得答案． 【详解】解：A，∵，则，故此选项成立； B，∵，则，故此选项成立； C，∵，则，∴，故此选项成立； D，∵，∴，故此选项不成立． 故选：D． 2．（2025·辽宁大连·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查一元一次不等式组的求解，解题的关键是分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分． 分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分． 【详解】解不等式，解得， 解不等式，解得， 不等式组的解集是， 故选：C． 3．（2025·辽宁沈阳·一模）不等式的最大整数解是（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，根据不等式的性质求出不等式的解集，根据不等式的解集即可求出答案，解题的关键是能求出不等式的解集． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴不等式的最大整数解是， 故选：D． 4．（2025·辽宁大连·一模）不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】根据移项，合并同类项，系数化为一计算即可. 本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握其运算法则是解题的关键. 【详解】解： . 故答案为：. 5．（2025·辽宁朝阳·一模）解不等式组． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解；本题考查了解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为． 6．（2025·辽宁大连·一模）解不等式组： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算方法是解此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． ( 题型0 5 ) 方程与不等式综合 1．（2025·辽宁铁岭·一模）环境污染和气候变化是全球范围内的关切事项．为此学校组织了一次以环保为主题的有奖问答活动，设有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道扣1分． (1)在这次活动中小明恰好得到60分，求小明答对多少道题； (2)如果在这次活动中小明要想超过90分，那么他至少需要答对多少道题？ 【答案】(1)小明答对了17道题 (2)他至少需要答对24道题 【难度】0.85 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设小明答对x道题，根据题意列方程求解即可； （2）设他需要答对道题，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设小明答对x道题， 由题意得：， 解得：， 答：小明答对了17道题． （2）解：设他需要答对道题， ，解得：， 为正整数， ， 答：他至少需要答对24道题． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的倍． (1)若厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本，求书架上每本数学书和每本语文书的厚度； (2)在（1）的条件下，若书架上已摆放10本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？ 【答案】(1)每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为 (2)最多还可以摆90本数学书 【难度】0.85 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设还可以摆本数学书，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为． （2）解：设还可以摆本数学书， 由题意得，， 解得：， 答：最多还可以摆90本数学书． 3．（2025·辽宁辽阳·一模）中国结由来已久，始于上古，兴于唐宋，盛于明清．中国结不仅具有造型、色彩之美，而且因其形意而得名，体现着人们追求真、善、美的良好愿望．手工课上，教师展示编1个吉祥结需要3段红绳和1段金绳，编1个如意结需要1段红绳和2段金绳． (1)小华现在共有12段红绳，14段金绳，在所有红绳和金绳都用完的情况下，可以编吉祥结和如意结各多少个？ (2)小华需要编吉祥结和如意结共10个作为节日礼物，金绳充足，但是红绳只有26段，他还要保留10段以备他用，他最多可以编几个吉祥结？ 【答案】(1)可以编吉祥结2个，如意结6个 (2)最多可以编3个吉祥结 【难度】0.85 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设可以编吉祥结x个，如意结y个，结合编1个吉祥结需要3段红绳和1段金绳，编1个如意结需要1段红绳和2段金绳，且小华现在共有12段红绳，14段金绳，进行列方程组，即可作答． （2）因为红绳只有26段，他还要保留10段以备他用，编吉祥结和如意结共10个作为节日礼物，则可以编a个吉祥结，则可以编如意结个，再列出不等式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设可以编吉祥结x个，如意结y个， 根据题意，得， 解得， （2）解：设可以编a个吉祥结，则可以编如意结个， ∴， 解得， ∴的最大值为3， 答：最多可以编3个吉祥结． 4．（2025·辽宁·一模）班级计划购买甲，乙两种笔记本奖励校运动会上表现积极的同学，经了解，甲笔记本销售单价是乙笔记本销售单价的1.5倍，购买4本甲笔记本和6本乙笔记本共需120元． (1)求甲，乙两种笔记本的销售单价各是多少元； (2)该班级需购买甲，乙两种笔记本共30本，且购买金额不超过340元，那么最多可以购买甲种笔记本多少本？ 【答案】(1)甲种笔记本的单价为15元，乙种笔记本的单价为10元 (2)该班级最多可以购买甲种笔记本8本 【难度】0.65 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙笔记本销售单价为元，则甲笔记本的单价为元，利用总价＝单价×数量，结合“甲笔记本销售单价是乙笔记本销售单价的倍，购买4本甲笔记本和6本乙笔记本共需元”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设可以购买甲笔记本本，则购买乙笔记本本，利用总价＝单价×数量，结合总费用不超过340元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1） 解：设乙笔记本销售单价为元，则甲笔记本的单价为元， 依题意得：， 解得：，   ， 答：甲种笔记本的单价为15元，乙种笔记本的单价为10元． （2）解：设可以购买甲笔记本本，则购买乙笔记本本， 依题意得：， 解得：． 答：该班级最多可以购买甲种笔记本8本． 5．（2025·辽宁铁岭·一模）某校准备带领九年级同学参加物理和化学的实验考试，需要准备甲，乙两种手套，学校计划前往商场购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：副） 总费用 （单位：元） 甲种手套 乙种手套 35 20 130 29 40 178 (1)甲种手套，乙种手套每副各多少元？ (2)该学校决定购买甲乙两种手套共1000副，且总费用不超过2350元，那么该中学最少可以购买甲种手套多少副？ 【答案】(1)甲种手套每副2元，乙种手套每副3元 (2)该中学最少可以购买甲种手套650副 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设甲种手套每副x元，乙种手套每副y元，根据表格数据列方程组，进而解方程组即可求解； （2）设购买甲种手套为m元，则购买乙种手套元，根据题意列不等式，然后解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设甲种手套每副x元，乙种手套每副y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种手套每副2元，乙种手套每副3元； （2）解：设购买甲种手套为m元，则购买乙种手套元， 根据题意，得， 解得， 答：该中学最少可以购买甲种手套650副． 6．（2025·辽宁大连·一模）某工程队计划在天内修路，施工天后使用新设备，现在该工程队每天比原来每天多修路． (1)若该工程队恰好工作天完成修路任务，求原来每天修路多少？ (2)若该工程队使用新设备又施工天后，计划发生变化，准备至少比计划提前天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 【答案】(1)原来每天修路； (2)以后几天内平均每天至少要修路． 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程和不等式． （1）设原来每天修路，根据工程队用天完成任务，列一元一次方程，解一元一次方程即可求出原来每天修多少千米； （2）设以后几天内平均每天要修路，根据至少比计划提前天完成任务，列关于的不等式，解不等式即可求出以后几天内平均每天至少要修路． 【详解】（1）解：设原来每天修路， 根据题意可得：， 解得：， 答：原来每天修路； （2）解：设以后几天内平均每天要修路， 根据题意可得：， 解得：， 答：以后几天内平均每天至少要修路． 7．（2025·辽宁沈阳·一模）某学校计划为刚结束的演讲比赛购买A，B两种奖品共20个．已知A种奖品的单价是20元，B种奖品的单价是15元 (1)如果学校共花费350元，求购买A种奖品多少个？ (2)如果学校购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，求至少购买A种奖品多少个？ 【答案】(1)购买A种奖品各10个 (2)至少购买A种奖品6个 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查的是元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用．掌握实际问题中的总价、单价和数量的关系列方程和不等式，是解决此题的关键． （1）设购买A种奖品x个，则购买B种奖品个，根据“A种奖品的单价是20元，B种奖品的单价是15元，共花费350元，”，即可得出关于x的元一次方程，解之即可得出结论； （2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，求出m的最小值即可． 【详解】（1）解：设购买A种奖品x个，则购买B种奖品个， 依题意，得， 解得：． 答：购买A种奖品10个． （2）解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个， 依题意，得， 解得． ∵m为整数， ∴m最小为6， 即至少购买A种奖品6个． 8．（2025·辽宁葫芦岛·一模）“天宫课堂”在中国空间站开讲，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，丰富物理兴趣小组的实验项目，决定购入两款物理实验套装，其中款套装的单价比款套装单价的倍少元，用元买款套装的数量是用元买款套装数量的一半． (1)求套装的单价分别是多少元？ (2)根据学校的实际情况，需要一次性购买款套装和款套装共个，两种套装的总费用不超过元，学校最多可以购进多少个款套装？ 【答案】(1)款套装的单价为元，款套装的单价为元； (2)个 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】（）设款套装的单价为元，则款套装的单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购买款套装个，则款套装为个，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量和不等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设款套装的单价为元，则款套装的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：款套装的单价为元，款套装的单价为元； （2）解：设购买款套装个，则款套装为个， 由题意得，， 解得， 答：学校最多可以购进个款套装． 9．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的3倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元 (2)3000元 【难度】0.65 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程和差倍分问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的3倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元． （2）解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得： 花费 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，元 答：此次购进最少要花3000元． 10．（2025·辽宁鞍山·一模）在春季研学活动中，某校组织学生参加“走红色传承路，弘扬优秀革命传统”活动，需要租用旅游客车．租车公司有两种客车，若租用60座客车，则有一辆车只能坐一半人，若租用45座客车则需多租1辆，但正好坐满； (1)请求出该校共有多少名学生参加活动？ (2)若学校打算同时租用两种客车，已知60座客车的租金是4500元/辆，45座客车的租金是4000元/辆，在每位学生都有座位的条件下，请直接写出怎样租车最为合算？ 【答案】(1)该校共有270名学生参加活动 (2)租60座客车3辆，45座客车2辆最为合算 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）该校原计划租车x辆，根据两种租车方式的总人数相等列方程求解即可； （2）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据题意列出不等式，化简为，根据，分别取，，，，求出相应租车费用进行比较即可． 【详解】（1）解：该校原计划租车x辆， 根据题意得：， 解得， （人）， 答：该校共有270名学生参加活动． （2）解：设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 所以， 化简得， 由（1）可知， 必须租2种车， ， 当时，，n最少为1，总租金为 ； 当时，，n最少为2，总租金为； 当时，，n最少为4，总租金为； 当时，，n最少为5，总租金为； 综上所述，租60座客车3辆，45座客车2辆最为合算． 11．（2025·辽宁营口·一模）智能快递机器人是一种能够自主完成快递分拣任务的智能设备．它可以自主感知、识别、分拣快递包裹，大大提高了物流企业的分拣速度和效率．某物流公司为提高工作效率，拟购买甲、乙两种型号智能快递机器人共10台进行快递分拣工作，1台甲型智能快递机器人和3台乙型智能快递机器人每天一共可分拣快递36万件；3台甲型智能快递机器人比2台乙型智能快递机器人每天可多分拣快递20万件． 求： (1)甲、乙两种型号智能快递机器人每台每天分别可分拣快递多少万件？ (2)该物流公司每天快递量不超过100万件，则该公司最多可以购买甲型智能快递分拣机器人多少台？ 【答案】(1)设甲型智能分拣机器人每台每天可分拣快递12万件，乙型智能分拣机器人每台每天可分拣快递8万件 (2)该公司最多可以购买甲型智能分拣机器人5台 【难度】0.65 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设甲型智能分拣机器人每台每天可分拣快递x万件，乙型智能分拣机器人每台每天可分拣快递y万件，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买甲型智能分拣机器人a台，则购买乙型智能分拣机器人台，根据“该物流公司每天快递量不超过100万件”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲型智能分拣机器人每台每天可分拣快递x万件，乙型智能分拣机器人每台每天可分拣快递y万件． 根据题意得：， 解得：， 答：设甲型智能分拣机器人每台每天可分拣快递12万件，乙型智能分拣机器人每台每天可分拣快递8万件． （2）解：设购买甲型智能分拣机器人a台，则购买乙型智能分拣机器人台． 则， 解得， 答：该公司最多可以购买甲型智能分拣机器人5台． 12．（2025·辽宁锦州·一模）为提升游客在景区内参观游览的便利性，某景区计划购进两种型号的观光车．已知型观光车的单价是型观光车单价的1.5倍，用45万元购进型观光车的数量比用40万元购进型观光车的数量少5辆． (1)A型和B型观光车的单价各是多少万元？ (2)该景区决定用不多于130万元的资金购进A型和B型观光车共50辆，最多可以购买多少辆A型观光车？ 【答案】(1)A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元 (2)最多可以购买30辆A型观光车 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式． （1）设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可； 【详解】（1）设型观光车的单价为万元，则型观光车的单价为万元． 根据题意得 解得 经检验，是所列方程的根． （万元） 答：A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元． （2）设购买型观光车辆，则购买型观光车辆． 根据题意得． 解得． 最多可以购买30辆A型观光车． 13．（2025·辽宁抚顺·一模）为了更好地迎接抚顺市中考体育球类技能测试：篮球运球、足球运球等．某中学根据本校实际情况需要购进一批篮球和足球，已知每个篮球比每个足球贵20元，用500元购进的篮球和用400元购进的足球数量相等． (1)求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？ (2)学校计划用不超过9100元购进两种球共100个，学校最多能购进多少个篮球？ 【答案】(1)足球的单价为80元，篮球的单价为100元 (2)学校最多购进55个篮球 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出等量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设足球的单价为元，则篮球的单价为元，根据用500元购进的篮球和用400元购进的足球数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进篮球个，则购进足球个，根据学校计划用不超过9100元购进两种球共100个，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元， 根据题意得， 解得，， 检验：把代入， 是原方程的解，且符合题意， ， 答：足球的单价为80元，篮球的单价为100元． （2）解：设购进篮球个，则购进足球个， 根据题意得：， 解得，； 答：学校最多购进55个篮球． 14．（2025·辽宁葫芦岛·一模）某中学组织部分学生赴博物馆参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准；每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． (1)求甲旅行社一次最多能接待的人数； (2)为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数的合理范围． 【答案】(1)甲旅行社一次最多能接纳的人数为30人； (2)每批组织人数的合理范围为． 【难度】0.65 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意，掌握列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （）当时，名学生的总费用为，得，依题意可得方程，解方程即可求解； （）分两种情况：和，列出不等式解答即可求解； 【详解】（1）解：若，则名学生的总费用为元， ∵， ∴， 依题意得，， 解得， 答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人； （2）解：当时，； 解得； 当时，， 解得； ∴每批组织人数的合理范围为． 15．（2025·辽宁本溪·一模）从沈阳站到大连北站铁路里程约为520千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． (1)求高铁的平均速度； (2)沈阳市某校共有30名师生前往大连参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为180元，学校预计提供交通补助费单程不超过6000元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票． 【答案】(1)高铁的平均速度为156千米/小时 (2)学校为师生最少购买24张高铁二等座的车票 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）设高铁的平均速度为千米/小时，则快车平均速度为千米/小时，根据“乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时”列方程求解即可； （2）设学校为师生购买张高铁二等座的车票，则购买张高铁一等座的车票，根据“交通补助费单程不超过6000元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设高铁的平均速度为千米/小时， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是原分式方程的根， 答：高铁的平均速度为156千米/小时． （2）解：设学校为师生购买张高铁二等座的车票， 根据题意，得， ， 答：学校为师生最少购买24张高铁二等座的车票． 16．（2025·辽宁朝阳·一模）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为元，所有工人的工资总金额不超过万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】(1)原计划每天铺设管道米，实际每天铺设管道米 (2)名 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的工程问题 【分析】（）设原计划每天铺设管道米，则实际每天铺设管道米，根据题意列出方程解答即可； （）设该公司原计划应安排名工人施工，根据题意列出不等式解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量公式是解题的关键． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道米，则实际每天铺设管道米， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，而符合题意， ∴， 答：原计划每天铺设管道米，实际每天铺设管道米； （2）解：设该公司原计划应安排名工人施工， 由题意得，， 解得， 答：该公司原计划最多应安排名工人施工． 17．（2025·辽宁丹东·一模）某树苗销售商从农户处购进A、B两种树苗共1500棵，A种树苗共花费10000元，B种树苗共花费7500元，其中每棵B种树苗的进价是每棵A种树苗进价的1.5倍． (1)求每棵A种树苗的进价是多少元； (2)已知A种树苗需要另支付运输费1000元，若该树苗销售商计划A种树苗至少要获利，求A种树苗的最低销售单价． 【答案】(1)每棵A种树苗进价为10元 (2)A种树苗最低销售单价为13元 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每棵A种树苗的进价是x元，则每棵B种树苗的进价是元，利用数量总价单价，结合该树苗销售商从农户处购进A、B两种树苗共1500棵，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设A种树苗的销售单价为y元，利用利润销售单价销售数量进货总价运费，结合该树苗销售商计划A种树苗至少要获利，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每棵A种树苗进价x元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：每棵A种树苗进价为10元． （2）解：设每棵A种树苗销售单价为y元， A种树苗买了棵， ， 解得：， 答：A种树苗最低销售单价为13元． 26 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$