专题08 四边形-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编（辽宁专用）

专题08 四边形 题型概览 题型01 平行四边形 题型02 矩形 题型03 菱形 题型04 正方形 ( 题型01 )平行四边形 1．（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，，点在正半轴上，点在直线上，当点的“点积值”为，点的“点积值”为时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁大连·一模）如图，在△ABC中，，，为△ABC的中位线，过点E作交于点F，则四边形的周长为（  ） A． B．7 C．9 D．12 3．（2025·辽宁·一模）如图，在中，于点E，于点F，若，，且的周长为30，则的面积为（   ） A．36 B．32 C．24 D．18 4．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，为对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点．若，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，则四边形的周长是 ． 7．（2025·辽宁·一模）如图，在平行四边形中，以为圆心，适当长为半径画弧，交边于点，交边于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线与边交于点；再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，若直线恰好经过点，连接，若，则的度数是 ． 8．（2025·辽宁·一模）如图，在中，点为对角线、的交点，点为的中点，连接与交于点，则的值为 ． 9．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点E在的边AD上，且，连接CE交对角线BD于点F，设的面积为，的面积为，则 ． 10．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，点E在上，将沿翻折，得到，连接，点E，F，D在同一直线上．求证：． 11．（2025·辽宁大连·一模）如图，中，，，点在上，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，，，分别交，于点，，找出图中与相等的线段，并证明； (3)在（2）的条件下，若，求的值． ( 题型02 )矩形 1．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形的边上方作等边三角形，连接，，若是以为底边的等腰三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·一模）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接．若的长为2，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁葫芦岛·一模）矩形中，，，延长BA到点，使，连接，交于点，连接，则的面积为（   ） A．24 B．12 C．6 D．8 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限内作矩形，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，矩形中，，是对角线，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线与边交于点G，连接，则的长是（   ） A． B． C．3.4 D．4 7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，，连接，，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁·一模）如图，在矩形中，点为边上靠近的三等分点，点为边上的动点，将矩形左侧沿翻折得到，点从运动到的过程中，设点的轨迹为，点的轨迹为，与交于，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 10．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，是反比例函数的部分图象，矩形交反比例函数于D，E两点．当，，时，则 ． 11．（2025·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中， 矩形的顶点，， 点D在第一象限，轴， 若函数 的图象经过矩形对角线的交点E，则k的值为 ． 12．（2025·辽宁大连·一模）如图，点在矩形的边上，将沿直线折叠，点的对应点落在矩形内的点处，且，如果，，那么的长为 ． 13．（2025·辽宁朝阳·一模）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 14．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在矩形中，为边上的动点，过点作直线交于点，，作四边形关于直线对称的四边形，连接．若，则的最小值为 ． 15．（2025·辽宁·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，点F在对角线所在的直线上，，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H，若，则的长为 ． 16．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 17．（2025·辽宁沈阳·一模）在矩形中，，点分别是边和边上的动点，，，连接， (1)如图1，当的面积为3时，求的值； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)当时，求的度数； (4)如图2，将沿直线翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值. 18．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，，，在其内部作一个矩形，其中点在边上，点在边上，点在边上，设矩形的一边． (1)请用含的代数式表示边的长度； (2)设矩形的面积为，求当取何值时，的值最大？最大值是多少？ 19．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，矩形的顶点，点在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出线段的长． ( 题型03 )菱形 1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接，，若四边形是菱形，则菱形的面积是（   ） A． B． C．4 D．8 2．（2025·辽宁·一模）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接．若的长为2，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．（2025·辽宁沈阳·一模）如图1，动点从菱形的顶点出发，沿边匀速运动，运动到顶点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图像如图2所示，则菱形的边长为（　　） A． B．4 C． D．2 4．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在菱形中，E是上的点，连接交于点F，连接，若，菱形面积为24，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2025·辽宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在直线上，点C的横坐标是2，将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，菱形的边在x轴上，点B的坐标为，D为的中点，过点D作轴，垂足为交于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（   ） A． B． C． D．2 8．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，对角线与轴平行．直线与轴、轴分别交于点、F．将菱形沿轴向左平移个单位，当点落在的内部时（不包括三角形的边），的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，分别在轴正半轴和负半轴上，顶点在轴正半轴上，直线的表达式为 ，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点B坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为 ． 13．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 14．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为 ． ( 题型0 4 )正方形 1．（2025·辽宁·一模）如图，在正方形中，点为正方形内一点，连接、、、．若为等边三角形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁营口·一模）如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，已知反比例函数的图象经过点M，则k的值为（   ） A．6 B．10 C．5 D．16 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，点E在正方形的内部，且△ADE为等边三角形，与交于点M，则为（  ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁阜新·一模）如图，边长为3的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为 ． 5．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，点在线段上，，，以为边在上方作正方形，连接交于点，则线段的长为 ． 6．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，边长为3的正方形中，点E为边上的一点，且，连接，将沿翻折得到，连接并延长交的延长线于点F，连接，则的值 ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 四边形 题型概览 题型01 平行四边形 题型02 矩形 题型03 菱形 题型04 正方形 ( 题型01 )平行四边形 1．（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，，点在正半轴上，点在直线上，当点的“点积值”为，点的“点积值”为时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，解一元二次方程，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象是解题关键． 根据题意设，通过“点积值”的定义求出点坐标，根据平行四边形的性质结合“点积值”求出点的坐标，即可求解点的坐标． 【详解】解：点在直线上， 设， 点的“点积值”为， ，解得：， 或， 四边形是平行四边形， ， 设或， 点的“点积值”为， 或，解得：， ， 点在正半轴上， ． 故选：C． 2．（2025·辽宁大连·一模）如图，在△ABC中，，，为△ABC的中位线，过点E作交于点F，则四边形的周长为（  ） A． B．7 C．9 D．12 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，中位线定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 先利用中位线定理得到，，接着证明四边形是平行四边形，得到，然后利用四边形的周长公式即可求解． 【详解】解：为△ABC的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， 为△ABC的中位线， 点是的中点， ， 四边形的周长为：． 故选：B． 3．（2025·辽宁·一模）如图，在中，于点E，于点F，若，，且的周长为30，则的面积为（   ） A．36 B．32 C．24 D．18 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】加减消元法、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的周长得到，联立方程组，解得，，代入即可解答． 本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的周长和面积． 【详解】解：∵的周长为30， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ①×2得：③， ③－②， ， ， 代入①，， ∴， ∴． 故选：A． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，即可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故①正确； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴， ∵， ∴，故②正确， 故选：B． 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，为对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点．若，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，利用平行四边形的性质得到，由作图可得是的垂直平分线，得到，设，在中利用勾股定理建立方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 由作图可得，是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的长为5． 故选：C． 6．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，则四边形的周长是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的尺规作图以及等边三角形的判定与性质．理解是的角平分线是解题的关键． 根据尺规作图可知是的角平分线，再结合平行四边形的性质得到，从而得到，进而推出，，再根据证明是等边三角形得到，最后把四边形各边长长度相加即可． 【详解】解：由尺规作图可知，是的角平分线，所以． 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． ． ， 是等边三角形， 四边形的周长为：． 故答案为：． 7．（2025·辽宁·一模）如图，在平行四边形中，以为圆心，适当长为半径画弧，交边于点，交边于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线与边交于点；再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，若直线恰好经过点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】/58度 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、等边对等角、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了角平分线的画法和性质，线段垂直平分线的画法和性质，平行四边形的性质等，由作图可知是的角平分线，是的垂直平分线，可得，设，则，，由平行四边形的性质可得，代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 8．（2025·辽宁·一模）如图，在中，点为对角线、的交点，点为的中点，连接与交于点，则的值为 ． 【答案】（或） 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质得，，，证明出得，再进行化简即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 点为的中点， ， ， 故答案为：（或）． 9．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点E在的边AD上，且，连接CE交对角线BD于点F，设的面积为，的面积为，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，得到，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵是平行四边行， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，点E在上，将沿翻折，得到，连接，点E，F，D在同一直线上．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质证明、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，由折叠的性质可得，由全等三角形的性质可得，．由平行四边形的性质可得，．证明，得出，即可推出，即可得证． 【详解】证明：∵是由翻折得到的， ∴． ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．即． 11．（2025·辽宁大连·一模）如图，中，，，点在上，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，，，分别交，于点，，找出图中与相等的线段，并证明； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)，见详解 (3) 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，垂直的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是构造出辅助线，并熟练运用以上性质定理． （1）利用平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂直的性质即可求得结果； （2）构造角平分线，利用平行四边形的性质和平行线的性质得出相关线段和角相等，证出，，进而可求得相等线段； （3）构造辅助线，根据题目条件、平行四边形和等腰直角三角形的性质得出，设，表示出相关的线段长，利用勾股定理表示出和求出比值即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 中，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图，过点作平分，交于点， 中，，， 中，，， ∴，， ∵， ∴（ASA）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 中，， ∴， ∵， ∴， ∴（ASA） ∴． （3）解： 如图，过点作于点， 由（2）知，中，，， ∴，， 中，， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中，， 中，， ∴． ( 题型02 )矩形 1．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形的边上方作等边三角形，连接，，若是以为底边的等腰三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由矩形的性质以及等边三角形的性质得，结合是以为底边的等腰三角形，得，运用三角形内角和性质得，即可作答． 【详解】解：∵在矩形的边上方作等边三角形， ∴，， 则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， 则， ∴， 故选：C． 2．（2025·辽宁·一模）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接．若的长为2，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质，先根据中位线得到，再证明四边形是菱形，计算周长即可． 【详解】解：解：∵点M，N分别是，的中点， ∴， 又∵，， ∴是平行四边形， 又∵是矩形， ∴， ∴是菱形， ∴的周长为， 故选：C 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，掌握矩形、折叠的性质是关键． 根据矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，在中，，设，则，在中，由列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：B ． 4．（2025·辽宁葫芦岛·一模）矩形中，，，延长BA到点，使，连接，交于点，连接，则的面积为（   ） A．24 B．12 C．6 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的面积．由矩形的性质得到，，， ，从而得到，，，证得，因此，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限内作矩形，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、 求矩形在坐标系中的坐标、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了一次函数的性质、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作轴于点，利用一次函数的性质求出点，的坐标，利用矩形的性质得到，通过证明得到，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点， 令，则， 令，则，解得， ，， ，， 矩形， ， ， 轴， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故选：A． 6．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，矩形中，，是对角线，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线与边交于点G，连接，则的长是（   ） A． B． C．3.4 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质．利用基本作图得到垂直平分，则，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程求得即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由作法得垂直平分， ∴， 设，则， 在中，， 解得，即的长为3.4， 故选：C． 7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，，连接，，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接． ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是的中位线． ． ∵，，，， ∴，，． 在中 ． ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的定义及其尺规作图，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，由矩形的性质可得，，由作图可知，平分，则有，则可证明是等腰直角三角形，得到，再求出的长，即可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由作图可知，平分， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 在中，． 故选：B． 9．（2025·辽宁·一模）如图，在矩形中，点为边上靠近的三等分点，点为边上的动点，将矩形左侧沿翻折得到，点从运动到的过程中，设点的轨迹为，点的轨迹为，与交于，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，连接，勾股定理求出的长，折叠得到，进而得到点的轨迹与点的轨迹为以为圆心的同心圆，进而得到，根据，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵在矩形中，点为边上靠近的三等分点，，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴点的轨迹与点的轨迹为以为圆心，半径分别为4和5的同心圆， ∵与交于， ∴， ∴； 故选A． 10．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，是反比例函数的部分图象，矩形交反比例函数于D，E两点．当，，时，则 ． 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】公式法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征．先表示，，再由三角形面积公式建立方程求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， 故答案为：8． 11．（2025·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中， 矩形的顶点，， 点D在第一象限，轴， 若函数 的图象经过矩形对角线的交点E，则k的值为 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据平行于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设．利用矩形的性质得出E为中点，．根据线段中点坐标公式得出．由勾股定理得出，列出方程，求出m，得到E点坐标，代入，利用待定系数法求出k． 【详解】解：∵轴，， ∴C、E两点横坐标相同，都为2， ∴可设． ∵矩形的对角线的交点为E， ∴E为中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴． ∵反比例函数的图象经过点E， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键． 12．（2025·辽宁大连·一模）如图，点在矩形的边上，将沿直线折叠，点的对应点落在矩形内的点处，且，如果，，那么的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作于点，延长交于点，由折叠可得：，，得到，推出，根据勾股定理求出，证明四边形是矩形，得到，，，推出，设，则，在中，由勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， 由折叠可得：，， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即， 故答案为：． 13．（2025·辽宁朝阳·一模）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，分两种情况进行讨论：当时，当，分别画出图形，根据折叠的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 当时，如图所示， ∵， ∴点在上， 由折叠得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴； 当，如图所示， 由折叠得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 14．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在矩形中，为边上的动点，过点作直线交于点，，作四边形关于直线对称的四边形，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】延长交于点，连接，根据轴对称的性质可得点在直线上，，证明，结合，得出，根据，求出，在中，勾股定理求出，根据三边关系的，即可得当点三点共线且点H在C，E之间时，最小，求解即可． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵四边形和四边形关于直线对称， 根据轴对称的性质可得点在直线上， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ， ， ， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴当点三点共线且点H在C，E之间时，最小， 此时， 故答案为：4 ． 【点睛】该题考查了轴对称的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，得出当点三点共线且点H在C，E中间时，最小． 15．（2025·辽宁·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，点F在对角线所在的直线上，，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H，若，则的长为 ． 【答案】3或7 【难度】0.4 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据与线段的位置关系分情况讨论，设，过作于，先由求出， 再由结合用表示出，最后根据，得到，代入后解方程即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 设， 当在线段上时，如图，过作于， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 当在线段外时，如图，过作于， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，或， 故答案为：3或7． 16．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】过点作直线于，设 ，构建辅助线和设定未知数，由线段旋转性质得出， ，通过角度关系证明 ，证明 ，得到对应边相等关系．根据矩形边长及全等三角形对应边相等，计算出、、、关于的表达式． 在中，依据勾股定理建立关于的表达式，再通过配方转化为顶点式，结合二次函数性质求出的最小值． 【详解】如图，过点作直线于， 设， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 设长为，在矩形中，，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质、三角形全等判定及性质、勾股定理和二次函数求最值 ，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用相关性质建立线段长度表达式并求其最小值． 17．（2025·辽宁沈阳·一模）在矩形中，，点分别是边和边上的动点，，，连接， (1)如图1，当的面积为3时，求的值； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)当时，求的度数； (4)如图2，将沿直线翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值. 【答案】(1) (2)8 (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据三角形的面积公式代入即可求得答案； （2）由（1）可得：，再根据，分别代入即可得到答案； （3）当时，分别求出，，的长，再分别利用勾股定理分别求出，，的长，再由勾股定理的逆定理即可得到答案； （4）过点作，易证得，从而可求得，在中，由勾股定理可得：，即可求得求值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）解：由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ． （3）解：由题可得，当时， ∴，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴． （4）解：过点作，交于， ∵， ，，由折叠的性质可得： ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，，，在其内部作一个矩形，其中点在边上，点在边上，点在边上，设矩形的一边． (1)请用含的代数式表示边的长度； (2)设矩形的面积为，求当取何值时，的值最大？最大值是多少？ 【答案】(1)米 (2)当时，矩形面积最大，最大面积为 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质和二次函数的最值问题，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据矩形的性质可证得，然后即可求解； （2）由（1）得，，根据矩形面积公式求解出，然后即可求解； 【详解】（1）解：由题可得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 解得：米； （2）解：由（1）得：，，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴ 当时，矩形面积最大，最大面积为； 19．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，矩形的顶点，点在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出线段的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查了反比例函数的结合综合，勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和折叠的性质． （1）根据折叠得出，根据勾股定理得出，设，根据勾股定理得出，求出b的值，即可得出答案； （2）根据点纵坐标为8，求出，得出，即可求出结果． 【详解】（1）解：沿折叠，， ， 四边形是矩形，， ， ， 设， 根据勾股定理得：， ∴， ， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：点纵坐标为8， ， 即， ． ( 题型03 )菱形 1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接，，若四边形是菱形，则菱形的面积是（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、三线合一 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，根据题意可得到，再根据菱形的性质可知，然后利用等腰三角形三线合一和勾股定理求得，最后由即可求得答案． 【详解】解：作于点，如图所示， 点是边的中点，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2025·辽宁·一模）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接．若的长为2，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质，先根据中位线得到，再证明四边形是菱形，计算周长即可． 【详解】解：解：∵点M，N分别是，的中点， ∴， 又∵，， ∴是平行四边形， 又∵是矩形， ∴， ∴是菱形， ∴的周长为， 故选：C 3．（2025·辽宁沈阳·一模）如图1，动点从菱形的顶点出发，沿边匀速运动，运动到顶点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图像如图2所示，则菱形的边长为（　　） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了函数图像、菱形的性质、勾股定理等知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键．首先根据函数图像可知，当时，，当点运动到点时，，再由菱形的性质可得，然后由勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：由函数图像可知，当时，， 当点运动到点时，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 故选：A． 4．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在菱形中，E是上的点，连接交于点F，连接，若，菱形面积为24，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求面积、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 先根据菱形的性质证明，再导角证明，即可由菱形面积求出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．（2025·辽宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在直线上，点C的横坐标是2，将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】延长交轴于点，过点作轴于点G，则，由一次函数得，，由勾股定理得：，则，由旋转得，，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长交轴于点，过点作轴于点G，则 ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴， ∵顶点C在直线上，点C的横坐标是2， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数与几何综合，构造全等三角形是解题的关键． 6．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，菱形的边在x轴上，点B的坐标为，D为的中点，过点D作轴，垂足为交于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】过点B作轴于点H．设．由，得，得，在中，利用勾股定理求出x，根据线段垂直平分线可求出，再通过，相似三角形中对应边成比例求出，即得结论． 【详解】解：如图，过B点作轴于点H． 设， ∵， ∴， ∴， 在中，有， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题，利用参数构建方程解决问题． 7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求反比例函数解析式、利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、坐标与图形综合 【分析】过点作于点，利用菱形性质，坐标与图形，勾股定理求出点坐标，再根据点为中点，求出点坐标，最后利用待定系数法求出值，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 点，点， ，，， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， 解得， ， 与交于点， 点为中点， ， 反比例函数的图象经过点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形性质，坐标与图形，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 8．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，对角线与轴平行．直线与轴、轴分别交于点、F．将菱形沿轴向左平移个单位，当点落在的内部时（不包括三角形的边），的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，求出点点的坐标是解题的关键． 如图中，连接交于，延长交于．求出点的坐标，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，延长交于， ∵菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，对角线与轴平行， ， ∴点的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， ， ∴当时，点落在的内部（不包括三角形的边）． 故选：A． 9．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，分别在轴正半轴和负半轴上，顶点在轴正半轴上，直线的表达式为 ，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求面积、写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了直角坐标系，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．先根据求出，，利用勾股定理求出，根据菱形的性质可得，进而求出，根据，即可求解． 【详解】解：令，则，令，则， 解得：， ，， ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故选：B． 10．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点B坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求线段长、由平移方式确定点的坐标、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于的方程． 过作轴于，延长交轴于，判定四边形是矩形，得到，，由点坐标，得到，，令，由勾股定理得到，求出，得到，推出，即可得到点的坐标． 【详解】解：过作轴于，延长交轴于， 轴， 四边形是菱形， ，， ， 四边形是矩形， ，， 点坐标为， ，， 令， ， ， ， ， ， ， ， ， 则点的坐标为． 故选：B． 11．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．连接，先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，进而由菱形对角线求出边长，由，解三角形即可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形中，与互相垂直平分， 又∵点O是的中点， ∴A、O、C三点在同一直线上， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 12．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】26 【难度】0.85 【知识点】利用菱形的性质证明、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质和判定，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的作图方法；根据题意可知：是的垂直平分线，，进而可证四边形是菱形，再根据勾股定理求出，再根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知：是的垂直平分线，， ， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形的面积为， 故答案为：26． 13．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、已知正切值求边长 【分析】过A作于D，设与y轴交于点E，设，根据正切的定义可得，根据勾股定理可得，根据菱形的性质可得，进而可得，代入反比例函数解析式即可求出，再求出矩形的面积，根据k的几何意义即可得解． 【详解】解：过A作于D，设与y轴交于点E，则， 设， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图象和性质，三角函数，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 14．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为 ． 【答案】6或12 【难度】0.4 【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质、解直角三角形，勾股定理，结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键．根据题意，分①点在线段上；②点在延长线上2种情况讨论，作于点，根据菱形的性质和解直角三角形的相关知识即可求解． 【详解】解：①若点在线段上，如图，作于点，则， 菱形， ，， ， 在中，， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ； ②若点在延长线上，如图，作于点，则， 同理①中的方法可得，，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 点与点重合， ； 综上所述，的长为6或12． 故答案为：6或12． ( 题型0 4 )正方形 1．（2025·辽宁·一模）如图，在正方形中，点为正方形内一点，连接、、、．若为等边三角形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质证明、等边对等角 【分析】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等边对等角，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据等边三角形的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，然后根据等边对等角求出，最后根据余角的定义即可得出答案． 【详解】解：为等边三角形， ，， 四边形为正方形， ，， ，， ， ， 故选A． 2．（2025·辽宁营口·一模）如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，已知反比例函数的图象经过点M，则k的值为（   ） A．6 B．10 C．5 D．16 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，根据正方形的性质求出点坐标，再根据中点公式求出点坐标，最后代入计算即可． 【详解】解：∵正方形的顶点A，B在x轴上，点， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形的中心为线段的中点，即点， ∴点M坐标为，即， 把代入得，解得， 故选：C． 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，点E在正方形的内部，且△ADE为等边三角形，与交于点M，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正方形和等边三角形的性质可求得，由得，结合运用三角形内角和定理可求出，从而可得出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∵△ADE为等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∵是正方形的对角线， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 4．（2025·辽宁阜新·一模）如图，边长为3的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，继而得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵边长为3的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为： 5．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，点在线段上，，，以为边在上方作正方形，连接交于点，则线段的长为 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，再利用对应边成比例，得到，结合，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 6．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，边长为3的正方形中，点E为边上的一点，且，连接，将沿翻折得到，连接并延长交的延长线于点F，连接，则的值 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】正方形折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和HL综合（HL）、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了正方形折叠问题，解直角三角形，勾股定理，延长交于点，连接，交于点，证明得出，设，在中，得出，进而根据得出，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，交于点， ∵将沿翻折得到，边长为3的正方形中，， ∴，，， ∴， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$