专项11 平行四边形中的计算与证明-【芸熙百分】2024-2025学年八年级数学下册期末必刷卷（人教版）河南专版

●·八年级·数学·下册 图部过腿 专项11 平行四边形中的计算与证明 紧扣课程标准，根据最新教材编写 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.延长CB至点D,使得BD=CB,过点A,D分别作AE∥BD. DE∥BA,AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若 小红：由题目的已知条件，若 连接BE,则可证明BE⊥CD. 连接CE,则可证明CE=DE. 请你选择一位同学的说法，并进行证明. 2.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CD的中点为E,连接OE并延长至点F,使 得EF=OE,连接CF,DF. (1)求证：四边形OCFD是矩形： (2)若EF=5,BD=16,求菱形ABCD的面积 3.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线. (1)用无刻度的直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD,BC于点E,F:(保留作图 痕迹，不写作法) (2)连接BE,DF,求证：四边形BEDF是菱形： (3)若AB=4,BC=8,求EF的长. 25 河洛芸熙·期末考试必刷卷 w2 四测日腿 4.如图，已知△ABC是等边三角形，边BC上的高AD与边AB上的高CE交于点F,连接BF并 延长交AC于点G,H是AF的中点 (1)连接EH,求证：EH∥BG: (2)连接GH,四边形EFGH是什么特殊的四边形？请说明理由. 5.燮新考法过程性探究活动问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC, CD上，且AE⊥BF,垂足为M.那么AE与BF相等吗？ (1)请直接判断：AE BF(填“=”或“≠”)； 在问题情境的基础上，小明继续探索以下问题： 问题探究： (2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F,G分别在边BC,CD和DA上，且GE⊥BF,垂足为M. 那么GE与BF相等吗？证明你的结论； 问题拓展： (3)如图3，在(2)的条件下，当点M在正方形ABCD的对角线AC上时，连接BG,将△BMG 沿着BG翻折，点M落在点M'处.那么四边形BMGM'是正方形吗？请说明理由. 图1 图2 图3 26●·八年级·数学·下册 派运恩 (2)点Q的坐标为(-号3 ∴AB=CE.∴.CE=DE.) 2.解：(1)证明：：CD的中点为E.DE=CE. 解析如图，当四边形OPDQ是菱形时，Q :EF=OE,∴.四边形OCFD是平行四边形. PO LOD.PG=OG.OG DG..OD =6. ·四边形ABCD是菱形，..AC⊥BD.∴.∠COD=90 0G=3..点P的纵坐标是3.把y=3 四边形OCFD是矩形. 代人y=-子x+6,得3。 2 x+6解得x= ,则点P的 9 (2)在菱形ABCD中，0E=EF=5,BD=16, 坐标为（号3）点0的坐标为(-号3 0F=28F=10.0D=0B=2BD=8 专项10勾股定理的运用与证明 :四边形OCFD是矩形，.CD=OF=10. 1.解：(1)由题意易知0P=a,0R=4.00=2,QR=2+4=6. ·0M=0C=√CD-0D=√102-8=6. 在Rt△POQ中，由勾股定理，得PQ=OP2+0Q=a2+4. 4C=201=12Sem=号4C,B0=号×12×16=% 在Rt△POR中，由勾股定理，得PR=OP+OR=a2+16, .PR2-PQ=a2+16-(a2+4)=a2+16-a2-4=12. 3.解：(1)如图，直线EF即为所求 (2)易知当△PQR为直角三角形时，∠QPR=90°. 由勾股定理，得PR+PQ2=0R,即a2+16+a2+4=36.解 得a=22.∴点P的坐标为(0,22).设直线PQ的解析式 为y=x+b(k≠0).将点P(0,22),Q(-2,0)代人.得 (2)证明：如上图，设EF与BD交于点O. -2h+b=0 1b=22. 解得=2， .直线PQ的解析式为y= ,EF垂直平分线段BD, lb=22. ∴.OB=OD.EF⊥BD 2x+22. :四边形ABCD是矩形，.∴.AD∥BC..∠EDO=∠FBO 2.解：(1)证明：SE方形=(6-a)}=b-2ab+a2,S小E方8=c2- ∠EDO=∠FBO. 4xb=e2-2ab,即-2b+d=2-2ad+8=2. 在△EDO和△FBO中 DO=BO. L∠EOD=∠FOB. (2)AB+BC=80÷4=20,设AH=BC=x,则AB=20-x 0=0B=5,在Rt△4OB中，由勾股定理，得OB+ ,△EDO≌△FB0(ASA).,OE=OF 0A2=AB,即52+(5+x)2=(20-x)2,解得x=7..0A= :OB=OD,∴.四边形BEDF是平行四边形. 5+7=12.该图形的面积为×5×12×4=12m EF⊥BD,÷四边形BEDF是菱形. (3)四边形BEDF是菱形 3.解：(1)80 .BE ED BF DF. (2)由题意可得CD=AB=3,AD=BC=9. 设BE=x,AB=4,AD=BC=8,∴AE=8-x 由折叠的性质可得D'C=DC=3,C'F=CF 在△BE中，由勾股定理，得42+(8-x)2=x2. ∠DCB=∠BCF=90°，设BF=x,则CF=CF=9-x ∴.x=5.即BE=ED=BF=5.∴AE=8-x=8-5=3 在R△BCF中，由勾股定理，得BFP=BC2+CFP. 如(1)中图，过点E作EH⊥BC交BC于点H,则四边形 BC'=CD=3,..x2=32+(9-x)2 AEHB是矩形. ∴x=5,即BF=5.CF=9-5=4 .EH =AB=4,BH =AE =3.:.HF BF-BH=5-3=2. (3)DD'的长为35或3√7. 在I△EIF中，EF=Ef+HF=√4+2=√2D=25. 专项11平行四边形中的计算与证明 1.解：选择小星的说法.证明：如图1，连接BE. 4.解：(1)证明：△ABC是等边三角形，CF⊥AB.AD L BC ,AE∥BD,DE∥BA, ·BG⊥AC 四边形ABDE是平行四边形 由等腰三角形的三线合一，得AE=BE,AG=CC,BD=CD. ∴AE=BD.BD=BC∴AE=BC ,H是AF的中点， :AE∥BC,∴四边形AEBC是平行四边形， ,EH是△ABF的中位线 ∠C=90°，.四边形AEBC是矩形. .EH∥BF,即EH∥BGa ∠EBC=90°，.BE⊥CD. (2)四边形EFGH是菱形.理由如下： (或选择小红的说法.证明：如图2，连接CE,BE. H,G分别是AF,AC的中点， ,AE∥BD.DE∥BA. ·HG是△AFC的中位线. .四边形ABDE是平行四边形 .AE BD.AB=DE..BD BC...AE=BC /CF.G-CF. 图2 AE∥BC,四边形AEBC是平行四边形. 由(1)知EI∥FG,四边形EFGH是平行四边形 ∠C=90°..四边形AEBC是矩形. ,·AD⊥BC,BD=CD.∴，AD垂直平分BC.,∴，BF=CF 6 河洛芸照·期末考试必刷卷 面云圈 EH-BF.HG-CF.EM-HG BD,∴.四边形OCEF是矩形..FG=OE.∴FG的最小值 ∴，四边形EFGH是菱形. 即0E的最小值.当0E1DC时，0E最小Sacm=20C 5.解：(1)= (2)GE=BF.证明如下： 0D=0D.0Ex4x3=x5×0B0 如图1，过点A作AH∥GE,交BC于点H. ：G的最小值为号 51 GE⊥BF,.AH⊥BF ,四边形ABCD是正方形，∴.AD∥BC 三、解答题 ·四边形AHEG是平行四边形.，GE=AH. 由(I)知AH=BF,∴GE=BF 16.解：)原式=25+号-33=2 3 (4分) (3)四边形BMGM是正方形.理由如下： (2)原式=2-3+5-25+1=5-25 (5分) 如图2，连接DM. 17.解：(1)如图，△EFM即为所求.（答案不唯一） 由(2)的结论可知GE=BF 四边形ABCD是正方形， 图2 六AB=AD,∠BAM=∠DAM=45. AB=AD. 在△BAM和△DAM中，∠BAM=∠DAM LAM=AM .△BAM≌△DAM(SAS).二.∠ABM=∠ADM,BM=DM. (4分) 由折叠的性质可知GM=GM',BM=B", (2)△EFM为等腰直角三角形 (5分) ∠BAG+∠BMG=180°，.∠ABM+∠AGM=180 理由如下：EF2+FM=(25)2+(25)2=20+20= :∠DGM+∠AGM=180°，∴.∠DGM=∠ABM. 40.EM2=(210)2=40. ∴∠DGM=∠GDM EF2+FM=EM,.△EFM为直角三角形 (8分) ∴.GM=DM..GM=BM.∴.GM=GM'=BM=BM ∴四边形BMGM为菱形.又：GE⊥BF,即∠GMB=90°， 又：EF=FM=25,△EFM为等腰直角三角形.(9分) ∴，四边形BMGM是正方形. 18.解：(1)88 (2分) 洛阳市2023—2024学年 (2)两个年级学生成绩的平均数和中位数相同，但九年级 第二学期期末质量监测试卷 学生成绩的众数比八年级的大，说明九年级大部分学生成 绩优秀：且九年级学生成绩的方差比八年级的小，说明九年 一、选择题 级学生的成绩比较稳定，所以应该给九年级颁奖。(5分) 题号12345678910 答案BCBDCDACBB (3)八年级的获奖率为10+7+ ×100%=56%, 50 10.B解析)根据题意，易知BC=2.5a,AC=6m.∴.在菱形 九年级的获奖率为14+13+6x100%=66%. 50 (8分) ABCD中，AB=BC=CD=AD=2.5a.根据题图2易得最低 ,56%<66%,∴.九年级的获奖率高 (9分】 点P对应点O位置，运动路线为B-C-D-0-B.,点H 对应菱形ABCD中的点B,点N对应菱形ABCD中的点D, 19.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BF 点Q对应菱形ABCD中的点B.∴点H与点N、点Q的纵坐 ∴∠DEG=∠CFG.G是CD的中点，÷GD=GC 又·∠DGE=∠CGF,∴.△GED≌△GFC(AAS).(5分) 标相同.A项正确：，·AC=6m,∴.AO=3m.即AE的最小值 为3m,B项不正确：根据题图2，得BC+CD+BD=9a, .DE=CF.又：DE∥CF,∴四边形CEDF是平行四边形 (6分) ∴.BD=9a-2.5a-2.5a=4a,∴，0D=2a.在菱形ABCD中 (2)2 AC⊥BD,A0=3m,.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AO (9分) +0D=AD,即32+(2a)2=(2.5a)2,解得a=2(负值已舍 20.解：(1)在R△ABC中，∠ACB=90°，BC=15,AB=17, 去)，C项正确：BC=AB=2.5a=5,÷△ABC的周长为AB 由勾股定理，得AC=√AB-BC=√17-15=8. +BC+AC=5+5+6=16(m),D项正确.故选B (3分) 二、填空题 由题意易知，CD=1.8m,AD=AC+CD=8+1.8= 11.2(答案不唯一)12.413.1314.2 9.8(m).,线段AD的长为9.8m. (4分)》 15.是解析》如图，连接0E.四 (2)如图，当风筝沿D4方向再上升 12m后，A'C=20. 边形ABCD是菱形，BD=6,AD=5, 在R△A'BC中，由勾股定理，得A'B= .ACLRD.OD-8D-3.cD- √/A'C+BC=√20+15=25. (6分)】 AD=5.在Rt△COD中，由勾股定理，得OC= .A'B-AB=25-17=8(m). √CD-0D=√5-3=4.EG10D,EF⊥0C,AC1 他应该再放出8m风筝线.(9分)