第03讲 相似三角形的性质及其应用（4知识点+7大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第03讲 相似三角形的性质及其应用 （4知识点+7大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 知识点02相似三角形性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比． 知识点03相似三角形性质定理3 相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【题型1 相似三角形性质定理1】 【例1-1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 【例1-2】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【变式1-1】（2025·上海长宁·一模）如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为 ． 【变式1-2】（2025·上海金山·一模）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差厘米，那么这两条高的长度和为 厘米． 【变式1-3】如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【题型2 相似三角形性质定理2】 【例2】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的周长比是 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如果两个相似三角形的周长分别是、，那么这两个三角形对应角平分线的比是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式2-2】（24-25九年级上·上海松江·期中）如果两个相似三角形的对应高的比为，且它们的周长差为15厘米，则周长较小的三角形的周长为 厘米． 【变式2-3】如图，在中，，，，AD是BC边上的高．将沿EF折叠，使点A与点D重合，则的周长为 ． A B C D E F 【变式2-4】如图，梯形ABCD的周长为16厘米，上底厘米，下底厘米，分别延长AD和BC交于点P，求的周长． A B C D P 【变式2-5】如图，在中，，，，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上，PQ//AB．当的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长． A B C P Q 【题型3 相似三角形性质定理3】 【例3】（24-25九年级上·上海闵行·期中）如果两个相似三角形周长的比是，那么它们面积的比是 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海·期中）已知两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形对应中线之比为 ． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知两个相似三角形的面积之比是，那么这两个三角形的周长之比是 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海崇明·期中）如果两个相似三角形对应角平分线的比为，其中小三角形的面积为4，那么大三角形的面积为 ． 【变式3-4】如图，在中，D是AB上一点，若，，， ，求的面积． A B C D 【变式3-5】如图，在中，点D、E在AB、AC上，DE//BC，和四边形BCED的面积相等，求AD:BD的值． A B C D E 【变式3-6】如图，在中，，，D、E分别为垂足．若，，求四边形DEAB的面积． A B C D E F 【变式3-7】如图，中，点D是BC延长线上一点，直线EF//BD交AB于点E， 交AC于点G，交AD于点F，若，求的值． A B C D E F G 【题型4 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例4】（23-24九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【变式4-2】（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 【题型5 相似三角形实际应用】 【例5】（24-25九年级上·上海·阶段练习）小杰身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为24米，则教学大楼的高度为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．30米 【变式5-1】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是 米． 【变式5-2】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是 厘米． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【变式5-4】（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【题型6 重心的有关性质与相似三角形综合】 【例6】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知P是的重心，且交于点E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海·期中）在中，点G为重心，若边上的高为6，则点G到边的距离为 ． 【变式6-2】（2025·上海松江·一模）如图，点是的重心，经过点，且．那么的周长与的周长之比为 ． 【变式6-3】（2025·上海嘉定·一模）如图，将一块含角的实心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面内绕着它的重心逆时针旋转．如果这块三角板的斜边长12厘米，那么运动前后两个三角形重叠部分的面积为 平方厘米． 【变式6-4】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心，那么的值为 ． 【题型7 相似三角形——动点问题】 【例7】（23-24九年级上·上海静安·期中）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【变式7-1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标系中，已知、、，过C点作直线交x轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似，这样的直线有 条． 【变式7-2】（22-23九年级上·上海·期中）如图，RtABC中，，，，P是AB边上的一个动点． (1)当时，求AP的长； (2)当CP平分∠ACB时，求点P到BC的距离； (3)过点P作，PQ交边CB于Q，设，，求y关于x的函数关系式并写出定义域． 【变式7-3】（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，动点P从O出发向A以每秒1个单位的速度移动，动点Q从A出发沿的路径以每秒2个单位的速度移动，当其中一个点运动到终点时运动停止，过点P作x轴的垂线，交线段或线段于点E，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线解析式； (2)设的面积为S，求S关于t的函数解析式，并写出定义域； (3)在运动过程中，能否为等腰三角形？若能，直接写出t的值，若不能，请说明理由． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应）．那么下列等式中，不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，是一个正方形网格，在下面所列出的各三角形中，不与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，已知小君的身高是米，他在路灯下的影长为米，小君与灯杆的距离为米，那么路灯距地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知与相似，并且，下列有两个说法： ①与一定相等； ②两个三角形对应角的角平分线之比一定为． 对于两个说法，下列判断正确的是（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 5．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图所示，已知：梯形中，，若，那么为（   ） A．1∶5 B．1∶6 C．1∶7 D．1∶9 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，，，，，那么下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海·期中）两个相似三角形的对应边上中线之比为，它们的周长之和为，那么较大的三角形的周长为 ． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，，若的面积等于，则梯形的面积为 ．    9．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，正方形内接于，点、、分别在边、和上，当，时，正方形的面积是 ． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是 11．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，且．如果的面积为，的面积为，那么的面积为 ． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，点D在边上，；点E在边上，，当时，求的值． 14．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知：如图，在与中，．点是边上一点，，与交于点．点，点分别是边上的中点． 求证： (1) (2)． 15．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平行四边形中，，点是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点． (1)求的长： (2)设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点为的中点，，垂足为点交于点． (1)求证：； (2)求斜边的长． 17．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，且，，，点是边上一动点，交延长线于点，与相交于点．    (1)求边上高的值； (2)如图（2），设，，求关于的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，当与相似时，求的长． 18．（24-25九年级上·上海·期中）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知是比例三角形，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求出的值． 19．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在中，垂足为．且点是边上一动点(点不与点A、点C重合)，连接，过点作交线段于点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，若，求的面积． (3)若交线段于点，连接，且与相似，请直接写出的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 相似三角形的性质及其应用 （4知识点+7大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 知识点02相似三角形性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比． 知识点03相似三角形性质定理3 相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【题型1 相似三角形性质定理1】 【例1-1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，根据相似三角形对应线段的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们对应的角平分线之比是． 故答案为：． 【例1-2】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【变式1-1】（2025·上海长宁·一模）如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角平分线的比、对应中线比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应高之比为， 故答案为：． 【变式1-2】（2025·上海金山·一模）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差厘米，那么这两条高的长度和为 厘米． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查相似三角形的性质：熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键； 根据相似三角形的高线比等于相似比，设未知数，列出一元一次方程，进行求解即可 【详解】解：由题意得：两个相似三角形的相似比为：， ∴两个三角形的高线比为， 设较大三角形的高为（厘米），较小三角形的高为（厘米）， ∴， 解得：， ∴两个三角形的高的长度和为（厘米）， 故答案为：． 【变式1-3】如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，设高AM交GF于H点， ∵四边形DEFG为正方形， ∴GF∥DE，即：GF∥BC， ∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC， ∴， 设正方形的边长为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键． 【题型2 相似三角形性质定理2】 【例2】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的周长比是 ． 【答案】/ 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是， 这两个相似三角形的周长比是， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如果两个相似三角形的周长分别是、，那么这两个三角形对应角平分线的比是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查想点三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比、对应中线的比、高线的比、角平分线的比都等于相似比解题即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比、对应角平分线的比都等于相似比， ∴这两个三角形对应角平分线的比是， 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海松江·期中）如果两个相似三角形的对应高的比为，且它们的周长差为15厘米，则周长较小的三角形的周长为 厘米． 【答案】30 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形性质．根据相似三角形的周长比等于相似比解题． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应高的比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴设较大三角形的周长是，较小三角形的周长是，则， 解得， 那么较小三角形的周长是（厘米）， 故答案为：30． 【变式2-3】如图，在中，，，，AD是BC边上的高．将沿EF折叠，使点A与点D重合，则的周长为 ． A B C D E F 【答案】． 【解析】由折叠得垂直平分，是上的高， ，，， ，． 【总结】本题考查相似三角形的性质和判定． 【变式2-4】如图，梯形ABCD的周长为16厘米，上底厘米，下底厘米，分别延长AD和BC交于点P，求的周长． A B C D P 【答案】． 【解析】解：梯形，，， ，即， ，． 【总结】本题考查相似三角形的性质和判定． 【变式2-5】如图，在中，，，，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上，PQ//AB．当的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长． A B C P Q 【答案】． 【解析】解：， ， ， ，，， ，， ，，， ，． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力． 【题型3 相似三角形性质定理3】 【例3】（24-25九年级上·上海闵行·期中）如果两个相似三角形周长的比是，那么它们面积的比是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形周长的比是， ∴它们的相似比是， ∴它们的面积比为， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海·期中）已知两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形对应中线之比为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比为相似比的平方，对应中线之比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴两个相似三角形的相似比为：，即为：， ∴这两个三角形对应中线之比为； 故答案为：． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知两个相似三角形的面积之比是，那么这两个三角形的周长之比是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由两个相似三角形的面积比是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴这两个相似三角形的相似比是， ∴它们的周长比是， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海崇明·期中）如果两个相似三角形对应角平分线的比为，其中小三角形的面积为4，那么大三角形的面积为 ． 【答案】8 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设较大三角形的面积为x，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出方程，然后求解即可． 【详解】设较大三角形的面积为x． ∵两个相似三角形对应角平分线的比为， ∴ 解得， 经检验，是原方程的解． ∴大三角形的面积为8． 故答案为：8． 【变式3-4】如图，在中，D是AB上一点，若，，， ，求的面积． A B C D 【答案】． 【解析】解：，，， ， 又，． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质． 【变式3-5】如图，在中，点D、E在AB、AC上，DE//BC，和四边形BCED的面积相等，求AD:BD的值． A B C D E 【答案】． 【解析】解：，， ，， ，，． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质． 【变式3-6】如图，在中，，，D、E分别为垂足．若，，求四边形DEAB的面积． A B C D E F 【答案】3． 【解析】解：，． ，，． ，，， ，，又， ，，，， ，． 【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识． 【变式3-7】如图，中，点D是BC延长线上一点，直线EF//BD交AB于点E， 交AC于点G，交AD于点F，若，求的值． A B C D E F G 【答案】． 【解析】解：，，， ，， ，，，， 是中线，,． 【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识． 【题型4 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例4】（23-24九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可知， ， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． 【变式4-1】（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 【变式4-2】（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ． 【答案】/0.5 【知识点】根据正方形的性质求线段长、在网格中画与已知三角形相似的三角形、利用相似三角形的性质求解 【分析】先确定最短边最小为1，根据对应边成比例，确定另外两条边的长度，作出图形即可． 【详解】解：△ABC的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可． 如图，△CFE即为所求，面积＝×1×1＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【变式4-3】（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 【答案】6 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 【题型5 相似三角形实际应用】 【例5】（24-25九年级上·上海·阶段练习）小杰身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为24米，则教学大楼的高度为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．30米 【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，利用对应边成比例可得所求的高度．用到的知识点为：在相同时刻，物高与影长的比相同． 【详解】解：设教学大楼的高度为米， 在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似， ， 解得 则教学大楼的高度为18米． 故选：A． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是 米． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．通过证明，得到，再代入数据求出的长，即可解答． 【详解】解：，， ， 由题意得，， ， ，即， 解得：米． 该古城墙的高度是米． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是 厘米． 【答案】4 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，先过点作于点，延长交于点，依题意得，，证明，再根据相似三角形的性质求解即可 【详解】解：过点作于点，延长交于点，如图， 依题意得：，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴厘米， 故答案为：4 【变式5-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． ， ， ． ，，， ． ， ， ． ，，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为米． 【变式5-4】（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 【题型6 重心的有关性质与相似三角形综合】 【例6】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知P是的重心，且交于点E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质 【分析】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形重心的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．连接并延长交于点，根据三角形重心的性质得到，，由得到，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点， P是的重心， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海·期中）在中，点G为重心，若边上的高为6，则点G到边的距离为 ． 【答案】2 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质 【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．连接并延长交于E，过点G作于H，根据三角形的重心的性质可得，证明，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于E，过点G作于H， ∵点G为的重心， ∴， ∴， 又∵是边上的高， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 即点G到边的距离为2． 故答案为：2． 【变式6-2】（2025·上海松江·一模）如图，点是的重心，经过点，且．那么的周长与的周长之比为 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，重心的性质，连接并延长交于点，平行线分线段成比例，得到，证明，利用相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴， ∵， ∴，， ∴； ∴的周长与的周长之比为； 故答案为：． 【变式6-3】（2025·上海嘉定·一模）如图，将一块含角的实心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面内绕着它的重心逆时针旋转．如果这块三角板的斜边长12厘米，那么运动前后两个三角形重叠部分的面积为 平方厘米． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，旋转的性质，重心的性质，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的面积，旋转的性质，重心的性质，推出，且相似比为，利用的面积减去三个小三角形的面积求出重叠部分的面积即可． 【详解】解：如图，，， ∴， ∴， ∵为重心， ∴， ∵绕点旋转180度， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴重叠部分的面积为：； 故答案为：． 【变式6-4】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题． 设的重心为点，延长交于点，如图则利用三角形重心的性质得到，再证明，则根据相似三角形的性质得到，然后根据比例的性质得到的值． 【详解】解：设的重心为点，延长交于点，如图， 点为的重心， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型7 相似三角形——动点问题】 【例7】（23-24九年级上·上海静安·期中）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【答案】(1)； (2)；的值为或. 【知识点】相似三角形——动点问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】()证明，利用相似三角形的性质求解； ()证明，可得，推出，由，推出，由此构建关系式，可得结论； 分两种情形：当点在线段的延长线上；当点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，且点不可能在线段上， ∴与相似有两种可能: 当点在线段的延长线上 (如图中) ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当点在线段的延长线上 (如图中)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的值为或. 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【变式7-1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标系中，已知、、，过C点作直线交x轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似，这样的直线有 条． 【答案】4 【知识点】相似三角形——动点问题、坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形及三角形的相似，分与为对应边和与为对应边，两种情况进行讨论是解决本题的关键． 【详解】解：是直角三角形， 以点D，C，O为顶点的三角形也是直角三角形， 点D在x轴上， ， 、、， ， 如图，当与为对应边，    则， ，即或； 如图，当与为对应边，    则， ，即或； 综上，这样的直线有4条， 故答案为：4． 【变式7-2】（22-23九年级上·上海·期中）如图，RtABC中，，，，P是AB边上的一个动点． (1)当时，求AP的长； (2)当CP平分∠ACB时，求点P到BC的距离； (3)过点P作，PQ交边CB于Q，设，，求y关于x的函数关系式并写出定义域． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】（1）由勾股定理求，作，等积法求，由勾股定理求，三线合一求即可． （2）作，，由角平分线性质得，由求，再求即可； （3）由得，即可求y关于x的函数关系式，由的长度确定定义域即可． 【详解】（1）解： 如图： 中，，，， ． 作， 即， 在中 ； 故答案为：； （2）解：如图 过点作，，垂足分别为、， 平分， ， ， ， ，即，解得． 故答案为：； （3）解： 如图，过点作， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等采三角形三线各一，勾股定理及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． 【变式7-3】（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，动点P从O出发向A以每秒1个单位的速度移动，动点Q从A出发沿的路径以每秒2个单位的速度移动，当其中一个点运动到终点时运动停止，过点P作x轴的垂线，交线段或线段于点E，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线解析式； (2)设的面积为S，求S关于t的函数解析式，并写出定义域； (3)在运动过程中，能否为等腰三角形？若能，直接写出t的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【知识点】用勾股定理解三角形、求一次函数解析式、相似三角形——动点问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得点C的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出，根据题意可得当时，点Q到达点B处，当时，点E到达点C处，当时，点Q到达点C处，然后分四种情况解答，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，点C的纵坐标为4，点B到y轴的距离为10， ∴点C的横坐标为3， ∴点C的坐标为， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为； （2）解：如图，过C作于点D， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴当时，点Q到达点B处，当时，点E到达点C处，当时，点Q到达点C处， 根据题意得：， 当时，点E在上，点Q在上， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， 过点Q作轴于点M，则， ∵， ∴ ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当时，点E在上，点Q在上，过点Q作轴于点F， 根据题意：， ∴， ∴， ∴； 当点E与点Q相遇时，，解得：， 当时，如图， ， ∴； 当时，如图， ， ∴； 综上所述，S关于t的函数解析式为； （3）解：能，理由如下： 根据题意得：点P的坐标为， 当时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为，， ∵，且， ∴， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，此方程无解； 当时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为，， ∵，且， ∴， 当时，，解得：（舍去）或6（舍去）； 当时，，此方程无解； 当时，此时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为，， 当时，，解得：； 当时，此时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为， 当时，，（舍去）； 综上所述，当时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应）．那么下列等式中，不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，对应角相等，对应线段成比例，面积比等于相似比的平方，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故选项A，B，D不符合题意； 不一定相等，故选项C符合题意； 故选C． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，是一个正方形网格，在下面所列出的各三角形中，不与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：，，， A．，，， ∵，，， ∴， ∴，故A不符合题意； B．，，， ∵，，， ∴， ∴，故B不符合题意； C．，，， ∵，，， ∴， ∴与不相似，故C符合题意； D．，，， ∵，，， ∴， ∴，故D不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，已知小君的身高是米，他在路灯下的影长为米，小君与灯杆的距离为米，那么路灯距地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是结合已知条件找出图中存在的相似三角形．由题可知，，，则，由此可判定，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ，即， 米， 路灯距地面的高度为米， 故选：A． 4．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知与相似，并且，下列有两个说法： ①与一定相等； ②两个三角形对应角的角平分线之比一定为． 对于两个说法，下列判断正确的是（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应角的角平分线之比等于相似比，即可求解． 【详解】解：与相似，并且， 或， 或，或， 两个三角形对应角的角平分线之比一定为， 故①错误②正确， 故选：D． 5．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图所示，已知：梯形中，，若，那么为（   ） A．1∶5 B．1∶6 C．1∶7 D．1∶9 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此考查了相似三角形的判定和性质．先求出，，再证明得到，,则，，即可求出． 【详解】解：∵与等高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，, ∴，， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，，，，，那么下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．先证出和，再根据相似三角形的性质，对选项逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：，，，， ，， 又，， ，， ，故A选项结论正确，不符合题意；，故B选项结论正确，不符合题意； ，， ，， ，故C选项结论错误，符合题意； ，， ，， ，故D选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海·期中）两个相似三角形的对应边上中线之比为，它们的周长之和为，那么较大的三角形的周长为 ． 【答案】12 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，对应边上的中线比等于相似比，设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边上中线之比为， ∴两个三角形的相似比为：， ∴两个三角形的周长比为：； ∴设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为， 则：， 解得：， ∴较大的三角形的周长为； 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，，若的面积等于，则梯形的面积为 ．    【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得，，则，如图所示，过点作于点，则有，求出，同理，，求出的面积，再根据相似三角形的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，则， 如图所示，过点作于点，    ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴梯形的面积为， 故答案为： ． 9．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，正方形内接于，点、、分别在边、和上，当，时，正方形的面积是 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据正方形的性质得到，由平行线的性质得到，，推出，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， 正方形的面积是， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，过点作交于点，交于点，证明，可得，即可解答，熟练证明是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得，经检验是分式方程的解， 边上的高的长是， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，且．如果的面积为，的面积为，那么的面积为 ． 【答案】8 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判断与性质、一元二次方程的应用等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：过A作交于F，易得、、的高等于，进而得到，设，则、；再根据题意可得，，整理得到，解得；然后求得的面积，最后根据面积的和差即可解答． 【详解】解：如图：过A作点H与交于F， ∵， ∴，，的高等于， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴，， ∴，， ∴，整理得，解得：或（舍弃）， ∴的面积为：． ∴的面积为． 故答案为8． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理，结合图形构造相似三角形是解题的关键．作于点，交与点，根据平行线的性质得到，利用矩形的性质得到，，通过证明求出的长，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，交与点， ，， ， 直线且相邻两直线间距离相等， ， ， 矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，之间的距离为． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，点D在边上，；点E在边上，，当时，求的值． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，设，可得，再通过角度的转换得到，得到，证明，则可得，再利用勾股定理即可解答，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 根据勾股定理可得，即， 可得， ． 14．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知：如图，在与中，．点是边上一点，，与交于点．点，点分别是边上的中点． 求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是判定，，掌握相似三角形的对应中线的比等于相似比． （1）由三角形的外角性质推出，又，推出，得到，即可证明； （2）由，推出，得到，判定，推出，判定，推出，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， 点，点分别是，边上的中点， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ． 15．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平行四边形中，，点是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点． (1)求的长： (2)设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，由，得，可证明，得，求得，再证明，得，即可得出； （2）由，得，则，而，则，由，得进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，， 点、是对角线上的两点，且， ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）， ， ， ， ， 四边形的面积为 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点为的中点，，垂足为点交于点． (1)求证：； (2)求斜边的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，勾股定理，熟练证明是解题的关键． （1）利用角度的转换得到，即可解答； （2）利用相似三角形的性质，即可解答． 【详解】（1）解：点为的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，即， 解得（负值舍去）， ． 17．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，且，，，点是边上一动点，交延长线于点，与相交于点．    (1)求边上高的值； (2)如图（2），设，，求关于的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，当与相似时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】函数解析式、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，函数关系式，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用勾股定理可得，由即可求解； （2）根据题意，证明，得到，设，则，，解得，即，再证明，得到，整理得，由此即可求解； （3）如图所示，设交于点，可得，分类讨论：当时，，得；当时，，得；由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 解得，，即， ∵， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 当点与点重合时， ∵，且， ∴四边形是菱形，即， ∴， ∴； （3）解：如图所示，设交于点， ∵，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式有意义， ∴； 当时，， ∴， 如图所示，连接并延长交于点， ∵，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 由（2）可知， ∴，整理得，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴； 综上所述，的长为或． 18．（24-25九年级上·上海·期中）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知是比例三角形，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求出的值． 【答案】(1)当是比例三角形，为或或． (2)证明见解析 (3) 【知识点】比例线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的综合问题，理解比例三角形的定义，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得； （2）先证得，再由知即可得结论； （3）作，由知，再证得，即，结合知，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵是比例三角形，且， ①当时， 得：， 解得：； ②当时， 得：， 解得：； ③当时， 得：， 解得：（负值舍去）； ∴当是比例三角形，为或或； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是比例三角形；． （3）解：如图，过点A作于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在中，垂足为．且点是边上一动点(点不与点A、点C重合)，连接，过点作交线段于点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，若，求的面积． (3)若交线段于点，连接，且与相似，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查相似三角形的综合应用，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和分论讨论思想的应用． （1）证明，对应边成比例即可解决问题； （2）设交于，由；，可得，设，则，可得，即可解得，，求出，；由三角形面积公式即可解决问题； （3）与相似，只需或，分两种情况讨论：①当时，②当时，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， （2）解：设交于，如图： 由（1）知， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得 ， ， ， 的面积为； （3）解：， 与相似，只需或， ①当时，此时如图：， ，，，，， ，， ， ， 设，则 由（1）知：， 解得：负值舍去 ②当时，如图： ，， ， ， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， 综上所述，的长为或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$