专题03 相似三角形的判定与性质（七大题型，60题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

专题03 相似三角形的判定与性质（七大题型，60题）（原卷版） 证明两三角形相似 1．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在正方形中，为中点，，连接，那么下列结论中：与相似；与相似；与相似：与相似；；其中错误的有（        ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24九年级上·上海崇明·期中）下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．腰与底的比都是的两个等腰三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．两条直角边的比都是的两个直角三角形 3．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　）    ① ；② ； ③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）下列条件中，不能判定与相似的是（　　） A．，，； B．，，，，； C．，； D．， 5．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 选择或补充条件使两个三角形相似 6．（23-24九年级上·廊下中学·期中）如图，下列条件中不能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·青云中学·期中）如图，.要使，给出下列需要添加的条件:①；②；③，其中正确的是（  ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（23-24九年级上·实验东滩校区·期中）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（    ）    A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．    10．（23-24九年级上·上海实验·期中）如图，点D在的边上，当 时，与相似． 重心的有关性质 11．（23-24九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，垂足为点D，是边上的中线，与相交于点G，则的长为 ．    12．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）已知在中，是中线，是重心，如果，那么 ． 13．（22-23九年级上·上海·期中）已知的边上的中线长，点是的重心，那么 ． 14．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知点G是的重心，那么 ． 15．（22-23九年级上·上海静安·期中）已知在中，，，点G为重心，那么 ． 16．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，，是边的中线，，，那么 ． 相似三角形的判定与性质综合 17．（23-24九年级上·上海·期中）已知：如图，四边形中，与交于点，，延长至，，则下列各组相似中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为 ． 19．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 20．（23-24九年级上·上海·期中）如图，正方形的边在的边上，点、分别在边、上．如果的边长为6，面积为24，那么正方形的边长 ． 21．（23-24九年级上·上海·期中）如图，梯形中，，，，将梯形沿直线翻折，使得点与点重合，折痕与边、相交于点、．如果，那么的值是 ．        22．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 23．（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线经过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为． (1)求点坐标； (2)在轴上找一点（在的左边），使得，求点的坐标； (3)直线交轴于点，若线段上存在一点，使，求点的坐标； 24．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，，，是上一点，作，，、相交于点，与相交于点，联结. (1)求证：； (2)如果，求的长； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 25．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，，，，，平分．    (1)求的长； (2)求的值； (3)点是射线上上一点，如果与相似，求的长． 利用相似三角形的性质求解 26．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如果两个相似三角形对应周长之比是，那么它们的对应边之比是（　　） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·上海·期中）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应边上的中线之比为 ． 28．（23-24九年级上·上海金山·期中）如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于 ． 29．（23-24九年级上·上海青浦·期中）若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ． 30．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为，则另一个三角形中最小的内角为 ． 31．（23-24九年级上·上海宝山·期中）已知，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果，，那么 . 32．（23-24九年级上·上海宝山·期中）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是14和9，如果它们的周长相差20，那么较大三角形的周长为 ． 33．（23-24九年级上·上海松江·期中）如果两个相似三角形的对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 ． 34．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 35．（23-24九年级上·上海静安·期中）如果把一个三角形的三边长扩大为原来的4倍，那么这个三角形的高扩大为原来的 倍． 相似三角形应用举例 36．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知小丽的身高是米，他在路灯下的影长为米，小丽距路灯灯杆的底部米，那么路灯灯泡距地面的高度是 米．    37．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为 米．    38．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，是洞孔成像原理的示意图，物体平行物像，根据图中标注的尺寸，如果物体长，那么物像的长度是 ． 39．（22-23九年级上·上海·期中）在某一时刻，测得一根高为1.2米的竹竿影长为2米，同时同地测得一栋楼的影长为30米，那么这栋楼的高度为 米． 40．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 相似三角形动点问题 41．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图，，，且，，，点P是线段DB上一动点，当 时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似． 42．（23-24九年级上·上海静安·期中）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 43．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． (1)若，求的长； (2)设，，试求y关于x的函数解析式； (3)当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 44．（22-23九年级上·上海·期中）如图，RtABC中，，，，P是AB边上的一个动点． (1)当时，求AP的长； (2)当CP平分∠ACB时，求点P到BC的距离； (3)过点P作，PQ交边CB于Q，设，，求y关于x的函数关系式并写出定义域． 45．（22-23九年级上·上海宝山·期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P在边BC上（点P与点B、C不重合），∠APF＝∠B，射线PF与边AC交于点F，过点A作BC的平行线，交射线PF于点Q． （1）如果BP＝3，求CF的长； （2）当△AFQ是等腰三角形时，求BP的长． 一、填空题 46．（22-23九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，，，D是边上一点，且，如果点E在边上，且与相似，那么 ． 47．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，，，是上一点，，连接，过作的垂线交于，连接，则 ． 二、解答题 48．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知：如图，在中，，点P、D分别在边、上，，求证：． 49．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，已知在中，点D为边的中点，点F在边上，点E在线段的延长线上，且，点M在线段上，且．    求证： (1)； (2)． 50．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）已知矩形中，，，P是边上一点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连结，直线与射线相交于点F．    (1)如图1，当F在边上，若时，求的长； (2)若射线交的延长线于Q，设，，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)①如图2，直线与边相交于点G，若与相似，则________度； ②如图3，当直线与的延长线相交于点H时，若．求的长． 51．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）如图，平行四边形中，点为的中点，点在上，，延长交于点，延长交于点．    (1)求证：； (2)连接，若点为的中点，求证：． 52．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和小刚想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小刚在点处坚立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上（点也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．    (1)求教学楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，小刚通过移动标杆，可以用同样的方法测得教学楼上点的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向教学楼方向移动多少米？ 53．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在等腰中，，分别是上的点，满足 (1)若，求证； (2)若，，求的长； (3)过作平行线交延长线于，求证：． 54．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，相交于点O，， ．    (1)如果，求的长; (2)如果的面积为2，求的面积. 55．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，已知在中，点、、分别在边、，上，，，如果，的面积是20，求的面积．    56．（23-24九年级上·上海虹口·期中）已知在平面直角坐标系中，线段与x轴交于点C，经过点B的直线与x轴交于点D．    (1)求点C、D的坐标； (2)连接，求的面积； (3)点P在x轴上且在点D的右侧，如果，求点P的坐标． 57．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，在中，，，垂足为点，是上一点，联结交于点，且．    (1)求证：； (2)作，垂足为点，延长交于点，求证：． 58．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，已知在中，，平分，交边于点，是边上一点，且，过点作，交于点，联结、，延长交于点．    (1)求证：； (2)当时， ①若，，求的长； ②若，联结，求的值． 59．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在矩形中，对角线，交于点O，点E为边的中点，连接交于点F，且，连接．求证：    (1)； (2)． 60．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在梯形中，．点P是对角线上的一点．过点P分别作、的平行线，与交于点F，与交于点E．联接交于点G．    (1)求证：． (2)当，，时，求的长． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相似三角形的判定与性质（七大题型，60题）（解析版） 证明两三角形相似 1．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在正方形中，为中点，，连接，那么下列结论中：与相似；与相似；与相似：与相似；；其中错误的有（        ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，根据正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵为中点，， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形，，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴和不相似，故错误； ④正确； ∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个， 故选：B． 2．（23-24九年级上·上海崇明·期中）下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．腰与底的比都是的两个等腰三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．两条直角边的比都是的两个直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握：①两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；②两角对应相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似；是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理进行判断作答即可． 【详解】解：由相似三角形的判定定理可知， 腰与底的比都是的两个等腰三角形，一定相似，故A不符合要求； 有一个内角为的两个直角三角形，一定相似，故B不符合要求； 有一个内角是的两个等腰三角形，当为一个三角形的顶角，为一个三角形的底角时，两个三角形不相似，故C符合要求； 两条直角边的比都是的两个直角三角形，一定相似，故D不符合要求； 故选：C． 3．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　）    ① ；② ； ③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练的结合角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故②符合题意； ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，；故①④符合题意； 与只有一组角相等，无法证明相似， ∴故③不符合题意； 故选C． 4．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）下列条件中，不能判定与相似的是（　　） A．，，； B．，，，，； C．，； D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形相似的判定，根据相似三角形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：如图，    ∵，，， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵，，，，， ∴， ∴， ∴；故B不符合题意； 如图，    ∵，， ∴， ∴即， ∴；故C不符合题意； ∵，，有一组角相等但是两边不是对应成比例，故两个三角形不相似． 故选D． 5．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【详解】解：∵，， ∴．故（c）正确． ∵平分， ∴， ∴．故（b）正确． ∴， ∴， ∴．故（d）正确． 而不能证明，故（a）错误． ∴错误的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 选择或补充条件使两个三角形相似 6．（23-24九年级上·廊下中学·期中）如图，下列条件中不能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边分别成比例的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定定理即可进行解答． 【详解】解：A、∵，， ∴，故A不符合题意； B、∵，， ∴，故B不符合题意； C、由，不能判断和相似，符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 7．（23-24九年级上·青云中学·期中）如图，.要使，给出下列需要添加的条件:①；②；③，其中正确的是（  ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】图中已知条件是∠ACB=∠BDC=90°，所以根据“两角法”、“两边及其夹角法”进行添加条件即可． 【详解】解：∠ACB=∠BDC=90°， ①若添加，可得∠ABC=∠BCD，可以判定，故①正确； ②若添加BC2=AC∙CD即时，不能判定，故②错误； ③若添加时，可以判定，故③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查的是利用对应角判定相似三角形，指出对应角相等或对应边成比例即可． 8．（23-24九年级上·实验东滩校区·期中）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（    ）    A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果． 【详解】∵∠DAE＝∠BAC， ∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意， 当时， ∵∠B不一定等于∠AED， ∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意， 当时，△ADE∽△ACB．故③符合题意， 综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键 9．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可． 【详解】解：∵， ∴当或或时，． 故答案为：或或． 10．（23-24九年级上·上海实验·期中）如图，点D在的边上，当 时，与相似． 【答案】 【分析】要使∽，由∠BAC=∠CAD共用，只要满足即可． 【详解】由∠BAC=∠CAD共用， 当时， ∽． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形判定问题，关键是掌握相似三角形的判定定理． 重心的有关性质 11．（23-24九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，垂足为点D，是边上的中线，与相交于点G，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及重心定理“三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为”等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后证点G为的重心，得，进而由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴点G为的重心， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）已知在中，是中线，是重心，如果，那么 ． 【答案】6 【分析】根据重心的性质即可求解．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 【详解】解：解：∵在中，是中线，是重心，如果， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了重心的性质，掌握重心的性质是解题的关键． 13．（22-23九年级上·上海·期中）已知的边上的中线长，点是的重心，那么 ． 【答案】 【分析】根据重心的性质即可求出． 【详解】解：∵的边上的中线长，点是的重心， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，掌握三角形重心的性质是解题的关键． 14．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知点G是的重心，那么 ． 【答案】 【分析】连接并延长交于点D，由G是重心可得D是的中点，所以，，又由重心定理可，则，进而得到，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点D， ∵G是的重心， ∴D是的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键． 15．（22-23九年级上·上海静安·期中）已知在中，，，点G为重心，那么 ． 【答案】2 【分析】根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出的长，再利用重心的性质即可求出的长． 【详解】解：根据题意可画图如下， ，，点G为重心， ， 故答案为：2 【点睛】此题主要考查学生对三角形重心的理解和掌握，解答此题的关键是明确等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，此题难度不大，属于基础题． 16．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，，是边的中线，，，那么 ． 【答案】144cm2/144平方厘米 【分析】首先证明G是的重心，推出， ，求出、 ，利用勾股定理求出 即可求得答案． 【详解】， 是的中线， 点G是的重心， ， ， ， 在 中， 【点睛】本题考查了三角形重心的概念，掌握三角形重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍是解题关键． 相似三角形的判定与性质综合 17．（23-24九年级上·上海·期中）已知：如图，四边形中，与交于点，，延长至，，则下列各组相似中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的判定与性质逐一分析即可． 【详解】解A：，， ，故该选项正确； B、， ， ， ，故该选项正确； C、， ，， ，，， ， ，故该选项正确； D、由题意可知，，，故不能推出，故该选项错误； 故选：D． 18．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，正方形的性质等知识，证明，可求出，利用平行线分线段成比例可求出，，进而求出，，然后证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶如图， 根据题意，得，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查三角形中线的性质和相似三角形的判定和性质的理解及运用．利用该定理时要注意线段之间的对应关系． 由点G是重心，得出是的边上的中线，确定，，再由相似三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：∵点G是重心， ∴是的边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴故答案为：． 20．（23-24九年级上·上海·期中）如图，正方形的边在的边上，点、分别在边、上．如果的边长为6，面积为24，那么正方形的边长 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解． 【详解】解：作交于点，交于点， 由正方形得，即， ， ． 由得， ． ，， ，， 即， ∵的边长为6，面积为24， ∴， ∴， 设正方形的边长， 得， 解得． 故正方形的边长是． 故答案为：． 21．（23-24九年级上·上海·期中）如图，梯形中，，，，将梯形沿直线翻折，使得点与点重合，折痕与边、相交于点、．如果，那么的值是 ．        【答案】 【分析】先得出，再设，结合梯形性质以及矩形性质，得出，运用勾股定理得，证明。列式代入数值化简，即可作答． 【详解】解：连接和，如图：    ∵是点A、C的对称轴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∵ ∴设 过点D作，    ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴ 则 ∵是点A、C的对称轴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 则 ∴ 解得 则 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了轴对称性质以及矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线经过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为． (1)求点坐标； (2)在轴上找一点（在的左边），使得，求点的坐标； (3)直线交轴于点，若线段上存在一点，使，求点的坐标； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线经过点，求得，得到，令，则，即得； （2）设直线解析式为，把，代入，解方程组得到，根据，得到，求出，得到直线解析式为，当时，，即得； （3）过点C作于点G，过点P作于点H，得到，得到，求出，，, ，根据勾股定理得到，设，得到，根据得到，求得，得到，求得，得到，得到，得到，即得． 【详解】（1）∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴； （2）根据题意作图如下， 设直线解析式为， 把，代入， 得，， 解得，， ∴， 设和的边上的高分别为和， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （3）过点C作于点G，过点P作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， ∵，， ∴，，, ， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，同底等积三角形性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 24．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，，，是上一点，作，，、相交于点，与相交于点，联结. (1)求证：； (2)如果，求的长； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)6或. 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、分情况讨论是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，设，则，则，解得x的值，即可得到答案； （3）分和两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，，（经检验都是原方程的解，且都符合题意）， ∴的长为或 （3）如果， ∵， ∴， ∵E， ∴， ∴， ∴； 如果， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长为6或. 25．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，，，，，平分．    (1)求的长； (2)求的值； (3)点是射线上上一点，如果与相似，求的长． 【答案】(1)16 (2) (3)或. 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由同角的余角相等得出，证明，得出，代入数据计算即可得出答案； （2）作，垂足为，由角平分线的性质定理得出，证明得出，由勾股定理得出，代入数据计算出，即可得解； （3）先求出，由得出，再分两种情况：，，利用相似三角形的性质分解求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， ， ， ， ， （2）解：作，垂足为，   平分，，， ， ， ， ， ， 又，，， ， ， ； （3）解：，，， ， ，， ， ， ， 如果，则， ， ； 如果，则， ， ； 的长为或． 利用相似三角形的性质求解 26．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如果两个相似三角形对应周长之比是，那么它们的对应边之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比，求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形对应周长之比是， ∴它们的对应边之比为， 故选：A． 27．（23-24九年级上·上海·期中）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应边上的中线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据“两个相似三角形的相似比等于它们的周长比，也等于它们的中线比，”进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴它们的对应边上的中线之比为， 故答案为：． 28．（23-24九年级上·上海金山·期中）如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知“相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方”是解题关键．根据两个相似三角形的周长的比等于，得到相似比为，即可得到它们的面积比等于． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长的比等于， ∴这两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积比等于． 故答案为： 29．（23-24九年级上·上海青浦·期中）若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质及应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据两个相似三角形的周长比等于相似比，则面积比等于相似比平方，据此即可得出答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴三角形的相似比为， ∵两个相似三角形的周长比等于相似比， ∴两个三角形的周长比为， 故答案为：． 30．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为，则另一个三角形中最小的内角为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，根据三角形内角和等于求出第三个角，再根据相似三角形对应角相等解答． 【详解】解：∵一个三角形的两个角分别为， ∴这个三角形的第三个角是， ∵两个三角形相似，已知三角形的最小角是， ∴另一个三角形的最小的内角为． 故答案为：． 31．（23-24九年级上·上海宝山·期中）已知，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果，，那么 . 【答案】75 【分析】本题考查相似三角形的性质、三角形内角和定理，用相似三角形的性质得出是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，    故答案为：75. 32．（23-24九年级上·上海宝山·期中）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是14和9，如果它们的周长相差20，那么较大三角形的周长为 ． 【答案】56 【分析】本题考查相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，结合已知条件，设未知数，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：两个相似三角形的相似比为：， ∴两个三角形的周长比为， 设较大三角形的周长为，则，较小三角形的周长为， ∴，解得：， ∴较大三角形的周长为； 故答案为：． 33．（23-24九年级上·上海松江·期中）如果两个相似三角形的对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键 【详解】解：∵两个相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的面积比是， 故答案为：． 34．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由面积比为得到相似比为，利用“相似三角形的对应中线的比等于相似比”解本题是关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形一组对边上的中线的比等于相似比， ∴中线的比为． 故答案为：． 35．（23-24九年级上·上海静安·期中）如果把一个三角形的三边长扩大为原来的4倍，那么这个三角形的高扩大为原来的 倍． 【答案】4 【分析】将一个三角形的三边扩大为原来的4倍，新的三角形与原三角形相似，相似比为：，即可得解． 【详解】解：由题意，得：新的三角形与原三角形相似，相似比为：， 两个三角形的面积比为：，边长之比为， ∴高之比为 即：这个三角形的高扩大为原来的4倍； 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的性质，是解题的关键． 相似三角形应用举例 36．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知小丽的身高是米，他在路灯下的影长为米，小丽距路灯灯杆的底部米，那么路灯灯泡距地面的高度是 米．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用；根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可． 【详解】解：结合题意画出图形得：，    ， ， ， 小明的身高为米，他在路灯下的影子长为米；小明距路灯杆底部为米， ，，， ， 解得：， 则路灯灯泡距地面的高度是米． 故答案为：． 37．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为 米．    【答案】 【分析】由，可得，，解得，，，则，由，代入可求． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握：． 38．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，是洞孔成像原理的示意图，物体平行物像，根据图中标注的尺寸，如果物体长，那么物像的长度是 ． 【答案】 【分析】根据，可得，再由，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛． 39．（22-23九年级上·上海·期中）在某一时刻，测得一根高为1.2米的竹竿影长为2米，同时同地测得一栋楼的影长为30米，那么这栋楼的高度为 米． 【答案】18 【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解． 【详解】解：设楼的高度是，由题意得：， 解得：． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用同时同地物高与影长成正比是解题的关键． 40．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 相似三角形动点问题 41．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图，，，且，，，点P是线段DB上一动点，当 时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似． 【答案】2或12或5.6 【分析】根据已知可以分△PDC△ABP或△PCD△PAB两种情况进行分析． 【详解】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB， ∴∠D=∠B= 90°， 设DP= x, 当PD：AB= CD ：PB时，△PDC△ABP， ∴， 解得DP = 2或12， 当PD：PB= CD：AB时，△PCD△PAB， ∴， 解得DP= 5.6， ∴DP = 5.6或2或12． 故答案为：2或12或5.6． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 42．（23-24九年级上·上海静安·期中）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【答案】(1)； (2)；的值为或. 【分析】()证明，利用相似三角形的性质求解； ()证明，可得，推出，由，推出，由此构建关系式，可得结论； 分两种情形：当点在线段的延长线上；当点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，且点不可能在线段上， ∴与相似有两种可能: 当点在线段的延长线上 (如图中) ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当点在线段的延长线上 (如图中)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的值为或. 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 43．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． (1)若，求的长； (2)设，，试求y关于x的函数解析式； (3)当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 【答案】(1) (2) (3)当为4时，以、、为顶点的三角形与相似 【分析】（1）连接，由平行四边形的判定定理可得出四边形是平行四边形，进而可得出，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）由平行线分线段成比例定理可知，，再根据点在边上或点在边的延长线上两种情况讨论即可； （3）先由相似三角形的判定定理得出，，由相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】（1）连接 ， 四边形是平行四边形，    ， ， ， ； （2），， ， ，，，，， 当点在边上时， ，解得 ，解得 当点在边的延长线上时， ，解得 ，解得 综上所述， （3） 又以、、为顶点的三角形与相似， 与相似 公共，又 即 由（2）知， 得 综上所述，当为4时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理及平行线分线段成比例定理，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解． 44．（22-23九年级上·上海·期中）如图，RtABC中，，，，P是AB边上的一个动点． (1)当时，求AP的长； (2)当CP平分∠ACB时，求点P到BC的距离； (3)过点P作，PQ交边CB于Q，设，，求y关于x的函数关系式并写出定义域． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由勾股定理求，作，等积法求，由勾股定理求，三线合一求即可． （2）作，，由角平分线性质得，由求，再求即可； （3）由得，即可求y关于x的函数关系式，由的长度确定定义域即可． 【详解】（1）解： 如图： 中，，，， ． 作， 即， 在中 ； 故答案为：； （2）解：如图 过点作，，垂足分别为、， 平分， ， ， ， ，即，解得． 故答案为：； （3）解： 如图，过点作， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等采三角形三线各一，勾股定理及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． 45．（22-23九年级上·上海宝山·期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P在边BC上（点P与点B、C不重合），∠APF＝∠B，射线PF与边AC交于点F，过点A作BC的平行线，交射线PF于点Q． （1）如果BP＝3，求CF的长； （2）当△AFQ是等腰三角形时，求BP的长． 【答案】（1）5；（2）或5 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质求解即可； （2）通过分类讨论，结合等腰三角形的性质的相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵是的外角， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）∵，∠APF＝∠B， ∴可设 ∵AQ//BC ∴ 设 ∵ ∴ ∵△AFQ是等腰三角形，则有 ①若时，则 ∴ ∴内角满足 在中， ∴ ∵点P与点C不重合 ∴此情况不存在，舍去； ②若时，则 ∴ 同理可得， ∴； ③若时，则 ∴是等腰直角三角形， ∴在的垂直平分线上， 过点作于点，过点作于点， 则由三线合一的性质得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上，或5 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练应用分类讨论是解答本题的关键． 一、填空题 46．（22-23九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，，，D是边上一点，且，如果点E在边上，且与相似，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理；利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分两种情况，由相似三角形的性质可求解． 【详解】解：与相似， 或， ，或， 或， 解得：，或， 故答案为：或． 47．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，，，是上一点，，连接，过作的垂线交于，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，利用勾股定理和等积式分别把各边表示出来，进而表示出两个三角形的面积即可求解，应用勾股定理和等积式把各边表示出来是解题的关键． 【详解】解：过点D作 ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题 48．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知：如图，在中，，点P、D分别在边、上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得结论； 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 49．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，已知在中，点D为边的中点，点F在边上，点E在线段的延长线上，且，点M在线段上，且．    求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查相似三角形证明、等腰三角形的性质，正确做出辅助线是解本题的关键. （1）根据等腰三角形的性质及题干条件证即可求解； （2）连接，由（1）结论可证，结合，进而即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）证明：如图，连接， ∵D为边的中点， ∴，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 50．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）已知矩形中，，，P是边上一点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连结，直线与射线相交于点F．    (1)如图1，当F在边上，若时，求的长； (2)若射线交的延长线于Q，设，，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)①如图2，直线与边相交于点G，若与相似，则________度； ②如图3，当直线与的延长线相交于点H时，若．求的长． 【答案】(1)４ (2)， (3)①；②10 【分析】(1)根据矩形性质和，推出四边形为平行四边形，得到，得到，，由翻折性质得到，，得到，得到； (2)根据， ，得到，得到 ，推出 ， x的取值范围是； (3)①连接，根据翻折性质得到，，根据，，得到，推出，得到；②连接, , ，分别过A，H作于点M, 交延长线于点N，得到，由折叠性质得到，，根据，得到，得到，得到，推出四边形为矩形，得到，得到，由折叠性质得到，得到，得到，根据勾股定理得到，即得． 【详解】（1）如图，∵在矩形中，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，， 由翻折知，，， ∴， ∴, ∵， ∴；    （2）∵在矩形中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得，， ∴x的取值范围是； （3）①如图，设交于点M，连接，由折叠知，，，    ∵ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②如图，连接, , ，分别过A，H作于点M, 交延长线于点N，则，    由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由（2）知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形折叠综合．熟练掌握矩形的判定和性质，折叠性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 51．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）如图，平行四边形中，点为的中点，点在上，，延长交于点，延长交于点．    (1)求证：； (2)连接，若点为的中点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）过点作交的延长线于点，连接， 由，得，，再证，得，于是证明四边形是矩形，得，利用直角三角形的性质及平行四边形的性质得，，从而即可得证； （）如图，连接，由在平行四边形中，点为的中点，点为的中点，得，，从而证明四边形是平行四边形，得，进而利用线段垂直平分线的性质即可得证． 【详解】（1）证明：如图，过点作交的延长线于点，连接，    ， ，， ∵点为的中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，点为的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，连接，   在平行四边形中，点为的中点，点为的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ， 由（）可得：， ， ∴是的垂直平分线， ． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，矩形的判定及性质，平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例，熟练掌握线段垂直平分线的性质，矩形的判定及性质以及平行线的性质是解题的关键． 52．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和小刚想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小刚在点处坚立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上（点也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．    (1)求教学楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，小刚通过移动标杆，可以用同样的方法测得教学楼上点的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向教学楼方向移动多少米？ 【答案】(1)的高度为14米 (2)标杆应该向教学楼方向移动0.5米 【分析】本题考查测高，涉及矩形判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握测高的题型及解法，灵活运用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键 （1）过点作于点，交于点，如图所示，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案； （2）过点作于点交于点，如图所示，设米，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点，交于点，如图所示：    则四边形，四边形都是矩形， ∴米，米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米； （2）解：过点作于点交于点，如图所示：      设米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴标杆AB应该向教学楼方向移动0.5米． 53．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在等腰中，，分别是上的点，满足 (1)若，求证； (2)若，，求的长； (3)过作平行线交延长线于，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（）先证明，得到，再由得到，根据三线合一即可求证； （）证明即可求解； （）由得到，由得到，，代入转化即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质、比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 即， ∴； （3）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 54．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，相交于点O，， ．    (1)如果，求的长; (2)如果的面积为2，求的面积. 【答案】(1)16 (2)6 【分析】（1）证明，证明且得到的值，再证明，通过即可解答； （2）本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，当和以为底时，高相同，即可通过解题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：当和以为底时，高相同， ， 根据（1）可得， ， ， ， 的面积为． 55．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，已知在中，点、、分别在边、，上，，，如果，的面积是20，求的面积．    【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．证明四边形是平行四边形，得出，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是20， ∴的面积是5． 56．（23-24九年级上·上海虹口·期中）已知在平面直角坐标系中，线段与x轴交于点C，经过点B的直线与x轴交于点D．    (1)求点C、D的坐标； (2)连接，求的面积； (3)点P在x轴上且在点D的右侧，如果，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）证明为直角三角形，即可求解； （3）证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入得：，则， 则直线的表达式为：，则点； 设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：， 则， 则直线解析式：， 令，则， 故点； （2）由点A、B、D的坐标得：， ， 则，则为直角三角形， 则的面积； （3）由点B、D的坐标知， ， ， ， ， ， ， ∴， ，    则， 则， ， 点P在轴上且在点D的右侧， 则点P的坐标为：． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形相似、勾股定理的运用、面积的计算等，综合性强，难度适中． 57．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，在中，，，垂足为点，是上一点，联结交于点，且．    (1)求证：； (2)作，垂足为点，延长交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质． （1）设，则，，先利用勾股定理可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证出，根据相似三角形的性质即可得证； （2）分别证出、、，再根据相似三角形的性质可得、、、，从而可得，，据此即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 设，则，， 在中，， 在中，， ， 又， ， ， 即． （2）证明：由题意，补全图形如下：    由（1）已证：， 又， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ． 58．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，已知在中，，平分，交边于点，是边上一点，且，过点作，交于点，联结、，延长交于点．    (1)求证：； (2)当时， ①若，，求的长； ②若，联结，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据条件可证得，即可证明结论． （2）①根据，求得，证明出四边形是菱形，得出，证明，得出比例式，解方程，即可求解； ②由条件可得，由相似比可得，由，得到点是的黄金分割点，可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ， ， ， ， 即． （2）①， ，，， 在和中， ， ， 四边形是菱形， 即， 解得： ②， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点是的黄金分割点， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定及黄金分割点等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用所学知识求解是解题的关键． 59．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在矩形中，对角线，交于点O，点E为边的中点，连接交于点F，且，连接．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据矩形的性质得出，由已知条件，得出，根据公共角，进而即可判断，得到即可得出结论； （2）延长交于点，先证明，得，再根据相似三角形的判定证明即可． 【详解】（1）证明： 四边形是矩形，， ， ， ， ， 又， ， ， ， 点E为边的中点， ， ； （2）证明：延长交于点，    为的中点， ， 在矩形中，，， ，， ， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 60．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在梯形中，．点P是对角线上的一点．过点P分别作、的平行线，与交于点F，与交于点E．联接交于点G．    (1)求证：． (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握比例关系是解题的关键 （1）根据三角形相似得到，，再由等量代换证明结论即可． （2）设，，求出，再求出即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ． 又， ， ， ， ． （2）解：，设，． 又， ． ， ， ． ， ，． ， ，， ， ， ， ． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$