3.1 概率的进一步认识（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

3 概率的进一步认识 【考点1几何概率】 【考点2列表法与树状图法求概率】 【考点3游戏的公平性】 【考点4频率】 【考点5用频率估计概率】 【考点6 用频率估计概率的综合应用】 知识点1：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 知识点2：频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 【考点1几何概率】 【典例1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，有一只小球在一水平地板上自由滚动，地板上每个格子都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·安徽合肥·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是 ． 【变式1-2】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，有一个质地均匀的游戏转盘，随机转动转盘一次，当转盘停止转动后，指针落在“”所示区域内的概率是 ． 【变式1-3】（2025·江苏苏州·二模）如图，平行四边形中，对角线交于点O，直线l过点O，且与边，分别交于点E、F，．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是 ． 【考点2列表法与树状图法求概率】 【典例2】（陕西省铜川市2025年初中毕业模拟考试数学试题（二））铜川市耀州区特产——耀州瓷是北方青瓷的代表，其中的倒流壶、良心壶、凤鸣壶、公道杯被称为“耀瓷四绝”，有“巧如范金，精比琢玉”的美誉．小新一家去铜川市旅游，想购买“耀瓷四绝”作为纪念，但由于预算有限，只能从这4种瓷器中购买2种，一时间不知道如何购买，于是小新制作了如图所示的4张卡片（卡片除正面内容不同外其余完全相同），将卡片背面朝上洗匀后，让妈妈先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，爸爸再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，最终以爸爸和妈妈所抽取的卡片正面内容为准进行购买． (1)妈妈抽取的是B．良心壶的概率为______； (2)请用列表法或画树状图法求爸爸和妈妈都没有抽中．凤鸣壶的概率． 【变式2-1】（2025年山西省朔州市部分学校中考三模数学试卷）中国古代四大发明（造纸术、印刷术、指南针、火药）对世界文明的发展具有深远的影响．某校历史社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，甲、乙两名同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取一项开展活动，则他们恰好抽到同一项发明的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·河南郑州·三模）如图，一博物馆由圆形主馆和三个圆形副馆，，组成．一游客从主馆进入，准备参观主馆和一个副馆后离开，已知他随机从副馆四个出口中的一个离开，则他从中间出口（即出口，）离开的概率是 ． 【变式2-3】（2025·江西吉安·一模）某校组织学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因"为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A．中央红军长征出发地纪念园，B．南昌八一起义纪念馆，C．秋收起义修水纪念馆，D．井冈山革命博物馆，小佳、小文、小雨三位同学各自随机选择一条研学线路． (1)小佳同学选择线路D的概率为 ； (2)请用画树状图法或列表法，求小文、小雨两位同学选择不同线路的概率． 【考点3游戏的公平性】 【典例3】（2025·山东青岛·二模）小亮和小颖利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，C．这些卡片除字母外完全相同，背面朝上，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张． (1)第一次就摸到A的概率是______； (2)如果两次摸到卡片字母相同小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【变式3-1】（2025·陕西西安·三模）课间十分钟是学生释放学习压力，自我调节的放松时间．课间同学们玩抽卡片游戏，他们在一个不透明的箱子中放了4张卡片，卡片上分别写有数字-2，3，5，6这些卡片除上面的数字外，其余均相同． (1)小晴从箱子中随机摸10次卡片，其中摸到写有数字“6”的卡片2次，则这10次摸卡片中，摸出写有数字“6”的卡片的频率是___________； (2)佳佳和乐乐同时从箱子中各取出1张卡片，如果两张卡片上的数字之和为奇数，则佳佳胜；如果两张卡片上的数字之和为偶数，则乐乐胜．这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明． 【变式3-2】（2025·山东青岛·一模）小明和小亮设计了如下游戏方案：如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1，3，6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）．分别转动转盘两次，转盘自由停止后，若指针所指扇形的数字之和大于7，则小明获胜；若数字之和小于7，则小亮获胜．用树状图或表格法表示游戏所有可能出现的结果，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【变式3-3】（24-25九年级上·广东清远·期末）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． (2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【考点4频率】 【典例4】（24-25九年级下·江苏南京·期中）在英文句子“”中，字母“”出现的频率为 ． 【变式4-1】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是 ． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 【变式4-3】（24-25九年级上·北京东城·期末）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 【考点5用频率估计概率】 【典例5】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）甲、乙两名同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（    ） A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中随机取一球，取到红球的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 D．从1—10十张纸牌中随机抽取一张，是2的倍数的概率 【变式5-1】（2025·贵州铜仁·三模）年是农历乙巳年，1月5日，中国邮政《乙巳年》特种邮票全国首发，贵州贵阳因有“蛇场”命名地，特同步在贵阳黔灵山公园举行首发活动，为庆贺蛇年新春拉开了序幕．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的）经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，若一张邮票的面积是，则邮票上蛇形图案的面积约为 ． 【变式5-2】（2025·河南南阳·二模）“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有 棵． 【变式5-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过1000次重复试验，发现摸到白球的次数为400次，则袋中白球有 个． 【考点6 用频率估计概率的综合应用】 【典例6】（2024·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【变式6-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示． 根据试验结果回答下列问题． (1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）． (2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？ 【变式6-2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数（n） 50 400 750 1500 3500 7000 10000 成活数（m） 47 369 662 1335 3203 6335 9020 成活率（） 0.940 0.923 0.883 0.890 0.915 x 0.902 根据以上信息，回答下列问题： (1)当移植的棵数是7000时，成活率x是______； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是______（精确到0.1）； (3)小王已经成功移植成活这种苹果树苗12800棵，如果他要移植成活该种苹果树苗20000棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【变式6-3】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n (1)表格中m的值为 ，n的值为 ． (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 一、单选题 1．（2025·广东惠州·二模）电影《哪吒之魔童闹海》累计票房破百亿，排名全国影史票房榜第一位．第二名是《长津湖》，第三名是《战狼2》，第四名是《美人鱼》，若小惠想从这4部电影中随机选取2部，其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的概率是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·广东佛山·二模）学校组织研学活动，提供了3处研学地方，小芳和小亮选择同一个地方研学的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南周口·二模）圆形转盘均分成三块，上面分别写有数字“1”“2”“3”，转动转盘两次（指向边界重转），指针指向的数字填入右边的数字框中，则所得两位数能被3整除的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽安庆·二模）数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色 5．（2025·河北保定·二模）如图所示是一游戏转盘，将两个转盘各转一次，然后将指针指向的数相乘，则两次指针指向的数之积为2的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川雅安·期中）某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.69 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（ ） A．0.65 B．0.70 C．0.75 D．0.80 7．（2025·江苏泰州·一模）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 下列说法正确的是（    ） A．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 B．若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次 C．若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地” D．若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”的概率为 8．（2025·贵州黔南·二模）一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中的某个方格内（每个方格除颜色外完全一样），小鸟停在阴影方格内的概率是（   ） A． B． C． D．1 二、填空题 9．（24-25六年级下·上海崇明·期中）小胖和小明一起玩掷骰子游戏，骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，如果朝上的数字是偶数，小胖赢；如果朝上的数字是合数，小明赢，你认为这个游戏规则公平吗？ （填“公平”或“不公平”）． 10．（2025年湖南省长沙市初中学业水平考试数学试卷（一））十二生肖，作为中国传统文化的重要组成部分，具有深远的历史和丰富的文化内涵．小云购买了一套“十二生肖”主题邮票，他要将“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票中的两张送给同学小南，小云将它们背面朝上放在桌面上，让小南从中随机抽取两张，四张邮票的大小、形状、质地、背面完全相同．则小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是 ． 11．（2025·重庆·模拟预测）物理某一实验的电路图如图所示，其中为电路开关，为能正常发光的灯泡，任意闭合开关中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为 ． 12．（2025·贵州六盘水·二模）在一个不透明的口袋中有10个除颜色外都相同的小球，每次摇匀后摸出一个球，记下颜色后放回．下表是摸到红球的频数记录，则袋中红球的个数是 ． 摸球总次数 10 20 30 40 50 60 70 80 摸到红球的次数 2 5 9 13 16 18 22 24 摸到红球的频率 13．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率 ． 三、解答题 14．（2025·广东广州·二模）某学校九年级拟开展一次研学活动，经过前期考察，初步拟定以下五个活动基地：A．虎门鸦片战争博物馆（东莞市）；B．广州起义烈士陵园（广州市）；C．黄埔军校旧址纪念馆（广州市）；D．孙中山故里旅游区（中山市）；E．叶剑英纪念园（梅州市）．为了解学生对这五个基地的选择情况，从该年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如图1、图2所示．    根据以上信息，解决下列问题： (1)本次共调查了______名学生，并补全条形统计图； (2)根据抽样调查结果，估计该校九年级名学生中选择基地C的人数； (3)在学生自主选择基地的过程中，小明和小红都确定选择位于广州市外的基地，请用列表法或树状图求他们两人选择同一基地研学的概率． 15．（2025·江西宜春·二模）小明买了4颗混装风信子种球，颜色分别为红色、紫色、蓝色、白色，种球形状、大小无差别，小明随机将这4颗种球分别用4个玻璃瓶进行水培，其中2个玻璃瓶是彩色的，2个玻璃瓶是无色透明的． (1)其中1个彩色玻璃瓶装有1颗风信子种球是______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)请用列表或画树状图的方法，求红色风信子种球刚好培养在彩色玻璃瓶中的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3 概率的进一步认识 【考点1几何概率】 【考点2列表法与树状图法求概率】 【考点3游戏的公平性】 【考点4频率】 【考点5用频率估计概率】 【考点6 用频率估计概率的综合应用】 知识点1：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 知识点2：频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 【考点1几何概率】 【典例1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，有一只小球在一水平地板上自由滚动，地板上每个格子都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 先求出大正方形的面积以及阴影部分的面积，再利用概率公式解答即可． 【详解】解：由图可知，大正方形的面积， ， 小球在地板上最终停留在黑色区域的概率， 故选：B． 【变式1-1】（2025·安徽合肥·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】根据题意，一共有种等可能性，其中能使为等腰直角三角形的有4种，解答即可． 本题考查了简单地概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，一共有种等可能性，其中能使为等腰直角三角形的有4种，如图所示： 故使为等腰直角三角形的概率是． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，有一个质地均匀的游戏转盘，随机转动转盘一次，当转盘停止转动后，指针落在“”所示区域内的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，由图可知“”所示区域对应的圆心角度数是，是的，所以指针落在“”所示区域内的概率是． 【详解】解：由图可知，“”所示区域对应的圆心角是， 指针落在“”所示区域内的概率是． 故答案为：． 【变式1-3】（2025·江苏苏州·二模）如图，平行四边形中，对角线交于点O，直线l过点O，且与边，分别交于点E、F，．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率和平行四边形的性质，先设平行四边形的面积是x，得出阴影部分的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案． 【详解】解：设平行四边形的面积是x， 则的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为, ∴在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是． 故答案为：． 【考点2列表法与树状图法求概率】 【典例2】（陕西省铜川市2025年初中毕业模拟考试数学试题（二））铜川市耀州区特产——耀州瓷是北方青瓷的代表，其中的倒流壶、良心壶、凤鸣壶、公道杯被称为“耀瓷四绝”，有“巧如范金，精比琢玉”的美誉．小新一家去铜川市旅游，想购买“耀瓷四绝”作为纪念，但由于预算有限，只能从这4种瓷器中购买2种，一时间不知道如何购买，于是小新制作了如图所示的4张卡片（卡片除正面内容不同外其余完全相同），将卡片背面朝上洗匀后，让妈妈先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，爸爸再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，最终以爸爸和妈妈所抽取的卡片正面内容为准进行购买． (1)妈妈抽取的是B．良心壶的概率为______； (2)请用列表法或画树状图法求爸爸和妈妈都没有抽中．凤鸣壶的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到爸爸和妈妈都没有抽中．凤鸣壶的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解；∵一共有4张卡片，且每张卡片被抽取的概率相同， ∴妈妈从中抽取一张卡片，抽取的是B．良心壶的概率为； （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中爸爸和妈妈都没有抽中．凤鸣壶的结果有6种， ∴P（爸爸和妈妈都没有抽中C．凤鸣壶）． 【变式2-1】（2025年山西省朔州市部分学校中考三模数学试卷）中国古代四大发明（造纸术、印刷术、指南针、火药）对世界文明的发展具有深远的影响．某校历史社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，甲、乙两名同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取一项开展活动，则他们恰好抽到同一项发明的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设“造纸术”表示为A，“印刷术” 表示为B，“指南针”表示为C，“火药” 表示为D，根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中甲乙恰好选中同一项目的结果有4种， 两人恰好选中同一种的概率是， 故选：D． 【变式2-2】（2025·河南郑州·三模）如图，一博物馆由圆形主馆和三个圆形副馆，，组成．一游客从主馆进入，准备参观主馆和一个副馆后离开，已知他随机从副馆四个出口中的一个离开，则他从中间出口（即出口，）离开的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图，共有种等可能的结果，其中从中间出口（即出口，）离开的结果有种，再由概率公式求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意，画树状图为： 共有种等可能的结果，其中从中间出口（即出口，）离开的结果有种， ∴他从中间出口（即出口，）离开的概率是， 故答案为：． 【变式2-3】（2025·江西吉安·一模）某校组织学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因"为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A．中央红军长征出发地纪念园，B．南昌八一起义纪念馆，C．秋收起义修水纪念馆，D．井冈山革命博物馆，小佳、小文、小雨三位同学各自随机选择一条研学线路． (1)小佳同学选择线路D的概率为 ； (2)请用画树状图法或列表法，求小文、小雨两位同学选择不同线路的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了简单概率公式的计算，列表或树状图求概率，熟悉概率公式和列表或树状图求概率是解题的关键，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数． （1）根据简单概率的公式计算即可，概率=所求情况数与总情况数之比； （2）根据列表法即可求得概率． 【详解】（1）解：依题意，共四条研学线路，每条线路被选择的可能性相同． 小佳选择线路D的概率为； 故答案为：； （2）解：依题意，列表可得 小文\小雨 A B C D A B C D 由列表可得，共有16种等可能性结果，其中不同线路的可能结果有12种， 小文、小雨选择不同线路的概率为． 【考点3游戏的公平性】 【典例3】（2025·山东青岛·二模）小亮和小颖利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，C．这些卡片除字母外完全相同，背面朝上，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张． (1)第一次就摸到A的概率是______； (2)如果两次摸到卡片字母相同小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了事件的概率，树状图法求概率，游戏公平性，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率公式计算概率即可． （2）根据画树状图法，求概率，比较概率大小，判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：∵一共有A，B，C三张卡片， ∴第一次摸到A是的概率为： （2）解：不公平，理由如下： 根据题意，画树状图如下： 一共有9种等可能性，其中两次相同的有3种等可能性，不同的有6种等可能性． 故（小明胜），（小亮胜），两种情形概率不相等， 故这样的游戏规则是不公平的． 【变式3-1】（2025·陕西西安·三模）课间十分钟是学生释放学习压力，自我调节的放松时间．课间同学们玩抽卡片游戏，他们在一个不透明的箱子中放了4张卡片，卡片上分别写有数字-2，3，5，6这些卡片除上面的数字外，其余均相同． (1)小晴从箱子中随机摸10次卡片，其中摸到写有数字“6”的卡片2次，则这10次摸卡片中，摸出写有数字“6”的卡片的频率是___________； (2)佳佳和乐乐同时从箱子中各取出1张卡片，如果两张卡片上的数字之和为奇数，则佳佳胜；如果两张卡片上的数字之和为偶数，则乐乐胜．这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明． 【答案】(1) (2)游戏不公平 【分析】本题考查频率和列表法或树状图求概率； （1）利用频率公式计算解题； （2）画树状图得到所有等可能的结果数，然后得到和为偶数、奇数的结果数，求出佳佳和乐乐获胜的概率解答即可． 【详解】（1）解：摸出写有数字“6”的卡片的频率是， 故答案为：； （2）解：游戏不公平，理由为： 画树状图如下： 由树状图可知共有种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之和为奇数的结果有种，数字之和为偶数的结果有种， 所以佳佳胜的概率为，乐乐胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 【变式3-2】（2025·山东青岛·一模）小明和小亮设计了如下游戏方案：如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1，3，6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）．分别转动转盘两次，转盘自由停止后，若指针所指扇形的数字之和大于7，则小明获胜；若数字之和小于7，则小亮获胜．用树状图或表格法表示游戏所有可能出现的结果，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】这个游戏对双方不公平，理由见详解 【分析】本题考查的游戏公平性的判断以及用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，可知，共有9种等可能的结果，由概率公式得小明获胜的概率，小亮获胜的概率，即可得出结论． 【详解】解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中指针所指区域的数字之和大于7的结果有3种，数字之和小于7的结果有4种， ∴小明获胜的概率，小亮获胜的概率， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 【变式3-3】（24-25九年级上·广东清远·期末）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． (2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)公平，见解析 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）根据两人抽到的卡片有指南针的结果数有种，得出小强、小刚胜的概率分别为，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种， 两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为． 故答案为： （2）解：上述游戏公平，理由如下： 两人抽到的卡片有指南针的结果数有种， ∴小强胜的概率为 小刚胜概率为 ∴上述游戏公平 【考点4频率】 【典例4】（24-25九年级下·江苏南京·期中）在英文句子“”中，字母“”出现的频率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率，根据频率公式计算即可求解，掌握频率计算公式是解题的关键． 【详解】解：英文句子“”中，共有个字母，其中字母“”出现的次数为次， ∴字母“”出现的频率为， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率额计算，掌握频率计算方法是关键． 根据频率公式计算即可求解． 【详解】解：“绿水青山就是金山银山”共有10个字，其中“山”出现了3次， ∴“山”出现的频率是， 故答案为： ． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 【答案】 稳定性 【分析】本题考查了频率的稳定性，分析表格频率特点是关键． 根据“大量重复实验时，事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个性质称为频率的稳定性”解答即可． 【详解】解：观察表格发现，随着试验次数的增多，绿豆发芽的频率逐渐稳定到（结果精确到）左右， ∴绿豆的发芽率具有稳定性． 故答案为：，稳定性． 【变式4-3】（24-25九年级上·北京东城·期末）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：表中从左往右，频率分别为， 钉尖朝上的概率约为； 故答案为：． 【考点5用频率估计概率】 【典例5】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）甲、乙两名同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（    ） A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中随机取一球，取到红球的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 D．从1—10十张纸牌中随机抽取一张，是2的倍数的概率 【答案】A 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中随机取一球，取到红球的概率是，故此选项符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率是，故此选项不符合题意； C、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率是，故此选项不符合题意； D、从1﹣10十张纸牌中随机抽取一张，是2的倍数的概率是，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式5-1】（2025·贵州铜仁·三模）年是农历乙巳年，1月5日，中国邮政《乙巳年》特种邮票全国首发，贵州贵阳因有“蛇场”命名地，特同步在贵阳黔灵山公园举行首发活动，为庆贺蛇年新春拉开了序幕．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的）经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，若一张邮票的面积是，则邮票上蛇形图案的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，几何概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 已知这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，根据频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为， 故答案为：． 【变式5-2】（2025·河南南阳·二模）“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有 棵． 【答案】1800 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，根据图形可以发现，频率在0.9附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.9， ∴这种树苗成活的概率为0.9， ∵移植这种树苗2000棵， ∴成活的大约有：（棵）， 故答案为：1800． 【变式5-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过1000次重复试验，发现摸到白球的次数为400次，则袋中白球有 个． 【答案】10 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 设袋中白球有x个，根据题意用白球数除以球的总数等于白球的频率列出等式即可求出白球数． 【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 所以袋中白球有10个． 故答案为：10． 【考点6 用频率估计概率的综合应用】 【典例6】（2024·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据圆的面积公式得到圆的面积（平方米），利用圆的面积频率值圆的面积即可得到结论． 【详解】解：（1）， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近， 故答案为：0.305，0.3； （2）∵圆的面积（平方米）， ∴整个封闭图形的面积（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 【变式6-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示． 根据试验结果回答下列问题． (1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）． (2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？ 【答案】(1)0.9 (2)8100棵 【分析】本题考查了由频率估计概率，正确得出这种玉米种子发芽的概率是解此题的关键． （1）由统计图即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得：随实验次数增加，这种玉米种子发芽的频率逐渐稳定在为0.9附近，故估计这种玉米种子发芽的概率是0.9； （2）解：由题意得：（棵）， ∴种10000粒该种玉米种子大约可得到棵玉米秧苗． 【变式6-2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数（n） 50 400 750 1500 3500 7000 10000 成活数（m） 47 369 662 1335 3203 6335 9020 成活率（） 0.940 0.923 0.883 0.890 0.915 x 0.902 根据以上信息，回答下列问题： (1)当移植的棵数是7000时，成活率x是______； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是______（精确到0.1）； (3)小王已经成功移植成活这种苹果树苗12800棵，如果他要移植成活该种苹果树苗20000棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)0.905 (2) (3)估计还要移植8000棵这种苹果树苗 【分析】本题考查利用频率估计概率的综合应用： （1）根据成活率等于成活数除以移植棵数，进行计算即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式求数量即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：0.905； （2）由题意，估计该种苹果树苗成活的概率是； 故答案为：； （3）； 答：估计还要移植8000棵这种苹果树苗． 【变式6-3】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n (1)表格中m的值为 ，n的值为 ． (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【答案】(1)475，0.95 (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05 (3)46元 【分析】本题考查了利用频率估计概率的方法： （1）根据频数等于总数乘以频率，即可求解； （2）根据6次次衬衫从50件增加到1000件时，衬衣合格的频率趋近于0.95，所以估计衬衣合格的概率为0.95，即可； （3）用2乘以被抽检出一件不合格产品的数量，即可求解． 【详解】（1）解：，； 故答案为：475，0.95 （2）解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， ∴估计衬衣合格的概率为0.95， ∴估计衬衣不合格的概率为 故答案为0.05． （3）解：（元）， 即估计要在他奖金中扣除46元材料损失费． 一、单选题 1．（2025·广东惠州·二模）电影《哪吒之魔童闹海》累计票房破百亿，排名全国影史票房榜第一位．第二名是《长津湖》，第三名是《战狼2》，第四名是《美人鱼》，若小惠想从这4部电影中随机选取2部，其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率的应用，通过列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设《哪吒之魔童闹海》为A，《长津湖》为B，《战狼2》为C，《美人鱼》为D， 列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的有2种， ∴其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的概率是． 故选：C． 2.（2025·广东佛山·二模）学校组织研学活动，提供了3处研学地方，小芳和小亮选择同一个地方研学的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列表法或树状图法．解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 首先用分别表示3处研学地方，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小芳和小亮选择同一个地方研学的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：用分别表示3处研学地方， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小芳和小亮选择同一个地方研学的有3种情况， ∴小芳和小亮选择同一个地方研学的概率为． 故选：C． 3．（2025·河南周口·二模）圆形转盘均分成三块，上面分别写有数字“1”“2”“3”，转动转盘两次（指向边界重转），指针指向的数字填入右边的数字框中，则所得两位数能被3整除的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列表法求概率．通过列表得到所有可能的两位数，筛选出满足条件的组合，再根据概率公式计算即可． 【详解】列表如下： 　　　　个位　十位 1 2 3 1 11 12 12 2 21 22 22 3 31 32 32 ∴所有可能的两位数共有种，符合条件的两位数：12、21、33，共3种． ∴所得两位数能被3整除的概率是． 故选：C． 4．（2025·安徽安庆·二模）数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色 【答案】A 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意； 由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在， ∵， ∴抽出某个球的颜色最有可能的是黑色； 故选：A． 5．（2025·河北保定·二模）如图所示是一游戏转盘，将两个转盘各转一次，然后将指针指向的数相乘，则两次指针指向的数之积为2的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列举出所有情况，看两次指针指向的数之积为2的结果占总结果数的多少即可． 【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有8种等可能出现的结果，其中两次指针指向的数之积为2的结果有3种， 所以两次指针指向的数之积为2的概率为， 故选：C． 6．（24-25七年级下·四川雅安·期中）某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.69 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（ ） A．0.65 B．0.70 C．0.75 D．0.80 【答案】B 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，根据大量的试验结果，“射中10环”的频率稳定在0.70左右，利用频率估计概率即可得出答案． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.70附近， ∴估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是0.70． 故选：B． 7．（2025·江苏泰州·一模）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 下列说法正确的是（    ） A．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 B．若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次 C．若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地” D．若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”的概率为 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到附近，所以可估计“钉尖不着地”的概率为， A. 根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”不具有等可能性，不符合题意； B. 若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次，符合题意； C. 若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地”，错误，不符合题意； D. 若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”的概率为，错误，不符合题意； 故选：B． 8．（2025·贵州黔南·二模）一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中的某个方格内（每个方格除颜色外完全一样），小鸟停在阴影方格内的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比，掌握几何概率的公式是解决问题的关键． 确定阴影方格的面积在整个方格中占的比例，根据这个比例即可求出小鸟停在阴影方格中的概率． 【详解】解：图上共有4个方格，阴影方格为1个， ∴小鸟停在阴影方格内的概率是． 故选：A． 二、填空题 9．（24-25六年级下·上海崇明·期中）小胖和小明一起玩掷骰子游戏，骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，如果朝上的数字是偶数，小胖赢；如果朝上的数字是合数，小明赢，你认为这个游戏规则公平吗？ （填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 求出概率比较，即可得出结论． 【详解】解：1、2、3、4、5、6这六个数字，偶数的有2，4，6；合数有4，6， 所以小胖获胜的概率为，小明获胜的概率为， 因为小胖和小明获胜的概率不同， 所以个游戏规则不公平， 故答案为：不公平． 10．（2025年湖南省长沙市初中学业水平考试数学试卷（一））十二生肖，作为中国传统文化的重要组成部分，具有深远的历史和丰富的文化内涵．小云购买了一套“十二生肖”主题邮票，他要将“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票中的两张送给同学小南，小云将它们背面朝上放在桌面上，让小南从中随机抽取两张，四张邮票的大小、形状、质地、背面完全相同．则小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率． 【详解】解：“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票分别用表示，画树状图如下， 由图可得，一共有12种等可能性的结果， 其中小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的有2种， ∴小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是， 故答案为：． 11．（2025·重庆·模拟预测）物理某一实验的电路图如图所示，其中为电路开关，为能正常发光的灯泡，任意闭合开关中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与画树状图求概率，画树状图得出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况， ∴能让两盏灯泡同时发光的概率为． 故答案为：． 12．（2025·贵州六盘水·二模）在一个不透明的口袋中有10个除颜色外都相同的小球，每次摇匀后摸出一个球，记下颜色后放回．下表是摸到红球的频数记录，则袋中红球的个数是 ． 摸球总次数 10 20 30 40 50 60 70 80 摸到红球的次数 2 5 9 13 16 18 22 24 摸到红球的频率 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在左右，即为摸出红球的概率，再进一步求解即可． 【详解】解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到红球的频率稳定在左右， 则． ∴袋中红球的个数是， 故答案为3． 13．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域C和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：由图可知区域C的面积为， 最大的圆的面积为， ∴“豆子落在C中” 的概率． 故答案为：． 三、解答题 14．（2025·广东广州·二模）某学校九年级拟开展一次研学活动，经过前期考察，初步拟定以下五个活动基地：A．虎门鸦片战争博物馆（东莞市）；B．广州起义烈士陵园（广州市）；C．黄埔军校旧址纪念馆（广州市）；D．孙中山故里旅游区（中山市）；E．叶剑英纪念园（梅州市）．为了解学生对这五个基地的选择情况，从该年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如图1、图2所示．    根据以上信息，解决下列问题： (1)本次共调查了______名学生，并补全条形统计图； (2)根据抽样调查结果，估计该校九年级名学生中选择基地C的人数； (3)在学生自主选择基地的过程中，小明和小红都确定选择位于广州市外的基地，请用列表法或树状图求他们两人选择同一基地研学的概率． 【答案】(1)；图见解析 (2)人 (3) 【分析】本题考查了画条形统计图，用样本估计总体，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）用B基地的人数除以其所占的百分比即可求出总人数，用总人数减去其它组的人数即可求得D基地的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘选择基地C的人数所占的比例即可； （3）画树状图得到总的结果数，再求出他们两人选择同一基地研学的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次共调查了（人）， D基地的人数为：（人）， 补全的条形统计图如图所示：    故答案为：； （2）解：（人）， 答：估计该校九年级名学生中选择基地C的人数为人； （3）解：位于广州市外的基地有A，D，E．画树状图如图所示：    共有种等可能结果，其中两人选中同一基地研学的有种情况， ∴（两人选中同一基地研学的概率）． 15．（2025·江西宜春·二模）小明买了4颗混装风信子种球，颜色分别为红色、紫色、蓝色、白色，种球形状、大小无差别，小明随机将这4颗种球分别用4个玻璃瓶进行水培，其中2个玻璃瓶是彩色的，2个玻璃瓶是无色透明的． (1)其中1个彩色玻璃瓶装有1颗风信子种球是______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)请用列表或画树状图的方法，求红色风信子种球刚好培养在彩色玻璃瓶中的概率． 【答案】(1)必然 (2) 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，事件的分类，正确理解题意是解题的关键． （1）根据随机，必然和不可能事件的定义求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到红色风信子种球刚好培养在彩色玻璃瓶中的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知每个玻璃瓶中都会装一颗风信子种球，故其中1个彩色玻璃瓶装有1颗风信子种球是必然事件； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状可知，共有12种等可能的结果，其中红色风信子种球刚好培养在彩色玻璃瓶中的结果有6种，故所求概率为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$