专题3 概率的进一步认识（6个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题3 概率的进一步认识（6个考点） 【考点1几何概率】 【考点2列表法与树状图法求概率】 【考点3游戏的公平性】 【考点4频率】 【考点5用频率估计概率】 【考点6 用频率估计概率的综合应用】 【考点1几何概率】 1．（2025·江苏常州·二模）如图，转盘中六个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中空白区域的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，正六边形转盘被分成六个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在涂色部分的概率是 ． 4．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图是小明自制的正方形飞镖盘，如果他每次投掷飞镖都击中飞镖盘，那么他随机投掷一枚飞镖，恰好击中阴影区域的概率是 ． 5．（2025·山东济南·一模）如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，则它最终停留在阴影区域的概率是 ． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图是铺有黑白两色地砖的地面，小明向地面上随意抛一块小石子，小石子落在 色地砖上的可能性大．（填“黑”或“白”，砖缝忽略不计） 7．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形、扇形、扇形的圆心角分别为，，，自由转动转盘1次，则指针落在扇形的概率是 ． 【考点2列表法与树状图法求概率】 8．（2025·安徽合肥·三模）如图，五一期间某景区有三个入口，两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从或入口进入，从出口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河南驻马店·三模）龙门石窟位于河南省洛阳市，是世界上造像最多、规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”，位居中国各大石窟之首．某单位举办以“龙门石窟”为主题的摄影大赛，并准备了如图所示的四枚特种邮票《龙门石窟》作为奖品之一，获得第一名的参赛者可从中任选两枚．已知四枚邮票的面值分别为0.2元，0.3元，0.5元和1元，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．小李获得了第一名，他从这些邮票中随机抽取了两枚，则他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的概率是（   ） A． B． C． D． 10．（2025年山西省太原市九年级数学二模试卷）2025年1月15日，中国邮政发行《中国核工业创建七十周年》纪念邮票1套3枚，邮票图案名称分别为“核铸利器”“核能先锋”“核惠民生”．将3枚邮票背面朝上放置桌面（邮票背面完全相同），从中随机抽取1枚，不放回，再随机抽取1枚，则两次抽到的邮票中恰好有1枚是“核铸利器”的概率为（　　） A． B． C． D． 11．（2025·河南周口·三模）《数学之美》是2025年中国邮政发行的纪念特种邮票．该套邮票共4枚，面值分别为80分，1.20元，1.20元，1.50元．邮票图案名称为“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”，小华从这4枚邮票中，随机抽取2枚，恰好抽到面值相同的邮票的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·安徽蚌埠·三模）李明从商店购买了一款盲盒卡片，打开后发现，有张卡片，张卡片．现将张卡片打乱放回盲盒中，若先从盲盒中随机抽取张，记录后放回、晃匀，再从中随机抽取张，则两次抽取的卡片，恰好张是卡片另张是卡片的概率是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·河南周口·二模）每年3月14日为国际数学日，2025年国际数学日的主题为“数学、艺术与创意”．某班计划从这3个主题中随机选取2个制作宣传展板，则同时选中“数学”和“创意”的概率为（    ）． A． B． C． D． 14．（2025·重庆·二模）一个口袋中装有个红球，个黄球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到黄球的概率为 ． 15．（2025·河南周口·二模）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，分为红、蓝、绿、黄四种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置．自由转动转盘两次，两次停止后指针（不指向交线）指向的颜色可以配成紫色（红、蓝可配成紫色）的概率是 ． 16．（2025·陕西汉中·二模）万物皆有灵，草木亦有心．“梅兰竹菊”作为国画四君子，是中国传统文化的题材，梅之傲骨、兰之谦逊、竹之坚韧、菊之淡泊，皆为中华民族精神之寄托．美术爱好者悦悦和欣欣两位同学想在活动课上临摹下面这四幅美术作品，但由于时间有限，她们只能各自选择其中一幅进行临摹，一时间不知道如何选择，于是她们制作了如图所示的均匀转盘，将转盘四等分，并对转盘进行标注，两人各转动转盘一次，转盘停止后，以指针所指扇形中的内容为准进行临摹（当指针指在分界线上时重转）． (1)“悦悦转动转盘一次，转盘停止转动后，指针所指扇形中的内容为‘竹’”是__________事件；（选填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)请用列表法或画树状图的方法，求悦悦和欣欣两人中，至少有一人临摹作品“兰”的概率． 【考点3游戏的公平性】 17．（24-25六年级下·上海崇明·期中）小胖和小明一起玩掷骰子游戏，骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，如果朝上的数字是偶数，小胖赢；如果朝上的数字是合数，小明赢，你认为这个游戏规则公平吗？ （填“公平”或“不公平”）． 18．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小兴和小庆都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字1，2，3，3，4，4，5，6，7的9个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小兴得到电影票；否则，小庆得到电影票．你认为用这种方式获得电影票对小兴、小庆公平吗？请说明理由． 19．（2025·陕西·模拟预测）小丽和弟弟决定周末一起去参观博物馆，但在地点的选择上持不同意见，小丽想去参观陕西历史博物馆，弟弟想去参观陕西自然博物馆．为了做出最终决定，他们设计了一个转盘（如图），该转盘被分成面积相等的4个扇形，这些扇形内分别标有数字1，2，3，4，转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次．（若指针指向两个扇形的分隔线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） (1)转动转盘一次，转出的数字为2的倍数的概率是________． (2)他们商定了一个游戏规则：转动转盘两次，若两次转出的数字之和为奇数，则小丽胜，他们去参观陕西历史博物馆；若两次转出的数字之和为偶数，则弟弟胜，他们去参观陕西自然博物馆．这个游戏对双方公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为，并简要说明游戏规则． 21．（2025·陕西咸阳·三模）小宇和小辰所在的数学兴趣小组做抽卡片游戏，小宇将文学名著中的四位人物的肖像制成四张卡片，如图，这些卡片除正面不同外，其余均相同，然后将其洗匀背面朝止放置在桌面上．游戏规则：小辰从中随机抽取一张，记录下卡片人物，然后放回；小宇再随机抽取一张，记录下卡片人物．若他们取出的两张卡片上对应的人物均出自同一本名著，则小辰胜，否则小宇胜． (1)小辰从中随机抽取一张是“．鲁智深”的概率是_____； (2)请你用列表或画树状图的方法判断这个游戏是否公平． 22．（24-25七年级下·河南周口·期中）2025年3月1日是中国民间传统节日“龙抬头”，这一天寓意着万物复苏、生机勃发．在这个特殊的日子，“学好中国字  做好中国人”文化行动北京研讨会在北京吴东魁艺术馆隆重举行．如图，一个转盘被平均分成10等份，分别标有“学”“好”“中”“国”“字”“做”“好”“中”“国”“人”这10个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是______，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是______； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于6画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 23．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）甲、乙两同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1、2、3、4的4个小球（除标号外无其他差异），从口袋中随机摸出1个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出1个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用表示．若为奇数，则甲获胜，若为偶数，则乙获胜． (1)用画树状图法列出所有可能的结果． (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 24．（2022九年级下·辽宁锦州·专题练习）小亮和小明玩摸牌游戏，如图1取四张扑克牌（方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5），洗匀后，如图2背面朝上放置在桌面上．游戏规则是：两人同时抽取一张扑克牌，两张牌面数字之和为奇数时，小亮获胜；否则小明获胜． (1)请用树状图或列表法求出所有可能的结果； (2)请问这个游戏规则公平吗？并说明理由． 【考点4频率】 25．（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 26．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（    ） A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2 27．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 28．（21-22九年级上·河北保定·期中）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 29．（21-22八年级下·广西贵港·期末）小亮3分钟共投篮80次，进了64个球，则小亮进球的频率是（　    ） A．80 B．64 C．1.2 D．0.8 30．（2021·四川乐山·中考真题）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（    ）． 类型 健康 亚健康 不健康 数据（人） 32 7 1 A．32 B．7 C． D． 31．（24-25九年级上·北京东城·期末）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 32．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）一组数据分成四组后前三组的频率分别是，则第四组频率为 33．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 ． 【考点5用频率估计概率】 34．（2025·四川成都·二模）九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（    ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A．3个 B．4个 C．5个 D．10个 35．（2025·河南周口·模拟预测）如图，在由边长为的小正方形组成的网格中有一个不规则图形（图中阴影部分）．数学小组想了解阴影部分的面积是多少，采取了以下办法：随机地朝网格投掷飞镖，并记录飞镖落在阴影部分的次数（飞镖落在网格区域外或阴影部分与白色部分的交接处不计试验结果），若干次有效试验的结果如下表：则不规则图形的面积约为（  ） 试验总次数 50 100 150 200 300 400 500 落在阴影部分的次数 23 50 84 110 168 220 275 落在阴影部分的频率 0.46 0.50 0.56 0.55 0.56 0.55 0.55 A． B． C． D． 36．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布” D．一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是黑球 37．（24-25七年级下·广东深圳·期中）一个不透明的箱子里有20枚黑棋子和若干枚白棋子，它们除颜色外其他完全相同，通过多次模拟实验后发现，摸出白棋子的频率稳定在左右，则箱子里棋子总数可能是 ． 38．（2025·山东·二模）如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 ． 【考点6 用频率估计概率的综合应用】 39．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 40．（24-25七年级下·广东深圳·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________； (2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 41．（24-25九年级下·福建厦门·期中）大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ (2)为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 42．（2024八年级下·江苏·专题练习）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子n/粒 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频率m/粒 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0 a b (1)计算表中a，b的值； (2)估计该麦种的发芽概率； (3)如果该麦种发芽后，只有的芽可以成活，现有麦种，则有多少千克的麦种可以成活为秧苗？ 43．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）在一个不透明的盒子里，装有若干个红色，白色（除了颜色外均相同）的小球，九（1）班数学兴趣小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是兴趣小组进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到红球的次数m 59 96 116 295 480 601 摸到红球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)表中的_________；根据上表估计“摸到红球”的概率是_______（精确到0.1）； (2)如果盒子里有个红球，求盒子里白球的个数． 44．（22-23九年级上·河北邢台·期末）某玩具公司承接了第19庙杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)________；________． (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是________．（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了10000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 概率的进一步认识（6个考点） 【考点1几何概率】 【考点2列表法与树状图法求概率】 【考点3游戏的公平性】 【考点4频率】 【考点5用频率估计概率】 【考点6 用频率估计概率的综合应用】 【考点1几何概率】 1．（2025·江苏常州·二模）如图，转盘中六个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求概率， 先确定一共有6个等面积的扇形，阴影部分有3个扇形，再根据概率公式计算得出答案． 【详解】解：一共有6个扇形，阴影部分有3个扇形， 所以指针落在阴影区域的概率是． 故选：D． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中空白区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率，利用空白图形的面积除以总面积，进行计算即可． 【详解】解：设小正方形的面积为1，由图可知，向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中空白区域的概率是； 故选B． 3．（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，正六边形转盘被分成六个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在涂色部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，直接用涂色的三角形个数除以三角形总数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在涂色部分的概率是， 故答案为：． 4．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图是小明自制的正方形飞镖盘，如果他每次投掷飞镖都击中飞镖盘，那么他随机投掷一枚飞镖，恰好击中阴影区域的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式求概率，解题的关键是数形结合．根据图形得出大正方形被分为16个相同的小正方形，其中阴影部分的占据了4个小正方形，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据图形得出大正方形被分为16个相同的小正方形，其中阴影部分的占据了4个小正方形， 小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中阴影区域的概率是：， 故答案为：． 5．（2025·山东济南·一模）如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，则它最终停留在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率．熟练掌握几何概率的求法，是解题的关键． 根据阴影区域的面积除以总面积即得． 【详解】解：∵两个阴影都是长为3，宽为2的矩形，地板是边长为的正方形，小球自由滚动，随机停留在某块方砖上的机会均等， ∴小球最终停留在阴影区域的概率是． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图是铺有黑白两色地砖的地面，小明向地面上随意抛一块小石子，小石子落在 色地砖上的可能性大．（填“黑”或“白”，砖缝忽略不计） 【答案】白 【分析】本题考查了可能性大小的判断．由图可知，总共有块方砖，且白色方砖有块，黑色方砖有块，即可判断． 【详解】解：总共有块方砖，且白色方砖有块，黑色方砖有块， 小石子落在黑色地砖上的可能性为，小石子落在白色地砖上的可能性为， ， 小石子落在白色地砖上的可能性大， 故答案为：白． 7．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形、扇形、扇形的圆心角分别为，，，自由转动转盘1次，则指针落在扇形的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查几何概率的求法．求出A区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】解：∵转盘的A扇形、B扇形和C扇形的圆心角分别为、、， ∴让转盘自由转动1次，指针落在A区域的概率为：， 故答案为：． 【考点2列表法与树状图法求概率】 8．（2025·安徽合肥·三模）如图，五一期间某景区有三个入口，两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从或入口进入，从出口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到她选择从或入口进入，从出口离开的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树形图如图得： 由树形图可知所有可能的结果有6种，其中她选择从或入口进入，从出口离开的结果数有2种， ∴她选择从或入口进入，从出口离开的概率为， 故选：B． 9．（2025·河南驻马店·三模）龙门石窟位于河南省洛阳市，是世界上造像最多、规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”，位居中国各大石窟之首．某单位举办以“龙门石窟”为主题的摄影大赛，并准备了如图所示的四枚特种邮票《龙门石窟》作为奖品之一，获得第一名的参赛者可从中任选两枚．已知四枚邮票的面值分别为0.2元，0.3元，0.5元和1元，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．小李获得了第一名，他从这些邮票中随机抽取了两枚，则他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率．先设面值分别为0.2元，0.3元，0.5元和1元的四枚邮票分别为A、B、C、D，根据列表法把所有情况列举出来，结合符合条件的有2种，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设面值分别为0.2元，0.3元，0.5元和1元的四枚邮票分别为A、B、C、D，小李抽到的邮票的面值所有情况见下表： A B C D A B C D ∴总共有12种等可能的情况，符合条件的有2种， 则他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的概率， 故选：C． 10．（2025年山西省太原市九年级数学二模试卷）2025年1月15日，中国邮政发行《中国核工业创建七十周年》纪念邮票1套3枚，邮票图案名称分别为“核铸利器”“核能先锋”“核惠民生”．将3枚邮票背面朝上放置桌面（邮票背面完全相同），从中随机抽取1枚，不放回，再随机抽取1枚，则两次抽到的邮票中恰好有1枚是“核铸利器”的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“核铸利器”“核能先锋”“核惠民生”的邮票分别记为，列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果，其中两次抽到的邮票中恰好有1枚是“核铸利器”的有种， ∴两次抽到的邮票中恰好有1枚是“核铸利器”的概率为 故选：A． 11．（2025·河南周口·三模）《数学之美》是2025年中国邮政发行的纪念特种邮票．该套邮票共4枚，面值分别为80分，1.20元，1.20元，1.50元．邮票图案名称为“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”，小华从这4枚邮票中，随机抽取2枚，恰好抽到面值相同的邮票的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率的应用，通过列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”分别为A、B、C、D，列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，恰好抽到面值相同的邮票的有2种， ∴恰好抽到面值相同的邮票的概率为． 故选：C． 12．（2025·安徽蚌埠·三模）李明从商店购买了一款盲盒卡片，打开后发现，有张卡片，张卡片．现将张卡片打乱放回盲盒中，若先从盲盒中随机抽取张，记录后放回、晃匀，再从中随机抽取张，则两次抽取的卡片，恰好张是卡片另张是卡片的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画树状图求概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 画出树状图得到等可能的结果数，再找出恰好张是卡片另张是卡片的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图所示： 共有种等可能的结果，其中张是卡片另张是卡片的结果有种， 恰好张是卡片另张是卡片的概率是， 故选：D． 13．（2025·河南周口·二模）每年3月14日为国际数学日，2025年国际数学日的主题为“数学、艺术与创意”．某班计划从这3个主题中随机选取2个制作宣传展板，则同时选中“数学”和“创意”的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到同时选中“数学”和“创意”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C表示数学，艺术，创意这三个主题，列表如下： 第一次第二次 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中同时选中“数学”和“创意”的结果数有2种， ∴同时选中“数学”和“创意”的概率为， 故选：B． 14．（2025·重庆·二模）一个口袋中装有个红球，个黄球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到黄球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，画出树状图，一共有种等可能结果，两次都摸到黄球有种等可能结果，然后利用概率公式计算即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，两次都摸到黄球有种等可能结果， ∴两次都摸到黄球的概率为， 故答案为：． 15．（2025·河南周口·二模）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，分为红、蓝、绿、黄四种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置．自由转动转盘两次，两次停止后指针（不指向交线）指向的颜色可以配成紫色（红、蓝可配成紫色）的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法求概率，先根据情况列表显示所有的结果，再找到可以配成紫色（红、蓝可配成紫色）的数量，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：如图，所有可能性如下： 红1 蓝1 红2 绿 蓝2 黄 红1 红1，红1 蓝1，红1 红2，红1 绿，红1 蓝2，红1 黄，红1 蓝1 红1，蓝1 蓝1，蓝1 红2，蓝1 绿，蓝1 蓝2，蓝1 黄，蓝1 红2 红1，红2 蓝1，红2 红2，红2 绿，红2 蓝2，红2 黄，红2 绿 红1，绿 蓝1，绿 红2，绿 绿，绿 蓝2，绿 黄，绿 蓝2 红1，蓝2 蓝1，蓝2 红2，蓝2 绿，蓝2 蓝2，蓝2 黄，蓝2 黄 红1，黄 蓝1，黄 红2，黄 绿，黄 蓝2，黄 黄，黄 ∴共有36种情况，其中两次停止后指针（不指向交线）指向的颜色可以配成紫色（红、蓝可配成紫色）有8种， ∴两次停止后指针（不指向交线）指向的颜色可以配成紫色（红、蓝可配成紫色）的概率是． 故答案为：． 16．（2025·陕西汉中·二模）万物皆有灵，草木亦有心．“梅兰竹菊”作为国画四君子，是中国传统文化的题材，梅之傲骨、兰之谦逊、竹之坚韧、菊之淡泊，皆为中华民族精神之寄托．美术爱好者悦悦和欣欣两位同学想在活动课上临摹下面这四幅美术作品，但由于时间有限，她们只能各自选择其中一幅进行临摹，一时间不知道如何选择，于是她们制作了如图所示的均匀转盘，将转盘四等分，并对转盘进行标注，两人各转动转盘一次，转盘停止后，以指针所指扇形中的内容为准进行临摹（当指针指在分界线上时重转）． (1)“悦悦转动转盘一次，转盘停止转动后，指针所指扇形中的内容为‘竹’”是__________事件；（选填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)请用列表法或画树状图的方法，求悦悦和欣欣两人中，至少有一人临摹作品“兰”的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】（）根据随机事件的定义即可判断求解； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了事件的分类，用树状图或列表法求概率，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：指针所指扇形中的内容为‘竹’”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：画树状图如下： ， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中悦悦和欣欣两人中，至少有一人临摹作品“兰”的结果有种， ∴至少有一人临摹作品“兰”的概率为． 【考点3游戏的公平性】 17．（24-25六年级下·上海崇明·期中）小胖和小明一起玩掷骰子游戏，骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，如果朝上的数字是偶数，小胖赢；如果朝上的数字是合数，小明赢，你认为这个游戏规则公平吗？ （填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 求出概率比较，即可得出结论． 【详解】解：1、2、3、4、5、6这六个数字，偶数的有2，4，6；合数有4，6， 所以小胖获胜的概率为，小明获胜的概率为， 因为小胖和小明获胜的概率不同， 所以个游戏规则不公平， 故答案为：不公平． 18．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小兴和小庆都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字1，2，3，3，4，4，5，6，7的9个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小兴得到电影票；否则，小庆得到电影票．你认为用这种方式获得电影票对小兴、小庆公平吗？请说明理由． 【答案】这种方式得电影票对小兴、小庆不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：这种方式得电影票对小兴、小庆不公平，理由如下： 由题意知任意摸出一球共有9种等可能的结果，其中摸到一个球的球面数字为奇数有5种等可能的结果，摸到偶数有4种等可能的结果，所以P（小兴得到电影票），P（小明得到电影票）， ， （小兴得到电影票）（小明得到电影票） 这种方式不公平. 19．（2025·陕西·模拟预测）小丽和弟弟决定周末一起去参观博物馆，但在地点的选择上持不同意见，小丽想去参观陕西历史博物馆，弟弟想去参观陕西自然博物馆．为了做出最终决定，他们设计了一个转盘（如图），该转盘被分成面积相等的4个扇形，这些扇形内分别标有数字1，2，3，4，转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次．（若指针指向两个扇形的分隔线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） (1)转动转盘一次，转出的数字为2的倍数的概率是________． (2)他们商定了一个游戏规则：转动转盘两次，若两次转出的数字之和为奇数，则小丽胜，他们去参观陕西历史博物馆；若两次转出的数字之和为偶数，则弟弟胜，他们去参观陕西自然博物馆．这个游戏对双方公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏对双方公平，理由见解析 【分析】本题考查概率综合，读懂题意，掌握一步概率问题、两步概率问题的解法是解决问题的关键． （1）由一步概率问题的求法，得到转动转盘一次的所有结果，及转出的数字为2的倍数的结果，代入简单概率公式求解即可得到答案； （2）由两步概率问题的求法，画树状图，得到全部结果及满足题意的结果数，代入简单概率公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：该转盘被分成面积相等的4个扇形，这些扇形内分别标有数字1，2，3，4， 转动转盘一次，会有4种等可能得结果，其中转出的数字为2的倍数的数字有和， 则转动转盘一次，转出的数字为2的倍数的概率是， 故答案为：； （2）解：这个游戏对双方公平． 理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次转出的数字之和为奇数的结果有8种，两次转出的数字之和为偶数的结果有8种， （他们去参观陕西历史博物馆）， （他们去参观陕西自然博物馆）， ， 这个游戏对双方公平． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案； （3）根据哥哥去的概率为，设计转盘即可． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平． （3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占3份；白色占1份，蓝色和黄色占4份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，哥哥去． 21．（2025·陕西咸阳·三模）小宇和小辰所在的数学兴趣小组做抽卡片游戏，小宇将文学名著中的四位人物的肖像制成四张卡片，如图，这些卡片除正面不同外，其余均相同，然后将其洗匀背面朝止放置在桌面上．游戏规则：小辰从中随机抽取一张，记录下卡片人物，然后放回；小宇再随机抽取一张，记录下卡片人物．若他们取出的两张卡片上对应的人物均出自同一本名著，则小辰胜，否则小宇胜． (1)小辰从中随机抽取一张是“．鲁智深”的概率是_____； (2)请你用列表或画树状图的方法判断这个游戏是否公平． 【答案】(1)； (2)小宇胜的概率更高，因此游戏不公平．理由见解析． 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“．鲁智深”的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）通过列举所有可能的抽取结果，计算两人抽到同一本名著的概率，并比较双方胜负概率是否相等来判断游戏公平性． 【详解】（1）解：四张卡片分别对应人物（诸葛亮）、（曹操）、（鲁智深）、（贾宝玉），抽取一张共有4种等可能结果， 鲁智深对应卡片，只有一种情况，因此概率为； 故答案为：； （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果， 诸葛亮、曹操出自《三国演义》；鲁智深出自《水浒传》；贾宝玉出自《红楼梦》； 因此，两人抽到同一本名著的条件为： 两人均抽到或（三国演义）；或均抽到（水浒传）；或均抽到（红楼梦）； 其中取出的两张卡片上对应的人物均出自同一本名著的结果有6种， 不相同的结果有10种， 小辰胜的概率为：； 小宇胜的概率为：； 由于，所以小宇胜的概率更高，因此游戏不公平． 22．（24-25七年级下·河南周口·期中）2025年3月1日是中国民间传统节日“龙抬头”，这一天寓意着万物复苏、生机勃发．在这个特殊的日子，“学好中国字  做好中国人”文化行动北京研讨会在北京吴东魁艺术馆隆重举行．如图，一个转盘被平均分成10等份，分别标有“学”“好”“中”“国”“字”“做”“好”“中”“国”“人”这10个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是______，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是______； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于6画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)， (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是， 指针指向汉字的笔画数是偶数的有：“学”“好”“中”“国”“字” “好”“中”“国”“人”，有9个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是； （2）解：游戏不公平，理由如下： 10个汉字中笔画多于6画的有：“学” ，“国” ，“国”， “做”， 10个汉字中笔画不多于6画的有： “好”“中” “字” “好”“中” “人”， 所以小明获胜的概率为， 小华获胜的概率为， 小明获胜的概率小华获胜的概率， 所以游戏不公平． 23．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）甲、乙两同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1、2、3、4的4个小球（除标号外无其他差异），从口袋中随机摸出1个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出1个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用表示．若为奇数，则甲获胜，若为偶数，则乙获胜． (1)用画树状图法列出所有可能的结果． (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)这个游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A的概率． （1）画树状图即可展示所有16种等可能的结果数； （2）根据树状图得到结果为奇数或偶数的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：画树状图： ∴16种等可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，； （2）解：这个游戏公平，理由： 由图知共有16种等可能结果，其中为奇数的可能有8种，为偶数也有8种可能， 故结果为奇数或偶数的概率都是， 甲乙获胜的概率相同，故这个游戏公平． 24．（2022九年级下·辽宁锦州·专题练习）小亮和小明玩摸牌游戏，如图1取四张扑克牌（方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5），洗匀后，如图2背面朝上放置在桌面上．游戏规则是：两人同时抽取一张扑克牌，两张牌面数字之和为奇数时，小亮获胜；否则小明获胜． (1)请用树状图或列表法求出所有可能的结果； (2)请问这个游戏规则公平吗？并说明理由． 【答案】(1)树状图见解析，共有种等可能的结果； (2)这个游戏规则不公平，理由见解析 【分析】本题考查了游戏的公平性，列表法或画树状图法求概率，概率公式，熟练掌相关知识点是解题的关键． （1）画树状图，得到共有种等可能的结果； （2）这个游戏规则不公平，由（1）得两张牌面数字之和为奇数的有种情况，得到，，故这个游戏规则不公平． 【详解】（1）解：画树状图如下， 共有种等可能的结果； （2）解：这个游戏规则不公平，理由如下， 由（1）知共有种等可能的结果，其中两张牌面数字之和为奇数的有种情况， ， ， 故这个游戏规则不公平． 【考点4频率】 25．（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是解题的关键； 由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案． 【详解】骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷得朝上一面的点数是6的频率为：， 故选：B． 26．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（    ） A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2 【答案】D 【分析】根据频率的定义即可解答． 【详解】解：在“2023年04月20日”中，共有0、2、3、4四个数字，其中0出现了3次，2出现了3次，3出现了1次，4出现了1次， 则数字0和2的频率相同，均为， 数字3和4的频率相同，均为． 故选：D． 【点睛】本题考查了频率，掌握频数与总次数的比值（或者百分比）称为这类数据频数的频率是解题关键． 27．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可得＝0.4，解方程即可求解． 【详解】根据题意得： ＝0.4， 解得：n＝6， 经检验：n＝6是分式方程的解且符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率的计算方法列式是解题的关键． 28．（21-22九年级上·河北保定·期中）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】先根据图得到黄球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近， ∴ 解得 n=3 故选：B． 【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式． 29．（21-22八年级下·广西贵港·期末）小亮3分钟共投篮80次，进了64个球，则小亮进球的频率是（　    ） A．80 B．64 C．1.2 D．0.8 【答案】D 【分析】根据频率等于频数除以数据总和即可求解． 【详解】解：∵小亮共投篮80次，进了64个球， ∴小明进球的频率为：64÷80=0.8． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了频数和频率，掌握“频率等于频数除以数据总和”是解答本题的关键． 30．（2021·四川乐山·中考真题）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（    ）． 类型 健康 亚健康 不健康 数据（人） 32 7 1 A．32 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】结合题意，根据频率的定义计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得测试结果为“健康”的频率是 故选：D． 【点睛】本题考查了抽样调查的知识；解题的关键是熟练掌握频率的性质，从而完成求解． 31．（24-25九年级上·北京东城·期末）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：表中从左往右，频率分别为， 钉尖朝上的概率约为； 故答案为：． 32．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）一组数据分成四组后前三组的频率分别是，则第四组频率为 【答案】/ 【分析】本题考查了随机事件的频率和为1，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，第四组频率为， 故答案为： ． 33．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 ． 【答案】0.2/ 【分析】首先计算出第4组的频数，然后再计算出第4组的频率即可． 【详解】解：第4组的频数为：40-6-12-14=8， 频率为：=0.2， 故答案为：0.2． 【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率=频数÷总数． 【考点5用频率估计概率】 34．（2025·四川成都·二模）九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（    ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A．3个 B．4个 C．5个 D．10个 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键． 根据表格中信息可得到红球的概率，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：从给出的表格中可以看到，随着摸球总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在左右， 设口袋中红球有个， 由于摸到红球的频率稳定值可近似看作摸到红球的概率，即， 解得：， 所以口袋中红球的个数最可能是个， 故选：B． 35．（2025·河南周口·模拟预测）如图，在由边长为的小正方形组成的网格中有一个不规则图形（图中阴影部分）．数学小组想了解阴影部分的面积是多少，采取了以下办法：随机地朝网格投掷飞镖，并记录飞镖落在阴影部分的次数（飞镖落在网格区域外或阴影部分与白色部分的交接处不计试验结果），若干次有效试验的结果如下表：则不规则图形的面积约为（  ） 试验总次数 50 100 150 200 300 400 500 落在阴影部分的次数 23 50 84 110 168 220 275 落在阴影部分的频率 0.46 0.50 0.56 0.55 0.56 0.55 0.55 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率、利用频率估计概率，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率，再求得整个图形面积，进而可得答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在阴影部分的频率稳定在0.55附近， ∴随机地朝网格投掷飞镖，估计落在阴影部分的概率为0.55， 又整个图形面积为， ∴不规则图形的面积约为， 故选：C． 36．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布” D．一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是黑球 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案． 【详解】解：A、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率为，故A选项错误，不符合题意； B、抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数的概率为，故B选项错误，不符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布”的概率为，故C选项错误，不符合题意； D、一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是黑球的概率为，符合题意； 故选：D． 37．（24-25七年级下·广东深圳·期中）一个不透明的箱子里有20枚黑棋子和若干枚白棋子，它们除颜色外其他完全相同，通过多次模拟实验后发现，摸出白棋子的频率稳定在左右，则箱子里棋子总数可能是 ． 【答案】80 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键． 由题意可知白棋子的概率为，可得黑棋子的概率为，再根据黑棋子的数量解答即可． 【详解】解：∵摸出白棋子的频率稳定在左右， ∴摸出白棋子的概率为， ∴摸出黑棋子的概率为， ∴箱子里棋子总数可能是， 故答案为：80． 38．（2025·山东·二模）如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：． 【考点6 用频率估计概率的综合应用】 39．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 【答案】(1)0.39、390 (2)0.4 (3)4 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率频数总数求解即可； （2）利用频率估计概率求解即可； （3）总个数乘以黑球的概率估计值即可． 【详解】（1）解：， 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 390 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 0.39 0.39 故答案为：0.39、390； （2）解：估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为0.4， 故答案为：0.4； （3）解：（个， 答：袋中有4个黑球． 40．（24-25七年级下·广东深圳·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________； (2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117 (2) (3)棵 【分析】本题考查占比的计算和用频率估计概率，注意数据的精确度，正确的计算是解题的关键． （1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为实验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：117；； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为， 所以这种油菜籽发芽的概率估计值是， （精确到）； 故答案为：； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 41．（24-25九年级下·福建厦门·期中）大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ (2)为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 【答案】(1)万件 (2)每件衬衣至少需要定价元 【分析】本题考查了由频率估计概率，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据频率估计概率，然后根据概率求出抽检2万件衬衣中合格衬衣件数即可； （2）设每件衬衣需要定价x元，根据销售利润至少有220万列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：随着抽检数量的增多，合格衬衣的频数稳定在左右，所以抽取一件衬衫是合格衬衣的概率为，因此抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有： （万件）； （2）解：设每件衬衣需要定价x元，根据题意得： ， 解得：， 答：每件衬衣至少需要定价元． 42．（2024八年级下·江苏·专题练习）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子n/粒 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频率m/粒 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0 a b (1)计算表中a，b的值； (2)估计该麦种的发芽概率； (3)如果该麦种发芽后，只有的芽可以成活，现有麦种，则有多少千克的麦种可以成活为秧苗？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是能够了解大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计概率． （1）用发芽频数除以实验种子数即可求得发芽频率； （2）观察大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计发芽概率； （3）用小麦种子总重量乘以发芽率即可求得结果． 【详解】（1）解：，． （2）观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数附近， 所以该麦种的发芽概率约为． （3）， 答：有千克的麦种可以成活为秧苗． 43．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）在一个不透明的盒子里，装有若干个红色，白色（除了颜色外均相同）的小球，九（1）班数学兴趣小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是兴趣小组进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到红球的次数m 59 96 116 295 480 601 摸到红球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)表中的_________；根据上表估计“摸到红球”的概率是_______（精确到0.1）； (2)如果盒子里有个红球，求盒子里白球的个数． 【答案】(1)， (2)盒子里白球的个数为个 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式； （1）根据频率为得出的值，进而根据统计数据，当很大时，摸到红球的频率接近． （2）根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：； 根据统计数据，当很大时，摸到红球的频率接近． 故答案为：，． （2）解：∵盒子里有个红球，摸到红球的频率接近． 设白球的个数为，依题意，， 解得，经检验是原方程的解 答：盒子里白球的个数为个 44．（22-23九年级上·河北邢台·期末）某玩具公司承接了第19庙杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)________；________． (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是________．（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了10000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 【答案】(1)0.962；0.96 (2)0.96 (3)9600只 【分析】（1）用频数除以总数即可； （2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96． （3）用总数量乘以优等品的概率即可 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.962，0.96； （2）从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96． （3）这批公仔中优等品大约有只 【点睛】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$