第01讲 整式与合并同类项（6知识点+8大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第01讲 整式与合并同类项 （6知识点+8大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01单项式及相关概念 1. 单项式：由数和字母的积组成的代数式叫作单项式 . 单个的字母或数也是单项式 . 2. 单项式的系数与次数 (1) 系数： 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数 . (2) 次数： 一个单项式中，所有字母的指数之和叫作这个单项式的次数 . 特别提醒： (1) 单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关，而单项式的次数只与字母的指数有关 . (2)确定一个单项式的次数时，要注意：①没有写指数的字母，实际上其指数是“ 1”，计算时不要将其遗漏；②不要把系数的指数当作字母的指数一同计算 . 如的次数是 1+4=5， 不能把系数的指数“ 2”当作字母的指数 . 特别解读 1. 单项式中不含加减运算； 2.分母中含有字母的式子不是单项式，如不是单项式； 3. 指数和次数是两个不同的概念，指数是单个字母的指数，而次数是所有字母的指数之和. 知识点02同类项 1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项 . 常数项与常数项是同类项 . 特别解读 1. 同类项的对象是单项式，而不是多项式，但可以是多项式中的单项式； 2.判断两个单项式是否为同类项的关键就是看其是否满足同类项中的“两个相同” . 2. 判断同类项的方法 (1)同类项必须同时满足“ 两个相同”： ① 所含字母相同； ②相同字母的指数也分别相同，两者缺一不可 . (2) 是不是同类项有“ 两个无关”： ①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关，如 3mn 与 －nm 是同类项 (3) 同类项可以有两项，也可以有三项、四项或更多项，但至少有两项 . 知识点03整式（多项式） 有限个单项式求和得到的代数式叫作整式.整式也叫作多项式。例如，3t²-t-4是由 3t²、-t 和一4这三个单项式求和得到的整式.单项式也是整式 知识点04合并同类项 1. 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项 . 2. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 . 3. 合并同类项的一般步骤 (1) 找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作相同的标记(连同各项的符号一同标记)； (2) 运用加法交换律、加法结合律将多项式中的同类项结合； (3) 利用合并同类项法则合并同类项； (4) 写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式). 4.特别解读 1. 合并同类项法则可简记为“一相加，两不变”. 其中，“一相加”是指各同类项的系数相加；“两不变”是指字母连同它的指数不变. 2. 合并同类项是将多项式中的两项或几项合并成一项，达到化简整式的目的. 知识点05整式的项与次数 1. 整式的项： 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项。合并同类项后，整式有几项，就称为几项式。特别地，只含有一项就是单项式 . 2. 整式的次数： 各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数。 知识点06整式的升幂（降幂）排列 为了表达方便或计算需要，在合并同类项后，可以根据加法的交换律将一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列. 我们常常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序来排列 . 若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的降幂排列；若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的升幂排列 . 特别提醒 将多项式按某个字母降幂(升幂)排列时，要注意各项移动时要连同它们前面的符号一起移动.因为常数项的次数为0，所以将多项式按某个字母降幂排列时，一般将其放在多项式的最后，反之，则放在最前面. 【题型1 单项式的判断】 【例1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）下列代数式、、、、、、中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（24-25七年级上·上海·期中）下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）代数式①2，②，③，④，⑤，⑥中，单项式的个数（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2单项式的系数、次数】 【例2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）单项式的系数是 ，次数是 ． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）单项式的次数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）下列代数式中，次数为3的单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）单项式的系数是 ． 【变式2-4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）已知是一个七次单项式，则 ． 【题型3 同类项】 【例3】（24-25七年级上·上海·期中）下列单项式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）下列各组整式中，不属于同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）如果单项式和是同类项，那么、的取值正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如果单项式与是同类项，那么 ． 【题型4 整式】 【例4】（2024七年级上·上海·专题练习）代数式，，，，，中，整式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式4-1】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）在0、x、、、、、这些代数式中，整式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-2】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）在下列代数式：，，，，，，中，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式4-3】（24-25七年级上·上海·期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型5 合并同类项】 【例5】（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【变式5-1】（2024七年级上·上海·专题练习）计算： ． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）合并同类项： ． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海松江·期中）合并同类项： ． 【变式5-4】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 【题型6 整式的项与次数】 【例6】（24-25七年级上·上海崇明·期中）是 次 项式，其常数项是 ． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海虹口·期中）整式的次数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）整式的一次项系数是（   ） A．7 B． C． D． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海·期中）下列说法错误的是（   ） A．是三次四项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是四次二项式 【变式6-4】（24-25七年级上·上海宝山·期末）整式的常数项是 ． 【题型7 整式的升幂（降幂）排列】 【例7】（24-25七年级上·上海闵行·期末）将整式按的降幂排列为 ． 【变式7-1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）把按照字母b降幂排列 ． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）将整式按的升幂排列： ． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海普陀·期末）将整式按降幂排列后，第二项的系数为 ． 【题型8 整式规律探究】 【例8】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，用黑白两色正方形瓷砖铺设地面，则第个图案中黑色瓷砖数为 块 【变式8-1】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）有一列数，，，，，从第二个数开始，每一个数都等于与它前一个数的倒数的差，若，则 ． 【变式8-2】（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，用长度相等的小木棒按一定规律摆放成图案，图案①中有6根小木棒，图案③中有16根小木棒，⋯，那么第n个图案中小木棒的根数为 ．（用含字母n的式子表示） 【变式8-3】（24-25七年级上·上海青浦·期末）探索规律，并回答问题：观察下面各图形，我们会发现：图①空白部分小正方形的个数是；图②空白部分小正方形的个数是；图③空白部分小正方形的个数是；像这样继续排列下去，可以用含有字母的代数式表示为： ．（其中为正整数） 【变式8-4】（24-25七年级上·上海·期中）小明利用便利贴拼成一棵圣诞树图案，圣诞树图案共有10层，每一层由三行便利贴拼成，前3层如图所示．若同一层中每一行都比前一行多2张，且每一层第一行都比前一层第一行多2张，则此圣诞树图案需要便利贴 张． 【变式8-5】（24-25七年级上·上海·期中）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案．    (1)第个图案中有根小棒；第个图案中有 根小棒；第个图案中有 根小棒 (2)第个图案中有 根小棒； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，由根小棒摆成？如果有，指出是第几个图案；如果没有，请说明理由． 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列说法错误的是（   ） A．是一次三项式 B．是二次二项式 C．是五次二项式 D．是二次三项式 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．与是同类项 B．是单项式 C．是二次四项式 D．的常数项是 3．（24-25七年级上·上海·期末）下列代数式中，单项式的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧1． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（24-25七年级上·上海·期中）下列合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）在代数式、、、、、中，整式的个数是（    ） A． B． C． D．． 6．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，是零次单项式的是（    ） A． B．0 C． D． 7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图是一回形图，其回形通道的宽和的长均为，回形线与射线交于，．若从点到点的回形线为第圈（长为），从点到点的回形线为第圈，，依此类推，则第圈的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．（23-24七年级上·上海·阶段练习）是 次单项式，它的系数是 9．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）已知单项式和是同类项，那么 ． 10．（24-25七年级上·上海·期中）将整式按升幂排列： ． 11．（24-25七年级上·上海崇明·期中）合并同类项： ． 12．（24-25七年级上·上海·期中）若与的和是一个单项式，则 ． 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知，为常数，且三个单项式，，的和仍然是单项式，则 ． 14．（24-25七年级上·上海松江·期中）请写出一个整式，使其同时满足以下三个条件：①只含有字母：②不含常数项；③是一个三次二项式．那么该整式可以是 ． 15．（24-25七年级上·上海·期中）整式是 次 项式． 16．（24-25七年级上·上海·期中）在整式中，次数最高项是 ；一次项系数是 ． 三、解答题 17．（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算：． 18．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如果单项式 与（其中 m 0， n 0）是关于 x，y 的单项式，且它们是同类项． (1)求的值． (2)若，求． 19．（2024七年级上·上海·专题练习）整式是六次四项式，且的次数跟它相同 (1)求，的值 (2)求整式的常数项以及各项的系数和． 20．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的． (1)观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 图形的周长 18 (2)推测第n个图形中，正方形的个数为______，图形的周长为______（都用含n的代数式表示）． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 整式与合并同类项 （6知识点+8大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01单项式及相关概念 1. 单项式：由数和字母的积组成的代数式叫作单项式 . 单个的字母或数也是单项式 . 2. 单项式的系数与次数 (1) 系数： 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数 . (2) 次数： 一个单项式中，所有字母的指数之和叫作这个单项式的次数 . 特别提醒： (1) 单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关，而单项式的次数只与字母的指数有关 . (2)确定一个单项式的次数时，要注意：①没有写指数的字母，实际上其指数是“ 1”，计算时不要将其遗漏；②不要把系数的指数当作字母的指数一同计算 . 如的次数是 1+4=5， 不能把系数的指数“ 2”当作字母的指数 . 特别解读 1. 单项式中不含加减运算； 2.分母中含有字母的式子不是单项式，如不是单项式； 3. 指数和次数是两个不同的概念，指数是单个字母的指数，而次数是所有字母的指数之和. 知识点02同类项 1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项 . 常数项与常数项是同类项 . 特别解读 1. 同类项的对象是单项式，而不是多项式，但可以是多项式中的单项式； 2.判断两个单项式是否为同类项的关键就是看其是否满足同类项中的“两个相同” . 2. 判断同类项的方法 (1)同类项必须同时满足“ 两个相同”： ① 所含字母相同； ②相同字母的指数也分别相同，两者缺一不可 . (2) 是不是同类项有“ 两个无关”： ①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关，如 3mn 与 －nm 是同类项 (3) 同类项可以有两项，也可以有三项、四项或更多项，但至少有两项 . 知识点03整式（多项式） 有限个单项式求和得到的代数式叫作整式.整式也叫作多项式。例如，3t²-t-4是由 3t²、-t 和一4这三个单项式求和得到的整式.单项式也是整式 知识点04合并同类项 1. 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项 . 2. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 . 3. 合并同类项的一般步骤 (1) 找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作相同的标记(连同各项的符号一同标记)； (2) 运用加法交换律、加法结合律将多项式中的同类项结合； (3) 利用合并同类项法则合并同类项； (4) 写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式). 4.特别解读 1. 合并同类项法则可简记为“一相加，两不变”. 其中，“一相加”是指各同类项的系数相加；“两不变”是指字母连同它的指数不变. 2. 合并同类项是将多项式中的两项或几项合并成一项，达到化简整式的目的. 知识点05整式的项与次数 1. 整式的项： 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项。合并同类项后，整式有几项，就称为几项式。特别地，只含有一项就是单项式 . 2. 整式的次数： 各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数。 知识点06整式的升幂（降幂）排列 为了表达方便或计算需要，在合并同类项后，可以根据加法的交换律将一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列. 我们常常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序来排列 . 若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的降幂排列；若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的升幂排列 . 特别提醒 将多项式按某个字母降幂(升幂)排列时，要注意各项移动时要连同它们前面的符号一起移动.因为常数项的次数为0，所以将多项式按某个字母降幂排列时，一般将其放在多项式的最后，反之，则放在最前面. 【题型1 单项式的判断】 【例1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式的判定，掌握单项式的概念是关键． 数字与字母的积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式，由此即可求解． 【详解】解：不是单项式， 是单项式， 是单项式， 是单项式， 不是单项式， ∴单项式有3个， 故选：C ． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）下列代数式、、、、、、中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式的定义，理解定义“只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．”是解题的关键．根据单项式定义判断即可． 【详解】解：单项式有、、，共个； 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海·期中）下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式，根据单项式的定义：数字和字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，进行判断即可． 【详解】解：，，0，是单项式，共4个， 故选：B． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）代数式①2，②，③，④，⑤，⑥中，单项式的个数（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的定义，解题的关键在于熟知表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．根据单项式的定义判断即可． 【详解】解：单项式有2，，，因此有3个， 故选：B． 【题型2单项式的系数、次数】 【例2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 / 7 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 【详解】解：单项式的系数是，次数是． 故答案为：，7． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）单项式的次数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式次数的定义．根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：根据单项式定义得： 的次数为：． 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）下列代数式中，次数为3的单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的判断 【分析】本题考查单项式和多项式的相关概念，解题的关键是正确理解单项式的次数概念，本题属于基础题型．单项式的次数是各字母的指数之和． 【详解】解：A、是多项式，故选项不符合题意； B、是次数为2的单项式，故选项不符合题意； C、是次数为3的单项式，故选项符合题意； D、是次数为4的单项式，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）单项式的系数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了单项式系数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，据此可得答案． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 【变式2-4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）已知是一个七次单项式，则 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了单项式的次数．根据单项式的次数得到，即可求出答案． 【详解】解：∵是一个七次单项式， ∴， 解得 故答案为： 【题型3 同类项】 【例3】（24-25七年级上·上海·期中）下列单项式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此依次判断即可． 【详解】解：A、字母的次数都不相同，不是同类项，故本选项不符合题意； B、有相同的字母，相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项符合题意； C、字母的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意； D、字母的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）下列各组整式中，不属于同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项，熟练掌握所含字母相同，相同字母指数也相同的项叫同类项是解题的关键．根据同类项的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、和是同类项，故此选项不符合题意； B、和是同类项，故此选项不符合题意； C、和中所含相同字母的次数不同，不是同类项，故此选项符合题意； D、和是同类项，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）如果单项式和是同类项，那么、的取值正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义，解题的关键是掌握同类项的定义．根据所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，即可求解． 【详解】解：单项式和是同类项， ，， 故选：B． 【变式3-3】（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如果单项式与是同类项，那么 ． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此求出即可得到答案． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4 整式】 【例4】（2024七年级上·上海·专题练习）代数式，，，，，中，整式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】整式的判断 【分析】此题主要考查了整式的概念，根据整式的概念求解即可，解题的关键是要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 【详解】解：式子，，，，符合整式的定义，是整式； 式子，，分母中含有字母，不是整式， 故整式有个． 故选：． 【变式4-1】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）在0、x、、、、、这些代数式中，整式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】整式的判断 【分析】此题考查了整式的定义，整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母．据此进行判断即可． 【详解】解：在0、x、、、、、这些代数式中，整式有：0、x、、、，共5个， 故选：D 【变式4-2】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）在下列代数式：，，，，，，中，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】整式的判断 【分析】本题主要考查了整式的定义，解题的关键在于能够熟练掌握整式的定义． 根据整式的定义：整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母，进行判断即可． 【详解】解：下列代数式：，，，，，，中， 属于整式的有：，，，，． ∴一共有5个整式． 故选：C． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海·期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】整式的判断 【分析】本题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 根据整式的定义分析判断各个式子，从而得到正确选项． 【详解】解：在（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）中， 整式有：（1）；（2）；（5）；（6），共4个， 故选：B． 【题型5 合并同类项】 【例5】（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查的是合并同类项，把同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为： 【变式5-1】（2024七年级上·上海·专题练习）计算： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考合并同类项，根据合并同类项系数相加减字母不变计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）合并同类项： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则，是解题的关键．根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海松江·期中）合并同类项： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． 合并同类项求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【变式5-4】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数都保持不变，据此求解即可． 【详解】解： ． 【题型6 整式的项与次数】 【例6】（24-25七年级上·上海崇明·期中）是 次 项式，其常数项是 ． 【答案】 四 三 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查的是与多项式有关的概念，根据定义即可判定，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 【详解】解：是四次三项式，其常数项是， 故答案为：四；三；． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海虹口·期中）整式的次数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查多项式的次数，掌握多项式次数的定义是解题的关键．根据多项式次数的定义：多项式中最高次项的次数是多项式的次数，即可求解． 【详解】解：∵整式中，单项式的次数是2，单项式 的次数是4，单项式的次数是1， 整式的次数是4， 故选：D． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）整式的一次项系数是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的有关概念．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．多项式中每个单项式叫做多项式的项，有几个单项式即是几项式． 根据多项式的各项系数的概念求解即可． 【详解】解：∵， ∴整式的一次项系数是； 故选：D． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海·期中）下列说法错误的是（   ） A．是三次四项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是四次二项式 【答案】C 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的有关概念．多项式中每个单项式叫做多项式的项，有几个单项式即是几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的系数、次数的概念求解． 【详解】解：A、是三次四项式，正确，不符合题意； B、是二次二项式，正确，不符合题意； C、是三次三项式，原说法错误，符合题意； D、是四次二项式，正确，不符合题意， 故选：C． 【变式6-4】（24-25七年级上·上海宝山·期末）整式的常数项是 ． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题主要考查了多项式，根据多项式中不含未知数的项是常数项解题即可． 【详解】解：整式的常数项是， 故答案为：． 【题型7 整式的升幂（降幂）排列】 【例7】（24-25七年级上·上海闵行·期末）将整式按的降幂排列为 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题主要考查了多项式，先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【详解】解：按x的降幂排列：． 故答案为：． 【变式7-1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）把按照字母b降幂排列 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查的是多项式的降幂排列，熟记多项式的降幂排列的含义是解本题的关键．先把多项式按照字母b的指数由高到低排列，从而可得答案． 【详解】解：多项式按字母降幂排列后为：， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）将整式按的升幂排列： ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查多项式，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．正确理解降幂排列或升幂排列的定义是解题的关键． 【详解】解：整式按的升幂排列， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海普陀·期末）将整式按降幂排列后，第二项的系数为 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列、单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了多项式，先把整式的各项按y降幂排列后，找出第二项，从而找出其系数即可． 【详解】解：整式按y降幂排列为：， ∵第二项是， ∴第二项的系数是， 故答案为：． 【题型8 整式规律探究】 【例8】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，用黑白两色正方形瓷砖铺设地面，则第个图案中黑色瓷砖数为 块 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形类变化规律，结合图形进行分析，注意前后两个图形之间的联系，找出规律是解题关键．观察图形可得白色瓷砖块数的规律为：第一个图案黑色瓷砖块数为4，以后每个图案比前一个图案多2块黑色瓷砖，即可得答案． 【详解】解：观察图形发现： 第1个图案中有黑色瓷砖块数为4，而 第2个图案中黑色瓷砖块数为6，而， 第3个图案中黑色瓷砖块数为8，而， …… 第n个图案中黑色瓷砖数为． 故答案为：． 【变式8-1】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）有一列数，，，，，从第二个数开始，每一个数都等于与它前一个数的倒数的差，若，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了找规律的题，解决本题的关键是按照顺序计算出这一列数中的前几个，从计算出的数中找到规律，根据规律得到要求的那个数 ．本题中通过计算了现这一列数是、、、、、、循环出现的，并且每三个数一循环，因为，所以可知是第个循环中的第个数据，所以可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 这一列数是、、、、、、循环出现的，并且每三个数一循环， ， 是第个循环中的第个数据， ． 故答案为： ． 【变式8-2】（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，用长度相等的小木棒按一定规律摆放成图案，图案①中有6根小木棒，图案③中有16根小木棒，⋯，那么第n个图案中小木棒的根数为 ．（用含字母n的式子表示） 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小棒的根数依次增加5是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中小木棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1个图案中小木棒的根数为：， 第2个图案中小木棒的根数为：， 第3个图案中小木棒的根数为：， …， 所以第n个图案中小木棒的根数为根． 故答案为：． 【变式8-3】（24-25七年级上·上海青浦·期末）探索规律，并回答问题：观察下面各图形，我们会发现：图①空白部分小正方形的个数是；图②空白部分小正方形的个数是；图③空白部分小正方形的个数是；像这样继续排列下去，可以用含有字母的代数式表示为： ．（其中为正整数） 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形变化的规律，能根据所给等式写出图n空白部分小正方形个数满足的等式是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中空白小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 题①空白部分小正方形的个数为：； 题②空白部分小正方形的个数为：； 题③空白部分小正方形的个数为：； …， 所以图n空白部分小正方形的个数： 故答案为：． 【变式8-4】（24-25七年级上·上海·期中）小明利用便利贴拼成一棵圣诞树图案，圣诞树图案共有10层，每一层由三行便利贴拼成，前3层如图所示．若同一层中每一行都比前一行多2张，且每一层第一行都比前一层第一行多2张，则此圣诞树图案需要便利贴 张． 【答案】360 【知识点】图形类规律探索 【分析】此题考查了图形的规律，根据各层的便利贴的数量变化，找到规律，根据规律进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得，第一层有便利贴：（张）， 第二层有便利贴：（张）， 第三层有便利贴：（张）， …… 第n（n为正整数）层有便利贴：（张）， ∵ ∴当时，（张）， ∴此宝塔形图案是由张便利贴拼成的． 故答案为：360． 【变式8-5】（24-25七年级上·上海·期中）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案．    (1)第个图案中有根小棒；第个图案中有 根小棒；第个图案中有 根小棒 (2)第个图案中有 根小棒； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，由根小棒摆成？如果有，指出是第几个图案；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不存在，理由见解析 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查图形的变化规律， （1）根据图形计算出第个图案和第个图案中小棒的数量即可； （2）由图中小棒数量的计算规律可得出第个图案小棒的数量； （3）利用（2）中的规律建立方程求得答案即可； 解题的关键是找出图形之间的联系，得出数字的运算规律：第个图案中有根小棒． 【详解】（1）解：第个图案中有根小棒；第个图案中有根小棒， 故答案为：；； （2）由图可知：第个图案中有小棒：（根）， 第个图案中有小棒：（根）， 第个图案中有（根）， …， ∴第个图案中有小棒的根数为：（根）， 故答案为：； （3）不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵为正整数， ∴不存在由根小棒摆成的图案． 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列说法错误的是（   ） A．是一次三项式 B．是二次二项式 C．是五次二项式 D．是二次三项式 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的有关概念．多项式中每个单项式叫做多项式的项，有几个单项式即是几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的相关概念进行判断即可． 【详解】解：A．是一次三项式，故A正确，不符合题意； B．是二次二项式，故B正确，不符合题意； C．是五次二项式，故C正确，不符合题意； D．是三次三项式，故D错误，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．与是同类项 B．是单项式 C．是二次四项式 D．的常数项是 【答案】B 【知识点】同类项的判断、多项式的项、项数或次数、单项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的定义，多项式的项及其次数的定义，同类项的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，二者不是同类项，原说法错误，不符合题意； B、是单项式，原说法正确，符合题意； C、是三次四项式，原说法错误，不符合题意； D、的常数项是，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海·期末）下列代数式中，单项式的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧1． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】此题考查单项式的定义：单独的数字或字母，或数字与字母的乘积是单项式，熟记定义是解题的关键．根据定义逐个判断解答即可． 【详解】解：所给代数式中，是单项式的有：③；④；⑥；⑦；⑧1，共5个． 故选：C． 4．（24-25七年级上·上海·期中）下列合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类项的判断、合并同类项 【分析】本题考查合并同类项，解题的关键是掌握：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项；把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； D．与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）在代数式、、、、、中，整式的个数是（    ） A． B． C． D．． 【答案】C 【知识点】整式的判断 【分析】主要考查了整式的有关概念．根据整式的定义：单项式、多项式的统称，判断即可． 【详解】解：整式有：，，，，共有5个． 故选：C． 6．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，是零次单项式的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的次数，熟练掌握单项式次数的定义是解题的关键； 单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，据此逐项判断即可 【详解】A．a的指数是1，b的指数是1，次数为，不是零次单项式，故该选项不符合题意； B．0是单项式，但零次单项式指次数为0的单项式，即单独的一个数（0除外），故0不是零次单项式，故该选项不符合题意； C．a的指数是3，次数为3，不是零次单项式，故该选项不符合题意； D．它可以看作（x是任意字母），次数为0，是零次单项式，故该选项符合题意； 故选：D． 7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图是一回形图，其回形通道的宽和的长均为，回形线与射线交于，．若从点到点的回形线为第圈（长为），从点到点的回形线为第圈，，依此类推，则第圈的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，由已知图形可得第圈的长为，据此解答即可求解，由图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：第1圈的长：， 第圈的长：， 第圈的长：， ， ∴第圈的长为， 当时，， ∴第圈的长为， 故选：． 二、填空题 8．（23-24七年级上·上海·阶段练习）是 次单项式，它的系数是 【答案】 五/5 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的系数与次数，数与字母的积称为单项式，其中数字因数是系数，所有字母指数的和叫做单项式的次数；根据系数与次数的含义进行解答即可． 【详解】解：是五次单项式，系数为； 故答案为：五；． 9．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）已知单项式和是同类项，那么 ． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查同类项的概念及代数式求值，熟记同类项的概念是解题的关键．根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出关于和的方程，解出即可得出和的值，进而代入可得出的值． 【详解】解：单项式和是同类项， ，， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海·期中）将整式按升幂排列： ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查多项式，根据含r的项中r的指数从低到高的顺序排列即可． 【详解】解：将整式按升幂排列为， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海崇明·期中）合并同类项： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·上海·期中）若与的和是一个单项式，则 ． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中所含字母相同，相同字母的指数也相同．首先可判断单项式与是同类项，再由同类项的定义即可． 【详解】解：若与的和为单项式， 则与为同类项， ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知，为常数，且三个单项式，，的和仍然是单项式，则 ． 【答案】2或3 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、合并同类项 【分析】本题主要考查同类项的定义，合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 根据题意可得或，进而求出与的值； 【详解】解：∵三个单项式，，的和仍然是单项式， ∴或， ∴，，或，， ∴或， 即或3， 故答案为：2或3． 14．（24-25七年级上·上海松江·期中）请写出一个整式，使其同时满足以下三个条件：①只含有字母：②不含常数项；③是一个三次二项式．那么该整式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了多项式的项和次数的概念，根据题意写出一个只含有字母a，且a的最高次为3，且不含常数项的二项多项式即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的整式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 15．（24-25七年级上·上海·期中）整式是 次 项式． 【答案】 三 四 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的项、项数或次数，多项式的单项式个数即为多项式的项数，最高次项的次数即为多项式的次数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，整式是三次四项式， 故答案为：三，四． 16．（24-25七年级上·上海·期中）在整式中，次数最高项是 ；一次项系数是 ． 【答案】 ； ． 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式中项的系数和多项式的次数 ．组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项，这一项中的数字部分就是这一项的系数；多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数 ． 【详解】解：在整式中， 的次数为， 的次数为， 的次数为， 的次数为， 这四项中次数最高为次， 次数最高的项是； 一次项是，一次项的系数为． 故答案为：； ． 三、解答题 17．（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 【详解】解∶原式 ． 18．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如果单项式 与（其中 m 0， n 0）是关于 x，y 的单项式，且它们是同类项． (1)求的值． (2)若，求． 【答案】(1)1 (2)0 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、合并同类项 【分析】本题主要考查了同类项，合并同类项法则， （1）根据同类项的定义可知，求出a，再计算代数式的值即可； （2）根据题意可知，即可求出代数式的值． 【详解】（1）∵与是同类项， ∴， 解得， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 19．（2024七年级上·上海·专题练习）整式是六次四项式，且的次数跟它相同 (1)求，的值 (2)求整式的常数项以及各项的系数和． 【答案】(1)， (2)； 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了整式与单项式，解题的关键是熟练的掌握整式与单项式的定义． （1）根据整式的概念即可求出n与m的值； （2）然后根据整式即可判断常数项与各项系数． 【详解】（1）解：由题意可知：是六次四项式， ∴， 解得：， ∵的次数也是六次， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴该整式为：， ∴常数项，各项系数为：，1，，， 故系数和为：． 20．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的． (1)观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 图形的周长 18 (2)推测第n个图形中，正方形的个数为______，图形的周长为______（都用含n的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形规律探索，由起始的几个实例归纳出图形个数与图序号之间的联系是解题的关键． （1）按顺序，每次增加5个正方形，周长每次增加10； （2）由（1）探知，正方形的个数为，周长为． 【详解】（1）解：按顺序，每次增加5个正方形，小正方形个数图①，图②，图③； 按顺序，周长每次增加10；周长图①，图②，图③； 填表得： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 13 18 图形的周长 18 28 38 （2）解：由（1）第n（n为正整数）个图形中正方形的个数为，周长为． 故答案为：，． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$