专项10 尺规作图&专项11 全等三角形的常见模型&专项12 与三角形有关的动点问题-【芸熙百分】2024-2025学年新教材七年级数学下册期末必刷卷（北师大版2024）河南专版

河洛芸限·期末考试必刷卷 面冠腿 专项10】 尺规作图 紧扣课程标准，根据最新教材编写 1.如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线：（保留作图痕迹，不写作法）》 (2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E,连接DE.判断DE与BE的数量关系，并说 明理由. 2.在△ABC中，∠B=37°，∠C=45°，作等腰三角形ABD.如图1，小智的方法是以点B为圆心， 以AB长为半径画弧，交BC于点D,连接AD,则△ABD为所求作的等腰三角形：小慧的方法 是作AB的垂直平分线，交BC于点D,连接AD,则△ABD为所求作的等腰三角形 (1)根据小智的方法，△ABD是等腰三角形的依据是 (2)根据小慧的方法，在图2中用尺规作图并求出∠DAC的度数 B D 图1 图2 3.如图，已知直线AB,以及直线AB外一点P. (1)尺规作图：过点P作直线CD,使得CD∥AB:(保留作图痕迹，不写作法)】 (2)为了寻找画平行线的其他方法，小明同学作了以下折纸的操作： ①如图1，将直线AB翻折，使折痕L经过点P,折痕L1与直线AB交于点O,射线OA与射线 OB互相重合； ②如图2，将①中的折痕L在点P处翻折，使射线PV与射线PO重合，得到第二条折痕2 小明说第二条折痕12就是(1)中所要求作的直线CD. 请你判断：小明的说法正确吗？请说明理由. Nh 1 P P￥D A Q B A O B 图1 图2 24 ▲·七年级·数学·下册 面闲运腿 专项11全等三角形的常见模型 可紧扣课程标准，根据最新教材鳊写 1.【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为 90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边相等时， 必定存在全等三角形 【解决问题】(1)①如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线 DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E,DE=5,AD=2,则BE的长为 ②如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,过点A作 AD⊥CE于点D,过点B作BE⊥CE于点E,探索AD,DE,BE之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】(2)如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12m的高台A, 利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为18m,高为4m的矮台B,则旗杆 OM的高度是 m 图1 图2 图3 2.【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶 点分别对应连接起来得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形 (1)如图1，在“手拉手”图形中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD,CE.试说明： △ABD≌△ACE: 【变式探究】(2)如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，即AB=AC,AD=AE,且 ∠BAC=∠DAE=9O°，点B,C,D在同一条直线上.请判断线段BD与CE的关系，并说明理由： 【拓展应用】(3)如图3，AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠BCD的数量关系，并 说明理由. 图 图2 图3 25 河洛芸限·期末考试必刷卷 面冠腿 专项12与三角形有关的动点问题 可紧扣课程标准，根据最新教材编写 1.如图，将线段BC沿着射线CA折叠得到CD,延长CD到点E,连接BE,点F是射线CA上的 一个动点，连接FE,FD.若BC=20,EC=28,△DEF的周长的最小值为22，则BE的长为 A.18 B.16 C.14 D.12 m S/cm 6 8x/5 图1 图2 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图1，∠B=∠C=90°，AB=2CD,点P以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→D的路 线运动，到点D停止.如图2，反映的是△ABP的面积S(cm)与点P运动的时间x(s)两个变 量之间的关系，则梯形ABCD的面积为 () A.72 cm2 B.64 cm C.48 cm2 D.36 cm2 3.如图，直线AM⊥AN,AB平分∠MAN,过点B作BC⊥BA交AN于点C.动点D,E同时从点A 出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D以1cm/s的速度在直线AM上 运动.已知AC=6cm,设动点D,E的运动时间为t(s),当动点D在直线AM上运动时，若 △ADB与△BEC全等，则t的值为 A.2 B.6 C.2或4 D.2或6 4.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD⊥BC,点D为垂足，E,F分别是AD,AB上的动点.若 AB=6,△ABC的面积为12，则BE+EF的最小值是 () A.2 B.4 C.6 D.8 D B 第4题图 第5题图 第6题图 5.在一次课外活动中，小明将一副三角尺按如图所示的方式放置，点E在AC上，∠C=∠DAE =90°，∠B=60°，∠D=45°.小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒5的速度顺时针 旋转一周，在旋转过程中，第 s时，边AB与边DE平行. 6.如图，∠AOB=45°，点M,N分别在射线OA,OB上，MN=4,△OMN的面积为3，P是直线 MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1,点P关于OB对称的点为P2,当点P在直线MN 上运动时，△OP,P,的面积最小值为 26▲·七年级·数学·下册 派运恩 (2)原式=[9x2+6y+y2-(9x2-2)-6y2]÷(-2y) (4)18或39.5 =(9x2+6gy+y2-9x2+y2-6y2)÷(-2y)=(6gy-4y2)÷ 解析该款新型智能机器人从测试点乙出发到测试点丙的 (-2y）=-3x+2. 速度为(320-120)÷(24-14)=20(m/mim):返回时的速度 当x=1,y=-2时，原式=-3×1+2×(-2)=-7. 为320+(52-32)=16(m/min).分两种情况讨论：①到测试 (B组) 点丙之前，该款新型智能机器人离测试点甲的距离为200m 1.解：(1)原式=4-1+1=4. 时，它离开测试点甲的时间为14+(200-120)÷20=18 (2)原式=(2024-1)×(224+1)-2024=20242-1- (min):②到测试点丙之后，该款新型智能机器人离测试点甲 2024=-1. 2.解：(1)原式=x2-4y+4y2-x2+4y=4y2 的距离为200m时，它离开测试点甲的时间为32+(320- (2)原式=1-a2+d2-3ab+3aW2÷a6=1-a2+a2-3ab+ 200)÷16=39.5(min). 3.解：(I)CD-BCAD=CD(或∠BDC=∠BDA) 3ab =I. 3.解：(1)原式=4r2+y2-(42-4y+y2)=4x2+y2-4x2+ (2)选择甲：在△ABC和△DEC中，因为AC=DC,∠ACB= ∠DCE,BC=EC,所以△ABC≌△DEC(SAS).所以AB=ED 4g-y=4g当x=2y-时原武=4x2x(）=-4 (或选择乙：因为AB⊥BD,DE⊥BD,所以∠B=∠CDE= (2)原式=(b2-4a2+4a2+4ab+b)÷2b=(2b2+4ab)÷ 90°.在△ABC和△EDC中，因为∠B=∠CDE,CB=CD, ∠ACB=∠ECD.所以△ABC≌△EDC(ASA),所以AB=ED 2h=b+2a. 或选择丙：因为AD=CD,所以∠A=∠C.因为BD⊥AC,所 当a-2=号6==1时，原武=1+2×分=2 以∠ABD=∠CBD=90°.在△ABD和△CBD中，因为∠ABD= 专项8代数推理 ∠CBD,∠A=∠C.BD=BD.所以△ABD≌△CBD(AAS) 所以AB=BC) 1.解：(1)n+1(或n-1) (2)4n+4n+山（或4n-4n+山 专项10尺规作图 4 4 1.解：(1)如图所示，射线AE即为所求 2n2+2n+山（或2m-2n+山 (2)DE=BE,理由如下：因为AE平分 2 2 ∠BAC,所以∠BAE=∠DAE.因为AB (3)因为4n+4n+1.2+2m+1 =AD,AE=AE,所以△BAE≌△DAE 4 2 (SAS),所以DE=BE. 4n2+4n+1-(4n+4n+2)=- 2.解：(1)两边相等的三角形是等腰三角 4 4<0,所以这两个整数的 形 平均数的平方小于它们平方的平均数（或因为4加-4n+ (2)如图所示 4 因为∠B=37°，∠C=45 2-2n+1_4n-4+1-4-n+2》=-}<0,所 所以∠BMC=180°-∠B-∠C= 4 180°-37°-45°=98. 以这两个整数的平均数的平方小于它们平方的平均数，) 由作图可知，EF垂直平分AB.所 2.解：(1)(55+5)×50+5 以DA=DB. (2)(10m+n+n)×10m+2 所以∠DAB=∠B=37 因为(10m+n)2=(10m)2+2×10m×n+n2=100m2+ 所以∠DAC=∠BAC-∠DAB=98°-370=61°， 20mn+n2,(10m+n+n）×10m+n2=(10m+2n)×10m+ 3.解：(1)如图，直线CD即为所求. n2=100m2+20mn+n2,所以(10m+n)2=(10m+n+n)× 10m+n,即结论成立. 0 3.解：(1)943（答案不唯一） (2)943变换为349，即943-349=594，差为三位数： 594变换为495，即594-495=99，差为两位数，即最终的结 果为99. (3)猜想：任意“儿童数”按照(2)的程序列式计算，最终的 (2)小明的说法正确， 结果均为99. 理由如下：由折纸操作可知∠NP=∠VOB=90°，所以 根据题意，得(a+6)(a+1)a变换为a(a+1)(a+6),因为 CD∥AB. (a+6)(a+1)a=100(a+6)+10(a+1)+a=111a+610 专项11全等三角形的常见模型 a(a+1)(a+6)=100a+10(a+1)+(a+6)=111a+16. 1.解：(1)①3 所以(a+6)(a+1)a-a(a+1)(a+6)=111a+610-111a-16 ②AD,DE,BE之间的数量关系为AD=BE+DE.理由：因为 =594,差为三位数： AD⊥CE,BE⊥CE,所以∠ADC=∠CEB=90°.因为∠ACB= 594变换为495，即594-495=99，差为两位数，即最终的结 90°，所以∠ACD+∠BCE=90°，因为∠ACD+∠CAD=90 果为99. 所以∠CMD=∠BCE.在△CAD与△BCE中，因为∠ADC= 专项9实际应用题 ∠CEB=90°，∠CAD=∠BCE,AC=CB,所以△GAD≌ 1.解：(1)距离地面的高度k所在位置的温度T8 △BCE(AAS),所以CD=BE,AD=CE.因为CE=CD+DE. (2)T=-6h+20 -34 所以AD=BE+DE. (3)当飞机距离地面的高度为5km时，所在位置的温度为 (2)17解析》如图，过点A作AE⊥ -10℃. OM,过点B作BF⊥OM.由题意知 2.解：(1)离开测试点甲的时间 ∠AOB=90°，OA=OB.所以∠BOF+ 离测试点甲的距离y ∠AOE=90°.因为∠AOE+∠EAO= (2)240320 (3)该款新型智能机器人离开测试点甲32mm时，离测试 90°，所以∠EA0=∠BOF.在△AE0和 点甲的距离为320m △OFB中，∠EAO=∠FOB,∠AEO= 河洛芸照·期未考试必刷卷 面标爸跑 ∠OFB,OA=BO,所以△AEO≌△OFB(AAS),所以OE=BF, 69 A 解析)如图，连接OP,过点O作 4E=OF.即AE+BF=OE+OF,因为AC=12m.BD=4m.所 以EF=12-4=8(m).因为AE+BF=18,即0E+OF= OH⊥MN交NM的延长线于点H.因为 OE+OE+EF=18,所以2OE=10,所以0E=5m,所以OM =OE+ME=OE+AC=5+12=17(m),所以旗杆OM的高 5an=2N,0m=3.且MN=4.所以 度是17m 2.解：(1)因为∠BAC=∠DME,所以∠BAC-∠CAD=∠DAE- 0m=子因为点P关于直线01对称 ∠CAD,所以∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中，因为 的点为P,点P关于直线OB对称的点为P,所以∠AOP= AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,所以△ABD≌△ACE ∠AOP,∠BOP=∠BOP2,OP=OP=OP.因为∠AOB= (SAS). 45°，所以∠P,OP=2(∠AOP+∠B0P)=2∠A0B=90°，所以 (2)BD=CE,BD⊥CE.理由如下：因为∠BAG=∠DAE= △0P,A的面积为}0P,·0R,=0P.由垂线段最短可 90°，所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD= ∠CAE.在△ABD和△ACE中，因为AB=AC,∠BAD= 知，当点P与点H重合时，0P取得最小值，最小值为OH= 2 ∠CAE,AD=AE,所I以△ABD≌△ACE(SAS),所以BD=CE ∠ADB=∠AEC.因为∠ECD+∠ADB=∠EAD+∠AEC,所以 所以△PA面的最小值为×号)广-号 ∠ECD=∠EAD=90°，即BD⊥CE. 郑州市中原区2023一2024学年下学期学情调研试题卷 (3)∠A+∠BCD=I80°.理由如下： 一、选择题 如图，延长DC至点P,使DP=DB 连接PB.因为∠BDC=60°，所以 题号12345678910 △BDP是等边三角形，所以BD= 答案CAA DDBCBCB BP.∠DBP=60°，所以∠ABC= 10.B解析)如图所示，连接AE,AF ∠DBP,所以∠ABC-∠DBC=∠PBD-∠DBC,即∠ABD= 因为BA=BC=1O,BD是AC边的中线 ∠PBC.在△ABD和△CBP中，因为BD=BP,∠ABD= 所以直线BD是等腰三角形BAC的对称 ∠CBF,AB=CB,所以△ABD≌△CBP(SAS),所以∠BCP= 轴所以AE=CE.所以CE+EF=AE+ ∠A.因为∠BCD+∠BCP=I8O°，所以∠A+∠BCD=180° EF≥AF当点A,E,F在同一直线上，即AF⊥BC时，CE+ 专项12与三角形有关的动点问题 EF的值最小.因为CE+EF的最小值为9.6，所以BC边 1.C2.A3.D 4.B解析)如图，作点F关于AD的对称点 上的高AF为96所以△MBC的面积为2×10×9.6= M,连接BM,EM,过点B作BN⊥AC于点N 48.故选B. 所以EF=EM.所以BE+EF=BE+EM≥ 二、填空题 BM,所以当BM最小时，BE+EF最小当BM1 AC时，BM最小，即点M与点N重合，最小值 12.4.513. 3 14.56 为BN的长因为Sax=4C.BN=2,AB=AC=6,所以 15.50°或130°解桥)因为∠A=30°，∠C=80°，所以∠B= 180°-30°-80°=70°.分两种情况讨论： BV=2×12÷6=4,即BE+EF的最小值是4.故选B. ①当点A'落在AC右侧时，如图所示 5.15或5引解析)分两种情况讨论：①当DE在AB的上方 因为A'D∥BC,所以∠A'DA=∠B=70 时，如图1，因为∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°， 由翻折的性质可知，∠A'DE=∠ADE= 所以∠BAC=30°，∠E=45°.因为AB∥DE,所以∠BAE= ∠E=45°，所以∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°，所以旋转时 3∠ADA=35.所以∠AED=∠AED月 间1-5 0=15(s):②当DE在AB的下方时，如图2，因为 180°-30°-35°=115°.所以∠AEA'= 360°-115°-115°=130°. ∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°，所以∠BAG=30°， ②当点A'落在AB的左侧时，如图所 ∠E=45°.因为AB∥DE.所以∠BAE+∠E=180°，所以 示 ∠BAE=180°-∠E=135°.所以∠CAE=∠BAE-∠BAC= 因为A'D∥BC,所以∠A'DB=∠B= 105°，所以旋转的角度为360°-∠CAE=255°，所以旋转时 70°.所以∠ADA'=180°-70°=110°. 间1-25-51().综上所述，在旋转过程中，第15：或5引。 由折叠的性质可知，∠AN0E=∠ADE=号×(360P 时，边AB与边DE平行 110°)=125°.所以∠AED=180°-30°-125°=25.所以 ∠AEM'=2∠AED=50. 综上所述，∠AEA'的度数为50°或130° 三、解答题 16.解：(1)平方差公式（或完全平方公式） (2分) (2)- (4分) (3)原式=(4x2-y2-4x2+12-9y2）÷(-y） =(12y-10y2)÷(-y）=-12x+10y. (6分) 图 图2 当x=1,y=2时，原式=-12×1+10×2=8. (8分)