精品解析：重庆市部分校联考2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷

重庆市高二数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 4 则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 某地天气预报资料显示，近段时间中一天下雨的概率是0.8，连续两天都下雨的概率是0.6.已知某天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ） A. 0.75 B. 0.48 C. 0.8 D. 0.6 3. 要安排6名学生到5个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少有1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A 720种 B. 1800种 C. 3600种 D. 1200种 4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，则的系数为（ ） A 10 B. 21 C. 30 D. 9 6. 某次数学测试有8道单选题（4选1）.小王能完整做对其中5道题，剩余3道题中，有2道题有思路，且做对的概率都是0.8，有1道题完全没有思路，且猜对的概率是0.25.从中任选1道题，小王做对该题的概率为（ ） A. 0.8 B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. 相关系数用来衡量成对样本数据的线性相关程度，而决定系数可以用来比较两个模型的拟合效果 B. 若，，则， C. 已知经验回归方程为，且样本点的中心为，则的预测值为1 D. 某校高二年级的男生身高（单位：）近似服从正态分布.若该校高二年级有1000名男生，则身高在内的男生大约有819人（参考数据：，.） 10. 已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值不可能为（ ） A. B. C. D. 11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（ ） A. B. 第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C. 记杨辉三角中第行的第个数为，则 D. 在杨辉三角中，第行所有数字平方和恰好是第行的中间一项的数字 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从5名女生、2名男生中任选3人参加数学竞赛，且至多有1名男生入选，则不同的选法共有______种.（用数字作答） 13. 函数在上有两个极值点，则实数取值范围是________． 14. 某病毒感染率为0.2.现对某地区进行抽样调查，若抽到感染者，则停止抽样，否则继续抽样直到抽到感染者为止，但抽样次数不超过次.记抽查次数为，则______（）；要使抽查次数的期望值不超过3，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大. （1）求的值； （2）设，求的值. 16. 教师节来临，学校预在今年的“教职工趣味运动会”中添加一个新的比赛项目.为了解教职工对该项目的兴趣，现从全校教职工中随机抽取100人进行调查，得到如下列联表. 性别 喜欢 不喜欢 总计 男 40 60 女 30 总计 100 （1）请补充完整该列联表，并判断能否在犯错误不超过0.001的前提条件下，认为喜欢此项目与性别有关. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）现按性别从这100名教职工中分层抽样抽取5人参加抽奖活动，奖品共3份.如果是女职工获奖，那么奖品价值200元；如果是男职工获奖，那么奖品价值180元.求奖品总价值的分布列及期望. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围. 18. 一个袋子中装有外观、材质完全相同的红、白两种球，其中红球4个，白球个（，）.现从袋中一次性摸出2个球，若2个球同色，记1分，否则记0分. （1）求一次摸球得分为1的概率； （2）若，有放回地摸三次球，求得分的分布列及期望、方差； （3）有放回地摸四次球，记四次摸球后得分为3的概率为，则当为多少时，最大？ 19. 若函数在区间上有意义，且存在，使得对任意的，当时，单调递增，当时，单调递减，则称为上的“抛物线型函数”，其中为在上的峰值． （1）若函数，试判断是否是区间上的“抛物线型函数”； （2）若是区间上的“抛物线型函数”，求实数的取值范围； （3）若函数，求证：是区间上的“抛物线型函数”，并求在区间上的峰值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市高二数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 4 则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分布列，根据分布列的性质，列出方程求得的值 【详解】由题意有：， 故选：A. 2. 某地天气预报资料显示，近段时间中一天下雨的概率是0.8，连续两天都下雨的概率是0.6.已知某天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ） A. 0.75 B. 0.48 C. 0.8 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算得解. 【详解】设某天下雨的事件是A， 随后一天也下雨的事件是B，则， 所以某天下雨，则随后一天也下雨的概率. 故选：A 3. 要安排6名学生到5个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少有1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 720种 B. 1800种 C. 3600种 D. 1200种 【答案】B 【解析】 【分析】将6名学生分成5组，再安排到5个乡村，利用分步乘法原理列式求解. 【详解】依题意，将6名学生分成5组有种方法，再把分成的5组安排到5个乡村有种方法， 所以不同安排方法共有种. 故选：B 4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的单调性与导数的关系可得对任意的恒成立，结合参变量分离法可求出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 因为函数在上单调递增，则对任意的恒成立， 则对任意的恒成立，则. 故选：C. 5. 在的展开式中，则的系数为（ ） A. 10 B. 21 C. 30 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合多项式乘法法则求解. 【详解】依题意，， 展开式中含的项为， 所以的系数为9. 故选：D 6. 某次数学测试有8道单选题（4选1）.小王能完整做对其中5道题，剩余3道题中，有2道题有思路，且做对的概率都是0.8，有1道题完全没有思路，且猜对的概率是0.25.从中任选1道题，小王做对该题的概率为（ ） A. 0.8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式以及互斥事件概率的加法公式,计算任一题做对概率. 【详解】选做完整做对的题目且做对概率, 选做有思路的题目且做对概率, 选做完全没有思路且做对概率, 综上,任选一题能做对概率. 故选:B. 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据当时，，构造，借助新函数的单调性比较大小. 【详解】设，则， 又当时，， ∴， ∴在上单调递减， ∵，∴即，故A错误； ∵，∴即，故B错误； ∵，∴， 又是定义在上的奇函数， ∴，故C正确； ∵，∴，即，故D错误. 故选：C 8. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求导，设为“拉格朗日中值点”，由题意得到，构造，研究其单调性，结合零点存在性定理得到答案. 【详解】，令为函数在上的“拉格朗日中值点”， 则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. 相关系数用来衡量成对样本数据的线性相关程度，而决定系数可以用来比较两个模型的拟合效果 B. 若，，则， C. 已知经验回归方程为，且样本点的中心为，则的预测值为1 D. 某校高二年级的男生身高（单位：）近似服从正态分布.若该校高二年级有1000名男生，则身高在内的男生大约有819人（参考数据：，.） 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A根据相关性系数即可判断，对于B由即可判断，对于C由样本点的中心为求出，即可求出的预测值，对于D根据正态分布求出即可判断. 【详解】对于A：相关系数用来衡量成对样本数据的线性相关程度，而决定系数用来比较两个模型的拟合效果,故A正确； 对于B：由，故B错误； 对于C：由样本点的中心为，所以， 当时，，所以预测值为1，故C正确； 对于D：由题意有，所以 ，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设切点为，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，可得出，求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】设切点为，因为，则， 则切线的斜率为，故切线方程为， 将点坐标代入切线方程得，整理得， 因为曲线过点的切线有两条，则关于的方程有两个不等的实根， 所以，解得或， 故选：BC. 11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（ ） A. B. 第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C. 记杨辉三角中第行的第个数为，则 D. 在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数，而， 又展开式中项的系数为， 因此，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从5名女生、2名男生中任选3人参加数学竞赛，且至多有1名男生入选，则不同的选法共有______种.（用数字作答） 【答案】30 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题，结合排除法列式求解. 【详解】从7名学生中任选3人有种方法，选到2名男生的方法数为种， 所以不同的选法种数是. 故答案为：30 13. 函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数在上有两个极值点，转化为在上有两不等实根，即在上有两不等实根，再令，根据导数方法判断出函数的单调性，求出最值，作出简图，结合图像即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由函数在上有两个极值点，可得在上有两不等实根，即在上有两不等实根； 令，则，由得； 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 即函数在上单调递减，在上单调递增；故； 又由在上有两不等实根，可得与曲线的图像有两不同交点， 结合图像可得，. 故答案为 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数极值点的个数求参数，只需对函数求导，将问题转为直线与曲线交点个数问题即可，属于常考题型. 14. 某病毒感染率为0.2.现对某地区进行抽样调查，若抽到感染者，则停止抽样，否则继续抽样直到抽到感染者为止，但抽样次数不超过次.记抽查次数为，则______（）；要使抽查次数的期望值不超过3，则的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式求出；再利用错位相减法求出期望，借助数列单调性求得结果. 【详解】抽查次数的可能值为，则， ， ， 于是， 两式相减，得 ， 则，由，得， 数列单调递减，，因此， 所以的最大值为4. 故答案为：；4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大. （1）求的值； （2）设，求的值. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的性质求出值. （2）由（1）的结论，利用赋值法求解. 【小问1详解】 由的展开式中只有第5项的二项式系数最大，得的展开式共有9项， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 取，得，取时，， 所以. 16. 教师节来临，学校预在今年的“教职工趣味运动会”中添加一个新的比赛项目.为了解教职工对该项目的兴趣，现从全校教职工中随机抽取100人进行调查，得到如下列联表. 性别 喜欢 不喜欢 总计 男 40 60 女 30 总计 100 （1）请补充完整该列联表，并判断能否在犯错误不超过0.001的前提条件下，认为喜欢此项目与性别有关. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）现按性别从这100名教职工中分层抽样抽取5人参加抽奖活动，奖品共3份.如果是女职工获奖，那么奖品价值200元；如果是男职工获奖，那么奖品价值180元.求奖品总价值的分布列及期望. 【答案】（1）列联表见解析，在犯错误不超过0.001的前提条件下，认为喜欢此项目与性别有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算，根据独立性检验即可求解； （2）根据题意男性抽取人数3，女性人数为2人，则的可能取值为，分别求出对应的概率即可求解. 小问1详解】 由题意有： 性别 喜欢 不喜欢 总计 男 40 20 60 女 10 30 40 总计 50 50 100 零假设为：喜欢此项目与性别无关， 所以， 所以在犯错误不超过0.001的前提条件下，拒绝接受假设，即认为喜欢此项目与性别有关； 【小问2详解】 男性抽取人数人，女性抽取人数为人， 所以的可能取值为， 所以， 所以的分布列为： 540 560 580 所以, 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，结合（1）中的结论，可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，则， 当时，即当时， 由得或，由得， 此时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，即当时，则对任意的恒成立， 此时，函数的增区间为，无减区间； 当时，即当时， 由得或，由得， 此时，函数增区间为、，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 【小问2详解】 当时，由于函数有三个零点， 则函数的极大值为，可得， 函数的极小值为，解得， 此时； 当时，函数的增区间为，此时函数至多一个零点，不合乎题意； 当时，由于函数有三个零点， 则函数的极小值为，解得， 函数的极大值为，解得且， 此时或. 综上所述，实数的取值范围是. 18. 一个袋子中装有外观、材质完全相同的红、白两种球，其中红球4个，白球个（，）.现从袋中一次性摸出2个球，若2个球同色，记1分，否则记0分. （1）求一次摸球得分为1概率； （2）若，有放回地摸三次球，求得分的分布列及期望、方差； （3）有放回地摸四次球，记四次摸球后得分为3的概率为，则当为多少时，最大？ 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为，方差为； （3）24. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合组合计数问题求出古典概率. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望、方差. （3）求出的函数关系，利用导数求出最大值条件，再建立不等式求解即得. 【小问1详解】 一次摸球得分为1的概率. 【小问2详解】 当时，，的所有可能值为，， ，， ，， 所以得分的分布列为 0 1 2 3 期望，方差. 【小问3详解】 依题意，，求导得，而， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 由，得，而，解得，又， 当时，；当时，，又， 因此当，即时，取得最大值， 所以. 19. 若函数在区间上有意义，且存在，使得对任意的，当时，单调递增，当时，单调递减，则称为上的“抛物线型函数”，其中为在上的峰值． （1）若函数，试判断是否是区间上的“抛物线型函数”； （2）若是区间上的“抛物线型函数”，求实数的取值范围； （3）若函数，求证：是区间上的“抛物线型函数”，并求在区间上的峰值． 【答案】（1）不是区间上的“抛物线型函数” （2） （3）证明见解析；-2 【解析】 【分析】（1）多次求导求得在区间上单调递减，根据“抛物线型函数”的定义即可判断； （2）按照、和分类讨论，利用导数研究函数的单调性，根据“抛物线型函数”的定义列不等式组求解即可； （3），设，结合单调性利用零点存在定理得存在，使得，进而求出的单调区间，根据“抛物线型函数”的定义即可判断，结合指对运算代入解析式即可求解峰值. 【小问1详解】 因为，所以， 设，则， 当时，可得，所以函数在区间上单调递减， 所以，所以，所以在区间上单调递减， 故不是是区间上的“抛物线型函数” 【小问2详解】 因为，所以， 当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 但区间为，所以在区间上单调递增，不满足题意； 当时，令得或， 若，当时，，函数在区间上单调递增， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 若是区间上的“抛物线型函数”， 则，解得； 若，当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 当时，，函数在区间上单调递减，不存在， 使得在区间上先增后减，故不满足题意. 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 因为， 所以， 设，则在区间单调递减， 且， 所以存在，使得， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以是区间上的“抛物线型函数”， 由得，则， 所以， 即在区间上的峰值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$