精品解析：江苏省连云港市灌云县第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二年级下学期期中考试 数学 试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合数公式求解. 【详解】因为， 解得或， 又，，所以． 故选：C． 2. 三棱锥中，，点为中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形，题意，结合空间向量加减法可得答案. 【详解】，又为中点， 故选：C 3. 已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用正态分布对称性和概率性质计算即可. 【详解】解：对于，，故A错误； 对于，因为， 所以    ，故B错误； 对于C，显然， 所以， 所以，故C正确；  对于，因为， 所以，故D错误． 故选：C． 4. 设，为两个随机事件，若，，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算即可求解. 【详解】，，， 又，． 故选：B 5. 等差数列的首项为，公差不为若，，成等比数列，则的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意结合等比中项求出公差，再利用等差数列的前项和公式求出． 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，，成等比数列，所以， 即， 整理得， 又因为，，所以，所以， 所以前项的和． 故选：A． 6. 已知满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得  ，根据数量积的运算律结合，即可得的值． 【详解】由已知，， 所以， 又，所以. 故选：D. 7. 甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，丙袋中有个白球和个红球，先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设取出的球为红球为事件，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件，，，利用全概率公式求解即可． 【详解】设取出的球为红球为事件，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件，，， 则， 由全概率公式可得： ． 故选：B 8. 设随机变量服从，当方差最大时，的值是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项分布求出方差，求出方差取最大值时的，再计算． 【详解】由题意， ∴时，最大，此时． 故选：D. 【点睛】本题考查二项分布的方差和概率．掌握二项分布的概率公式是解题基础． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的焦点坐标是 B. 双曲线的顶点坐标是 C. 抛物线的准线方程是 D. 双曲线的离心率 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，根据椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与性质依次判断选项即可. 【详解】A：在椭圆中，因为，， 则，且焦点在轴上，故A错误； B：在双曲线中，，顶点在y轴上， 所以双曲线的顶点为，故B正确； C：抛物线的准线为，故C正确； D：双曲线中，，则， 所以双曲线的离心率为，故D正确． 故选：BCD． 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 设和互为对立事件，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若，则 D. 若随机变量X的分布列为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用条件概率的公式可判断A，利用二项分布的期望和方差公式可判断B，利用全概率公式可判断C，由超几何分布的期望公式可判断D. 【详解】对于A，由条件概率的公式可知，故A正确 对于B，因为，所以， 则，所以， 所以，故B正确 对于C，根据全概率公式，， 故，故C正确 对于D，由题意知，服从，，的超几何分布，所以，故D错误． 故选：ABC 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数在处的切线方程为 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上的极大值为 D. 若方程仅有个解，则的取值范围是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过求导判断函数的单调性，推得函数的极大极小值，结合选项内容逐一判断即可. 【详解】由，可得：， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在 上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 对于A：因，，故在处的切线方程为： ，故A正确； 对于B：由上分析，在上单调递减，故 B正确； 对于C：由上分析，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，故 C错误； 对于D：由上分析，若方程仅有个解，结合图象趋势可得：或，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则 ________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出的值，进而可求出的坐标，结合空间向量的模长公式可求出的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故，所以，故． 故答案为：． 13. 若，则展开式中二项式系数和为________ ．（结果用数字作答） 【答案】1024 【解析】 【分析】先由组合数公式求出n的值，再利用二项式定理求解. 【详解】因， 所以，且 解得或1（舍去）， 所以二项式的展开式中二项式系数为：． 故答案为： 14. 某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于125的概率是 ________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正态分布曲线的对称性求出，再利用独立事件的概率乘法公式求解． 【详解】因为学生成绩X服从正态分布，且， 所以， 所以从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于125的概率是． 故答案为：． 四、填空题：本题共5小题，每小题13-17分不等，共77分. 15. 某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，4所为211高校，另外3所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同． （1）求该考生恰好选到2所985高校的概率； （2）若该考生选到985高校的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）先求出从10所高校中任取4所的总数，再求出恰有2所985高校的取法，再用古典概型的概率公式计算即可； （2）先分析出该考生选到985高校的个数取值为0，1，2，3，再利用超几何分布计算出取不同值时的概率，进而列出分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 从10所高校中，任取4所，共有种取法， 恰有2所985高校的取法为：， 该考生恰好选到2所985高校的概率为； 【小问2详解】 设为该考生选到985高校的个数，则的取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 则 0 1 2 3 . 16. 如图，已知四棱锥中，平面，底面直角梯形，，为中点， （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，先证四边形BCEF是平行四边形，可得CEBF，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）取PB的中点H，连接AH，利用线面垂直的判定定理与性质证明AH⊥平面PBC，确定点A到平面PBC的距离为AH，再求之即可． 【小问1详解】 取PA的中点F，连接EF，BF， 因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD＝1， 又BC∥AD，AD＝2BC＝2，所以EFBC，EF＝BC， 则四边形BCEF是平行四边形，所以CEBF， 又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB， 所以CE平面PAB． 【小问2详解】 取PB的中点H，连接AH， 因为PA＝AB，所以AH⊥PB， 因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BC， 因为BCAD，AB⊥AD，所以AB⊥BC，又PA∩AB＝A，PA、AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB，又AH⊂平面PAB， 所以BC⊥AH，又PB∩BC＝B，PB、BC⊂平面PBC， 所以AH⊥平面PBC，即点A到平面PBC的距离为AH. 在等腰直角△PAB中，AHPB， 故点A到平面PBC的距离为． 17. 如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． （1）求线段的长度； （2）求直线与平面所成角正弦值； （3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【解析】 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【小问1详解】 由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； 【小问2详解】 由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 18. 已知． （1）若，求： ①的值， ②的值； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）①537；②270 （2）85． 【解析】 【分析】（1）由赋值法，分别令即可求解； （2）由，得到，再通过和两类情况讨论求解即可． 【小问1详解】 已知． 因为，所以， ①令，得， 令，得， 所以， ②令，得， 由①，得， 所以； 【小问2详解】 由， 得，所以，其中， 当时，，， 当时，， 结合二次函数的性质可知当时， 所以a2的最小值为85． 19. 已知椭圆和圆的方程分别是，椭圆的离心率，点M，N分别在，上，的最大值为． （1）求，的方程； （2）点是圆上的动点，过点P作与椭圆有且只有一个交点的两直线，设直线的斜率分别为，且与x轴分别交于点A，B． （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）证明见详解；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据圆和椭圆性质可得，结合题意列式求解即可； （2）（i）设直线方程为，联立方程结合圆的方程是方程的根，利用韦达定理分析证明；（ii）求点，结合韦达定理可得，换元结合二次函数求取值范围. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 则， 由题意可得：，解得， 所以椭圆和圆的方程分别是. 【小问2详解】 （i）设直线方程为， 联立方程，消去y可得， 则，整理可得， 又因为直线过点， 可得，即， 则，整理可得， 可知是方程的根， 则，， 且在圆：上，则，即， 所以； （ii）由（1）可得：， 由直线可得， 则， 因为，令，则， 可得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期期中考试 数学 试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 三棱锥中，，点为中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，为两个随机事件，若，，，则 （ ） A B. C. D. 5. 等差数列的首项为，公差不为若，，成等比数列，则的前项和为（ ） A. B. C. D. 6. 已知满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，丙袋中有个白球和个红球，先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 设随机变量服从，当方差最大时，的值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 椭圆焦点坐标是 B. 双曲线的顶点坐标是 C. 抛物线的准线方程是 D. 双曲线的离心率 10. 下列说法中正确是（ ） A. 设和互为对立事件，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若，则 D. 若随机变量X的分布列为，则 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数在处的切线方程为 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上的极大值为 D. 若方程仅有个解，则的取值范围是或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则 ________________ ． 13. 若，则展开式中二项式系数和为________ ．（结果用数字作答） 14. 某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于125的概率是 ________________ ． 四、填空题：本题共5小题，每小题13-17分不等，共77分. 15. 某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，4所为211高校，另外3所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同． （1）求该考生恰好选到2所985高校的概率； （2）若该考生选到985高校的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 16. 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，为中点， （1）求证：平面； （2）求点到平面距离． 17. 如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． （1）求线段的长度； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 18 已知． （1）若，求： ①的值， ②的值； （2）若，求的最小值． 19. 已知椭圆和圆的方程分别是，椭圆的离心率，点M，N分别在，上，的最大值为． （1）求，的方程； （2）点是圆上的动点，过点P作与椭圆有且只有一个交点的两直线，设直线的斜率分别为，且与x轴分别交于点A，B． （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $