复习01 三角函数公式（十一大考点）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

复习01 三角函数公式（十一大考点） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 知识点2三角函数的诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，，，，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 知识点3 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 知识点4 辅助角公式 辅助角公式：，其中，， 知识点5 二倍角公式 （1） （2） （3） 降幂公式：；； 知识点6 积化和差、和差化积 （1）积化和差 ， ， （2）和差化积 ， ， 考点一：条件等式求正弦、余弦、正切 例1．若角的终边不在坐标轴上，且，则(    ) A． B． C． D． 变式1-1．已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知函数，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．1 变式1-3．若实数，满足方程组，则的一个值可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 考点二：正、余弦齐次式的计算 例2．已知，则 . 变式2-1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．计算：（   ） A． B． C． D．1 变式2-3．若，则（    ） A． B．2 C．2023 D．2025 考点三：、的关系 例3．已知，则（   ） A． B． C． D． 变式3-1．若，则 ． 变式3-2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知，是关于的方程的两个根，求的值． 考点四：诱导公式的化简、求值 例4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4-2．若将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则（   ） A． B． C． D． 变式4-3．已知点 在第二象限，则 是第（   ）象限的角 A．一 B．二 C．三 D．四 考点五：诱导公式的拼凑角 例5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知，则 . 变式5-3．若，则 ． 考点六：三角恒等变换的化简问题 例6．已知角、满足，且，则（    ） A． B． C． D． 变式6-1．设，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D．4 变式6-2．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（    ） A． B． C． D． 变式6-3．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点七：三角恒等变换——给值求值问题 例7．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知，，，则 . 变式7-2．已知，，则的值为 ． 变式7-3．已知，，且，，则 . 考点八：三角恒等变换——给值求角问题 例8．已知，且． (1)求的值： (2)求的值． 变式8-1．若，且，，则（    ） A． B． C． D． 变式8-2．已知为三角形的两个内角，，则＝（ ） A． B． C． D． 变式8-3．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，，，均为锐角，求． 考点九：积化和差、和差化积 例9．若，，则（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 变式9-1．（　　） A． B．2 C． D． 变式9-2．（1） ； （2） ． 变式9-3．已知，则等于（　　） A．－m B．m C．－4m D．4m 考点十：利用三角恒等变换判断三角形形状 例10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为(    ) A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 变式10-1．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能判断 变式10-2．在中，若，则这个三角形的形状是 ． 变式10-3．在中，① 若，求的值.② 若，判别的形状. 考点十一：三角恒等变换的实际应用 例11．某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，，甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，（    ） A．10cm B． C． D． 变式11-1．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（    ）    A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m 变式11-2．如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 变式11-3．如下图所示，某公司计划建造一座滨海公园，直线与均为海岸沿线，是以为直角的直角三角形，线段为“滨海栈桥”，线段将建成“阳光沙滩沿线”，线段将建成“灯塔沿线”.现要求“滨海栈桥”长度维持在不变的基础上，可适当调整“阳光沙滩沿线”与“灯塔沿线”的设计长度.预计建成后，每“阳光沙滩沿线”可让公司日均盈利万元，每“灯塔沿线”可让公司日均盈利万元，为使公司日均盈利最大，则应将“灯塔沿线”设计为 . 一、单选题 1．若为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B．1 C． D． 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．若锐角，满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 6．若，其中，则（    ） A． B． C． D． 7．设则有（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（不含端点），且，，为垂足，记，，下列说法正确的有（   ） A．的周长大于2 B． C． D．的最小值为 三、填空题 10． ． 11．已知函数在处取得最小值，则 . 12．已知满足，，则 ． 四、解答题 13．已知，． (1)求值； (2)求的值． 14．已知、都是锐角，，． (1)求的值； (2)求的值. 15．（1）若，，求的值． （2）已知，，，求的值． 16．如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习01 三角函数公式（十一大考点） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 知识点2三角函数的诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，，，，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 知识点3 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 知识点4 辅助角公式 辅助角公式：，其中，， 知识点5 二倍角公式 （1） （2） （3） 降幂公式：；； 知识点6 积化和差、和差化积 （1）积化和差 ， ， （2）和差化积 ， ， 考点一：条件等式求正弦、余弦、正切 例1．若角的终边不在坐标轴上，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】或， ∵的终边不在坐标轴上，∴， ∴，∴． 故选：A． 变式1-1．已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，，可得或（舍）， 又，则. 故选：C 变式1-2．已知函数，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【详解】, 令， 则， 故是方程的两个根， 所以， 由，可得解得， 而， 所以当时，有最小值0. 故选：A 变式1-3．若实数，满足方程组，则的一个值可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 【答案】（答案不唯一，满足，即可） 【详解】由，可得， 即，所以，所以，， 所以当k=0时，. 故答案为：（答案不唯一，满足，即可） 考点二：正、余弦齐次式的计算 例2．已知，则 . 【答案】/ 【详解】由，得. 故答案为： 变式2-1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 变式2-2．计算：（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】 . 故选：B. 变式2-3．若，则（    ） A． B．2 C．2023 D．2025 【答案】A 【详解】. 故选：A. 考点三：、的关系 例3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 化简得， 解得或（舍去，因为，且等号不能成立）． 故选：D． 变式3-1．若，则 ． 【答案】 【详解】由，则， . 故答案为： 变式3-2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又，所以， 所以， 又，所以，， 所以， 故． 故选：B 变式3-3．已知，是关于的方程的两个根，求的值． 【答案】 【详解】由题意有，所以或， 又， 则，从而或（舍去）， 因此． 所以 ， 所以. 考点四：诱导公式的化简、求值 例4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以. 故选：B 变式4-1．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：因为，所以或， 当时，或，， 当时， 或，， 可得或，所以充分性不成立， 必要性：若， 当为偶数时，设，则， 则，满足， 当为奇数时，设，则， 则，满足， 所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 变式4-2．若将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得，即； 所以. 故选：B. 变式4-3．已知点 在第二象限，则 是第（   ）象限的角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【详解】因为点 在第二象限，所以，， 由诱导公式得，， 则 是第三象限的角，故C正确. 故选：C 考点五：诱导公式的拼凑角 例5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故选：A. 变式5-1．已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 故选：D 变式5-2．已知，则 . 【答案】/ 【详解】由，得. 故答案为： 变式5-3．若，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为： 考点六：三角恒等变换的化简问题 例6．已知角、满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 则， 则， 则， 又， 则，即， 所以. 故选：D. 变式6-1．设，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】， 即， 解得：，所以，所以. 故选：B. 变式6-2．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：，且， ，解得：， 所以（负值不符合题意舍去）， . 故选：C 变式6-3．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A选项，已知，， 则，A错误； B选项，，B正确； C选项，，所以，C正确； D选项， ，D错误； 故选：BC. 考点七：三角恒等变换——给值求值问题 例7．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：因为，所以. 因为， 所以. 解法二：令，则，， 所以. 故选：D. 变式7-1．已知，，，则 . 【答案】 【详解】，， ，，. ∵，， ∴，. . 故答案为：. 变式7-2．已知，，则的值为 ． 【答案】/0.96 【详解】由， 得，则，即， 由于，故，结合， 可知， 故， 故答案为： 变式7-3．已知，，且，，则 . 【答案】-7 【详解】 ， 因为，所以，且， 所以为第一象限角， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 故答案为：-7. 考点八：三角恒等变换——给值求角问题 例8．已知，且． (1)求的值： (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为，所以， 因为，所以，所以， 所以， ， 则， 因为，所以. 变式8-1．若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又， 所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 所以 ， 所以. 故选：C 变式8-2．已知为三角形的两个内角，，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为三角形的两个内角，且， 则，， 因，， 得， 则， 故， 因，，则． 故选：B． 变式8-3．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，，，均为锐角，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以． （2），则， 因为，所以，又， 所以，则， 所以 ，所以， 由，为锐角，所以，解得， 由，均为锐角，则， ， 所以． 考点九：积化和差、和差化积 例9．若，，则（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【详解】因为 ， 则， 又因为，则， 显然不成立，所以，解得. 故选：D. 变式9-1．（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】 . 故选：D. 变式9-2．（1） ； （2） ． 【答案】 /0.5 / 【详解】（1）由和差化积公式可得， ； （2）由和差化积和积化和差公式可得， ． 故答案为：, 变式9-3．已知，则等于（　　） A．－m B．m C．－4m D．4m 【答案】B 【详解】. 故选：B． 考点十：利用三角恒等变换判断三角形形状 例10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为(    ) A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【详解】由知，， ∴＝， ，， ， ∴， ∵在△ABC中，， ∴， ∵，∴， 即△ABC为直角三角形． 故选：C． 变式10-1．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能判断 【答案】C 【详解】由，得， 因为，整理得， 则，则，即， 又因为，则， 所以，则，可得， 故为直角三角形. 故选：C. 【点睛】关键点睛：和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用和差化积公式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用和差化积公式. 变式10-2．在中，若，则这个三角形的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【解析】利用公式，利用两角和差的正弦公式，化简，并判断三角形的形状. 【详解】， ， 代入条件可得，即， 即， 所以三角形是等腰三角形. 故答案为：等腰三角形 变式10-3．在中，① 若，求的值.② 若，判别的形状. 【答案】，等腰三角形 【详解】①， 所以； ②由二倍角公式可得， 即, 所以 所以， 即， 因为，，所以， 所以，， 所以是等腰三角形. 考点十一：三角恒等变换的实际应用 例11．某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，，甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，（    ） A．10cm B． C． D． 【答案】B 【详解】过O点作，分别交BC，AD于E，F两点，如图所示 设，则，， 由，，得， 则，， ， 当，即时，OB取得最大值， 此时 故选：B. 变式11-1．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（    ）    A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m 【答案】C 【详解】如图，设球的半径为，球心为，为与球的切线，则. ， .    故选：C 变式11-2．如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【详解】过点作，垂足为点，设，，且，， 由题意可得，， 所以， ， 因为， 令，则 ， 当且仅当时，等号成立， 故（千米）. 故选：D. 变式11-3．如下图所示，某公司计划建造一座滨海公园，直线与均为海岸沿线，是以为直角的直角三角形，线段为“滨海栈桥”，线段将建成“阳光沙滩沿线”，线段将建成“灯塔沿线”.现要求“滨海栈桥”长度维持在不变的基础上，可适当调整“阳光沙滩沿线”与“灯塔沿线”的设计长度.预计建成后，每“阳光沙滩沿线”可让公司日均盈利万元，每“灯塔沿线”可让公司日均盈利万元，为使公司日均盈利最大，则应将“灯塔沿线”设计为 . 【答案】/ 【详解】设，则，， 设该公司日均盈利为万元，则，其中， 所以，，其中为锐角，且， 由，解得， 因为，则，故当时，取最大值， 此时. 故答案为：. 一、单选题 1．若为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为第三象限角，所以， 可得，， 所以是第第一，二象限角， 所以，不确定， 故选：B 2．计算：（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以 ， 故选：D． 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，解得， 又，解得， 所以， 故选：D. 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 5．若锐角，满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意设，因为， 所以， 所以， . 故选：B. 6．若，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B 7．设则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，可得： 根据二倍角的正切公式，对于，则有： 由半角公式，对于，这里，则有： 因为正弦函数在上单调递增，且，所以，即. 故选：A. 二、多选题 8．已知且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由，得，所以，A正确； 因为，所以，，则， 而，得出或， 若，则，与矛盾. 故，故C错误； ，B正确； ，D错误． 故选：AB 9．如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（不含端点），且，，为垂足，记，，下列说法正确的有（   ） A．的周长大于2 B． C． D．的最小值为 【答案】BC 【详解】对于A，，则的周长为2，A错误； 对于C，由，得，整理得，C正确； 对于B，，则， 而为锐角，则，，B正确； 对于D，由，得， 整理得，即，而， 即，又，解得，当且仅当时取等号， 又，因此的最小值为，D错误. 故选：BC 三、填空题 10． ． 【答案】 【详解】． 故答案为：. 11．已知函数在处取得最小值，则 . 【答案】 【详解】因为， 其中 因为函数在处取得最小值，则 则 ，即 ， 所以 故答案为： 12．已知满足，，则 ． 【答案】 【详解】， 故， 又， 即①， ， 故， 又， 即②， 式子①+②得，即， 式子②-①得，即， 所以. 故答案为： 四、解答题 13．已知，． (1)求值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 得； （2），且，得， ，， 所以，， 联立，得，， 则. 14．已知、都是锐角，，． (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且为锐角，所以.     所以，所以. （2）因为，且为锐角，所以. 所以. 15．（1）若，，求的值． （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）（2）． 【详解】（1）由，， 可得， 故， 即，解得． （2）因为，所以．又． 所以． 因为，， 所以． 所以 ． 16．如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设，则，， 在中，，，则， ， 所以，， 因为，则， 当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为. （2）解：过点作，垂足为点，    因为，，，则四边形为矩形， 所以，，， 因为，，则为等腰直角三角形，则， 所以，，，， 所以， ， 令， 因为，则，则， 所以，，， 所以，， 所以，， 故当时，取最大值， 因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$