复习02 三角函数的性质与图像（九大考点）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

复习02 三角函数的性质与图像 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 周期函数 1.周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  知识点2 正余弦函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 周期性 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 知识点3 正切函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数． 对称性 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 知识点4 图象变换 1.对函数,的图象的影响（左加右减） 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 考点一：三角函数的周期性问题 例1．下列函数周期为的为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，函数的最小正周期，故A错误； 对于B，函数的最小正周期，故B正确； 对于C，函数的最小正周期，故C错误； 对于D，函数的最小正周期，故D错误. 故选：B. 变式1-1．下列函数中，周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为， 所以， 则，所以不以为周期，故A错误； 对于B，因为，所以的最小正周期为，故B错误； 对于C，因为，所以的最小正周期为，故C错误； 对于D，因为， 所以， 则的周期为，故D正确. 故选：D. 变式1-2．已知函数，若的周期为，则 . 【答案】 【详解】因为周期为，所以，， 则. 故答案为：. 变式1-3．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分如二分之一､三分之一､四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为.则函数的周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以 ， 故是的一个周期，又的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为， 故选：C. 考点二：三角函数的奇偶性和对称性问题 例2．函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得， 当时，，所以函数图象的一个对称中心是. 故选：D. 变式2-1．已知函数，“为奇函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若为奇函数，则，充分性不成立， 若，则为奇函数，必要性成立， 所以“为奇函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B 变式2-2．已知，函数的最小正周期为，若，且的图象关于直线对称，则（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】D 【详解】因为，所以，解得． 又的图象关于直线对称，所以， 解得． 因为， 取，可得， 所以. 故选：D 变式2-3．若函数的图像关于对称，则的最小值为 . 【答案】/0.75 【详解】由，解得， 因为，所以则的最小值为. 故答案为：. 考点三：三角函数的单调性问题 例3．若函数在上单调递减，在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数的图象经过原点，且在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又，，解得. 故选：B. 变式3-1．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由函数在上单调递增， 可得，可得，即，可得， 又由，可得， 则满足，解得， 当时，可得，当时，可得， 当时，不合题意； 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 变式3-2．（多选）已知表示中的最大者，则下列区间中是函数的单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当，可得， 所以，所以在上单调递增， 当，可得， 所以，所以在上单调递增， 所以的单调递增区间的是和. 故选：ACD. 变式3-3．若函数在上不单调，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得， 若函数在上单调递增， 则, 解得：， 所以， 解得， 即， 因为，所以且， 所以，      ① 若函数在上单调递减， 则, 解得， 所以， 解得， 即， 因为，所以且， 所以，      ② 又因为函数在上不单调，且， 所以的取值为①②所表示的不等式的补集， 即或. 故答案为：或. 考点四：三角函数的值域与最值问题 例4．设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则， 由正弦函数的性质可知， 当时，函数取得最小值，即， 当时，函数取得最大值，即， 所以. 故选：B 变式4-1．已知函数的图象在上恰好有2个最高点，1个最低点，且这3个点可以组成一个锐角三角形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，. 函数的图象在上恰好有2个最高点，1个最低点， ，. 由三角函数图象的对称性知该三角形是个等腰三角形，且顶角为以最低点为顶点的角， 由这3个点可以组成一个锐角三角形知，且的周期为， 故，. 综上，. 故选：A. 变式4-2．求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 【答案】(1)最小值，无最大值； (2)； (3). 【详解】（1）设，， 则. 当时，y取最小值，无最大值， （2），. 由知为偶函数. 当时，， 令，， 当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为. 故值域为. （3）令，则， 因为函数的定义域为，即， 所以， 则，. 由得， 所以函数值域为. 变式4-3．设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的图象关于点对称，则且， 所以，，则，即， 当，则，此时， 所以，结合余弦函数的图象知，可得. 故选：B 考点五：三角函数的图象变换问题 例5．已知函数（）的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（   ） A．先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍．纵坐标不变 B．先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C．先将所得点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．先将所得点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】B 【详解】由题意可得，，所以. 所以，故可将的图象上所有的点先向左平移个单位长度得到， 再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象，故A错误，B正确； 或者先将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到， 再向左平移个单位长度，纵坐标不变得到的图象，故C、D错误. 故选：B. 变式5-1．为得到函数的图象，只需把余弦曲线上的所有点的（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【详解】余弦曲线上的所有点的向右平移个单位长度得到函数的图象， 故选：C. 变式5-2．（多选）有下列四种变换方式，能将的图象变为的图象的是（   ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） 【答案】BC 【详解】由函数图象上的横坐标缩短为原来的倍，得到， 再将函数向左平移个单位，，得到， 所以A不正确，B正确. 由函数向左平移个单位，得到， 再将函数图象上点的横坐标缩短为原来的倍，得到，所以C正确，D不正确. 故选：BC. 变式5-3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【详解】因为， 所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 考点六：求图象变换前后的解析式 例6．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得到函数, 由为奇函数，则， 因为，所以的最小值是， 故选：B. 变式6-1．将函数的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的最小正周期， 则将函数的图象向右平移个最小正周期后， 得. 故选：D. 变式6-2．若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】， 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 所以. 故选：C 变式6-3．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】将图象左移个单位，根据“左加右减”，得. 因为图象关于轴对称，所以. 得. 因为，当时，最小为. 故选：C. 考点七：确定三角函数解析式 例7．已知函数的部分图象如图所示，A，B分别是相邻的最高点与最低点，直线AB的方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是最高点，所以，将代入直线方程，可得， 所以， 因为是最低点，所以，将代入直线方程，可得， 所以， 则，则， 所以， 将代入，可得， 即，所以，解得， 又，当时，， 所以. 故选：B 变式7-1．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图象可知，，，则， 且，得， 则，. 故选：A 变式7-2．已知函数的部分图象如图所示．若，，，四点在同一个圆上，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 变式7-3．已知函数的部分图象如图所示，则 ，若，则 ． 【答案】 0 【详解】由图可得函数半周期为，，故，故，故， 故， 又由图可得函数过点，故， 故，而，故， 故，令得， 当时，，故或， 故或即，， 故， 故答案为：. 考点八：实际应用问题 例8．（多选）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为，与水平正方向的夹角为.若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设盛水桶在转动中到水面的距离为，时间为，由图可知筒车转动后盛水筒第一次到达入水点的角度小于，又筒车的角速度为， 所以所需的时间为，故A正确 由题意可得，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系如下：， 令，即，解得， 又，可得, ， ，故D正确； ，，，故C错误； 又，解得，故B错误； 故选：AD. 变式8-1．（多选）“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为（其中（单位）为港口水深，（单位）为时间，）.若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（    ） 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A． B． C．该轮船9点可以进出港口 D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 【答案】BC 【详解】对于A，由表格数据可得，故A错误； 对于B，由表格数据可得，解得，， 所以，因为点在函数图象上， 所以，即，又因为， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由，得， 由得， 即，当时，，， 因为得该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长超过4小时，故D错误. 故选：BC. 变式8-2．如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数的解析式； (2)当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意知，，解得. 又，，即. 又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即， ，即，∴. 又，, ，. （2）由（1）知，. 从高度为到达最高点，再经过最高点下降至的过程中可以看到全貌， ∴令，得，即， 解得，即， 又， 游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌. 【点睛】本题考查模型在实际问题中的应用，考查数学建模，数学运算的核心素养. 变式8-3．如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车轴心距水面的高度为米.设筒车上某个盛水桶到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水桶刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：分钟）之间的关系式为. (1)求与时间（单位：分钟）之间的关系式； (2)某时刻（单位：分钟）时，盛水桶在过点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶到水面的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，，因为，所以； 因为半径为2米，筒车的轴心距水面的高度为1米，可得， 当时，，代入得， 因为，所以，所以； （2）由题意得，，得， 由题意知，所以， 所以 ， 所以， 答：再经过分钟后，盛水桶到水面的距离为米. 考点九：恒成立与有解问题 例9．如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置A点为下齿轮的最右端，B点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系xOy，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中A，B两点的纵坐标分别为，，转动时间为t秒. (1)当时，求点B绕转动的弧度数； (2)分别写出，关于转动时间t的函数表达式，并求当t满足什么条件时，； (3)若函数，当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)2 (2)，， (3) 【详解】（1）当时，点A绕转动1弧度，点A与点B处转过的弧长相等， 则点B绕转动的弧度数为 （2）转动时间为t秒，点A绕转动t弧度，点B绕转动2t弧度， ，， 当，解得， 由，得，， 所以满足条件的t的集合为. （3）在时恒成立， 所以在时恒成立， 当时，， 根据二次函数性质可得，当时，取得最小值， 故， 故a的范围为 变式9-1．已知函数是偶函数，且当，恒成立，则的最大值为 【答案】 【详解】由函数是偶函数，得，而，则， 函数，由，得， 依题意，，则，而，解得， 所以的最大值为. 故答案为：. 变式9-2．已知函数，若存在，使得，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】所以， 要使，则且或且， 因为，所以， 结合正弦函数图象可知，要使的最大值，    则即，解得，即，解得， 所以 故答案为：. 变式9-3．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)的单调增区间是，单调减区间是 (3) 【详解】（1）因为两相邻对称中心距离为，所以最小正周期为，所以， 由得，所以，，解得，， 又因为，所以，所以； （2）令，得. 令，得.， 故的单调增区间是，单调减区间是； （3）因为，所以，所以， 故.令，则在时恒成立， 即在时恒成立， 令，则， 当且仅当即时等号成立， 所以，则，实数的取值范围.是. 一、单选题 1．下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正弦函数、余弦函数的周期都是，故排除AD， 是奇函数且最小正周期为，故C满足题意， 而函数的最小正周期为， 而， 且的定义域是全体实数， 所以是偶函数，即不满足题意. 故选：C. 2．已知函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的图象关于直线对称 所以，故，， 又因为，令得， 故选：A 3．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为. 故选：C. 4．将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到， 由题有，即，取，得到， 故选：A. 5．已知函数的部分图象如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题图可知相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，， 当时，，，故，． 由可得， 由函数的最大值为3可得，因此， 由，得， 所以． 故选：A． 6．设函数，，曲线与恰有一个交点，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】令函数， 可得 ， 即，所以函数的图象关于直线对称， 因为函数与恰有一个交点，所以， 可得，解得. 故选：C. 二、多选题 7．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】AC 【详解】选项A：由题意可知，函数的最小正周期，所以，A正确. 选项B：当时，，所以在上不单调，B错误. 选项C：若，则或，所以的最小值为，C正确. 选项D：若，则，，所以的最小值为，D错误. 故选：AC. 8．如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（      ） A．点第一次到达最高点需要秒 B．当水轮转动秒时，点距离水面米 C．当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为 【答案】ACD 【详解】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为 ， 由题意得：，解得：， 所以，故选项D正确， 对于选项A，令，得到，所以， 令，得到，所以选项A正确， 对于选项B，令，代入， 得到，所以选项B错误， 对于选项C，令，代入， 得到，所以选项C正确， 故选：ACD. 三、填空题 9．函数的定义域为 【答案】 【详解】由题设有即，故， 故函数的定义域为. 故答案为： 10．已知，分别为函数的两个零点，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由题意得的零点，即为的解，， 即得或， 即或， 对于，其中相邻解之间距离为， 对于，其中相邻解之间距离为， 当在中取一解，在中取一解时， 两解之间的距离最小为， 综合以上可知的最小值为， 故答案为： 11．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可得， 作出函数、的图象如下图所示： 点是与图象的连续相邻的三个交点（不妨设在轴下方），为的中点， 由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，所以， 由， 整理得，所以， 则，所以，， 则，所以， 要使为锐角三角形，，所以，， ，解得. 故答案为：. 四、解答题 12．若. (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)若当时，的最小值为2，求的值. 【答案】(1)， (2)3 【详解】（1）， 函数的最小正周期. 令， 解得， 的单调增区间是. （2），. 当，即时，函数取得最小值， . 13．将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象. (1)求的解析式； (2)求图象的对称轴方程； (3)若，求. 【答案】(1)； (2)（）； (3). 【详解】（1）依题意可得. （2）由（1）知：，令，解得：，， 故的对称轴方程为：. （3）由，得，则， 故. 14．已知函数的部分图象如图所示，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上有且仅有四个解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，且最小正周期， 所以，所以， 又由，且点在图象的上升部分，且， 所以，所以. （2）解：在中，令，且，则， 因为，所以， 当时，满足方程组的值有且仅有四个， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 令，可得必有两个相异零点， 由直线与和，的图象分别有两个交点， 作出直线与和的图象，如图所示， 由图象可得，，即在区间上有两个相异零点， 则满足，解得解得， 所以的取值范围是. 15．已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意的，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是， 可得，解得，所以，即， 又由，可得， 因为，所以，所以， 将的向右平移个单位长度，可得函数， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知：，不等式，即为， 可得，解得， 所以不等式的解集为. （3）解：由（1）知：， 当，可得，当时，， 因为对任意的 ，，都有， 即当时，恒成立，即恒成立， 即当时，恒成立， 设，可得恒成立， 令， 当时，即时，即时，， 所以，即，即实数的取值范围为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习02 三角函数的性质与图像 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 周期函数 1.周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  知识点2 正余弦函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 周期性 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 知识点3 正切函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数． 对称性 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 知识点4 图象变换 1.对函数,的图象的影响（左加右减） 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 考点一：三角函数的周期性问题 例1．下列函数周期为的为（   ）． A． B． C． D． 变式1-1．下列函数中，周期为的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知函数，若的周期为，则 . 变式1-3．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分如二分之一､三分之一､四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为.则函数的周期为（    ） A． B． C． D． 考点二：三角函数的奇偶性和对称性问题 例2．函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知函数，“为奇函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-2．已知，函数的最小正周期为，若，且的图象关于直线对称，则（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 变式2-3．若函数的图像关于对称，则的最小值为 . 考点三：三角函数的单调性问题 例3．若函数在上单调递减，在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 变式3-2．（多选）已知表示中的最大者，则下列区间中是函数的单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 变式3-3．若函数在上不单调，则实数的取值范围是 . 考点四：三角函数的值域与最值问题 例4．设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（   ） A．2 B． C． D． 变式4-1．已知函数的图象在上恰好有2个最高点，1个最低点，且这3个点可以组成一个锐角三角形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 变式4-3．设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点五：三角函数的图象变换问题 例5．已知函数（）的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（   ） A．先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍．纵坐标不变 B．先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C．先将所得点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．先将所得点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变 变式5-1．为得到函数的图象，只需把余弦曲线上的所有点的（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 变式5-2．（多选）有下列四种变换方式，能将的图象变为的图象的是（   ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） 变式5-3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 考点六：求图象变换前后的解析式 例6．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 变式6-1．将函数的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 变式6-2．若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C．1 D．2 变式6-3．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（   ） A． B． C． D．1 考点七：确定三角函数解析式 例7．已知函数的部分图象如图所示，A，B分别是相邻的最高点与最低点，直线AB的方程为，则（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 变式7-2．已知函数的部分图象如图所示．若，，，四点在同一个圆上，则（   ） A．1 B． C． D． 变式7-3．已知函数的部分图象如图所示，则 ，若，则 ． 考点八：实际应用问题 例8．（多选）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为，与水平正方向的夹角为.若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（    ） A． B． C． D． 变式8-1．（多选）“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为（其中（单位）为港口水深，（单位）为时间，）.若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（    ） 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A． B． C．该轮船9点可以进出港口 D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 变式8-2．如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数的解析式； (2)当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌. 变式8-3．如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车轴心距水面的高度为米.设筒车上某个盛水桶到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水桶刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：分钟）之间的关系式为. (1)求与时间（单位：分钟）之间的关系式； (2)某时刻（单位：分钟）时，盛水桶在过点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶到水面的距离. 考点九：恒成立与有解问题 例9．如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置A点为下齿轮的最右端，B点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系xOy，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中A，B两点的纵坐标分别为，，转动时间为t秒. (1)当时，求点B绕转动的弧度数； (2)分别写出，关于转动时间t的函数表达式，并求当t满足什么条件时，； (3)若函数，当时，恒成立，求a的取值范围. 变式9-1．已知函数是偶函数，且当，恒成立，则的最大值为 变式9-2．已知函数，若存在，使得，则的最大值为 ． 变式9-3．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 一、单选题 1．下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 4．将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的部分图象如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 6．设函数，，曲线与恰有一个交点，则（   ） A．0 B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 8．如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（      ） A．点第一次到达最高点需要秒 B．当水轮转动秒时，点距离水面米 C．当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为 三、填空题 9．函数的定义域为 10．已知，分别为函数的两个零点，则的最小值为 . 11．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为 . 四、解答题 12．若. (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)若当时，的最小值为2，求的值. 13．将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象. (1)求的解析式； (2)求图象的对称轴方程； (3)若，求. 14．已知函数的部分图象如图所示，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上有且仅有四个解，求的取值范围. 15．已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意的，，都有，求的取值范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$