专题10 空间直线与平面的平行问题4种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题10 空间直线与平面的平行问题4种常考题型总结 题型概览 题型 01 平行关系的判定 题型 02 线面平行的证明 题型 03 面面平行的证明 题型 04 平行关系的探索性问题 ( 题型01 ) 平行关系的判定 1．（2022春•天府新区期末）在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意； 对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意； 对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意； 所以选项满足题意， 故选：． 2．（2024春•仁寿县期末）已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则　　 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【解析】对于，由，，得或，故错误； 对于，由，，得或，又，则或与相交，故错误； 对于，如图， ，，， 设，，在内取一点，作，垂足为，，垂足为， 可得，，又，，故正确； 对于，由，，，，不一定有，只有与相交时才有，故错误． 故选：． （多选）3．（2024春•成都期末）已知，是两条不同的直线，是平面，若，，则，的关系可能为　　 A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 【解析】因为，则与没有交点， 又因为，，可能平行，可能异面，异面中可能垂直． 故选：． 4．（2023春•凉山州期末）设、为两条不重合直线，、是两个不重合平面，则正确命题为　　 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，且，则 D．若，，则 【解析】若，，则与可以平行、异面或者相交，故错误； 因为，，所以，又，所以，故错误； 若，且，则根据线面垂直的判定可知，故正确； 因为，可设，若，，可能有，，此时，故错误． 故选：． ( 题型0 2 ) 线面平行的证明 5．（2024春•凉山州期末）如图1，正六边形边长为2，为边的中点，将四边形沿折成如图2所示的五面体，使为正三角形． （1）求证：面； （2）求异面直线与所成角的余弦值 【解析】（1）证明：在正六边形中，， 折叠后，在五面体中，， 因为面，面， 所以面． （2）解：如图，取中点，连接，，， 则，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又为的中点，， 所以（或其补角）为直线与所成的角， 在中，，，， 由余弦定理得， 同理， 又， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 6．（2024春•宜宾期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【解析】（1）连接交于，连接，则为的中点， 为侧棱的中点，， 平面，平面； 平面； （2）为侧棱的中点， 到平面的距离等于到平面的距离的一半， 到平面的距离， ， 底面，，面， ，， 又，， ， ，，，平面， 平面， 又平面，，， ，， ， 设点到平面的距离为， 由，得，所以， 即点到平面的距离为． 7．（2024春•成都期末）已知是棱长为2的正方体． （1）求三棱锥的体积； （2）若是的中点，是的中点，证明：平面． 【解析】（1）解：法因为是棱长为2的正方体， 因为平面，平面， 所以，正方体中，， ， 所以平面，而平面， 所以， 同理可得， 又因为， 可得平面， 在正方体中可得， 设到平面为，到平面的距离， 因为△为等边三角形，则， 所以， 又因为， 即，即，可得， 所以， 所以． 法三棱锥的体积 ； （2）证明：因为是的中点，是的中点， 在中，可得， 又因为平面，平面， 所以平面． 8．（2024春•三台县校级期末）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是上的中点，是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）求证：． 【解析】证明：（1）连接， 是上的中点，是的中点， 又是的中点，， 平面，平面， 平面； （2）由题意，，， 又，平面，且， 平面，而平面， ． 9．（2023春•绵阳期末）如图，在四棱锥中，，，平面，与交于点，，点为的三等分点（靠近点，点为的中点，连接，． （1）求证：平面； （2）求证：． 【解析】（1）证明：连接， ，，， 点为的三等分点（靠近点， ，，， 又平面，平面，平面． （2）证明：，为中点，； 平面，平面， ，，平面，平面， 平面，； ，，四边形为平行四边形， 又平面，平面，，四边形为矩形， ，又，，平面，平面， 又平面，． 10．（2023春•仁寿县校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面． （1）证明：； （2）证明：平面． 【解析】证明：（1）由条件易得：，，， 则，所以． 又平面平面， 且平面平面， 且平面， 根据平面与平面垂直的性质定理可得平面， 又平面， 所以； （2）在中，，， 所以． 取棱中点为，连接、， 因为为的中点，所以，且， 又，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以． 又平面， 且平面， 根据直线与平面平行的判定定理可得平面． 11．（2023春•泸县校级期末）如图，在直三棱柱中，，，点为边中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 【解析】证明：（1）在直三棱柱中， 令，， 所以，， 连接交于点，连接， 因为，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 故平面； （2）由（1）可知，和是正方形的对角线， 所以， 是直三棱柱，则平面， 又平面，则，又，， 所以平面，又平面， 所以， 又，，平面， 所以平面． 12．（2023春•翠屏区校级期末）在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是中点． （1）求证：平面； （2）若，，求三棱锥的表面积． 【解析】（1）证明：连结，交于点，连接． 显然，为中点， 又为中点，在中， 由中位线定理可得：， 又面，面， 面． （2）底面，、平面， ，， ， 易知， 四边形为矩形，面， ，，， 面， ， 则为直角三角形， 在中，易得， ， ． ( 题型0 3 ) 面面平行的证明 13．（2024春•成都期末）如图，在正方体中，，，，分别为棱，，，的中点，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是　　 A．该截面是六边形 B．平面 C．平面平面 D．该截面过棱的一个三等分点 【解析】对于，取，的中点，，连接，，，， 因为，，，分别为棱，，，的中点， 所以，， 因为，所以， 同理，， 即截面为六边形，所以正确； 对于，在正方体中，平面， 平面， 所以， 而，， 所以平面， 所以， 同理可证得， 又因为， 所以平面，所以正确； 对于，由题意得，， 且，，且，平面， 所以平面平面，所以正确； 对于，由分析可得截面过棱的中点，所以错误． 故选：． 14．（2024春•成华区校级期末）如图，棱长为6的正方体中，是的中点，是的中点，点在上． （1）当是的中点时，证明：平面平面； （2）当是靠近的三等分点时，求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：由正方体可知，，是，中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为是中点，是中点， 所以， 又由于平面，平面， 所以平面， 又，，平面， 故平面平面； （2）由知，异面直线与所成角即为或其补角， 由于平面，，平面， 则与，都垂直， 所以，由题意得， 在△中，由勾股定理可得， 易得， 在△中，由勾股定理可得， 在△中，，由余弦定理得， 在△中，由余弦定理可得， 代入解得， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 15．（2021春•武侯区校级期末）如图，，，，分别是正方体的棱，，，的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 【解析】证明： （1）如图，取的中点，连接，， 易证， 且， ， 且 且， 四边形为平行四边形， 平面，平面， 平面 （2）由正方体的性质易知， 取中点，连接，，由于，且，故四边为平行四边形，于是得，又，故， 平面，平面， 平面 平面，平面， 平面 又， 平面平面 16．（2022春•成都期末）如图，已知正方体的棱长为，点，，，，分别为线段，，，，的中点，连接，，，，，，则下列正确结论的序号是 　　． ①点，，，在同一个平面上； ②平面平面； ③直线，，交于同一点； ④直线与直线所成角的余弦值为． 【解析】对于①，由题意知和相交，且和平行，所以点，，，在同一个平面上，命题①正确； 对于②，连接、和，则，又，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又，同理得平面，且，、平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以平面与平面不平行，命题②错误； 对于③，连接，延长、交于点，因为，且，所以， 又因为，且，所以、、、四点共面，所以与相交， 设与的交点为，则，所以与重合，即直线，，交于同一点，命题③正确； 对于④，取的中点，连接，则，则与所成的角即为直线与直线所成的角， 连接，设正方体的棱长为2，则，，， 由余弦定理得，命题④正确． 综上知，①③④正确． ( 题型0 4 ) 平行关系的探索性问题 17．（2022春•新都区校级期末）已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：连接，则，， ， ， 平面， ， 平面， 平面， ． （2）解：过点作，交于点，则平面，且． 再过点作交于点，则平面且， 平面平面． 平面， 平面． 从而满足的点为所求． 18．（2024春•郫都区校级期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，点，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）在棱上确定一点，使平面，并说明理由． 【解析】（1）证明：因为，，分别为，，的中点， 可得，， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可得， ， 所以平面平面； （2）解：为的中点， 证明如下： 取的中点， 连接，，因为为的中点， 所以，，， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面，同理可证得平面， ， 可证得平面平面， 又因为平面， 所以平面． 1．（2020春•新都区期末）在如图所示的几何体中，是的中点，． （1）已知，，求证：平面； （2）已知，分别是和的中点，求证：平面． 【解析】证明：（1）因为，所以与确定平面． 如图，连接．因为，为的中点， 所以． 同理可得． 又， 所以平面． （2）已知，分别是和的中点，再取的中点， 则， 又，故有， 而平面， 平面． 同理，，而平面， 平面． ， 平面平面， 平面． 2．（2018春•南部县期末）在如图所示的几何体中，是的中点，． （Ⅰ）已知，，求证：； （Ⅱ）已知，分别是和的中点，求证：平面． 【解析】（Ⅰ）证明：如图所示，是的中点，，， 、都是等腰三角形， ，． ，、、、四点共面，这样， 垂直于平面内的两条相交直线、， 平面． 显然，平面，． （Ⅱ）已知，分别是和的中点，再取的中点， 则，又，故有， 而平面，平面． 同理，，而平面，平面． ，平面平面，平面． 3．（2024春•绵阳期末）若，，是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中真命题是　　 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【解析】，，是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面， 对于，若，，，则由线面平行的性质得，故正确； 对于，若，，，则与平行或相交或，故错误； 对于，若，，，则与相交或平行，故错误； 对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误． 故选：． 4．（2024春•德阳期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍” 是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体，如图，五面体是一个刍甍，其中底面是矩形，侧面是直角三角形，．求证： （1）； （2）． 【解析】证明：（1）因为底面是矩形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以； （2）由题意，，，平面，平面， 所以平面， 又，所以平面， 因为平面， 所以． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 空间直线与平面的平行问题4种常考题型总结 题型概览 题型 01 平行关系的判定 题型 02 线面平行的证明 题型 03 面面平行的证明 题型 04 平行关系的探索性问题 ( 题型01 ) 平行关系的判定 1．（2022春•天府新区期末）在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•仁寿县期末）已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则　　 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 （多选）3．（2024春•成都期末）已知，是两条不同的直线，是平面，若，，则，的关系可能为　　 A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 4．（2023春•凉山州期末）设、为两条不重合直线，、是两个不重合平面，则正确命题为　　 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，且，则 D．若，，则 ( 题型0 2 ) 线面平行的证明 5．（2024春•凉山州期末）如图1，正六边形边长为2，为边的中点，将四边形沿折成如图2所示的五面体，使为正三角形． （1）求证：面； （2）求异面直线与所成角的余弦值 6．（2024春•宜宾期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 7．（2024春•成都期末）已知是棱长为2的正方体． （1）求三棱锥的体积； （2）若是的中点，是的中点，证明：平面． 8．（2024春•三台县校级期末）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是上的中点，是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）求证：． 9．（2023春•绵阳期末）如图，在四棱锥中，，，平面，与交于点，，点为的三等分点（靠近点，点为的中点，连接，． （1）求证：平面； （2）求证：． 10．（2023春•仁寿县校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面． （1）证明：； （2）证明：平面． 11．（2023春•泸县校级期末）如图，在直三棱柱中，，，点为边中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 12．（2023春•翠屏区校级期末）在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是中点． （1）求证：平面； （2）若，，求三棱锥的表面积． ( 题型0 3 ) 面面平行的证明 13．（2024春•成都期末）如图，在正方体中，，，，分别为棱，，，的中点，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是　　 A．该截面是六边形 B．平面 C．平面平面 D．该截面过棱的一个三等分点 14．（2024春•成华区校级期末）如图，棱长为6的正方体中，是的中点，是的中点，点在上． （1）当是的中点时，证明：平面平面； （2）当是靠近的三等分点时，求异面直线与所成角的余弦值． 15．（2021春•武侯区校级期末）如图，，，，分别是正方体的棱，，，的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 16．（2022春•成都期末）如图，已知正方体的棱长为，点，，，，分别为线段，，，，的中点，连接，，，，，，则下列正确结论的序号是 　　． ①点，，，在同一个平面上； ②平面平面； ③直线，，交于同一点； ④直线与直线所成角的余弦值为． ( 题型0 4 ) 平行关系的探索性问题 17．（2022春•新都区校级期末）已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 18．（2024春•郫都区校级期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，点，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）在棱上确定一点，使平面，并说明理由． 1．（2020春•新都区期末）在如图所示的几何体中，是的中点，． （1）已知，，求证：平面； （2）已知，分别是和的中点，求证：平面． 2．（2018春•南部县期末）在如图所示的几何体中，是的中点，． （Ⅰ）已知，，求证：； （Ⅱ）已知，分别是和的中点，求证：平面． 3．（2024春•绵阳期末）若，，是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中真命题是　　 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．（2024春•德阳期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍” 是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体，如图，五面体是一个刍甍，其中底面是矩形，侧面是直角三角形，．求证： （1）； （2）． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$