专题07 解三角形全章综合11种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题07 解三角形全章综合11种常考题型总结 题型概览 题型01解三角形 题型02判断三角形的形状 题型03边角互化的应用 题型04判断三角形的个数 题型05三角形周长问题 题型06三角形面积问题 题型07正余弦定理的实际应用 题型08三角形中线问题 题型09三角形角平分线问题 题型10多三角形问题 题型11三角形的最值问题 ( 题型01 ) 解三角形 1．（2024春•凉山州期末）在中，，，，则边　　 A．6 B．10 C．14 D． 2．（2024春•凉山州期末）在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则为　　 A．1 B．2 C．3 D．1或2 3．（2024春•东坡区期末）在中，已知，，，则为　　 A．4 B．5 C．3 D．6 4．（2024春•南充期末）的内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则的值为　　 A． B． C． D．2 ( 题型02 ) 判断三角形的形状 5．（2024春•成都期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，，则该三角形的形状是　　 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．（2022春•甘孜州期末）在中，若，则的形状一定是　　 A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 7．（2024春•仁寿县校级期末）已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则是　　 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ( 题型03 ) 边角互化的应用 8．（2024春•青羊区校级期末）在△中，，，分别为角，，所对的边，且，，则　　 A． B． C． D． 9．（2024春•达州期末）已知内角，，的对边分别为，，，若，，则　　 A． B． C． D． 10．（2024春•射洪市校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则　　 A． B． C． D． 11．（2024春•仁寿县期末）在中，若，则　　． 12．（2024春•锦江区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则　　． ( 题型04 ) 判断三角形的个数 （多选）13．（2023春•自贡期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是　　 A．若，，，则△有一解 B．若，，，则△无解 C．若，，，则△有两解 D．若，，则△有两解 （多选）14．（2023春•宜宾期末）在中，已知，，且有两解，则的取值可以是　　 A．1 B． C． D．2 ( 题型0 5 ) 三角形周长问题 15．（2024春•成都期末）坐落于四川省资阳市安岳县的秦九韶纪念馆是四川省第五批省级爱国主义教育基地之一．南宋著名数学家秦九韶在湖州为母亲守孝三年时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数书九章》，它是中国朴素理学思想运用于生活实际的伟大数学成果．书中提出了三斜求积术，即已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．设，，分别为内角，，的对边，表示的面积，其公式为，若已知，且，则的周长为 　　． 16．（2024春•射洪市校级期末）记△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求△周长． 17．（2024春•青羊区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，且． （1）证明：； （2）若，的面积为，求的周长． 18．（2024春•东坡区期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答． 在中，角、、的对边分别为、、，已知_____． （1）求角； （2）若，的面积，求的周长的取值范围； （3）若，，求． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（2024春•仁寿县校级期末）已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且，外接圆面积为． （1）求； （2）求周长的最大值． ( 题型0 6 ) 三角形面积问题 20．（2022春•青羊区校级期末）在△中，，，边上的中线，则△面积为　　 A． B． C． D． 21．（2024秋•资中县校级期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求； （2）若，，求△的面积． 22．（2024春•峨眉山市校级期末）在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，则　　 A．4 B．3 C．2 D．1 23．（2023秋•青羊区校级期末）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的正三角形的面积依次为，，且，则　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•温江区校级期末）已知某平面内三角形为等腰三角形，，点为中点，且，则△面积的最大值为 　　． 25．（2024春•三台县校级期末）记△的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）若△的面积为，求． 26．（2024春•攀枝花期末）在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题． 的内角，，所对的边分别为，，，已知_____（只需填序号）． （1）求角； （2）设是上一点，且，，求面积的最大值． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． ( 题型0 7 ) 正余弦定理的实际应用 27．（2024春•凉山州期末）一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点测得电线杆顶端的仰角为，此人往电线杆方向走了10米到达点，测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为　　米，忽略人的身高） A．22.66 B．23.66 C．24.66 D．25.66 28．（2024春•绵阳期末）某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案，如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为　　 A． B． C． D． 29．（2022春•宜宾期末）如图，一栋建筑物的高为米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔．在它们之间的地面点、、三点共线）处测得楼顶和塔顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则通信塔的高（单位：米）为　　 A． B．30 C． D．60 30．（2024春•内江期末）内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔．它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工．三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神．内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点与与塔底在同一水平面，并测得米，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高　　 A．米 B．米 C．米 D．60米 31．（2024春•仁寿县期末）如图，为了测量花溪河对岸一座塔楼的高度，测量者小王在岸边点处测得塔顶的仰角为，塔底与的连线与河岸成角，小王沿河岸向西走了40米到达处，测得塔底与的连线与河岸成角，则塔楼的高度为　　 A．20米 B．25米 C．米 D．米 32．（2022春•青羊区校级期末）伯乐树是中国特有国家一级保护树种，被誉为“植物中的龙凤”，常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁．一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度．他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪（高度忽略不计）进行测量．如图，、是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为点．植物学家在、两点测得的仰角分别为，，，且，则树的高度　　 A．25米 B．米 C．30米 D．米 ( 题型0 8 ) 三角形中线问题 33．（2024春•青羊区校级期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，，则边上的中线的取值范围是 　　． 34．（2024春•凉山州期末）已知中，角，，的对边分别为，，，． （1）是边上的中线，，且，求的长度． （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 35．（2024春•成都期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，，求△的面积； （3）若，，求△中边上的中线长． 36．（2024春•凉山州期末）在中，角，，的对边分别为． （1）求； （2）若的面积边上的中线，求的周长． ( 题型0 9 ) 三角形角平分线问题 37．（2024春•宜宾期末）在中，，，的角平分线交于点，，则的面积为　　 A． B． C． D． 38．（2024春•凉山州期末）在中，角，，的对边分别为，，，其中，，，若点在边上，且为的角平分线，则　　． 39．（2024春•郫都区校级期末）在中，内角，，的对边分别是，，，且，内角的角平分线长为，则的面积为 　　． 40．（2023秋•兴文县校级期末）在中，角的平分线交边于，，，，则的面积是　　 A． B． C．1 D．3 41．（2020春•广安期末）已知三内角，，的对边分别为，，，且，若角平分线段于点，且，则的最小值为　　 A．6 B．9 C． D． 42．（2023春•泸县校级期末）如图，在中，，的角平分线交于点． （1）求的值； （2）若，，求的长． ( 题型 10 ) 多三角形问题 43．（2024春•新都区期末）中，角，，所对的边分别为，，，，，交于点，且，则的值为　　 A． B． C．6 D．3 44．（2023秋•四川期末）在梯形中，，，是边长为3的正三角形，则　　 A． B． C． D． 45．（2024春•雅安期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为，则　　． ( 题型 11 ) 三角形的最值问题 46．（2024春•仁寿县期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为　　 A． B． C． D． （多选）47．（2024春•内江期末）已知的三个内角，，的对边分别是，，，且，则下列说法正确的是　　 A．若点在边上，为角平分线且长度为1，则 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，且只有一解，则的取值范围为， 48．（2024春•自贡期末）在中，内角，，所对的边分别为，，． （1）若，求证：； （2）在（1）条件下，若，，均为锐角，求的取值范围． （3）若，为锐角且，求周长的最小值． 49．（2024春•德阳期末）已知的内角、、所对的边分别为、、，且． （1）求内角； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 50．（2024春•绵阳期末）在中，角，，的对边分别是，，，满足． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）求的取值范围． 51．（2024春•雅安期末）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角，，的对边分别为，，，已知_____． （1）求角的大小； （2）若点在上，平分，，，求的长； （3）若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 52．（2024春•眉山期末）在△中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求的大小； （2）设的中点为，且，求的取值范围． 1．（2024春•德阳期末）已知中，角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）若有两解，求边长的取值范围； （2）若，求的面积． 2．（2023秋•翠屏区校级期末）设中角，，的对边分别为，，，． （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 3．（2024春•攀枝花期末）2022年12月26日，位于攀枝花市三线文化广场的三线建设英雄纪念碑正式落成，与攀枝花中国三线建设博物馆交相呼应，充分展示三线建设的丰功伟绩，传承弘扬“三线精神”，凝聚赓续奋斗的力量源泉、某校研究性学习小组想要测量该纪念碑的高度，现选取与碑底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高约为　　（结果保留整数，参考数据：， A．27米 B．33米 C．39米 D．40米 4．（2024春•青羊区校级期末）斯特瓦尔特定理是由18世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为2，则的值是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•泸县校级期末）如图，在中，，，为内点，且，则　　． （多选）6．（2024春•南充期末）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有　　 A．若，，则周长的最大值为18 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，，为的中点，且，则 （多选）7．（2024春•青羊区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知且，则下列结论正确的是　　 A． B．的取值范围为， C．的最大值为4 D．若为的中点，则的取值范围为 8．（2023秋•青羊区校级期末）为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地用于蔬菜种植实践活动．经测量，边界与的长度都是14米，，． （1）若的长为6米，求的长； （2）现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？ 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 解三角形全章综合11种常考题型总结 题型概览 题型01解三角形 题型02判断三角形的形状 题型03边角互化的应用 题型04判断三角形的个数 题型05三角形周长问题 题型06三角形面积问题 题型07正余弦定理的实际应用 题型08三角形中线问题 题型09三角形角平分线问题 题型10多三角形问题 题型11三角形的最值问题 ( 题型01 ) 解三角形 1．（2024春•凉山州期末）在中，，，，则边　　 A．6 B．10 C．14 D． 【解析】因为，，， 由余弦定理可得． 故选：． 2．（2024春•凉山州期末）在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则为　　 A．1 B．2 C．3 D．1或2 【解析】因为，，， 根据余弦定理，，得， 解得或（舍． 故选：． 3．（2024春•东坡区期末）在中，已知，，，则为　　 A．4 B．5 C．3 D．6 【解析】，， 则，，， 故，即，解得（负值舍去）， 故． 故选：． 4．（2024春•南充期末）的内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则的值为　　 A． B． C． D．2 【解析】根据题意，中，，则， 故， 又由，， 则由正弦定理可得，． 故选：． ( 题型02 ) 判断三角形的形状 5．（2024春•成都期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，，则该三角形的形状是　　 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【解析】在中，，由于，， 故，， 又，故，而，， 则，而，，则，（舍， 故，，即为等边三角形． 故选：． 6．（2022春•甘孜州期末）在中，若，则的形状一定是　　 A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【解析】已知： 利用正弦定理： 解得： 所以：或 解得：或 所以：的形状一定是等腰或直角三角形 故选：． 7．（2024春•仁寿县校级期末）已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则是　　 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【解析】由余弦定理及， 得， 化简可得：，即， 由余弦定理及，得， 化简可得：， 由勾股定理的逆定理可得：为直角， 所以是等腰直角三角形． 故选：． ( 题型03 ) 边角互化的应用 8．（2024春•青羊区校级期末）在△中，，，分别为角，，所对的边，且，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 因为，所以， 化简得， 将代入可得，即， 所以． 故选：． 9．（2024春•达州期末）已知内角，，的对边分别为，，，若，，则　　 A． B． C． D． 【解析】由得，结合，且为锐角，解得， 由，根据正弦定理得， 结合，得， 即，可得， 所以，整理得，可得， 因为，所以． 故选：． 10．（2024春•射洪市校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则　　 A． B． C． D． 【解析】在中，角，，所对应的边分别为，，且有， 由正弦定理可得： ， 整理得：， 即：， 又， ， ． 故选：． 11．（2024春•仁寿县期末）在中，若，则　　． 【解析】在中，， 根据正弦定理有：， 又中，， 则， ，， ，，则． 故答案为：． 12．（2024春•锦江区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则　　． 【解析】因为，由正弦定理可得：， 因为，由余弦定理可得， 在三角形中可得， 故答案为：． ( 题型04 ) 判断三角形的个数 （多选）13．（2023春•自贡期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是　　 A．若，，，则△有一解 B．若，，，则△无解 C．若，，，则△有两解 D．若，，则△有两解 【解析】由得，此时三角形显然不存在，错误； 由正弦定理得，则，显然角不存在，正确； 由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 故或，正确； 若，，则△为等边三角形，唯一确定，错误． 故选：． （多选）14．（2023春•宜宾期末）在中，已知，，且有两解，则的取值可以是　　 A．1 B． C． D．2 【解析】有两解， ， 即， ， 的取值可以是． 故选：． ( 题型0 5 ) 三角形周长问题 15．（2024春•成都期末）坐落于四川省资阳市安岳县的秦九韶纪念馆是四川省第五批省级爱国主义教育基地之一．南宋著名数学家秦九韶在湖州为母亲守孝三年时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数书九章》，它是中国朴素理学思想运用于生活实际的伟大数学成果．书中提出了三斜求积术，即已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．设，，分别为内角，，的对边，表示的面积，其公式为，若已知，且，则的周长为 　　． 【解析】， 则， 不妨设，，， ，， 则，解得（负值舍去）， 故的周长为． 故答案为：． 16．（2024春•射洪市校级期末）记△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求△周长． 【解析】（1）因为， 所以，即， 由为三角形内角，得， 即； （2）因为， ，由正弦定理可得：， 可得， 又因为，所以，， 在△中，由正弦定理得， 所以，， 所以△的周长为． 综上，△的周长为． 17．（2024春•青羊区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，且． （1）证明：； （2）若，的面积为，求的周长． 【解析】（1）证明：由， 可得，由余弦定理可得， 又由正弦定理，可得， 即，所以， 可得或，即或（舍去）， 所以． （2）解：因为，， 所以，，所以为等腰三角形． 所以， 令，其中， 则，解得， 因此的周长为． 18．（2024春•东坡区期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答． 在中，角、、的对边分别为、、，已知_____． （1）求角； （2）若，的面积，求的周长的取值范围； （3）若，，求． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）若选①：， 由正弦定理得，又， 所以，又，所以，即， 又，所以； 若选②：因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，又，所以； 若选③：因为， 即，所以由正弦定理得， 所以，又，所以； （2）因为的面积，所以， 由余弦定理得，即， 所以，因为，所以，又， 所以的周长的取值范围为； （3）因为，所以，所以， 又，所以，， ， 又，所以， 记，在中，由正弦定理得：， 所以， 在中，由正弦定理得：，所以， 所以，所以，整理化简得， 所以，即． 19．（2024春•仁寿县校级期末）已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且，外接圆面积为． （1）求； （2）求周长的最大值． 【解析】（1）已知向量， 则， 则， 所以， 则， 所以， 又， 故且， 所以， 又， 则； （2）由（1）知：， 则， 由正弦定理可得：的外接圆半径为， 则， 即， 所以， 则，当且仅当时等号成立， 故三角形周长的最大值为9． ( 题型0 6 ) 三角形面积问题 20．（2022春•青羊区校级期末）在△中，，，边上的中线，则△面积为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意知，点为的中点， 所以， 所以， 因为，，， 所以，解得， 因为，所以， 所以． 故选：． 21．（2024秋•资中县校级期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求； （2）若，，求△的面积． 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， ， 即， 因为，所以， 由于，所以； （2）由题意，，， 由余弦定理， 得， 解得或（舍去），所以， 所以△的面积． 22．（2024春•峨眉山市校级期末）在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，则　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】由题意得， 因为，，所以， 由余弦定理得，解得， 所以． 故选：． 23．（2023秋•青羊区校级期末）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的正三角形的面积依次为，，且，则　　 A． B． C． D． 【解析】由题意得，，， 则， 所以，即， 由余弦定理有：， 又因为， 所以． 故选：． 24．（2023秋•温江区校级期末）已知某平面内三角形为等腰三角形，，点为中点，且，则△面积的最大值为 　　． 【解析】设， 由于，所以， 故， ， 故当时，此时取最大值36，故面积的最大值为6． 故答案为：6． 25．（2024春•三台县校级期末）记△的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）若△的面积为，求． 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理得，结合为三角形的内角，可得． 因为，所以，结合，得； （2）由（1）可知，设△的外接圆半径为，由正弦定理得，， 由，得， 即，解得，所以（舍负），可得． 26．（2024春•攀枝花期末）在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题． 的内角，，所对的边分别为，，，已知_____（只需填序号）． （1）求角； （2）设是上一点，且，，求面积的最大值． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【解析】（1）若选①，则， 因为，所以，即， 因为，所以， 所以，即； 若选②，则， 因为，所以， 因为，所以， 而， 所以，即； 若选③，则， 因为，所以， 所以， 因为， 所以； 综上所述，无论选择①，②还是③，都有； （2）如图： 由题意， 所以，即， 所以，即，等号成立当且仅当， 从而面积，等号成立当且仅当． 综上所述，面积的最大值为． ( 题型0 7 ) 正余弦定理的实际应用 27．（2024春•凉山州期末）一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点测得电线杆顶端的仰角为，此人往电线杆方向走了10米到达点，测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为　　米，忽略人的身高） A．22.66 B．23.66 C．24.66 D．25.66 【解析】根据题意，设，则在中，，可得， 在中，，所以， 因为，所以，解得米，即电线杆的高度约为23.66米． 故选：． 28．（2024春•绵阳期末）某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案，如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为　　 A． B． C． D． 【解析】设，因为，， 则，又，， 所以，， 在中，， 即①， 在中，， 即②， 因为， 所以由①②两式相加可得：， 解得：，则． 故选：． 29．（2022春•宜宾期末）如图，一栋建筑物的高为米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔．在它们之间的地面点、、三点共线）处测得楼顶和塔顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则通信塔的高（单位：米）为　　 A． B．30 C． D．60 【解析】在中，， 因为， 所以， 又， 所以， 在中，由正弦定理得， 解得， 在中，， 故通信塔的高为， 故选：． 30．（2024春•内江期末）内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔．它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工．三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神．内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点与与塔底在同一水平面，并测得米，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高　　 A．米 B．米 C．米 D．60米 【解析】因为，， 所以， 又因为米， 所以在三角形中，由正弦定理得， 解得米， 在直角三角形中，米． 故选：． 31．（2024春•仁寿县期末）如图，为了测量花溪河对岸一座塔楼的高度，测量者小王在岸边点处测得塔顶的仰角为，塔底与的连线与河岸成角，小王沿河岸向西走了40米到达处，测得塔底与的连线与河岸成角，则塔楼的高度为　　 A．20米 B．25米 C．米 D．米 【解析】由题设，在中， 由正弦定理有：， 又， 则米． 故选：． 32．（2022春•青羊区校级期末）伯乐树是中国特有国家一级保护树种，被誉为“植物中的龙凤”，常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁．一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度．他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪（高度忽略不计）进行测量．如图，、是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为点．植物学家在、两点测得的仰角分别为，，，且，则树的高度　　 A．25米 B．米 C．30米 D．米 【解析】依题意，， 设，在、中，，， 所以，， 因为在中由余弦定理可得， 所以， 解得或（舍去）， 所以树的高度为30米． 故选：． ( 题型0 8 ) 三角形中线问题 33．（2024春•青羊区校级期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，，则边上的中线的取值范围是 　　． 【解析】， 即为， 由，可得，即， 由余弦定理可得， 即有． 由，可得 ， 又，可得， 可得． 故答案为：，． 34．（2024春•凉山州期末）已知中，角，，的对边分别为，，，． （1）是边上的中线，，且，求的长度． （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【解析】（1）因为，由正弦定理得：， 在中，， 可得，即， 由， 所以， 解得； 因为为的中点，，且， 则， 两边平方可得， 即， 可得， 由余弦定理可得； （2）为锐角三角形，且， ， 由正弦定理可得， 可得， 因为，可得， 可得， 所以， 所以，． 所以面积的取值范围为，． 35．（2024春•成都期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，，求△的面积； （3）若，，求△中边上的中线长． 【解析】（1）在△中，由正弦定理得：， ，，，， 由，解得． 故：，． （2）在△中，由余弦定理得， 得，解得或（舍， 由（1）知，故△的面积； （3）设为的中点，则，故， ， 解得，即△中边上的中线长为． 36．（2024春•凉山州期末）在中，角，，的对边分别为． （1）求； （2）若的面积边上的中线，求的周长． 【解析】（1）因为，整理可得， 由正弦定理可得， 又因为， 即，且，则，可得， 即，且，所以． （2）因为的面积，即， 又因为为边上的中线，则， 可得， 则，即， 可得，即， 由余弦定理可得：，即， 所以的周长为． ( 题型0 9 ) 三角形角平分线问题 37．（2024春•宜宾期末）在中，，，的角平分线交于点，，则的面积为　　 A． B． C． D． 【解析】设，， 因为， 可得， 所以，可得， 所以． 故选：． 38．（2024春•凉山州期末）在中，角，，的对边分别为，，，其中，，，若点在边上，且为的角平分线，则　　． 【解析】因为，，，且为的角平分线， 可得， 由等面积可得， 即，解得． 故答案为：． 39．（2024春•郫都区校级期末）在中，内角，，的对边分别是，，，且，内角的角平分线长为，则的面积为 　　． 【解析】设的内角的角平分线为，则， 因为，所以，即①， 由，得， 即，整理得，平方得②， ①②两式相减，整理得，所以的面积． 故答案为：． 40．（2023秋•兴文县校级期末）在中，角的平分线交边于，，，，则的面积是　　 A． B． C．1 D．3 【解析】如图：； 因为中，角的平分线交边于，，，， 所以：； ； ； ； ． ． 故选：． 41．（2020春•广安期末）已知三内角，，的对边分别为，，，且，若角平分线段于点，且，则的最小值为　　 A．6 B．9 C． D． 【解析】， 由正弦定理可得， 为三角形内角，， ，可得， ， ， ． ，当且仅当时等号成立． 故选：． 42．（2023春•泸县校级期末）如图，在中，，的角平分线交于点． （1）求的值； （2）若，，求的长． 【解析】（1）因为平分，则， 又，，且， 则； （2）因为平分，则，又，则， 在和中，由余弦定理可得： ，即， 又，，，则， 整理可得，解得， 所以． ( 题型 10 ) 多三角形问题 43．（2024春•新都区期末）中，角，，所对的边分别为，，，，，交于点，且，则的值为　　 A． B． C．6 D．3 【解析】根据题意，可得， ，， 因为，所以，解得，即． 故选：． 44．（2023秋•四川期末）在梯形中，，，是边长为3的正三角形，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为是边长为3的正三角形， 所以，， 又，所以， 由正弦定理得， 则． 故选：． 45．（2024春•雅安期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为，则　　． 【解析】因为， 由诱导公式可得可得， 则，又， 所以， 由，可得， 再由余弦定理可得， 代入，， 可得， 化简可得，即， 解得或（舍． 故答案为：3． ( 题型 11 ) 三角形的最值问题 46．（2024春•仁寿县期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解析】由，整理得， 所以， 又， 则， 故， 可得， 因为为锐角三角形， 所以，即， 所以， 即， 所以的取值范围为． 故选：． （多选）47．（2024春•内江期末）已知的三个内角，，的对边分别是，，，且，则下列说法正确的是　　 A．若点在边上，为角平分线且长度为1，则 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，且只有一解，则的取值范围为， 【解析】因为， 所以，可得， 所以， 又，可得，整理可得， 所以，即， 又，， 所以，， 选项：为角平分线，则， 所以，即， 可得，选项正确； 选项：由为边的中点，则， 即， 所以，即， 由，可得，即，当且仅当时等号成立，选项正确； 选项：由三角形可知 ， 又在中，，，即， 所以，即，选项正确； 选项：，且只有一解， 则或，即或，选项错误． 故选：． 48．（2024春•自贡期末）在中，内角，，所对的边分别为，，． （1）若，求证：； （2）在（1）条件下，若，，均为锐角，求的取值范围． （3）若，为锐角且，求周长的最小值． 【解析】（1）证明：因为，由正弦定理可得， 又因为， 代入可得，即， 因为，，则，故， 可得或，即或（舍去）， 所以． （2）解：因为为锐角三角形，，所以， 由题意可得，解得； 因为， 因为，则，可得， 令，则在上单调递增， 且，可知， 所以的取值范围为． （3）解：因为， 可得， 因为，为锐角，则有： 若，即，则， 且在内单调递增， 可得，，且，， 即，， 可得，不合题意； 若，即，则， 且在内单调递增， 可得，，且，， 即，， 可得，不合题意； 若，即，则，， 即，， 可得，符合题意； 综上所述：，即，可得， 又因为，即， 可得， 当且仅当时，等号成立， 则，所以周长的最小值为． 49．（2024春•德阳期末）已知的内角、、所对的边分别为、、，且． （1）求内角； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）在中，由正弦定理及已知条件得：， 即， 由余弦定理得：， 又，所以． （2）由于为锐角三角形， 所以， 即， 所以， 即的取值范围是． 50．（2024春•绵阳期末）在中，角，，的对边分别是，，，满足． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）求的取值范围． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得：， 整理可得：， 由余弦定理可得， 而， 可得； （2）因为，，， 由余弦定理可得：， 即， 解得或（舍， 可得； （3）由（1）知， 所以 ， 令，因为，所以， ， 所以， 所以当时，取得最小值，且最小值为， 又因为， 所以当时，取得最大值，且最大值为． 所以的取值范围是． 51．（2024春•雅安期末）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角，，的对边分别为，，，已知_____． （1）求角的大小； （2）若点在上，平分，，，求的长； （3）若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【解析】（1）若选条件①， 依题意，得，根据正弦定理得， 因为，所以， 则，即， 所以． 又， 则，可得； 若选条件②， 由正弦定理得， 所以， 可得，整理得，即， 因为， 所以， 所以； 若选条件③， 在中，因为，， 所以， 可得， 化简得， 又， 则， 故， 因为， 所以； （2）在中，根据余弦定理，有，即，解得或（舍去）， 依题意，，可得， 整理可得， 所以； （3）依题意，的面积，所以， 又为锐角三角形，且， 则， 所以， 又，则， 所以， 由正弦定理，得， 所以， 所以，即， 所以的取值范围为． 52．（2024春•眉山期末）在△中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求的大小； （2）设的中点为，且，求的取值范围． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 所以， 即， 则． 因为，所以，即， 所以， 又，所以， 所以，解得． （2）设，则，则， 根据正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 故的取值范围为，． 1．（2024春•德阳期末）已知中，角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）若有两解，求边长的取值范围； （2）若，求的面积． 【解析】（1），， 要使该三角形有两个解， 所以， 即，即， 故边长的取值范围是； （2）因为， 所以， 即， 由正弦定理可得，， 由余弦定理得：， 因为，所以， 故的面积． 2．（2023秋•翠屏区校级期末）设中角，，的对边分别为，，，． （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）由余弦定理得， 解得， （2）因为为锐角三角形， 所以， 解得， 同理， 所以， ， ． 3．（2024春•攀枝花期末）2022年12月26日，位于攀枝花市三线文化广场的三线建设英雄纪念碑正式落成，与攀枝花中国三线建设博物馆交相呼应，充分展示三线建设的丰功伟绩，传承弘扬“三线精神”，凝聚赓续奋斗的力量源泉、某校研究性学习小组想要测量该纪念碑的高度，现选取与碑底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高约为　　（结果保留整数，参考数据：， A．27米 B．33米 C．39米 D．40米 【解析】如图所示， 在中，，，则， 由正弦定理可得，， 在中，，，． 故选：． 4．（2024春•青羊区校级期末）斯特瓦尔特定理是由18世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为2，则的值是　　 A． B． C． D． 【解析】由，可得，， 由，可得， 因为，可得，即有， 可得内角， 由余弦定理可得， 由的面积与的面积之比为2，可得，即， 所以， 解得． 故选：． 5．（2023秋•泸县校级期末）如图，在中，，，为内点，且，则　　． 【解析】在中，，，则， ，则于是，， 则， 在中，， 在中，由正弦定理得，即， 在中，， 由余弦定理得，， 即，整理得， 显然为锐角，所以． 故答案为：． （多选）6．（2024春•南充期末）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有　　 A．若，，则周长的最大值为18 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，，为的中点，且，则 【解析】对于，由余弦定理可得， 即，即， 即，则，解得， 当且仅当时，等号成立，则周长的最大值为18，所以正确； 对于，由余弦定理可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为，故错误； 对于，设，，则，， 在和中，分别运用正弦定理，得和． 因为，所以，即，所以， 由余弦定理可得， 所以， ，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为3，所以正确； 对于，设， 在中利用余弦定理得，① 在中利用余弦定理得 ，② 则①②有，解得，则，则正确． 故选：． （多选）7．（2024春•青羊区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知且，则下列结论正确的是　　 A． B．的取值范围为， C．的最大值为4 D．若为的中点，则的取值范围为 【解析】由，结合正弦定理可得， 即为， 由余弦定理可得， 由，可得，故正确； 由，可得， 又，可得，当且仅当时，取得等号， 即的最大值为4，故正确； 由，即有解，可得△，解得，故错误； 由，两边平方可得， 即为， 则，故错误． 故选：． 8．（2023秋•青羊区校级期末）为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地用于蔬菜种植实践活动．经测量，边界与的长度都是14米，，． （1）若的长为6米，求的长； （2）现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？ 【解析】（1）连接，由题意是等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得， ， 即，解得（含去， 故的长为10米； （2）设，， 在中，， 所需篱笆的长度为 ， 则当时，所需篱笆的最大长度为米． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$