专题12 空间角与空间距离的综合4种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题12 空间角与空间距离的综合4种常考题型总结 题型概览 题型 01 求异面直线所成角 题型 02 求直线与平面所成角 题型 03 求二面角 题型 04 求点到平面的距离 ( 题型01 ) 求异面直线所成角 1．（2024春•新都区期末）在正四棱锥的所有棱长均相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】取中点，连接，， 是的中点，是的中位线， 则， 则异面直线与所成角即为， 设正四棱锥的棱长为1， 则，， 则， 故选：． 2．（2024春•青羊区校级期末）如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】取中点，连接、、，设，则． △中，，同理可得． 所以，结合为中点，可得， 因为，所以△中，， 因为，所以异面直线与所成角等于（锐角）， 因此，异面直线与所成角的余弦值为． 故选：． 3．（2024春•眉山期末）如图，已知长方体，，，则直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】长方体，， 连结，，是直线与所成角（或所成角的补角）， ，， 设直线与所成角为， 则直线与所成角的余弦值为： ． 故选：． 4．（2024春•自贡期末）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 　　． 【解析】如图， 取棱的中点，连接，． 因为，分别是棱，的中点，所以， 则或其补角是异面直线与所成的角． 设，则， 在正方形中，， 在正三角形中，． 在中，由余弦定理可得， 则异面直线与所成角的余弦值是． 故答案为：． 5．（2024春•凉山州期末）如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，， 在中，因为为的中点，为的中点， 所以，且， 由已知，， 得，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）解：取的中点，连接，， 则，且，即四边形为平行四边形，所以， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角， 由，，得， 又，，， 由勾股定理得， 在中，由余弦定理得， 即异面直线与所成的角的余弦值为． ( 题型02 ) 求直线与平面所成角 6．（2024春•成都期末）如图，在正方体中，点，分别为线段和线段的中点，则直线与平面所成角为　　 A． B． C． D． 【解析】取的中点，连接，， 因为点，分别为线段和线段的中点，正方体中，可得平面， 所以为直线与平面所成的角， 平面， 所以， 可知为等腰直角三角形，所以． 故选：． 7．（2024春•眉山期末）如图，三棱锥中，平面，，，，点到的距离，若和平面所成角的正弦值为，则长度为　　 A．1 B． C． D．2 【解析】因为平面，面， 所以， 又，， 所以面， 又因为面， 所以， 因为，， 所以面， 又面， 所以， 又，， 所以面，则， 所以在平面的投影为， 所以为和平面所成角， 所以在中，， 又， 所以， 因为， 所以， 所以在中，， 设， 则在中，， 在中，， 又， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：． 8．（2024春•南充期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值． 【解析】（1）证明：连接，在平行四边形中， 为与的交点， 为的中点，又为的中点，， 又平面，平面， 平面． （2）证明：平面，平面，， 在中，，，又，， 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面． （3）取的中点，连接，， 为的中点， ，且 由平面，得平面， 是直线与平面所成的角， ，，，， 在中，， ，从而， 在中，， 直线与平面所成角的正切值为． 9．（2024春•青羊区校级期末）如图，在长方体中，，，，，平面． （1）证明：四边形为矩形； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：长方体中平面面， 又面面，面面， 所以， 因为平面，同理可得， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 因为面，面，面面， 所以， 因为长方体中， 所以， 又因为， 所以， 所以四边形为矩形． （2）可证得四边形为平行四边形， 所以， 设到平面的距离为， 因为，平面， 所以平面， 所以到平面的距离为， ，， 因为， 所以 所以，解得， ， ， 设与平面所成角为， ． 所以与平面所成角的正弦为． 10．（2024春•峨眉山市校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，分别为，的中点，且． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：因为四边形是矩形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以； （2）解：因为四边形是矩形，所以，， 因为平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 由（1）得平面，平面， 而， 所以三棱锥的体积； （3）解：过点作于点，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 由已知可得， 由得， 所以在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为． 11．（2024春•三台县校级期末）在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可得正四棱台的截面图，如图所示： 由题意可知为等腰梯形，过点做，过点做， 由线面角的定义可知，侧棱与底面所成角即为， 由条件可得，，， 则，， 则，所以△为等腰直角三角形， 所以，即． 故选：． ( 题型03 ) 求二面角 12．（2024春•成华区校级期末）羌族是中国西部地区的一个古老民族，被称为“云朵上的民族”，其建筑颇具特色．碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑，一般多建于村寨住房旁．现有一碉楼，其主体部分可以抽象成正四棱台，如图，已知该棱台的体积为，，，则二面角的正切值为　　 A．3 B． C． D． 【解析】设正四棱台的高为， 则， 得， 得， 取正四棱台上下底面的中心为，，如图所示： 取，的中点，，作交于点， 则为二面角的平面角， 则， 得． 故选：． 13．（2024春•南充期末）已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是 　　；二面角的余弦值是 　　． 【解析】如图，过点作，连接，，， 结合题意可知为的中点，且， 所以即为二面角的平面角， 由题意可知，， 因为，， 所以，， 所以，且，进而得到， 因为， 则异面直线与所成角即为或其补角， 在中，由余弦定理可得， 则异面直线与所成角的余弦值是； 取的中点，连接，，因为，， 所以，， 则即为所求二面角的平面角， 在中，因为，， 所以， 同理， 在中，由余弦定理可得． 故答案为：；． 14．（2024春•凉山州期末）如图，四棱锥的底面是边长为3的菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的正切值． 【解析】（1）证明：设，连接，因为底面为菱形， 所以为的中点，， 又，所以， ，平面，， 所以平面．又平面， 所以平面平面． （2）在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，，平面，所以平面， 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在中，， 因为，所以， 因为，所以，， 在中，， 又平面，平面，所以， 所以， 所以二面角的正切值为1． 15．（2024春•绵阳期末）如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，点为的中点，，，． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面所成的二面角的正切值； （3）当与平面的所成角最大时，求四棱锥的体积． 【解析】（1）证明：，点为的中点， ， 取的中点，连接， 底面是平行四边形，， ，， ，，， 是等边三角形，， 在与中， ， ，， 又，平面，平面， 平面． （2）延长与交于点，连接， 平面，平面， 平面平面， 由，，得，，，， 取中点，连接，则．， 为等腰直角三角形， 连接，则， 是平面与平面所成的二面角的平面角， ，，， 平面，， 在中，，，， 平面与平面所成的二面角的正切值为． （3）设，点到平面的距离为， ，，， 等腰底边上的高为， ， ， ，点到的距离为， ， ， ， 即， ， 记与平面所成角为． ， 当且仅当， 即时，最大，最大， ． 16．（2024春•雅安期末）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）平面与平面是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由； （2）求二面角的大小； （3）若直线平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）平面平面． 理由如下： 证明：因为平面，平面， 所以， 因为，又，，平面， 所以平面，故， 在中，，为的中点，所以， 因为平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）不妨设，计算可得，， 又，，，所以， 则，作于，连结，又，， 可知， 所以， 所以是二面角的平面角， 在中，由， 得，则，， 连结，知，在中，根据余弦定理， 得， 所以； （3）因为直线平面，平面，平面平面， 所以直线直线， 又为线段的中点，所以为线段上的中点， 由（2）知，所以， 设与交点为，连结， 由（1）知，平面平面，平面平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角为， 又由，为上的中点，可得为的中点， 可知，，又， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17．（2024春•自贡期末）如图，在边长为4的菱形中，，，分别是，的中点，将△沿折起，使点到的位置，且． （1）若平面平面，判断与的位置关系并说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角大小的余弦值． 【解析】（1），理由如下： 由，分别是，的中点，得，而平面，平面， 则平面，又平面平面，平面， 所以． （2）令，连接，由是菱形，，得△，△都是正三角形， 则，，，而，，平面， 于是平面，又平面，则平面平面， 在平面内过作于，由平面平面， 因此平面，连接， 则是直线与平面所成的角， 在正△中，，， ， 则， 于是， ， 所以直线与平面所成角的正弦值是． （3）在△中，， 即，显然，则有，同理， 取，的中点，，连接，，，则，有，， 因此是二面角的平面角， 而， 则， 所以二面角大小的余弦值是． 18．（2024春•成都期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，平面平面，为线段的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：是边长为2的正三角形，为中点， ，且平面， 又平面平面，平面平面 平面， 又平面，； （2）由（1）知，， 为二面角的平面角， 底面为正方形，， 在中，，， ； （3）取中点，连接，， 为中点，， 是异面直线与所成的角（或其补角）， 由（1）知，平面，平面，， 底面是正方形，， ，平面， 平面，， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，， ， 异面直线与所成的角的余弦值为． ( 题型04 ) 求点到平面的距离 19．（2024春•成都期末）如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点．从条件①②中选择一个作为已知，①；②． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【解析】（1）证明：选择条件①：， 由平面，且、平面，知，， ，，，平面， 平面， 平面， ， 过点作于，则四边形是正方形，， ，， ，即， ，，， 又，平面． 选择条件②：， 过点作，交于点， ，四边形为平行四边形，，， ， ，，即，，， ， ，即， 由平面，且平面，知， ，， 又，平面． （2）解：由平面，且平面，知， ，， 由（1）知， ，平面， 平面，平面平面， 点到平面的距离等价于的底边上的高， 由勾股定理知，， 在中，由余弦定理知，， ， ， 点到平面的距离为． （3）解：过点作于点，则， 由（2）知平面， 平面， 平面平面， 在平面上的投影落在上， 直线与平面所成角为，则， ， 在中，， ， 或， 故线段的长为或． 20．（2023春•遂宁期末）如图，直四棱柱中，底面为矩形，且． （1）求直线与平面所成的角的大小； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线到平面的距离． 【解析】（1）因为在直四棱柱中，底面为矩形， 所以直四棱柱是长方体， 则平面， 所以即为直线与平面所成的角， 因为， 所以在中，，， 故， 即直线与平面所成的角为； （2）由（1）知直四棱柱是长方体， 则在长方体中，平面， 而，平面， 所以，， 又平面，平面， 由二面角的平面角的定义知为二面角的平面角， 因为， 所以在△中，，， 故， 则， 即二面角的余弦值为； （3）由于，， 故四边形是平行四边形， 故， 而平面，平面， 故平面， 则点到平面的距离即为直线到平面的距离， 而， 故， 设点到平面的距离为， 则，即， 解得，即直线到平面的距离为． 21．（2024春•宜宾期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【解析】（1）连接交于，连接，则为的中点， 为侧棱的中点，， 平面，平面； 平面； （2）为侧棱的中点， 到平面的距离等于到平面的距离的一半， 到平面的距离， ， 底面，，面， ，， 又，， ， ，，，平面， 平面， 又平面，，， ，， ， 设点到平面的距离为， 由，得，所以， 即点到平面的距离为． 1．（2024春•绵阳期末）如图，直三棱柱的侧面积为，底面为等腰直角三角形，，，，分别是和的中点． （1）求证：平面； （2）取的中点，连接与交于点，求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：连接，， 在直三棱柱中，，且，， 四边形是矩形， 是的中点， 过点且平分， 在△ 中，是的中点， 是△的中位线， ， 平面，平面， 平面． （2）点，分别是和的中点， 与的交点为△的重心， 连接并延长交的中点，记为点， 过作，交于点， 为的三等分点（靠近点）， 连接，则（或其补角）为异面直线与所成的角， 设，则直三棱柱的侧面积为，解得， 直三棱柱的底面为直角三角形，， ，， ，平面， ， 又， ， 又，， 在△中，， 异面直线与所成角的余弦值为． 2．（2023春•青羊区校级期末）如图，在三棱锥中，，，，平面，为的中点，则直线与所成角的余弦值为 　　． 【解析】因为平面，平面，平面， 所以，，又， 所以，，两两垂直，将三棱锥置于一个长方体中，如图所示， 易知，所以直线与所成角即为与所成角为（或其补角）， 由题意可知，，， 在中，由余弦定理，得 ， 所以直线与所成角的余弦值为． 故答案为：． 3．（2023春•翠屏区校级期末）如图，在圆台中，，，且，，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，连接，因为，，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形： 所以，， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 因为在圆台中，平面， 所以平面，， 因为，，， 所以， 所以，在△中，， 所以， 所以，异面直线与所成角的余弦值为， 故选：． （多选）4．（2024春•仁寿县期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则有　　 A．直线平面 B．异面直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．平面截正方体所得的截面面积为 【解析】对于，取中点，连接，， 则，因为平面，平面， 所以平面， 因为，分别为，的中点， 所以且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为，，平面， 所以平面平面，而平面， 所以直线平面，故正确； 对于，连接，，，， 因为，，分别为，的中点， 所以， 因为是棱长为2的正方体， 所以， 因此△是等边三角形，因此， 因此直线与所成的角为，故正确； 对于，延长，交的延长线于， 因为为的中点， 所以为的中点， 由正方体的性质可知：平面， 因此是直线与平面所成角的平面角， 因为， 所以直线与平面所成的角不是，故不正确； 对于，因为，， 所以，因此，，，四点共面， 因此截面为等腰梯形， 因为正方体棱长为2， 所以， ， 因此该等腰梯形的高为：， 所以该等腰梯形面积为：，故正确． 故选：． 5．（2024春•攀枝花期末）如图，在正方形中，点、分别是、的中点，将、分别沿、折起，使，两点重合于，连接，． （1）求证：； （2）点是上一点，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：在正方形中，连接，，，则， 因为点、分别是、的中点， 所以，所以， 因为，，， ，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． （2）解：由（1）平面，所以为直线与平面所成角， 所以， 令，，则，， 所以， 设，连接， 由（1）知平面， 因为平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 因为为的中点，，所以为等腰三角形， 所以， 因为， 所以， 所以，，， 在中，由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 空间角与空间距离的综合4种常考题型总结 题型概览 题型 01 求异面直线所成角 题型 02 求直线与平面所成角 题型 03 求二面角 题型 04 求点到平面的距离 ( 题型01 ) 求异面直线所成角 1．（2024春•新都区期末）在正四棱锥的所有棱长均相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•青羊区校级期末）如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 3．（2024春•眉山期末）如图，已知长方体，，，则直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•自贡期末）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 　　． 5．（2024春•凉山州期末）如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． ( 题型02 ) 求直线与平面所成角 6．（2024春•成都期末）如图，在正方体中，点，分别为线段和线段的中点，则直线与平面所成角为　　 A． B． C． D． 7．（2024春•眉山期末）如图，三棱锥中，平面，，，，点到的距离，若和平面所成角的正弦值为，则长度为　　 A．1 B． C． D．2 8．（2024春•南充期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值． 9．（2024春•青羊区校级期末）如图，在长方体中，，，，，平面． （1）证明：四边形为矩形； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 10．（2024春•峨眉山市校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，分别为，的中点，且． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 11．（2024春•三台县校级期末）在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． ( 题型03 ) 求二面角 12．（2024春•成华区校级期末）羌族是中国西部地区的一个古老民族，被称为“云朵上的民族”，其建筑颇具特色．碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑，一般多建于村寨住房旁．现有一碉楼，其主体部分可以抽象成正四棱台，如图，已知该棱台的体积为，，，则二面角的正切值为　　 A．3 B． C． D． 13．（2024春•南充期末）已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是 　　；二面角的余弦值是 　　． 14．（2024春•凉山州期末）如图，四棱锥的底面是边长为3的菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的正切值． 15．（2024春•绵阳期末）如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，点为的中点，，，． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面所成的二面角的正切值； （3）当与平面的所成角最大时，求四棱锥的体积． 16．（2024春•雅安期末）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）平面与平面是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由； （2）求二面角的大小； （3）若直线平面，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（2024春•自贡期末）如图，在边长为4的菱形中，，，分别是，的中点，将△沿折起，使点到的位置，且． （1）若平面平面，判断与的位置关系并说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角大小的余弦值． 18．（2024春•成都期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，平面平面，为线段的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值； （3）求异面直线与所成角的余弦值． ( 题型04 ) 求点到平面的距离 19．（2024春•成都期末）如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点．从条件①②中选择一个作为已知，①；②． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 20．（2023春•遂宁期末）如图，直四棱柱中，底面为矩形，且． （1）求直线与平面所成的角的大小； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线到平面的距离． 21．（2024春•宜宾期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 1．（2024春•绵阳期末）如图，直三棱柱的侧面积为，底面为等腰直角三角形，，，，分别是和的中点． （1）求证：平面； （2）取的中点，连接与交于点，求异面直线与所成角的余弦值． 2．（2023春•青羊区校级期末）如图，在三棱锥中，，，，平面，为的中点，则直线与所成角的余弦值为 　　． 3．（2023春•翠屏区校级期末）如图，在圆台中，，，且，，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． （多选）4．（2024春•仁寿县期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则有　　 A．直线平面 B．异面直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．平面截正方体所得的截面面积为 5．（2024春•攀枝花期末）如图，在正方形中，点、分别是、的中点，将、分别沿、折起，使，两点重合于，连接，． （1）求证：； （2）点是上一点，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$