第21课 反比例函数的图象和性质-2024-2025学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第21课 反比例函数的图象和性质 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解反比例函数的图象的意义，会画反比例函数的图象. 2.掌握反比例丽数的图象的性质. 3.掌握反比例函数的增减性，能运用反比例函数的性质解决简单的实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 反比例函数的图象 反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线。当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限。 知识点02 反比例函数的性质 反比例函数的性质 ①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小． ②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大． ③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称． ( 能力拓展 )考点01 反比例函数的图象 【典例1】正比例函数的图象与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系内的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【即学即练1】一次函数y＝mx+m与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 考点02 反比例函数的性质 【典例2】已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小． 【即学即练2】已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； （2）当x＞0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围． 考点03 反比例函数图象上点的特征 【典例3】已知点（1，y1）（2，y2）（﹣1，y3）在反比例函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 【即学即练3】已知反比例函数y＝（k常数，k≠2）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k＝8，试写出当﹣3≤y≤﹣2时x的取值范围． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图所示，其函数解析式可能是（　　） A．y＝2x2 B． C． D．y＝3x 2．如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（　　） A． B．y＝﹣4x C． D．y＝﹣4x2 3．若反比例函数的图象经过点（3，﹣2），则k的值是（　　） A．3 B．﹣2 C．6 D．﹣6 4．若反比例函数的图象位于第一、三象限内，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＞0 D．k＜0 5．反比例函数（k为常数，x＞0）的图象位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1） 7．反比例函数的图象经过（　　） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 8．反比例函数的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞3 B．k≤3 C．k＜3 D．k≥3 9．已知反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．函数图象分别位于第二、第四象限 B．当y＝3时，x＝﹣1 C．在图象的每一支上，y随x的增大而减小 D．若x＞1，则y＞3 10．已知反比例函数的图象上有两点A（x1，﹣1）、B（x2，2），则一定正确的是（　　） A．x2＜x1＜0 B．x1＜0＜x2 C．x1＜x2＜0 D．x2＜0＜x1 11．反比例函数的图象经过点（﹣1，5），则下列说法错误的是（　　） A．k＝﹣5 B．函数图象分布在第二、四象限 C．点（﹣5，1）在该反比例函数图象上 D．y随x的增大而增大 12．反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则k的取值范围为 　　 ． 13．如果反比例函数的图象在x＜0的范围内，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是 　　 ． 14．在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（5，y1）和（﹣5，y2），则y1+y2的值是　　 ． 15．已知反比例函数y＝． （1）如果这个函数的图象经过点（k，﹣1），求k的值； （2）如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 题组B 能力提升练 16．一次函数y＝kx+b与反比例函数均为常数）在同一平面直角坐标系中的图象不可能是（　　） A． B． C． D． 17．已知点M（m，a），N（m+2，b）在反比例函数的图象上，若﹣2＜m＜0，则a 　　 b（填“＞”、“＜”或“＝”）． 18．已知反比例函数（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为2，则k＝　　 ． 19．若反比例函数y1＝，y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝　　 ． 20．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣3），B（﹣1，n）． （1）若反比例函数的图象经过点A和点B，求k和n的值； （2）若反比例函数的图象与线段OA有交点，直接写出m的取值范围 　　 ． 21．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（3，6）． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）当﹣6＜x＜﹣2时，直接写出y的取值范围． 题组C 培优拔尖练 22．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数（k为常数）图象上的三点，若x1＜x2＜x3，则下列说法正确的是（　　） A．若x1x2＜0，则y2＜y3 B．若x1x2＞0，则y2＜y3 C．若x2x3＜0，则y1＞y2 D．若x2x3＞0，则y1＞y2 23．已知A（m﹣2，y1），B（m，y2），C（m+1，y3）三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当m＜﹣1时，0＜y3＜y2＜y1 B．当﹣1＜m＜0时，y3＜0＜y1＜y2 C．当0＜m＜2时，y3＜y2＜0＜y1 D．当m＞2时，y3＜y2＜y1＜0 24．已知反比例函数，正比例函数y2＝nx（n≠0），请根据表中提供的数据，回答下列问题． x y2＝nx ﹣2 1 b a ﹣2 （1）试求表格中a，b的值，并画出正比例函数的大致图象； （2）当y1﹣y2＝0时，求x的值； （3）当y1﹣y2＞0时，直接写出x的取值范围． 25．函数（k为常数）的图象过点A（4，2），B（1，m）． （1）求k，m的值； （2）小明说：“该函数图象上的任意一点（a，b），若a＜4，则b＞2”，你赞同小明的说法吗？请说明理由． 26．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）． （1）当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣2，求a和k的值； （2）设m≠0且m≠1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m﹣1时，y2＝q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？ ( 24 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21课 反比例函数的图象和性质 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解反比例函数的图象的意义，会画反比例函数的图象. 2.掌握反比例丽数的图象的性质. 3.掌握反比例函数的增减性，能运用反比例函数的性质解决简单的实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 反比例函数的图象 反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线。当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限。 知识点02 反比例函数的性质 反比例函数的性质 ①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小． ②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大． ③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称． ( 能力拓展 )考点01 反比例函数的图象 【典例1】正比例函数的图象与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系内的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】分别判断正比例函数和反比例函数的图象，即可得出答案． 【解析】解：由正比例函数中， ∴正比例函数的图象是过第一、三象限的正比例函数， 选项B、D符合； 由反比例函数中k＝2＞0， ∴反比例函数的图象是过第一、三象限的反比例函数， 选项C、D符合； 综上，选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查正比例函数与反比例函数的图象，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象是解题的关键． 【即学即练1】一次函数y＝mx+m与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案． 【解析】解：A、由函数y＝mx+m的增减性可知m＞0，但从函数图象与y轴的交点来看m＜0，相矛盾，故A错误； B、由函数y＝mx+m的增减性可知m＜0，但从函数图象与y轴的交点来看m＞0，相矛盾，故B错误； C、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，由函数y＝﹣的图象可知m＜0，故C正确； D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，由函数y＝﹣的图象可知m＞0，相矛盾，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 考点02 反比例函数的性质 【典例2】已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小． 【思路点拨】（1）根据反比例函数的图象即可得出k﹣2＜0，即可求出答案； （2）根据反比例函数的性质解答即可． 【解析】解：（1）∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣2＜0， ∴k＜2； （2）∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， ∵﹣4＜﹣1＜0， ∴y1＜y2． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． 【即学即练2】已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； （2）当x＞0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围． 【思路点拨】（1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得到2a+8＜0，求解即可； （2）根据x＞0时，y随x的值增大而减小，得到2a+8＞0，求解即可． 【解析】解：（1）∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴2a+8＜0，解得a＜﹣4， ∴a的取值范围是a＜﹣4； （2）∵当x＞0时，y随x的值增大而减小， ∴2a+8＞0，解得a＞﹣4， ∴a的取值范围是a＞﹣4． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记反比例函数的图象和性质是解题的关键． 考点03 反比例函数图象上点的特征 【典例3】已知点（1，y1）（2，y2）（﹣1，y3）在反比例函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 【思路点拨】根据所给反比例函数解析式，结合反比例函数的性质即可解决问题． 【解析】解：由条件可知反比例函数位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小． 又因为点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣1，y3）在函数图象上，且﹣1＜0＜1＜2， 所以y3＜y2＜y1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【即学即练3】已知反比例函数y＝（k常数，k≠2）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k＝8，试写出当﹣3≤y≤﹣2时x的取值范围． 【思路点拨】（1）把点A的坐标代入关系式即可，（2）由反比例函数的增减性可知，y随x的增大而增大，则k﹣2＜0；（3）当k＝8时，确定函数关系式，求出当y＝﹣3，和y＝﹣2时相应的x的值，根据反比例函数的图象和性质，确定x的取值范围． 【解析】解：（1）把点A（1，2）代入反比例函数y＝得：k﹣2＝1×2， ∴k＝4 因此k的值为：4； （2）反比例函数y＝每一支上，y都随x的增大而增大， ∴k﹣2＜0， ∴k＜2； （3）当k＝8时，反比例函数的关系式为y＝，此时在每个象限内，y随x的增大而减小， 当y＝﹣3时，x＝﹣2， 当y＝﹣2时，x＝﹣3， ∴x的取值范围为：﹣3≤x≤﹣2． 【点睛】考查反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入关系式求k的值，根据k的值确定y随x的增大而如何变化的问题是常考的知识之一． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图所示，其函数解析式可能是（　　） A．y＝2x2 B． C． D．y＝3x 【思路点拨】根据反比例函数的图象进行解答即可． 【解析】解：由条件可知k＞0， ∴可能是． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象，熟练掌握该知识点是关键． 2．如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（　　） A． B．y＝﹣4x C． D．y＝﹣4x2 【思路点拨】根据函数的图象的形状和所处的位置选择即可． 【解析】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象， ∵图象位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是y＝﹣． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，了解反比例函数的图象与系数的关系是解答本题的关键． 3．若反比例函数的图象经过点（3，﹣2），则k的值是（　　） A．3 B．﹣2 C．6 D．﹣6 【思路点拨】把（3，﹣2）代入解析式，就可以得到k的值． 【解析】解：根据题意，得k＝xy＝﹣2×3＝﹣6． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的系数k，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 4．若反比例函数的图象位于第一、三象限内，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＞0 D．k＜0 【思路点拨】根据反比例函数的性质，即可判断k的取值范围． 【解析】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴k+1＞0， 解得k＞﹣1， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质． 5．反比例函数（k为常数，x＞0）的图象位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】先根据一个数的平方为非负数的特点确定比例系数，再利用反比例函数的性质求解． 【解析】解：反比例函数（k为常数，x＞0）中， ∵k2≥0， ∴k2+3＞0， ∴函数的图象位于第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 6．如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1） 【思路点拨】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解析】解：∵点A与B关于原点对称， ∴B点的坐标为（2，﹣1）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数． 7．反比例函数的图象经过（　　） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【思路点拨】根据反比例函数的性质解答即可． 【解析】解：反比例函数中， ∵k＝﹣3＜0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限． 故选：A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 8．反比例函数的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞3 B．k≤3 C．k＜3 D．k≥3 【思路点拨】根据反比例函数的性质解题． 【解析】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大， ∴函数图象必在第四象限， ∴k﹣3＜0， ∴k＜3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，能根据反比例函数的性质得出k﹣3＜0是解此题的关键． 9．已知反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．函数图象分别位于第二、第四象限 B．当y＝3时，x＝﹣1 C．在图象的每一支上，y随x的增大而减小 D．若x＞1，则y＞3 【思路点拨】直接利用反比例函数的性质进而分析判断即可． 【解析】解：A、反比例函数中k＝3＞0，函数图象分别位于第一、三象限，故此选项错误； B、当y＝3，则3＝，求得x＝1，故此选项错误； C、反比例函数中k＝3＞0，故在图象的每一支上，y随x的增大而减小，故此选项正确； D、反比例函数中k＝3＞0，当x＞0时，y随着x的增大而减小，故若x＞1，则0＜y＜3，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键． 10．已知反比例函数的图象上有两点A（x1，﹣1）、B（x2，2），则一定正确的是（　　） A．x2＜x1＜0 B．x1＜0＜x2 C．x1＜x2＜0 D．x2＜0＜x1 【思路点拨】由反比例函数的增减性判断即可． 【解析】解：∵﹣3＜0， ∴反比例函数的图象在第二和第四象限， ∵﹣1＜0， ∴A（x1，﹣1）在第四象限， ∴x1＞0， ∵2＞0， ∴B（x2，2）在第二象限， ∴x2＜0， ∴x2＜0＜x1， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 11．反比例函数的图象经过点（﹣1，5），则下列说法错误的是（　　） A．k＝﹣5 B．函数图象分布在第二、四象限 C．点（﹣5，1）在该反比例函数图象上 D．y随x的增大而增大 【思路点拨】先利用待定系数法求出函数解析式，进而根据函数解析式得到函数经过的象限和增减性，再求出x＝﹣5时的函数值，据此可得答案． 【解析】解：由条件可知k＝﹣1×3＝﹣5，即反比例函数解析式为，故A说法正确，不符合题意； ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，故B说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意； 当x＝﹣5时，，则点（﹣5，1）在该反比例函数图象上，故C说法正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数解析式和反比例函数值，熟练掌握以上知识点是关键． 12．反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则k的取值范围为 　k＜1　 ． 【思路点拨】依据题意，根据反比例函数的性质可得不等式：k﹣1＜0，进而可以得解． 【解析】解：由题意得，k﹣1＜0， ∴k＜1． 故答案为：k＜1． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 13．如果反比例函数的图象在x＜0的范围内，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是 　m＜3　 ． 【思路点拨】直接根据反比例函数的性质即可得出结论． 【解析】解：∵反比例函数的图象在x＜0的范围内，y随x的增大而增大， ∴m﹣3＜0， 解得m＜3． 故答案为：m＜3． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质与反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 14．在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（5，y1）和（﹣5，y2），则y1+y2的值是　0　 ． 【思路点拨】将（5，y1）和（﹣5，y2）代入函数解析式，求得y1和y2的值，再相加即可． 【解析】解：∵函数的图象经过点（5，y1）和（﹣5，y2）， ∴，， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 15．已知反比例函数y＝． （1）如果这个函数的图象经过点（k，﹣1），求k的值； （2）如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 【思路点拨】（1）把点（k，﹣1）代入反比例函数解析式可得k的值； （2）根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，解得即可． 【解析】解：（1）∵反比例函数y＝图象经过点（k，﹣1）， ∴， 解得． （2）∵在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小， ∴2k+1＞0， 解得：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 题组B 能力提升练 16．一次函数y＝kx+b与反比例函数均为常数）在同一平面直角坐标系中的图象不可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得k﹣b的符号，从而判断y＝的图象是否正确，进而比较可得答案． 【解析】解：A、函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0，则k﹣b＞0，所以函数y＝的图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意； B、函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则k﹣b＜0，所以函数y＝的图象经过第二、四象限，故本选项符合题意； C、函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，则k＜0，b＞0，则k﹣b＜0，所以函数y＝的图象经过第二、四象限，故本选项不符合题意； D、函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，则k＞0，b＞0，当k﹣b＜0时，函数y＝的图象经过第二、四象限，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，关键是掌握两个函数图象的性质． 17．已知点M（m，a），N（m+2，b）在反比例函数的图象上，若﹣2＜m＜0，则a 　＜　 b（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【思路点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解析】解：∵反比例函数k＝m2+1＞0， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵﹣2＜m＜0， ∴点M（m，a）在第三象限，a＜0，点N（m+2，b）在第一象限，b＞0， ∴a＜b． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 18．已知反比例函数（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为2，则k＝　±4　 ． 【思路点拨】分k＞0和k＜0进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答． 【解析】解：当k＞0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而减小． ∴﹣＝2， 解得k＝4， 当k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大． ∴﹣＝2， 解得k＝﹣4， 综上所述，k＝±4． 故答案为：±4． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键是对于k的值要分情况讨论． 19．若反比例函数y1＝，y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝　　 ． 【思路点拨】根据反比例函数性质分别求出a、b值，代入计算即可． 【解析】解：∵反比例函数y1＝，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a， ∴y随x增大而减小，当x＝1时，函数最大值a＝2， ∵反比例函数y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y2的最大值是b， ∴y随x增大而增大，当x＝3时，函数最大值b＝﹣1， ∴ab＝2﹣1＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 20．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣3），B（﹣1，n）． （1）若反比例函数的图象经过点A和点B，求k和n的值； （2）若反比例函数的图象与线段OA有交点，直接写出m的取值范围 　﹣6≤m＜0　 ． 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解； （2）根据反比例函数的图象与线段OA有交点，判断出m的取值范围即可． 【解析】解：（1）反比例函数的图象经过点A和点B，点A（2，﹣3），B（﹣1，n）， ∴k＝﹣6，n＝6； （2）∵反比例函数结果点A时，k＝﹣6， 又∵反比例函数的图象与线段OA有交点， ∴m的取值范围：﹣6≤m＜0． 故答案为：﹣6≤m＜0． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（3，6）． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）当﹣6＜x＜﹣2时，直接写出y的取值范围． 【思路点拨】（1）把点A的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值． （2）根据反比例函数图象的增减性解答问题． 【解析】解：（1）∵y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（3，6）， 把点A的坐标（3，6）代入解析式，得6＝， 解得k＝18． ∴这个函数解析式为y＝． （2）∵当x＝﹣6时，y＝﹣3，当x＝﹣2时，y＝﹣9， 又由k＞0知，在x＜0时，y随x的增大而减小， ∴当﹣6＜x＜﹣2时，﹣9＜y＜﹣3． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质、正确记忆用待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． 题组C 培优拔尖练 22．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数（k为常数）图象上的三点，若x1＜x2＜x3，则下列说法正确的是（　　） A．若x1x2＜0，则y2＜y3 B．若x1x2＞0，则y2＜y3 C．若x2x3＜0，则y1＞y2 D．若x2x3＞0，则y1＞y2 【思路点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质逐项分析判断即可． 【解析】解：∵k2+1＞0， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， A、若x1x2＜0，则A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2），C（x3，y3）在第一象限， ∵x1＜x2＜x3， ∴y2＞y3．故选项A错误，不符合题意； B、若x1x2＞0，则点A、B在同一个象限， 假如三点都在第三象限，y2＞y3， 假如AB在第三象限，点C在第一象限，则有y2＜y3． 故选项B错误，不符合题意； C、若x2x3＜0，则A（x1，y1），B（x2，y2）在第三象限，C（x3，y3）在第一象限， ∵x1＜x2＜x3， ∴y1＞y2.选项C正确，符合题意； D、若x2x3＞0，则B、C两点在同一象限， 假如三点都在第三象限，则y1＞y2， 假如BC在第一象限，A在第三象限，则y1＜y2.故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 23．已知A（m﹣2，y1），B（m，y2），C（m+1，y3）三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当m＜﹣1时，0＜y3＜y2＜y1 B．当﹣1＜m＜0时，y3＜0＜y1＜y2 C．当0＜m＜2时，y3＜y2＜0＜y1 D．当m＞2时，y3＜y2＜y1＜0 【思路点拨】根据反比例函数的图象与性质，对所给选项依次判断即可． 【解析】解：由题知， 当m＜﹣1时，A，B，C三点都在第二象限， 因为m﹣2＜m＜m+1， 所以0＜y1＜y2＜y3． 故A选项不符合题意． 当﹣1＜m＜0时，点A，B在第二象限，点C在第四象限， 所以y3＜0＜y1＜y2． 故B选项符合题意． 当0＜m＜2时，点A在第二象限，点B和点C在第四象限， 所以y2＜y3＜0＜y1． 故C选项不符合题意． 当m＞2时，点A，B，C都在第四象限， 所以y1＜y2＜y3＜0． 故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 24．已知反比例函数，正比例函数y2＝nx（n≠0），请根据表中提供的数据，回答下列问题． x y2＝nx ﹣2 1 b a ﹣2 （1）试求表格中a，b的值，并画出正比例函数的大致图象； （2）当y1﹣y2＝0时，求x的值； （3）当y1﹣y2＞0时，直接写出x的取值范围． 【思路点拨】（1）把x＝﹣2时，y1＝1，x＝a时，y1＝﹣2，代入，即可求得m＝﹣2，a＝1，然后把x＝1时，y2＝﹣代入y2＝nx（n≠0）即可求得n的值，进一步即可求得b的值； （2）解分式方程即可求解； （3）根据图象结合（2）的解即可求得． 【解析】解：（1）∵x＝﹣2时，y1＝1，x＝a时，y1＝﹣2， ∴m＝﹣2×1＝﹣2a， ∴m＝﹣2，a＝1， ∵x＝1时，y2＝﹣， ∴﹣＝n， ∴y2＝﹣， ∴b＝﹣＝1， 函数y2＝﹣图象如图： ； （2）当y1﹣y2＝0时，则﹣﹣（﹣）＝0， 解得x＝±2， 经检验，x＝±2是分式方程的解， ∴x的值为﹣2或2； （3）当y1﹣y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正比例函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解分式方程，熟练掌握待定系数法，数形结合是解题的关键． 25．函数（k为常数）的图象过点A（4，2），B（1，m）． （1）求k，m的值； （2）小明说：“该函数图象上的任意一点（a，b），若a＜4，则b＞2”，你赞同小明的说法吗？请说明理由． 【思路点拨】（1）根据反比例函数系数k＝xy求得即可； （2）利用反比例函数的性质即可判断小明的说法不正确． 【解析】解：（1）∵函数（k为常数）的图象过点A（4，2），B（1，m）， ∴k＝1•m＝4×2， ∴k＝8，m＝8； （2）不赞同小明的说法， ∵k＝8， ∴函数（k为常数）的图象在第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵该函数图象上的任意一点（a，b）， ∴若0＜a＜4，则b＞2，若a＜0，则b＜0， ∴小明的说法不正确． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 26．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）． （1）当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣2，求a和k的值； （2）设m≠0且m≠1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m﹣1时，y2＝q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？ 【思路点拨】（1）由反比例函数的性质可得k＝a①；﹣k＝a﹣2②；可求a的值和k的值； （2）设m＝m0，且0＜m0＜1，则m0＞0，m0﹣1＜0，代入解析式，可求p和q，即可判断． 【解析】解：（1）∵k＞0，1≤x≤2， ∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大， ∴当x＝1时，y1最大值为k＝a①；y2最小值为﹣k＝a﹣2②； 由①，②得：a＝1，k＝1； （2）芳芳的说法不正确， 理由如下：设m＝m0，且0＜m0＜1， 则m0＞0，m0﹣1＜0， ∴当x＝m0时，p＝y2＝﹣＜0， 当x＝m0﹣1时，q＝y2＝﹣＞0， ∴q＞0＞p． ∴芳芳的说法不正确． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是本题的关键． ( 24 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$