3.3 垂径定理 课件 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

第 3 章 圆 *3.3 垂径定理 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直 线. 圆是中心对称图形，对称中心为圆心. 说说圆的对称性. 描述圆心角、弧、弦之间相等关系定理. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等. (1)在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢? 斜交，垂直 D AO=BO,CO=DO,AC=BC,AD=BD 垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系? (2) 若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的 弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗? AE=BE,AC=BC,AD=BD 猜想：垂直于弦的直径 平分这条弦，并且平分弦所 对的弧. 你能写出已知求 证，并证明吗? 活 动 ： 在圆纸片上画出图形，并沿CD 折叠，实验后提出 猜想. 直径，并且CDLAB, 垂足为E. 求证：AE=BE,AC=BC,AD=BD. 证明：连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAE和Rt△OBE中， ∵OA=OB , OE=OE, ∴Rt△OAE≌Rt△OBE 求证：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的弧。 已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，CD 是⊙O 的一条 ∴AE=BE, AO0 ∴AC=BC. ∵ ∠AOD=180° ∴4AOD=∠BOD.. 该证明用了圆的 什么性质? 求证：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的弧。 已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条 直径，并且CDLAB, 垂足为M. 求证：AE=BE,AC=BC,AD=BD . 若只证明AE=BE, 还有什么方 法? 猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做_ 定 理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧。 垂径定理的推理格式 CD是直径 CDLAB D 由下列各图，能否得到AE=BE 的结论?为什么? 不可以 可以 两个条件 缺一不可. A ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 C 垂直定理还可表达为： 一条直线若满足 ①过圆心 ②垂直于弦 o B B D 如果将“垂直定理”中的条件②垂直于弦与结论③ 平分弦互换，得到的结论仍然成立吗? 上述猜想的条件和结论是什么?请将文字语言转 换成符号语言，写出已知和求证. 得到的结论仍然成立： 平 分 弦 ( 不 是 直 径 的 直 径垂直于弦，并且平分弦所对应的弧. ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 ①过圆心 ②垂直于弦 AE=BE. 求证：CD⊥AB,AC=BC, AD=BD. 你能写出证明 过程吗? 用SSS证明Rt△OAE≌Rt△OBE 求证：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并 且平分弦所对应的弧. 已知： 如 图 ，AB是⊙O的 一 条弦(不是直径), CD是◎O的一条直径，AB 与CD交于点E, 并 且 ∵OE⊥CD,品CF=CD=×600=300(m). 在Rt△OCF中，根据勾股定理得OC²=CF²+QFe, 即 R²=300²+(R-90)². 解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m. 例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 CD, 点O是CD所在圆的圆心),其中CD=600m,E 为 CD上的一点，且OE⊥CD, 垂足为F,EF=90m. 求这 段弯路的半径. 解：连接OC. 设弯路的半径为R (R-90)m. m, 则OF= 0 如弓形CED. 弓形的高：从圆心向弦作垂 线，垂线被弦和弧所截的线段的 长，称为弓形的高.如EF. 弦心距：圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的 弦心距.如OF. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 大圆的弦AB交小圆于C,D 两点. 求证：AC=BD. 问： (1)证明两条线相等， 最习惯用什么方法? (2)在此用三角形全等怎么 证明? (3)用垂径定理怎么证明? 例2.已知：如图，在以0为圆心的两个同心圆中， 则AE=BE , CE=DE, 所以AE-CE=BE-DE, 即AC=BD. 添半径和过圆心作弦 的垂线段是两条常用 的辅助线. 大圆的弦AB交小圆于C,D 两点. 求证：AC=BD. 解：过点O作OE⊥AB, 连接 OA ,OB,OC,OD. 例2.已知：如图，在以0为圆心的两个同心圆中， 1.已知在◎0中，弦AB=8,O 到AB的距离等于3, 求⊙O的半径. 半径为5 变式训练： ( 1 ) 如 图 ( 1 ) , AB是两个以0为圆心的同心圆中 大圆的直径，AB交小圆于C 、D两点，求证：AC=BD. 证明：∵ AB是两个以0 为圆心的同心圆中大圆的直 径，AB 交小圆于C、D 两点， ∴OA=OB , OC=OD, ∴OA-OC=OB-OD, ∴AC=BD. 图(1) 解：过点O 作OE⊥AB, 连接 OA ,OB,OC,OD. 则AE=BE, CE=DE, 所以AE-CE=BE-DE, 即AC=BD. 变式训练： (2)把图中直径AB向下平移，变成非直径的弦AB, 如图(2),是否仍有AC=BD? 图(2) 解：过点O 作OE⊥AB, 连接OA, OB, 则AE=BE. 又OC=OD, OE=OE, OE⊥AB, 所以Rt△OEC≌ Rt△OED. 所以CE=DE, 所以AE-CE=BE-DE, 即AC=BD. 变式训练： (3)在图(2)中连接OC,OD, 将小圆隐去，设 OC=OD, 求证：AC=BD. 图(2) OP=5 cm,PA=4cm, 求⊙0的半径r及∠OPB的正弦值. 2.已知AB为◎O的弦，P 为AB上的一点，AB=10 cm, 半径r为7 cm 3.在半径为6 cm 的圆中，已知互相垂直的弦，其 中一条被另一条分为3 cm和7 cm 两段，则圆心到两弦 的距离之和等于多少? 2+√ 11 N 4.已知⊙O的半径为15 cm, 弦PQ//MN 且PQ=18cm, MN=24cm, 求以两平行弦为底的梯形的面积. P 梯形面积为63 cm² 0. M 梯形面积为441 cm² N 1.垂径定理是说一条直线如果具备： (1)过圆心； (2)垂直于弦，则它有以下性质： (1)平分弦； (2) 平分弦所对的劣弧； (3)平分弦所对的优弧. 2.如果这条直线具备其中两个性质能否得出第三个 呢?请同学们课后探索. 3.利用垂径定理进行计算时， 一般情况下要作出圆 心到弦的垂线段，构造出一个直角三角形，在三个量中， 知道任意两个，即可求出第三个. 4.垂径定理包含了重要的线段相等、角相等关系和 垂直关系，在解题中要灵活应用. 归纳证明线段相等的方法： (1)三角形全等； (2)中垂线定理； (3)角平分线定理(垂线段); (4)垂径定理； (5)计算 . 教材第76~77页习题3.3. $$