5.1 矩形 课件 2024--2025学年浙教版八年级数学下册

第5章特殊平行四边形 5.1 矩形(1) (1)能摆成多少个不同的平行四边形? 它们有什么共同特点? 说出你的理由. (2)在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平 行四边形?说出你的理由. (3)这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点? 合作学习 用6根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形(如图). ( 1 ) 矩 形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. (2)矩形的表示： 矩形ABCD. (3)实质上：矩形是特殊的平行四边形. D 一个角是直角 A B A B D ● 小学里学过的长方形、正方形都是矩形. 想一想 ： 你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些 东西是矩形? :: 4 + 1 证 4 书 - 人 - 矩形的性质的研究 我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有 平行四边形的性质外，还有它的特殊性质 .你能说出矩形有哪 些性质吗? 一、矩形的两组对边分别平行 二、矩形的两组对边分别相等 三、矩形的两组对角分别相等 四、矩形的邻角互补 五、矩形的两条对角线互相平分 六、矩形是一个中心对称图形 四个角都是直角. 对角线相等. 探索矩形的特殊性质： 如图，四边形ABCD是矩形。 (1)矩形的四个角的度数分别为多少? 2) 对角线AC 与BD 间有什么关系? 性质定理1: 矩形的四个角都是直角. 符号语言：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 矩形特有的性质 由动手操作时猜想“矩形的四个角都是直角”, 请你结合图形，说明一下理由. (不必写出过程) 由动手操作时猜想“矩形的对角线相等”.请你写出证明过程： 已知：如图，AC,BD 是矩形ABCD 的对角线，求证：AC=BD. 证明： 在矩形ABCD中，∵AB=CD(平行四边形的对边相等), ∠ABC=∠DCB=90° (矩形的四个角都是直角), BC=CB, ∴△ABC≌△DCB, ∴AC=BD. 性质定理2: 矩形的对角线相等 符号语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. A B D OA,OB,OC,OD 这四条线段有什么数量关系? OA=OB=OC=OD. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD (矩形的对角线相等). B 又∵ (平行四边形的对角线互相平分), ∴OA=OB=OC=OD. 想一想：如上图，矩形的两条对角线把矩形分成了几个等腰三角形? 图中一共有几个直角三角形?有几对全等三角形?请把他们写出来. 在矩形ABCD中 ，AC,BD 相交于点0. 探究一： 在矩形ABCD中 ，AC,BD 相交于点0. 探究二： ( 1 ) 若∠AOD=120° , 试判断△ABO的形状； △ABO 为等边三角形 ( 2 ) 若∠AOD=120°,AB=4cm, 你能求出哪些线段的长度? 你能求出这个矩形的周长和面积吗? 方法归纳：这个例题说明很多矩形的问题可以转化为 什么图形来解决? 转化 直角三角形和等腰三角形问题 矩形问题 例已知矩形ABCD 的两条对角线AC,BD 相交于点0, ∠AOD=120°,AB=4 cm, 求： (1)判断△AOB 的形状； (2)矩形对角线的长. D 练一练 1.在矩形ABCD中，AE⊥BD于E, 若BE=OE=1, 则AC=4 , AB= 2 , ∠AOB=60° . 2.在矩形ABCD中，E,F 分别 是AB,CD 的中点. 求证：四边形AEFD是矩形. 第1题图 D A 第2题图 B 矩形是轴对称图形吗?对称轴有几条? 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形 探索矩形的对称性： 是中心对称图形吗? 练一练 在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,已知 AB=6, BC=8, (1)求AC=10 ,BD= 10 。 (2)矩形ABCD的周长是 28 面积是 。48 相信你， 一定行 已知：如图，过矩形ABCD 的顶点作CE/BD , 交AB 的延长线于 E。 求证：∠CAE=∠CEA。 D 我能行 如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 对折，使 点A落在点E处，BE交CD于点F 。已知∠ABD=30°. ( 1 ) 求∠CDE 的度数。 (2)求证： EF=FC。 E 请你当设计师 某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现 征集设计方案，要求设计的图案，由圆和正方形组成 (圆和正方形个数不限),并且使整个矩形地成轴对称 图形，请在矩形中画出你的设计方案。 ※ 矩形的性质定理1 矩形的四个角都是直角。 ※ 矩形的性质定理2 矩形的对角线相等. ※ 矩形的对称性 矩形是中心对称图形， 又是轴对称图形. 这节课你学到了什么?还有什么困惑吗? 燃一跳够得着 已知：如图，在矩形ABCD 中，M 为BC 的中点. 求证： (1) AM=DM. (2 )若要使∠AMD是直角，应添加什么条件? 这节课你学到了什么?还有什么困惑吗? 1.一个定义： 2.两个定理： 3.两个结论： (1)矩形的对角线相等且互相平分，并把矩形划分成四个 等腰三角形，有八对全等三角形。 (2)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 如图，在矩形ABCD中 ，E,F 分别是AB,CD 的中 求证：四边形AEFD是矩形。 E B 相信你， 一定行 已知：如图，过矩形ABCD 的顶点作CE/BD , 交AB 的延长 线于点E。 求证：∠CAE=∠CEA。 A B E 第5章特殊平行四边形 5.1 矩形(2) 回顾：矩形有哪些性质? (1)AB//CD 且AB=CD,AD//BC 且 AD=BC 2 ∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90° ③) OA=OB=OC=OD (矩形的对角线相等且互相平分) 木工师傅 你知道吗? (1)测量两组对边，发现两组对边分别相等； (2)将直角尺靠紧窗框的一个角，测得这是直角. 由此说明这个窗框是矩形 你知道这是为什么吗? 矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫 做矩形 合作学习 1.命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么? 逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。 真命题 2.要判定一个四边形是矩形只要说明几 个角是直角?为什么? 请大家自己进行证明 B 矩形的判定定理1: 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： ∵∠A=∠B=∠C=90° , ∴四边形ABCD是矩形 想一想 你觉得矩形还有其他判定方法吗? (1)测量两组对边，发现两组对边分别相等； (2)测量对角线，发现两条对角线相等. 由此说明这个窗框是矩形 你知道这是为什么吗?(用所学的知识去证明) 已知：如图，在□ABCD 中 ，AC=BD 求证： □ABCD是矩形 B 已知：如图，在口ABCD 中 ，AC=BD A 求证：□ABCD是矩形 证明：在口ABCD中，AB=CD 又∵AC=BD,BC=CB ∴△ABC≌△DCB ∴∠ABC=∠DCB 又∵∠ABC+∠DCB=180° ∴∠ABC=∠DCB=90° ∴□ABCD 是矩形 已知：如图，在□ABCD 中 ，AC=BD 求证：□ABCD是矩形 证明：在口ABCD中 ，AO=0C,BO=DO, 又∵AC=BD ∴AO=BO=CO ∴∠OAB=∠OBA,∠OBC=∠OCB ∵∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=180° 证法 ∴∠OBA+∠OBC=90°即∠ABC=90° ∴□ABCD 是矩形 A B 几何语言： ∵AC=BD ∴□ABCD 是矩形 矩形的判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形。 矩形有几种判定方法? 方法总结： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(定义) 有三个角是直角的四边形是矩形(矩形的判定定理1) 对角线相等的平行四边形是矩形(矩形的判定定理2) 有一个角是直角 平行四边形 四边形 对角线相等 矩形 有三个角是直角 练一练 1.判断下列命题是否正确，并说明理由。 (1)对角互补的平行四边形是矩形。 (2)一组邻角相等的平行四边形是矩形。 (3 )对角线相等的四边形是矩形。 (4)内角都相等的四边形是矩形。 2.如图，AC,BD 是矩形ABCD的两条对角线，AE=CG=BF=DH 求证：四边形EFGH是矩形. 证 明： 在矩形ABCD中 ，AC=BD, AO=CO=BO=DO, ∵AE=CG=BF=DH, ∴OE=OG=OF=OH, ∴四边形EFGH 是平行四边形. 又∵ EG=FH, ∴四边形EFGH 是矩形. A 例 已知：如图，在 □ ABCD 中， 对角线AC,BD 相交于点0,∠1=∠2. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：在□ABCD中，OA=OC,OB=0D (平行四边形的对角线互相平分). 又∵∠1=∠2, ∴OA=0B. ∴OA=0B=OC=OD, 即 AC=BD. ∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). 变 式 练 习 已 知：如图，AC 与BD 相交于点O,AB CD 且 ∠1=∠2. 求证：四边形ABCD是矩形. D B [问题]一张四边形纸板ABCD的形状如图， (1)若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的 四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎样剪? 解：分别取AB,BC,CD,DA 的中点E,F,G,H, 可剪得中 点四边形EFGH为平行四边形. (2)四边形ABCD满足什么情况下 中点四边形EFGH为矩形?并说 明理由. .B 两条对角线互相垂直，AC⊥BD 例2 一张四边形的纸板 ABCD 的形状如图(1),它的两条 对角线互相垂直。如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并 且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可以 A · E B C B A 1) 怎么剪? 理由如下： E B ∴∠3=∠2=90°. 同理可得： ∠4=90° , ∠5=90° ∴四边形EFGH是矩形 . (有三个角是直角的四边形是矩形) ∵AC⊥BD ∴∠1=90° ∵GH 是△ACD 的中位线 ∴GH//AC 且等于第三边的一半) ∴∠2=∠1=90° ∵EH是△ABD的中位线 ∴EH//BD (三角形的中位线平行于第三边)A (三角形的中位线平行于第三边 D H 做一做 1.已知：如图，Rt△ABC≌Rt△CDA, 且AD 的对应边是 CB, ∠B=∠D=90°。 求证：四边形ABCD是矩形。 D A 做一做 2.如图，在四边形ABCD中 ，AB=AD,CB=CD,M,N,P,Q 分别是AB,BC,CD,DA 的中点。 求证：四边形MNPQ 是矩形。 做一做 3.在直角坐标系中有点A(a,b),B(a,c), C(-a,-b),D(-a,-c)(a≠0,b≠c) 。 若要使四边形 ABCD是矩形，b,c 应满足什么条件?说明你的理由。 谈谈你的收获、感受! 矩形的判定方法： 判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形 判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 $$