第07讲 平行四边形（思维导图+5知识点+10考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第07讲 平行四边形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 知识点02 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 知识点03 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 知识点04 三角形的中位线定理 （1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） （2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 知识点05 多边形的概念、内角和、外角和 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． ( 凸多边形 凹多边形 ) 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 考点一：利用平行四边形的性质求解 例1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，则 ， ． 【变式1-1】（24-25八年级下·北京昌平·期中）如图，平行四边形中，，平分交边于点，则等于 ． 【变式1-2】（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，在中，垂直平分于点，，，则的对角线的长为 ． 【变式1-3】（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在▱中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，若，则的长为 ． 考点二：平行四边形中的折叠问题 例2.（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图所示，在中进行折叠操作，使得点C恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为 °． 【变式2-1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，点落在线段上的处，点落在处，连结，．若恰有，则 ． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连结，若，，，则的长是 ． 考点三：利用平行四边形的性质求动点问题 例3. （24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 【变式3-2】（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是 ． 【变式3-3】（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，平行四边形中，， 两动点M， N同时从点A出发， 点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点 N的运动时间的关系图象如图2所示， 已知． （1） N点的运动速度是 ； （2）c处的数值等于 ． 考点四：判断能否构成平行四边形 例4．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，四边形的两条对角线、交于点O，下列不能判定是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（2024·河北沧州·一模）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连结，，，．下列条件： ①；②； ③，； ④；⑤； 能得到四边形是平行四边形的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-3】（2025·河北唐山·二模）如图，在正六边形中，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的条件的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点五：平行四边形的性质与判定多结论问题 例5.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的对角线，过点作交于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，的对角线，交于点，平分，交于点E，且，，连接．下列结论：①为等边三角形；②；③；④．正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式5-3】（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 考点六：平行四边形中的作图 例6.（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在平行四边形中，，在取一点E，使得，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点F，交于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)根据 （1）中作图，经过学习小组讨论发现，请你证明学习小组发现的结论． 【变式6-1】（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，已知四边形是平行四边形．    (1)尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不用写作法） (2)在（1）中，若，，求的长． 【变式6-2】（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）如图，在平行四边形中，于E． (1)尺规作图：过点C作于F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 【变式6-3】（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在平行四边形中，E是边上的一点． (1)如图1，①请只用无刻度的直尺在边上确定一点F，使得（保留痕迹，不写作法）； ②依据你的作图，证明：． (2)如图2，若E是边中点，请只用无刻度的直尺作线段，使得，分别交、于点F、点G（保留痕迹，不写作法）． 考点七：平行四边形中的性质和判定综合问题 例7．（2025·贵州·二模）如图，已知四边形是平行四边形，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求点到的距离． 【变式7-1】（2025·江苏南京·二模）如图，在中，点，在对角线上，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，四边形的面积为2，则的面积为 ． 【变式7-2】（2025·贵州黔东南·一模）如图，在中，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【变式7-3】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． (1)若的面积为4，则四边形的面积为 ． (2)求证：四边形是平行四边形． (3)判断线段之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论． 考点八：与三角形中位线有关的求解问题 例8.（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为 ． 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，，平分，过点作的延长线于点，点为的中点，连接，若，，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为 ． 考点九：平行四边形与中位线综合问题 例9. （24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，如图，分别是的和边上的中线，过C作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求线段的长． 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，和的角平分线，交于边上的点． (1)求证：E为的中点； (2)若点F为的中点，连接交于点G．写出与间的数量关系，并说明理由． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论． 【实践探究】 （1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长． 考点十：多边形内角和、外角和问题 例10．（23-24八年级下·上海·期末）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ． 2．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 3．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）如图1螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2．小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点A且交于点P，量得长为，六边形的边长为长为 ． 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·一模）如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·湖南湘潭·期中）如图，在中，对角线，相交于点，点是边的中点．已知，则（    ） A．4 B．5 C．6 D． 4．（2025·安徽淮北·三模）如图，以正九边形一边为边画平行四边形若，则（　　） A． B． C． D． 5．（2025·山东潍坊·二模）如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4.8 D．4.4 二、填空题 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，中，，．则 °．    7．（甘肃白银市2025年九年级中考三模数学试卷）如图1，风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下，六角形风铃的平面示意图如图2所示，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为 ． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为 ． 10．（24-25八年级下·浙江温州·期中）科学实验器具盒的侧面构造如图所示，三条连杆，，连结了两个储物盒（即线段和）和底面（即所在直线），且，．拉杆与的夹角始终等于．其中构成的四边形和在盒子开启和关闭过程中保持为平行四边形．如图（1），盒子关闭时，靠在底座，点B和D所在直线与底面垂直，两个储物盒之间的距离为 ；如图（2），盒子完全打开后，拉杆与底面平行，则线段与图（1）状态时相比，高度上升了 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在平行四边形中，连接对角线，点和点是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求四边形的周长． 12．（2025·江西·模拟预测）如图，在▱中，为的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出经过点的一条线段，使； (2)在图2中，作出一条经过点且与平行的直线． 13．（2025·广东汕头·一模）如题图，在中，于点E． (1)过点C作，垂足为F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（1）的条件下，求证：． 14．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，交于点O，若，，求的长度． 15．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）【课本再现】 已知：如图，是的中位线．求证：，且． 【定理证明】 （1）证明：如图①，延长至点F，使得，连接．请你根据图1中添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） 【知识应用】 （2）如图②，已知矩形中，，，点P在上从B向C移动，R、E、F分别是、、的中点，则__________．    16．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）连接，求证：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 平行四边形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 知识点02 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 知识点03 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 知识点04 三角形的中位线定理 （1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） （2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 知识点05 多边形的概念、内角和、外角和 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． ( 凸多边形 凹多边形 ) 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 考点一：利用平行四边形的性质求解 例1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，则 ， ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】作于点，由平行四边形的性质得，由三角形内角和定理得，由含的直角三角形的性质得，所以，最后由勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：作于点，则， 四边形是平行四边形，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式1-1】（24-25八年级下·北京昌平·期中）如图，平行四边形中，，平分交边于点，则等于 ． 【答案】2 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，证明，得到是解题的关键．先根据平行四边形的性质得到，进一步证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，在中，垂直平分于点，，，则的对角线的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分的性质，勾股定理，解题关键是利用平行四边形的性质证明相关线段相等． 先利用垂直平分的性质证明，平行四边形的性质证明，，，再利用勾股定理求得，然后利用平行四边形对角线的性质求得． 【详解】解：如图，连接交于点． 垂直平分， ． 四边形为平行四边形， ，，， ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理得， ， ． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在▱中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质．根据平行四边形性质证明，利用勾股定理求出，证明，结合全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：⸪四边形为平行四边形， ， ，， ，为的中点， ， ， ， ， ， ， ⸪， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 考点二：平行四边形中的折叠问题 例2.（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图所示，在中进行折叠操作，使得点C恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为 °． 【答案】/108度 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形内角和定理，利用平行线的性质求出，再利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ， ， 由翻折变换的性质可知， ． 故答案为：． 【变式2-1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，点落在线段上的处，点落在处，连结，．若恰有，则 ． 【答案】/126度 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及垂线定义，熟练掌握平行四边形的性质、折叠的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，由折叠得，则，所以，则，于是得，则，，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式2-2】（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得，， 根据题意可得，， 则，再根据平行四边形的性质可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性得，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴的周长的周长平行四边形的周长， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连结，若，，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、折叠问题 【分析】由平行四边形的性质得，，进而求出，由折叠的性质得，，，求出得，求出得，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵将沿着所在的直线折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质以及解直角三角形．熟练掌握平行四边形和折叠的性质，得到是解决本题的关键． 考点三：利用平行四边形的性质求动点问题 例3. （24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为 ． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 【变式3-1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】以为边向下作等边，连接，易证得，于是可得，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小，此时，利用勾股定理解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】解：如图，以为边向下作等边，连接， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知：，， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， 此时， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，巧妙添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【变式3-2】（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是 ． 【答案】或或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分和两种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， （）当时， ①作于，如图所示，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴此时点和点重合， ∴此时； ②当时，如图，； （）当时，如图，， ∴； 综上，的长度是或或， 故答案为：或或． 【点睛】 【变式3-3】（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，平行四边形中，， 两动点M， N同时从点A出发， 点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点 N的运动时间的关系图象如图2所示， 已知． （1） N点的运动速度是 ； （2）c处的数值等于 ． 【答案】 1 10 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含直角三角形的性质，由点M的速度和路程可知，时，点M和点B重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图2可得当时，点N和点D重合，进而可求出的长；即可求解． 【详解】解：∵，点M的速度为， ∴当点M从点A到点B，用时， 当时，过点N作于点E，    ∴， ∴， 在中，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴N点的运动速度是； ∴点N从D到C，用时， 由图2可知，点N从A到D用时3s， ∴， ∴， 故答案为∶1；10． 考点四：判断能否构成平行四边形 例4．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，四边形的两条对角线、交于点O，下列不能判定是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形（如等腰梯形），故选项D符合题意； 故选：D． 【变式4-1】（2024·河北沧州·一模）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式4-2】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连结，，，．下列条件： ①；②； ③，； ④；⑤； 能得到四边形是平行四边形的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、判断能否构成平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】此题主要考查平行四边形的定义及其判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定，则比较简单． 此题利用平行四边形的判定及全等三角形的性质求解． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ①，可得，即可判定四边形是平行四边形； ②添加，结合，可证得，∴，可得，可以证明四边形是平行四边形； ③，可证得，根据， 证明，可得，可以证明四边形是平行四边形； ④，无法判定，则无法判定四边形是平行四边形； ⑤，则，可得，结合，则，继而可得，可以证明四边形是平行四边形； ∴能得到四边形是平行四边形的个数是4个． 故选：C． 【变式4-3】（2025·河北唐山·二模）如图，在正六边形中，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的条件的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正六边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．①连接交于点，证出由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得出结论；②证明由全等三角形的性质得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论；③不能证明与全等，则可得出结论；④证明，得出，根据得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论． 【详解】解：连接交于点， ①正六边形， ， 和是等边三角形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形，故①符合题意； ②，， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故②符合题意； ③，，， 与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故③不符合题意； ④，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故④符合题意， 则符合题意得有3个， 故选：C． 考点五：平行四边形的性质与判定多结论问题 例5.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的对角线，过点作交于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用上述性质逐一判断即可解答，熟练利用相关性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形，故②正确； ， 而不一定等于，故③错误； ，， ， 故平分的周长，故④正确； 如图，过点作，并延长交于点， ， ， 则， ， ，故⑤正确， 故正确的有４个， 故选；C． 【变式5-1】（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，的对角线，交于点，平分，交于点E，且，，连接．下列结论：①为等边三角形；②；③；④．正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、等边三角形的性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，可判断①，由，证明，可判断②，根据直角三角形三边关系，可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形的面积可，可判断④． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 故①正确； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故②正确； ∴， ∴， 故③错误； ∵，， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， 故④正确， ∴正确的是①②④，一共3个， 故选：C． 【变式5-2】（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②③正确；然后由平行四边形的性质得，则④错误；最后求出，故⑤错误；即可得出答案． 【详解】解：，，， 是直角三角形， ，故①正确； ，都是等边三角形 和都是等边三角形 ，， 在与中 ，故②正确； 同理可证： 四边形是平行四边形，故③正确； ，故④错误； 过作于，如图所示：    则 四边形是平行四边形 ，故⑤错误． 综上所述，正确的是①②③，共3个． 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 【变式5-3】（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． ①先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②因为，根据平行四边形的面积公式可作判断： ③先根据三角形中位线定理得：，由题意可求，即可判断；④由勾股定理可求，即可求的长，即可判断． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确： ②， ， 故②正确； ③， ， ， ， ， 故③正确； ④在中，，， ， 在中，， ， ， 故④正确； 故选：D， 考点六：平行四边形中的作图 例6.（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在平行四边形中，，在取一点E，使得，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点F，交于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)根据 （1）中作图，经过学习小组讨论发现，请你证明学习小组发现的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形和平行线的性质是解题的关键． （1）根据作角平分线的基本作图画图； （2）根据平行四边形的性质及平行线的性质证明． 【详解】（1）解：所作图形，如图： ； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 即． ∵在中，． ∴． 【变式6-1】（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，已知四边形是平行四边形．    (1)尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不用写作法） (2)在（1）中，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为2． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等边对等角、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的作法，解决本题的关键是熟记平行四边形的性质． （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，在内交于一点O，作射线BO，交于点E即可； （2）根据角平分线和平行线可得到，然后利用平行四边形对边相等计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求． ； （2）解：在平行四边形中，， ， 由（1）知，， ， ， 在平行四边形中，，， ， ． 【变式6-2】（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）如图，在平行四边形中，于E． (1)尺规作图：过点C作于F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，作垂线，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，以点C为圆心，以适当长度为半径画弧交于于，再以点为半径画弧，交于一点Q，再连接，此时与的交点为点，即可作答． （2）先根据平行四边形的性质得，，再运用证明，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 由（1）得， ， ． 在与中， ． ， ． 【变式6-3】（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在平行四边形中，E是边上的一点． (1)如图1，①请只用无刻度的直尺在边上确定一点F，使得（保留痕迹，不写作法）； ②依据你的作图，证明：． (2)如图2，若E是边中点，请只用无刻度的直尺作线段，使得，分别交、于点F、点G（保留痕迹，不写作法）． 【答案】(1)①见解析；②证明见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的证明、无刻度直尺作图 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，三角形中线，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）①连接并延长交于F，即可得出答案； ②证明， （2）连接，交于点F，连接，交于点H，连接，并延长交于点G，连接即可． 【详解】（1）解：①如图1，连接并延长交于F，则点F即为所求； ②∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，交于点F，连接，交于点H，连接，并延长交于点G，连接，则线段就是所求的线段． ∵为的中点， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∵中，， ∴， ∴F为的中点， ∵O为的中点， ∴、为的中线， ∵三角形三条中线交于一点， ∴为的中线， ∴为的中位线， ∴． 考点七：平行四边形中的性质和判定综合问题 例7．（2025·贵州·二模）如图，已知四边形是平行四边形，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由为边的中点，得到，由平行四边形的性质得到，即可得到结论； （2）由得到，由平行四边形的性质得到，求出，根据勾股定理求出，继而求出点到的距离． 【详解】（1）证明：为边的中点， ． 四边形是平行四边形， ， ． ， ． （2）解：， ． 四边形是平行四边形， ． ． ，， ， 点到的距离． 【变式7-1】（2025·江苏南京·二模）如图，在中，点，在对角线上，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，四边形的面积为2，则的面积为 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）连接交于O，由平行四边形的性质得到，再证明，进而证明，据此可证明结论； （2）求出，则，据此可证明，同理可得，由此可得答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 【变式7-2】（2025·贵州黔东南·一模）如图，在中，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据三角形的中位线定理得，结合，即可求证； （2）证明是等边三角形，，再由勾股定理求解，即可求解． 【详解】（1）证明：点，分别为边，的中点， 是的中位线，， ，. 又， 四边形是平行四边形； （2）解：如解图，连接， ，， . ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴， ∴， ， . 是的中点， ， 即的长为． 【变式7-3】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． (1)若的面积为4，则四边形的面积为 ． (2)求证：四边形是平行四边形． (3)判断线段之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)，证明见解析 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查三角形面积公式，平行四边形面积公式，平行四边形判定及性质，全等三角形判定及性质，中位线判定定理及性质定理等． （1）由三角形面积公式即可得出，后由平行四边形面积公式即可得出本题答案； （2）延长交于点，证明，后得到为的中位线，继而得到本题答案； （3）由平行四边形性质得，后得，再由全等三角形性质可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：过点作， ， ∵点D是边的中点， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形的面积：， 故答案为：8； （2）解：延长交于点， ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：判断：，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D是边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点八：与三角形中位线有关的求解问题 例8.（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解、垂线段最短 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含30度的直角三角形，勾股定理，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接，过点作于点，由三角形中位线定理可得，即当时，即点在位置时，有最小值，此时最小，根据平行四边形的性质和直角三角形的性质，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 点E为的中点，点F为的中点， 是的中位线， ， 当时，即点在位置时，有最小值，此时最小， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为： 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，，平分，过点作的延长线于点，点为的中点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质．如图，延长交于点G，根据角平分线和垂线证得，进而得到，，再利用中位线的性质得到，即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴，， ∴E是的中点， ∵F是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为 ． 【答案】// 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形的中位线以及全等三角形的判定和性质，利用中线+平行构造全等三角形转化线段和角是解题关键． 根据利用中线+平行构造，得，，由勾股定理求出，再利用是中位线三角形的中位线可得． 【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵，，即是中位线， ∴， 故答案为：． 考点九：平行四边形与中位线综合问题 例9. （24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据三角形的中位线的性质即可得证； 【详解】（1）∵是的中点， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 （2）∵及分别是的中点， ∴是的中位线 ∴ 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，如图，分别是的和边上的中线，过C作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是平行四边形、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质求出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证明结论； （2）根据三角形中位线的判定与性质求出、，结合平行线的性质、等腰三角形的性质求出，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图：连接， ∵四边形是平行四边形； ∴， ∵，是的边上的中线， ∴是的中位线， ∴、，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练运用平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，和的角平分线，交于边上的点． (1)求证：E为的中点； (2)若点F为的中点，连接交于点G．写出与间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，理由见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边证明边相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，，而，，所以，，则，，所以，则为的中点； （2）取的中点，连接，由三角形的中位线定理得，，即可证明，，推导出，则，得，由，，得，则． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 点在边上，且平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 取的中点，连接， 点为的中点， ，， ∵，，且， ，， ， 在和， ， ， ， ， ∵， ， ，且， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论． 【实践探究】 （1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2） 【知识点】含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）四边形是平行四边形得到，由翻折可证明是的中位线，则，即可证明； （2）过点E作于点H，则，，，由得到，则由勾股定理得，可得为等腰直角三角形，则，继而． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点为中点， ∴， 由翻折得：， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）过点E作于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由翻折得：， ∵， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，角直角三角形的性质，折叠的性质等知识点，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 考点十：多边形内角和、外角和问题 例10．（23-24八年级下·上海·期末）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】6 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数是6， 故答案为：6． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式． 根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：八边形的内角和为：， 故选：． 2．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 【答案】300 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角，解题关键是理解小明每前进15米后向左转18°，当他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形． 根据题意判断小明每前进15米后向左转，当他回到出发地A地时，走过的路程形成正多边形，然后根据正多边形的外角和是，求出多边形的边数，从而求出答案即可． 【详解】解：由题意得：小明从A地出发，他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形，外角和为，每个外角的度数是， ∴多边形的边数为：， ∴一共走的路程为：（米）， 故答案为：300． 3．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）如图1螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2．小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点A且交于点P，量得长为，六边形的边长为长为 ． 【答案】7 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、正多边形的内角问题 【分析】本题考查正多边形内角，勾股定理，等腰三角形，连接，过点作的垂线段，交于点，证明，即可利用勾股定理解答，做出正确的辅助线是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作的垂线段，交于点， 六边形是正六边形， ，， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行结合平行线的性质可证，再由已知条件即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（2025·山西·一模）如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来判断，再利用平行四边形的性质来求解． 【详解】解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形； A．不一定相等，选项错误，不符合题意； B．不一定相等，选项错误，不符合题意； C．不一定相等，选项错误，不符合题意； D．由平行四边形的性质知，选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级下·湖南湘潭·期中）如图，在中，对角线，相交于点，点是边的中点．已知，则（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，从而得到是是的中位线，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是边的中点， ∴是是的中位线， ∵， ∴． 故选：B 4．（2025·安徽淮北·三模）如图，以正九边形一边为边画平行四边形若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正多边形内角问题，由正多边形内角和定理可求出，由五边形内角和定理可得，进而可得，由平行线的性质得到，则可得到． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故选：B． 5．（2025·山东潍坊·二模）如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4.8 D．4.4 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，连接， 根据图2知：当点与点重合时，， 当与重合时，， ， ， 当点到达点时，， ， ． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，中，，．则 °．    【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据题意得到 ，求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（甘肃白银市2025年九年级中考三模数学试卷）如图1，风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下，六角形风铃的平面示意图如图2所示，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为 ． 【答案】/60度 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得的度数，再利用正六边形的对称性即可求得答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 由对称性可知， 故答案为：． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ． 【答案】/105度 【知识点】利用平行四边形的性质求解、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】由旋转的性质可知，，，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形中位线的判定与性质等知识点，由平行四边形可得,则，根据平分可得，从而可得，可得，进一步可得的长，再根据三角形中位线定理可得即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，，O是的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为1． 10．（24-25八年级下·浙江温州·期中）科学实验器具盒的侧面构造如图所示，三条连杆，，连结了两个储物盒（即线段和）和底面（即所在直线），且，．拉杆与的夹角始终等于．其中构成的四边形和在盒子开启和关闭过程中保持为平行四边形．如图（1），盒子关闭时，靠在底座，点B和D所在直线与底面垂直，两个储物盒之间的距离为 ；如图（2），盒子完全打开后，拉杆与底面平行，则线段与图（1）状态时相比，高度上升了 ． 【答案】 / 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含角的直角三角形等知识，连接并延长，交于点，通过勾股定理求出的长，再得到，即可得出两个储物盒之间的距离，过点作于点，过点作于点，则，通过含角的直角三角形得到，根据勾股定理求出，同理得到，即可求出上升的高度，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接并延长，交于点，如图： 由题意可得：，，， 在中，， ∵四边形和为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴点为中点， ∵， ∴ ∴点为中点， ∴， ∴两个储物盒之间的距离为， 如图（2），过点作于点，过点作于点，则， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 同理可得：， ∴线段与图（1）状态时相比，上升的高度为： ， 故答案为：，． 三、解答题 11．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在平行四边形中，连接对角线，点和点是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等． （1）由得，证明，推出， ，即可证明四边形是平行四边形； （2）先由勾股定理求出，再由求出，那么由求解，然后运用勾股定理求解，即可求解平行四边形的周长． 【详解】（1）证明：点E和点F是直线上的两点且， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ∴，， ，， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形周长为：． 12．（2025·江西·模拟预测）如图，在▱中，为的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出经过点的一条线段，使； (2)在图2中，作出一条经过点且与平行的直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形性质和判定证明、无刻度直尺作图 【分析】本题是无刻度直尺作图题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）连接与交于点，由平行四边形的性质可知，点为的中点，则是的中位线，即； （2）连接与交于点，由平行四边形的性质可知，点为的中点，连接并延长交于点，则点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，则四边形是平行四边形，射线交于点，直线即为与平行． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作； （2）解：如图，直线即为所求作． 13．（2025·广东汕头·一模）如题图，在中，于点E． (1)过点C作，垂足为F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)证明如下 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，限定工具作图，平行四边形的性质， （1）①以点C为圆心，长为半径作弧，交于点G；②分别以点D、G为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点H；③作射线交于点F，即可求出； （2）根据平行四边形的性质得到，，证出，根据三角形全等的性质即可求出． 【详解】（1）①以点C为圆心，长为半径作弧，交于点G； ②分别以点D、G为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点H； ③作射线交于点F， 即如图所示，线段即为所求，使得； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ∴ ∴． 14．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，交于点O，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再证是的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接、、，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，，． ，， 是的中位线， ，． 为的中点，， ，． ，． ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接、、， ，， ，． ∵， ． ∴四边形是平行四边形， ，． ， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）【课本再现】 已知：如图，是的中位线．求证：，且． 【定理证明】 （1）证明：如图①，延长至点F，使得，连接．请你根据图1中添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） 【知识应用】 （2）如图②，已知矩形中，，，点P在上从B向C移动，R、E、F分别是、、的中点，则__________．    【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，即可得解； （2）由矩形的性质可得，，由勾股定理可得，再由三角形中位线定理即可得解． 【详解】（1）证明：如图①，延长至点F，使得，连接． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，； （2）如图，连接，   ， ∵四边形为矩形，为的中点， ∴，， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 16．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、折叠问题、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）由平行四边形性质证明，那么，再根据对边平行即可求证； （2）（i）延长，交于点T，由平行得到，再根据折叠的性质以及平行四边形的性质证明，即可证明； （ii）过点作，交于点， 证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， 又∵， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：（i）由（1）得， 延长，交于点T， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠知：， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （ii）过点作，交于点，如图所示： ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是把握折叠的不变性． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$