第06讲 分式方程（思维导图+4知识点+8考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第06讲 分式方程 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一．分式方程的定义及分式方程的解 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 2.分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 知识点二．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点三．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点四．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 考点一：分式方程的定义 例1．（24-25八年级下·上海崇明·期中）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二：解分式方程 例2.（2025七年级下·全国·专题练习）解方程： (1) (2) 【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【变式2-2】（2025八年级下·全国·专题练习）解下列分式方程： (1) (2) 【变式2-3】（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 考点三：解分式方程错解复原问题 例3. （2025·浙江宁波·二模）小明解分式方程如下图所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是__________（填序号），并给出正确的解题过程． 解方程： 解：去分母得， ------① 移项得，   ----------------② 所以，      --------------------③ 经检验：不是原方程的根，原方程无解．----④ 【变式3-1】（2025·宁夏银川·一模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项、合并同类项，得……第三步 解得……第四步 经检验：是原分式方程的解……第五步 (1)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)请你帮这个同学正确解答这个分式方程． 【变式3-2】（24-25八年级上·江西赣州·期末）下面是某位同学解分式方程的过程： 解：方程两边同乘以，得 ．① ．② 解得：．③ 检验：当时，，④ 所以，原分式方程的解为． (1)填空：第______步开始出现了错误（只填序号）； (2)请从出现错误的那一步开始补全正确的解题过程． 【变式3-3】（2025·宁夏固原·二模）解分式方程：． 下面是解题过程，请认真阅读并完成任务． 解： ………………………第一步 …………………………第二步 ……………………第三步 解得：……………………第四步 任务一：填空 （1）第______步是去分母，去分母的依据是______． （2）第______步出现错误，错误的原因是______． 任务二：填空 （3）直接写出该分式方程的正确结果______． （4）解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整． 考点四：分式方程无解与增根 例4．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）若方程有增根，则的值是 ． 【变式4-1】（24-25八年级上·山东聊城·期末）关于的分式方程有增根，则 ． 【变式4-2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 【变式4-3】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 考点五：已知方程的根的情况求参数的取值范围 例5.（24-25八年级上·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是__________． 【变式5-1】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）若关于x的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·山东济南·期末）若关于的分式方程有正数解，求的取值范围 ． 【变式5-3】（24-25八年级上·全国·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 考点六：与分式方程有关的规律性问题 例6. （24-25八年级上·福建福州·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想方程的解是 ； (2)利用材料提供的方法解关于x的方程：； (3)已知，利用材料提供的方法解关于x的方程：.（结果保留a） 【变式6-1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）观察下列等式： 第1个等式；； 第2个等式：； 第3个等式；； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请计算的值； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由； (3)若，求n的值． 【变式6-2】（23-24八年级上·江西赣州·期末）观察下面的变化规律，解答下列问题： ． (1)若为正整数，猜想_______，并且验证你的猜想； (2)解分式方程：； (3)再探索上述规律并计算：． 【变式6-3】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 考点七：分式方程的实际应用 例7．（2025·山东临沂·二模）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了3000元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元． (1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ (2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 【变式7-1】（2025·湖南常德·二模）某校为举办风筝艺术节计划购买一批风筝．已知哪吒2系列风筝的单价比普通动物风筝的单价多35元，用1300元购买哪吒2系列风筝的数量与用600元购买普通动物风筝的数量相同． (1)求哪吒2系列风筝和普通动物风筝的单价； (2)若购买150个风筝，哪吒2系列风筝的数量不少于普通动物风筝数量的，问：购买哪吒2系列风筝的数量为多少时，学校花费最少． 【变式7-2】（2025·江苏宿迁·二模）为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费480万元购进高性能服务器的台数比花费560万元购进普通服务器的台数少6台． (1)高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？ (2)若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过5400万元．高性能服务器每台售价80万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打7折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【变式7-3】（2025年贵州省中考二模数学试题）贵州省麻江县盛产蓝莓，蓝莓可以制作成蓝莓原浆，蓝莓原浆中含有丰富的膳食纤维，能缓解眼疲劳、增强免疫力等．某超市老板准备购进、两种包装的蓝莓原浆产品，下表是这两种产品的进价和售价： 蓝莓原浆 进价/（元/盒） 售价/（元/盒） 60 100 若用2000元购进产品的数量与用3400元购进产品的数量相同． (1)产品每盒的进价是多少元？ (2)在（1）的条件下，超市老板购进、两种产品共300盒，且产品的数量不少于产品数量的一半．若购进的这批货全部售完．当产品的数量为多少时，该超市获得的总利润最大？并求出最大利润． 考点八：与分式方程有关的新定义型问题 例8.（24-25八年级上·吉林·期末）定义新运算：对于任意实数a，b（其中），都有，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【变式8-1】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 【变式8-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【变式8-3】（24-25八年级下·重庆石柱·开学考试）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”， ①（______）；②（______）．若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·二模）赛龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛程为500米，A，B两队在同一起点同时出发，已知A队的平均速度是B队的倍，结果A队比B队提前了25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川自贡·二模）若分式方程无解，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．1或2 4．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的分式方程的解为非负数，则所有正整数m的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无解 二、填空题 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 7．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如果分式方程有增根，那么的值是 ． 8．（2025·江苏宿迁·三模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 9．（2025·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是 ． 10．（重庆市铜梁区2024-2025学年九年级下学期学业质量监测数学试题）若关于x的不等式组解集为，且关于y的方程的解为正整数，则符合题意的所有整数a的和为 ． 三、解答题 11．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2) 12．（24-25八年级下·吉林四平·阶段练习）小明解分式方程时，出现了错误，他的解答过程如下： 解：去分母，得第一步 解得第二步 所以，原分式方程的解为第三步 (1)小明的解答过程从第___________步开始出错； (2)请你写出此题正确的解答过程． 13．（2025·西藏拉萨·一模）为了预防新冠肺炎疫情，学校免费为师生提供防疫物品．某校购进相同数量的洗手液与84消毒液，其中购洗手液花费3750元，购84消毒液花费2250元，已知洗手液的单价格比84消毒液的单价高10元．求： (1)洗手液和84消毒液的单价各多少元？ (2)若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2565元，最多能购买洗手液多少瓶？ 14．（24-25九年级上·山东威海·期中）（1）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：解方程．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． （2）对于实数，．定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，解方程． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）观察下列算式：；；由此推断 ． （2）用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的规律：______． （3）用发现的规律解方程：． 16．（2025·河南焦作·二模）月饼象征团圆，是中华传统节日中秋节的必备美食．郑州市某品牌五仁月饼的进价比豆沙月饼的进价每盒多元，某超市用元购进的五仁月饼盒数与元购进的豆沙月饼盒数相同． (1)求五仁月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)该超市五仁月饼每盒售价为元，豆沙月饼每盒售价为元，根据市场需求，该超市计划用不超过元的总费用购进五仁月饼和豆沙月饼共盒进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 分式方程 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一．分式方程的定义及分式方程的解 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 2.分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 知识点二．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点三．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点四．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 考点一：分式方程的定义 例1．（24-25八年级下·上海崇明·期中）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是分式方程； B、它不是分式方程； C、它是分式方程； D、它不是分式方程． 故选：C 【变式1-1】（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意； B、是整式方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项符合题意； D、不是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C 【变式1-2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 故选：C． 考点二：解分式方程 例2.（2025七年级下·全国·专题练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． （1）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解 【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)分式方程无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟知分式方程需检验是解题的关键． （1）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （2）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， ∴， 解得：， 经检验，是增根， ∴原分式方程无解． 【变式2-2】（2025八年级下·全国·专题练习）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程： （1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； 【详解】（1）解：去分母，得： 解得：； 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：去分母，得： 解得：； 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【变式2-3】（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． （1）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】（1）解：， ∴， 去分母得：， ∴， 解得：， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， 去分母得：， ∴ 解得：， 检验，当时，， 所以该分式方程无解． 考点三：解分式方程错解复原问题 例3. （2025·浙江宁波·二模）小明解分式方程如下图所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是__________（填序号），并给出正确的解题过程． 解方程： 解：去分母得， ------① 移项得，   ----------------② 所以，      --------------------③ 经检验：不是原方程的根，原方程无解．----④ 【答案】①；，过程见解析 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤进行解答即可． 【详解】解：出错的是①， 解： 去分母得，， 移项得， 所以，， 经检验：是原方程的根 【变式3-1】（2025·宁夏银川·一模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项、合并同类项，得……第三步 解得……第四步 经检验：是原分式方程的解……第五步 (1)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)请你帮这个同学正确解答这个分式方程． 【答案】(1)一；去分母时等号右边忘记符号（负号） (2)见解析 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验的方法是解题的关键． （1）根据去分母的方法即可判定； （2）运用解分式方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：， 去分母得，， ∴第一步开始出错，出错的原因是去分母时等号右边忘记符号（负号）； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，原分式方程的分母， ∴原分式方程无解． 【变式3-2】（24-25八年级上·江西赣州·期末）下面是某位同学解分式方程的过程： 解：方程两边同乘以，得 ．① ．② 解得：．③ 检验：当时，，④ 所以，原分式方程的解为． (1)填空：第______步开始出现了错误（只填序号）； (2)请从出现错误的那一步开始补全正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤，即依次经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验等步骤是解决问题的关键． 根据分式方程的解法，依次经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验等步骤求出x的值即可． 【详解】（1）解：该同学的做法从第②步去括号未变号，出现了错误， 故答案为：②． （2）解： ， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得：． 检验：当时，，且方程左边=右边 所以，原分式方程的解为． 【变式3-3】（2025·宁夏固原·二模）解分式方程：． 下面是解题过程，请认真阅读并完成任务． 解： ………………………第一步 …………………………第二步 ……………………第三步 解得：……………………第四步 任务一：填空 （1）第______步是去分母，去分母的依据是______． （2）第______步出现错误，错误的原因是______． 任务二：填空 （3）直接写出该分式方程的正确结果______． （4）解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整． 【答案】（1）二，等式的性质2；（2）三，去括号时忘记变号；（3）；（4）见解析 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程．根据题意逐一对步骤进行分析，并解出最后答案即可． 【详解】解：（1）第二步是是去分母，去分母的依据是等式的性质2，即等式两边同时乘以相同的数，等式大小不变， 故答案为：二，等式的性质2； （2）第三步出现错误，因为完全平方展开后去括号忘记变号了， 故答案为：三，去括号时忘记变号； （3）， ， ， ， 解得：， 检验：将代入分式方程，方程有解， ∴为分式方程的解； （4）最后一步忘记检验 检验：将代入分式方程，方程有解， ∴为分式方程的解． 考点四：分式方程无解与增根 例4．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）若方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的增根，将分式方程去分母得，由分式方程的增根是，代入计算即可．理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键． 【详解】解：， 在分式方程两边同乘以，得： ， ∵当时，， ∴方程的增根为， 将代入， 得：， 解得：． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·山东聊城·期末）关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了根据分式方程有增根求参数，准确计算是解题的关键．先把分式方程化为整式方程，再根据有增根求出x，代入求值即可 【详解】解： ， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤，以及分式方程无解的方法是解题的关键．先化简分式方程，得，由分式方程无解，则，得，代入求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴，得， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程无解计算，去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求a的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 化系数为1：， ∵分式方程无解， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 考点五：已知方程的根的情况求参数的取值范围 例5.（24-25八年级上·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，首先根据解分式方程的步骤，求出关于的分式方程解是多少，然后根据分式方程的解为负数，求出的取值范围即可，掌握相应的运算法则是关键． 【详解】解：化简分式方程可得，， 解得：， 且， 且 故答案为：且． 【变式5-1】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）若关于x的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查根据分式方程的解情况求参数，根据“原分式方程的解”和“解是正数”建立关于的不等式是解题的关键．先解关于的分式方程，它的解用含量的代数式表示，再根据“原分式方程有解”和“方程的解是正数”建立关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解得：， ∵原分式方程有解， ∴，即， 解得：， ∵方程的解是正数， ∴， 解得：， ∴且， 故答案为：且． 【变式5-2】（24-25八年级上·山东济南·期末）若关于的分式方程有正数解，求的取值范围 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遗漏分式方程的增根情况是解题的关键．解分式方程得到，结合已知可得，同时注意，分式方程中，，所以，则可求的取值范围． 【详解】解：分式方程两边同时乘以，得 ， 整理，得， 解得， 方程有正数解， ， ， 解得， ，， ， ∴且， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【变式5-3】（24-25八年级上·全国·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且/且 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解．再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【详解】解：原分式方程可化为： 去分母得： 解得 又分式方程的解是非负数 且 的取值范围是：且 考点六：与分式方程有关的规律性问题 例6. （24-25八年级上·福建福州·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想方程的解是 ； (2)利用材料提供的方法解关于x的方程：； (3)已知，利用材料提供的方法解关于x的方程：.（结果保留a） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题关键是正确理解题意给出的规律． （1）根据题意给出的规律即可求出答案； （2）先将原方程变形为：, 然后根据题意给出的规律，即可得出答案； （3）方程两边同时乘以2，将原方程变形为：, 再方程两边同时减去3，方程变形为, 再根据题意给出的规律，即可得出答案 【详解】（1）解：根据题中的规律，猜想方程的解为： ，， 故答案为：，； （2）解：由题意，得， ∴， ∴或， 解得：，， 经检验：，是原方程的解； （3）解：， 方程两边同时乘以2，得， 方程两边再同时减去3，得， ∴或， 解得：，， 经检验：，是原方程的解． 【变式6-1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）观察下列等式： 第1个等式；； 第2个等式：； 第3个等式；； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请计算的值； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由； (3)若，求n的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)n的值为 【知识点】数字类规律探索、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式及解分式方程，能根据题意发现第n个等式可表示为是解题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：， 当时， ； （2）解：由（1）知， 猜想第n个等式为：， 理由如下： 左边 右边，故此等式成立． （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 因为， 所以， 解得 当时，， 所以是原分式方程的解， 故n的值为． 【变式6-2】（23-24八年级上·江西赣州·期末）观察下面的变化规律，解答下列问题： ． (1)若为正整数，猜想_______，并且验证你的猜想； (2)解分式方程：； (3)再探索上述规律并计算：． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3) 【知识点】异分母分式加减法、解分式方程（化为一元一次）、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解分式方程； （1）猜想，再根据异分母分式相加减计算，即可求解； （2）根据（1）中的规律把原方程变形为，可化为，解出即可； （3）根据（1）中的规律把原式变形，可得到，即可求解． 【详解】（1）解： 验证：右边 左边， ∴猜想成立； （2）解： ， ∴， 去分母得：， 解得：． 经检验：是原方程的根， ∴原方程的根为； （3）解： ． 【变式6-3】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 考点七：分式方程的实际应用 例7．（2025·山东临沂·二模）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了3000元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元． (1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ (2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 【答案】(1)购买一个A品牌的篮球需60元，购买一个B品牌的篮球需80元 (2)该校此次最多可购买33个B品牌篮球 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用： （1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解； （2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解； 理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：购买一个A品牌的篮球需60元，购买一个B品牌的篮球需80元 （2）解：∵A品牌篮球售价比第一次购买时提高了， ∴（元） 设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个， 依题意得：， 解得：， 答：该校此次最多可购买33个B品牌篮球． 【变式7-1】（2025·湖南常德·二模）某校为举办风筝艺术节计划购买一批风筝．已知哪吒2系列风筝的单价比普通动物风筝的单价多35元，用1300元购买哪吒2系列风筝的数量与用600元购买普通动物风筝的数量相同． (1)求哪吒2系列风筝和普通动物风筝的单价； (2)若购买150个风筝，哪吒2系列风筝的数量不少于普通动物风筝数量的，问：购买哪吒2系列风筝的数量为多少时，学校花费最少． 【答案】(1)哪吒2系列风筝的单价为65元，普通动物风筝的单价为30元 (2)购买哪吒2系列风筝60个，学校花费最少 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意列方程是解题的关键． （1）设哪吒2系列风筝的单价为元，则普通动物风筝的单价为元．列出分式方程求解即可； （2）设购买哪吒2系列风筝个，学校花费元，则购买普通动物风筝个．根据题意列出不等式求得购买哪吒2系列风筝范围，再列出一次函数，根据一次函数的性质即可求得最小值购买哪吒2系列风筝． 【详解】（1）解：（1）设哪吒2系列风筝的单价为元，则普通动物风筝的单价为元． 根据题意得， 解得． 经检验，是方程的解，也符合题意， ． 答：哪吒2系列风筝的单价为65元，普通动物风筝的单价为30元； （2）解：设购买哪吒2系列风筝个，学校花费元，则购买普通动物风筝个． 哪吒2系列风筝的数量不少于普通动物风筝数量的， ， 解得． 根据题意得， ， 当时，取最小值． 答：购买哪吒2系列风筝60个，学校花费最少． 【变式7-2】（2025·江苏宿迁·二模）为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费480万元购进高性能服务器的台数比花费560万元购进普通服务器的台数少6台． (1)高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？ (2)若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过5400万元．高性能服务器每台售价80万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打7折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1)高性能服务器每台的进价各是60万元，普通服务器每台的进价各是40万元 (2)购进高性能服务器70台，普通服务器30台时利润最大，最大利润是1880万元． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】此题考查不等式的实际应用、一次函数的应用和分式方程的应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设普通服务器每台进价为万元，则高性能服务器每台进价为万元，根据“花费480万元购进高性能服务器的台数比花费560万元购进普通服务器的台数少6台”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可求解； （2）设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台，根据“购买的总费用不超过5400万元”，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设总利润为万元，根据题意，可找出关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设普通服务器每台进价为万元，则高性能服务器每台进价为万元． 根据题意列方程得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，则高性能服务器每台进价为：万元； 答：高性能服务器每台的进价是50万元，普通服务器每台的进价是30万元； （2）解：设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台． 可列出不等式：， 解得：，且m的整数， 高性能服务器每台利润为：（万元）， 普通服务器每台利润为：（万元）， 设总利润为万元，则，化简得：， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴当时，有最大值，（万元），此时购进普通服务器：（台）． 答：购进高性能服务器70台，普通服务器30台时利润最大，最大利润是1880万元． 【变式7-3】（2025年贵州省中考二模数学试题）贵州省麻江县盛产蓝莓，蓝莓可以制作成蓝莓原浆，蓝莓原浆中含有丰富的膳食纤维，能缓解眼疲劳、增强免疫力等．某超市老板准备购进、两种包装的蓝莓原浆产品，下表是这两种产品的进价和售价： 蓝莓原浆 进价/（元/盒） 售价/（元/盒） 60 100 若用2000元购进产品的数量与用3400元购进产品的数量相同． (1)产品每盒的进价是多少元？ (2)在（1）的条件下，超市老板购进、两种产品共300盒，且产品的数量不少于产品数量的一半．若购进的这批货全部售完．当产品的数量为多少时，该超市获得的总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)产品每盒的进价是50元 (2)当产品的数量为100盒时，该超市获得的总利润最大，最大利润为4000元 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和函数解析式是解题的关键． （1）由题意得，，解得，即可得到答案； （2）设购进产品盒，则购进产品盒，总利润为元，由题得，解得，得到，推出当取最小值100时，有最大值，求出元，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得． 经检验，是原方程的根． 答：产品每盒的进价是50元． （2）解：设购进产品盒，则购进产品盒，总利润为元， ， 解得． 由（1），得产品每盒的进价是（，元）， ． ， 的值随值的增大而减小， 当取最小值100时，有最大值， （元）． 答：当产品的数量为100盒时，该超市获得的总利润最大，最大利润为4000元． 考点八：与分式方程有关的新定义型问题 例8.（24-25八年级上·吉林·期末）定义新运算：对于任意实数a，b（其中），都有，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义实数的运算、解分式方程，理解新定义是解此题的关键． （1）根据题干所给的运算方式列出式子计算即可得解； （2）根据题干所给运算方式得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 解得：， 经检验，符合题意， ∴． 【变式8-1】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式加减乘除混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查新定义运算，分式的混合运算，解分式方程： （1）根据列式计算即可； （2）根据及分式的混合运算法则计算； （3）将变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 【变式8-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2)有可能， (3) 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“友好数对”的定义是解题的关键． （1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； 故答案为：×，√； （2）解：当时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式8-3】（24-25八年级下·重庆石柱·开学考试）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”， ①（______）；②（______）．若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①打√；②打“×” (2)4 (3)或 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）、新定义下的实数运算 【分析】（1）①根据题意，得分式方程的解为， 满足题意，打√；②根据题意，得分式方程的解为， 不满足题意，打“×”． （2）根据数对是关于的分式方程的“关联数对”，得到关于x的分式方程的解为，根据方程同解，建立等式解答即可． （3）根据数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，得的解为，继而得到，整理，得 ，得，根据关于的方程有整数解，整理，得，得到，得到，根据方程有整数解，分类解答即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得分式方程的解为， 又， 故满足关于的分式方程的解是成立， 满足题意，故打√； 故答案为：√； ②根据题意，得分式方程的解为， 不满足题意，打“×”． 故答案为：“×”． （2）解：根据数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴关于x的分式方程的解为， ∵的解为， ∴， 解得， ∵， 故． （3）解：∵数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴的解为， ∴， 整理，得， ∴， ∵关于的方程有整数解， 整理，得， ∴， ∴， ∵方程有整数解， ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∵，且， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，整数解的理解，整数解的计算，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，即可得出答案． 【详解】A、是整式方程，不符合题意； B、是整式方程，不符合题意； C、是关于的整式方程，不符合题意； D、是分式方程，符合题意； 故选：D． 2．（2025·广东广州·二模）赛龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛程为500米，A，B两队在同一起点同时出发，已知A队的平均速度是B队的倍，结果A队比B队提前了25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设B队的平均速度是x米/秒，则A队的平均速度是米/秒，根据时间等于路程除以速度分别表示出两队的时间，再根据A队比B队提前了25秒到达终点建立方程即可． 【详解】解：设B队的平均速度是x米/秒，则A队的平均速度是米/秒， 由题意得，， 故选：A． 3．（2025·四川自贡·二模）若分式方程无解，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查分式方程无解的情况，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先将分式方程转化为整式方程，再分一元一次方程无解和分式方程有增根进行讨论即可． 【详解】解： 分式方程无解， ， ； ， 当时，，不成立； 当时，，则， ， 综上所述，若分式方程无解，则的值为或， 故答案为：C． 4．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的分式方程的解为非负数，则所有正整数m的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解的问题求参数．考虑到分式方程有可能产生增根的情形是解题的关键． 利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得： ， 移项，合并同类项，系数化1得： ． ∵解为非负数， ∴， ∴． ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1，故有4个， 故选：A． 5．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程以及新定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】②③ 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个分析即可判断． 【详解】解：是整式方程，不是分式方程，故①不符合题意； 是分式方程，故②符合题意； 是分式方程，故③符合题意； 是整式方程，不是分式方程，故④不符合题意； 综上所述，是分式方程的有②③． 故答案为：②③． 7．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如果分式方程有增根，那么的值是 ． 【答案】5 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根问题；先把分式方程化为整式方程，把方程的增根代入整式方程中，即可求得的值． 【详解】解：方程两边乘，得：； 由于方程有增根，则，即， 把代入中，得， 解得：； 故答案为：5． 8．（2025·江苏宿迁·三模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】，且 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程的求解，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握分式方程求解的步骤． 利用分式方程求解的步骤求得，根据方程的解为负数，且分式有意义即可求出的取值范围． 【详解】解： 根据分式方程的解为负数可得，且，即， 解得，且， 故答案为：，且． 9．（2025·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程、新定义运算等知识，正确理解新定义运算是解题关键．根据题意确定关于的分式方程，再在等号两边同时乘以，将分式方程化为一元一次方程，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 等号两边同时乘以，， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 经检验，是该方程的解， ∴该方程的解为． 故答案为：． 10．（重庆市铜梁区2024-2025学年九年级下学期学业质量监测数学试题）若关于x的不等式组解集为，且关于y的方程的解为正整数，则符合题意的所有整数a的和为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组，以及解分式方程，由不等式组解集为确定取值范围，由方程的解是正整数，并结合取值范围，确定整数的取值，即可解题． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 关于的不等式组解集为， ， 解得； ∴ ∴ 解得， ，解得，即， 方程的解为正整数，， 或或或 则符合题意的所有整数的和为． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)无解． 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是去分母，把分式方程化为整式方程． 首先把分式方程的两边同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，解整式方程求出，再把代入最简公分母检验是否增根； 首先把分式方程两边同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，解整式方程求出，再把代入最简公分母检验是否增根． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，，， 是原分式方程的根； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 12．（24-25八年级下·吉林四平·阶段练习）小明解分式方程时，出现了错误，他的解答过程如下： 解：去分母，得第一步 解得第二步 所以，原分式方程的解为第三步 (1)小明的解答过程从第___________步开始出错； (2)请你写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，一定要注意解分式方程必须检验． （1）根据分式的基本性质进行判断即可； （2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可逐一解答． 【详解】（1）解：小明解答过程是从第一步开始出错的，这一步正确的解答结果为， 故答案为：一； （2）解：去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根． 13．（2025·西藏拉萨·一模）为了预防新冠肺炎疫情，学校免费为师生提供防疫物品．某校购进相同数量的洗手液与84消毒液，其中购洗手液花费3750元，购84消毒液花费2250元，已知洗手液的单价格比84消毒液的单价高10元．求： (1)洗手液和84消毒液的单价各多少元？ (2)若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2565元，最多能购买洗手液多少瓶？ 【答案】(1)洗手液的单价为25元，84消毒液的单价是15元 (2)最多能购买洗手液31瓶 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟知题中等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设洗手液的单价为元，则84消毒液的单价为元，根据题意列分式方程即可解答； （2）设购买洗手液瓶，则购买84消毒液瓶，根据总费用不超过2565元，列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设洗手液的单价为元，则84消毒液的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：洗手液的单价为25元，84消毒液的单价是15元； （2）解：设购买洗手液瓶，则购买84消毒液瓶， 根据题意，得， 解得， 为正整数， ， 答：最多能购买洗手液31瓶． 14．（24-25九年级上·山东威海·期中）（1）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：解方程．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． （2）对于实数，．定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，解方程． 【答案】（1）；（2） 【知识点】新定义下的实数运算、根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，新定义，根据分式方程的解的情况求参数： （1）先把原分式方程去分母，再把代入对应的方程中求解即可； （2）先根据新定义计算出的结果，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设？为，则分式方程为， 方程两边同时乘以得： 由于是原分式方程的增根， ∴把代入上面的等式得，解得， ∴原分式方程中“？”代表的数是． （2）解：根据题意得： ，， ， 去分母得：， 解得：， 检验，当时，， 是原分式方程的解． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）观察下列算式：；；由此推断 ． （2）用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的规律：______． （3）用发现的规律解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】分式的规律性问题、解分式方程（化为一元一次）、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了解分式方程，弄清题中的拆项规律，是解本题的关键． （1）根据已知等式得出规律，计算即可得到结果； （2）写出一般性规律即可； （3）方程变形后，计算即可求出解． 【详解】（1）解：∵； ； ∴． 故答案为：． （2）根据题意得：． 故答案为：． （3） 方程整理得：， 即， 去分母得：， 解得：， 检验把代入得：， ∴是分式方程的解． 16．（2025·河南焦作·二模）月饼象征团圆，是中华传统节日中秋节的必备美食．郑州市某品牌五仁月饼的进价比豆沙月饼的进价每盒多元，某超市用元购进的五仁月饼盒数与元购进的豆沙月饼盒数相同． (1)求五仁月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)该超市五仁月饼每盒售价为元，豆沙月饼每盒售价为元，根据市场需求，该超市计划用不超过元的总费用购进五仁月饼和豆沙月饼共盒进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)五仁月饼每盒的进价为元，豆沙月饼每盒的进价为元 (2)五仁月饼购进，豆沙月饼购进盒时，销售完后获得的利润最大，最大利润是元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）设豆沙月饼每盒的进价为，根据题意列方程即可求解； （2）设五仁月饼有盒，则豆沙月饼有盒，利润为，先根据题意列出关于的不等式，求出的范围，再列出与的解析式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设豆沙月饼每盒的进价为， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 五仁月饼每盒的进价为（元）， 答：五仁月饼每盒的进价为元，豆沙月饼每盒的进价为元； （2）设五仁月饼有盒，则豆沙月饼有盒，利润为， 根据题意得：， 解得：， ， ， 随的增大而增大， 当时，最大，最大值为（元）， 五仁月饼购进，豆沙月饼购进盒时，销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$