第05讲 分式及其运算（思维导图+6知识点+13考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第05讲 分式及其运算 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一．分式及有无意义 1.分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 2.分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3.分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 知识点二．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． （2）约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． （3）通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． （4）最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． （5）最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 　②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 知识点三．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 知识点四．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 知识点五．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 知识点六．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 考点一：分式的判断 例1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在，π，，，，中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：在，π，，，，中，式子，，中都含有字母是分式，共有3个分式． 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中：，，，，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，观察分母，看是否有字母，有字母则是分式，没有字母则不是分式，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：和是分式，共2个， 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级下·广东佛山·期中）代数式，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查了分式的识别，若为两个整式，且中含有字母，那么就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：代数式，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式． 故选：B． 考点二：最简分式的判断 例2.（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简分式 【分析】本题考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式．根据最简分式的定义即可判断． 【详解】解：A. 是最简公式，故此选项符合题意； B. 还有公因式，故此选项不符合题意； C. 还有公因式，故此选项不符合题意； D. 还有公因式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南南阳·期中）下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式、约分 【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项不是最简分式，不符合题意； B、，故此选项不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故此选项不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】本题考查最简分式，根据分式的分子和分母不含公因式，这样的分式叫做最简分式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选B． 【变式2-3】（24-25八年级下·全国·单元测试）分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的定义分析即可． 【详解】解：，，故不是最简分式，不符合题意； ，是最简分式，符合题意； 故选C． 考点三：最简公分母的判断 例3. （24-25八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母的计算，掌握最简公分母的计算方法是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解． 【详解】解：分式和的最简公分母是， 故选：C ． 【变式3-1】（2025八年级下·全国·专题练习）式子的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：式子的最简公分母是． 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母的计算，掌握最简公分母的计算方法是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解． 【详解】解：分式和的最简公分母是， 故选：C ． 【变式3-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母“确定最简公分母的一般方法：1、如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积；2、如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母”，熟练掌握确定最简公分母的方法是解题关键．根据确定最简公分母的一般方法即可得． 【详解】解：∵，， ∴分式和的最简公分母是， 故选：B． 考点四：分式有无意义的条件 例4．（2025年安徽省芜湖市部分学校中考三模数学试题（5月））若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件． 根据分母不为零即可求出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式4-1】（2025年北京市大兴区九年级中考二模数学试卷）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零；据此得，即可求解． 【详解】解：由于代数式有意义，则， 得：； 故答案为：． 【变式4-2】（2025·贵州贵阳·一模）若分式无意义，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，分式有意义；当 时，分式无意义． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解；分式无意义分母等于0列方程求解． 【详解】解：当，即时，分式有意义； 当，即时，分式无意义； 故答案为：，． 考点五：判断分式变形是否正确 例5.（2025·湖南长沙·二模）下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，变形错误，不符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、，变形正确，符合题意； 故选D． 【变式5-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握性质的本质是解题的关键．根据分式的基本性质“分式的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分式的值不变”求解即可． 【详解】解：A. ，分子、分母同时加2，分式值不一定不变，本选项不符合题意； B. ，分子、分母同时加，分式值不一定不变，本选项不符合题意； C. ，分子、分母同时除以2，分式值不变，本选项符合题意； D. ，分子、分母同时开方，分式值不一定不变，本选项不符合题意． 故选：C． 【变式5-2】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是分子分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变成为解题的关键． 根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A．分式的基本性质是分子分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．中，分子分母并非同时进行相同的乘除运算得到，故该选项不符合题意； B．分子分母同时除以2，分子应为，而不是，故该选项不符合题意； C．分子分母同时平方得到，需满足时才成立，一般情况下不成立，故该选项不符合题意； D．对变形，，则，因为作为分母不为0，分子分母同时约去，结果为，故该选项符合题意． 故选D． 【变式5-3】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）对下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式性质：分子和分母同时除以或乘上同一个数（不为0），分式的值不变，据此逐项分析，即可作答． 【详解】A. ，不正确； B. ，不正确； C. ，不正确； D. ，正确． 故选：D． 考点六：利用分式的基本性质判断分式值的变化 例6. （2025年广东省中考百校联考数学试卷）对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是关键； 根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：， 分式的值扩大到原来的2倍； 故选B． 【变式6-1】（2025·四川绵阳·一模）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，将m和n替换为和，重新计算分式的值，比较即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故分式的值变为原来的2倍， 故选：A． 【变式6-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．缩小4倍 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的分别用替换，再约分化简即可得到答案． 【详解】解：把分式中和的值都扩大2倍后变形为， ∴分式的值不变， 故选：C． 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）把分式的分子分母中的都扩大为原来的2倍，则分式的值（  ） A．不变 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质；把分式中的分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可判断． 【详解】解：， 即分式的值扩大为原来的 2 倍； 故选：D． 考点七：求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 例7．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分式的值为负数，求的取值范围 ． 【答案】且 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【变式7-1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若分式的值为正，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，且，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且； 故答案为：且． 【变式7-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如果分式的值是非负数，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查分式的值，解一元一次不等式，熟练掌握分式的定义和解一元一次不等式是解题的关键．利用分式的值是非负数，得，求解即可． 【详解】解：∵分式的值是非负数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式7-3】（2025八年级下·全国·专题练习）若分式的值为正数，则x的取值范围为 ． 【答案】或 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】此题考查分式的值、解不等式组等知识，根据分式的值为正数得到或，解不等式组即可． 【详解】解：由题意可知：或， 解得，或， 故本题答案为：或． 考点八：求使分式值为整数时未知数的整数值 例8.（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 【变式8-1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）若分式的值为整数，则非负整数的值为 ． 【答案】或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查分式的求值问题，由分式的值为整数，可得可以为、、、，据此可以得到答案．要注意分类讨论的思想以及分子分母之间的倍数关系，认真审题，抓住关键的字眼是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为整数， ∴可以为、、、， ∴可以为、、、， ∴非负整数的值为或或． 故答案为：或或． 【变式8-2】（2025·吉林·模拟预测）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】或/6或2 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键． 根据题意，将分式化简为，结合正整数的定义进行判定，代入求值即可． 【详解】解：，该分式为正整数，也为正整数，且， ∴当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 【变式8-3】（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）使得为整数的自然数的个数为 个． 【答案】6 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数且x为自然数， ∴或2或3或4或6或12， ∴或1或2或3或5或11， 共6个， 故答案为：6． 考点九：分式的混合运算 例9. （2025七年级下·全国·专题练习）化简： 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的混合运算，先算括号再算除法，注意运用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 【变式9-1】（23-24八年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算、同分母分式加减法 【分析】本题考查的是分式的加减运算，分式的混合运算； （1）先把分式化为同分母的分式，再计算即可； （2）先计算括号内分式的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，约分即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式9-2】（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （1）先通分，把分母都化为，然后进行同分母的加减运算； （2）先进行同分母的减法运算，然后约分即可； （3）先通分，然后进行同分母的减法运算； （4）先把除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式9-3】（2025七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的性质是关键． （1）根据分式的性质把整理得，再结合分式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质把整理得，再结合分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点十：分式化简求值 例10．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式10-1】（2025·安徽蚌埠·三模）先化简，再求值：，从的整数解中选取一个合适的代入求值． 【答案】；，原式 【知识点】分式化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据平方差公式和完全平方公式运算和进行括号内的加法运算，然后把除法改成乘法后约分即可化简，最后从的整数解中选取有意义的值代入即可求解． 【详解】解：原式 ， 整数解为，0，1， 又，且时，分式有意义， 当时，原式． 【变式10-2】（2025·湖南衡阳·二模）先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式． 【变式10-3】（24-25八年级下·广东佛山·期中）先化简，再求值：．其中a从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值． 【答案】；，原式；，原式 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴时，原式；当时，原式． 考点十一：分式运算中的错解复原问题 例11.（2025·江西新余·三模）小明在学习分式的运算时，计算的解答过程如下： 原式① ② ③ ④ ⑤ (1)请你指出小明解答过程中错误出现在第______步（写出对应的序号即可）． (2)请你给出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)③ (2)见解析 【知识点】异分母分式加减法 【分析】此题考查了分式加减法、平方差公式，熟练掌握运算法则和分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式加减法法则解答即可． （2）根据分式加减法法则和分式的基本性质，结合平方差公式进行解答即可． 【详解】（1）解：错误出现在第③步，错误的原因是分式运算不能去分母； 故答案为：③； （2）正确解答：原式 ． 【变式11-1】（2025·广东深圳·一模）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 化简 解：原式① ② ③ (1)化简过程中，从第______（填序号）步开始出现错误．错误的原因是______． (2)请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 【答案】(1)①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则 (2)；0 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则． （1）按照混合运算的运算顺序进行判断即可； （2）先进行分式的除法运算，然后再进行分式的加减，最后代数求值即可． 【详解】（1）解：从第①步开始出现错误， 未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则； 故答案为：①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则； （2）解：原式， ， 当时，原式． 【变式11-2】（2025·江西宜春·二模）下面是小华化简分式的过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 …… (1)小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)二、三 (2)； 时，值为7，时，值为6． 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． （1）根据小华的解答过程及小华的化简过程从第二步开始出现错误，他在分式的减法出现了错误，根据分式的约分方法可得涉及约分的步骤； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第三步， 故答案为：二、三； （2）解：原式= = = = ∵，， ∴，2，3 ∴可取4，5 当时，原式（或当时，原式） 【变式11-3】（24-25八年级下·山西长治·期中）（1）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： ①以上化简过程中，第三步是进行分式的______，它的依据是______； ②上述解题过程中，从第______步开始出现错误，写出正确的化简过程； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）①通分，分式的基本性质；②四，见解析；（2） 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键． （1）①根据题中的步骤可知第三步是通分，再根据分式的基本性质即可得出答案； （2）根据异分母运算法则判断，然后按照先通分在加减的运算法则即可得出答案； （3）根据分式混合运算法则化简，然后再代入求值即可得出答案． 【详解】解：（1）①以上化简过程中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 故答案为：通分；分式的基本性质 ②上述解题过程中，从第四步开始出现错误， 故答案为：四； 正确化简过程如下： 原式 （2）原式 ， 当时，原式． 考点十二：与分式运算有关的规律性问题 例12. （2025·安徽·二模）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法 【分析】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，从题目中找出数字的变化规律是解题的关键； （1）根据上述等式，写出第5个等式即可； （2）根据上述等式，可得第个等式：，再证明整式左边等式右边即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）第个等式：， 证明如下： 等式左边 等式右边， 故等式成立． 故答案为：． 【变式12-1】（2025·安徽阜阳·三模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第6个等式： ． (2)请你猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】分式的规律性问题、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了与分式有关的规律探索，分式的加法计算，正确理解题意是解题的关键。 （1）根据题目中等式的特点，可以写出第6个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 第6个等式：． （2）解：猜想第n个等式为，证明如下： 等式左边 ， ∴此时等式左右两边相等，即等式成立． 【变式12-2】（2025·安徽芜湖·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】分式的规律性问题、整式与分式相加减 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，从给定的等式中抽象出相应的规律，是解题的关键： （1）根据给定的等式，进行作答即可； （2）根据给出的等式，猜想出第个等式，根据分式的加法运算，进行证明即可． 【详解】（1）解：第5个等式为． （2）第n个等式为：． 证明：左式右式， 猜想成立． 【变式12-3】（2025·安徽淮南·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】分式的规律性问题、分式加减混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算和分式的规律探究问题，熟练的根据题意找出规律是解题的关键， （1）根据前4个等式找出规律即可得到第5个等式； （2）根据（1）中的等式猜想第个等式，等式两边分别进行通分化简，即可得证． 【详解】（1）解：由前4个等式可得规律：左边第一个分数：分子为，分母为，即； 左边第二个分数：分母为，即； 右边第一个分数：分子为，分母为，即； 右边第二个分数：分母为，即； ∴第5个等式为：； （2）解：第个等式为，证明如下： 等式左边：， 等式右边：， ∴左边右边， ∴原等式成立． 考点十三：与分式运算有关的新定义型问题 例13. （2025九年级下·河北·专题练习）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”，如分式，，．则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G． 【答案】(1)分式A与分式B是互为“和整分式”， (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算、同分母分式加减法 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算．理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键． （1）把A与B相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可； （2）把C与D相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据C与D互为“和整分式”且“和整值”，求出多项式G． 【详解】（1）解：， ∴分式A与分式B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）解：①分式，， C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ， 两边都乘以得，， ∴ ． 【变式13-1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”．解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值． 【答案】(1)1 (2)3或6 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，正确理解题意是解题的关键； （1）根据题意计算出的结果即可得到答案； （2）根据定义可得，再由x取正整数，且A的值为正整数得到是正整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：解：， ∴分式是分式的“1阶差分式”； （2）解：∵分式A是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵A的值为正整数， ∴为正整数， 又∵x取正整数， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，A的值为3或6． 【变式13-2】（24-25八年级下·河南·阶段练习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列式子：①；②；③；④其中，属于“和谐分式”的是___________．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：___________+__________； (3)请求出当取什么整数时，式子的值也为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （1）根据“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （2）由原式，再整理可得； （3）根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】（1）解：①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式. 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：，； （3）解： ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 【变式13-3】（2025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 【答案】(1)分式是分式的“和美分式”，见解析 (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的计算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出两个分式的差和积，根据新定义，进行判断即可； （2）仿照题干方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：分式是分式的“和美分式”，理由如下： ∵ ， ∴， ∴分式是分式的“和美分式”； （2）设的“和美分式”为A， 则， 整理得， ∴ ， ∴的“和美分式”为． 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式”，逐个进行判断即可．本题考查了最简分式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A、，选项不是最简分式，故不符合题意； B、是最简分式，故符合题意； C、，选项不是最简分式，故不符合题意； D、，选项不是最简分式，故不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，分子和分母没有公因式，不能约分，原选项错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，分子和分母没有公因式，不能约分，原选项错误，不符合题意； 故选B． 3．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列各式：，，，中，分式共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键； 根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有字母的式子叫分式． 【详解】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，的分母中含有字母，因此是分式，共个． 故选：B 4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 【答案】D 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件、分式的求值、利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质等知识，根据分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、∵， ∴不论为何值，分式总有意义，说法正确，故选项不符合题意； B、当时，分式，说法正确，故选项不符合题意； C、分式的值为零， ∴且， ∴，说法正确，故选项不符合题意； D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到， ∴把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的2倍，故选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴分子分母同正或同负， ∴或 解得或， 故选：C 6．（2025·山东淄博·二模）已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．，的大小关系与的取值有关 【答案】C 【知识点】异分母分式加减法 【分析】根据，，结合为任意正整数，解答即可． 本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 由为任意正整数， 故． 故， 故选：C． 二、填空题 7．（2025·辽宁丹东·二模）要使分式有意义，则的取值应该满足的条件为 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）分式的值为零时，实数的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为0时满足得条件是解题的关键，易错点在于容易忽视分式的分母不为0． 根据分式值为0的条件①分母不为0，②分子等于0计算即可． 【详解】解：依题意，且 ∴ 故答案为：． 9．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数且最简，结果为 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变，可得答案．分式的分子分母都乘以12是解题关键． 【详解】解：分式的分子与分母都乘以12，得， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知，则实数 ． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法、加减消元法 【分析】本题考查分式的加减运算法则，解二元一次方程组，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及待定系数法即可求出答案．根据分式的加减运算法则以及待定系数法即可求出答案． 【详解】解： ， 由题意可知：， 解得： ∴ 故答案为：． 11．（2025·北京海淀·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 【答案】1 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，根据，得到，将代数式化简后，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ； 故答案为：1． 12．（24-25八年级下·北京朝阳·开学考试）若分式的值为正数，则需满足的条件是 ． 【答案】/ 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键． 根据平方的非负性、分式的值为正数可得，，由此即可得． 【详解】解：∵分式的值为正数，， ∴，解得， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级下·广东深圳·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】分式乘法、分式除法 【分析】本题考查分式的乘除运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）直接进行约分即可求得结果； （2）先把各分式的分子、分母进行因式分解后，再把除法转化成乘法，最后进行约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：. ． 14．（2025·江苏宿迁·二模）先化简，再从－2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可. 先化简，再从－2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【详解】解： ； 且， ∴当时，原式； 当时，原式. 15．（24-25八年级上·山东济宁·期中）先化简：，再从，，，中选择一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再根据分式有意义的条件得出，，最后代入合适的值计算即可得解． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 16．（2025·宁夏银川·一模）下面是某同学计算的解题过程： 解：……① ……② ……③ 上述解题过程从第_____步开始出现错误？请分析错因是_______________． 请写出完整的正确解题过程，并求出当时的值 【答案】②，计算同分母分式减法，分子与分子相减，分母不变，最后再约分化简；正确解题过程见解析； 【知识点】分式化简求值、异分母分式加减法 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，根据分母分式的加减法运算法则判断即可；先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可，再将代入计算即可． 【详解】解：从第②步开始出现错误，计算同分母分式减法，分子与分子相减，分母不变，最后再约分化简． 正确的解题过程为： 原式 ； 当时，原式． 17．（2025·广东广州·一模）已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、最简分式 【分析】本题主要考查了分解因式，化简分式： （1）提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）分选择A、B，选择A、C，选择B、C三种情况，把选择的两个式子分别作为分子和分母组成分式，再化简分式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：选择A、B，则所得分式为或； 选择A、C，则所得分式为或； 选择B、C，则所得分式为或． 18．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、分式的规律性问题 【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式； 对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 即； 故答案为：； （2）解：第n个等式： ； ． 19．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先根据分式的加法法则把原式进行化简，再把，代入进行计算即可； （2）把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：， =1． 20．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值、分式除法、异分母分式加减法 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 分式及其运算 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一．分式及有无意义 1.分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 2.分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3.分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 知识点二．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． （2）约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． （3）通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． （4）最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． （5）最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 　②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 知识点三．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 知识点四．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 知识点五．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 知识点六．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 考点一：分式的判断 例1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在，π，，，，中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中：，，，，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-2】（24-25八年级下·广东佛山·期中）代数式，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二：最简分式的判断 例2.（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南南阳·期中）下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25八年级下·全国·单元测试）分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点三：最简公分母的判断 例3. （24-25八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-1】（2025八年级下·全国·专题练习）式子的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 考点四：分式有无意义的条件 例4．（2025年安徽省芜湖市部分学校中考三模数学试题（5月））若分式有意义，则的取值范围是 ． 【变式4-1】（2025年北京市大兴区九年级中考二模数学试卷）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式4-2】（2025·贵州贵阳·一模）若分式无意义，则x的值为 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，分式有意义；当 时，分式无意义． 考点五：判断分式变形是否正确 例5.（2025·湖南长沙·二模）下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）对下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 考点六：利用分式的基本性质判断分式值的变化 例6. （2025年广东省中考百校联考数学试卷）对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 【变式6-1】（2025·四川绵阳·一模）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【变式6-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．缩小4倍 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）把分式的分子分母中的都扩大为原来的2倍，则分式的值（  ） A．不变 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 考点七：求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 例7．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分式的值为负数，求的取值范围 ． 【变式7-1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若分式的值为正，则x的取值范围是 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如果分式的值是非负数，那么的取值范围是 ． 【变式7-3】（2025八年级下·全国·专题练习）若分式的值为正数，则x的取值范围为 ． 考点八：求使分式值为整数时未知数的整数值 例8.（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【变式8-1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）若分式的值为整数，则非负整数的值为 ． 【变式8-2】（2025·吉林·模拟预测）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【变式8-3】（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）使得为整数的自然数的个数为 个． 考点九：分式的混合运算 例9. （2025七年级下·全国·专题练习）化简： 【变式9-1】（23-24八年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式9-2】（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式9-3】（2025七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 考点十：分式化简求值 例10．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式10-1】（2025·安徽蚌埠·三模）先化简，再求值：，从的整数解中选取一个合适的代入求值． 【变式10-2】（2025·湖南衡阳·二模）先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 【变式10-3】（24-25八年级下·广东佛山·期中）先化简，再求值：．其中a从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值． 考点十一：分式运算中的错解复原问题 例11.（2025·江西新余·三模）小明在学习分式的运算时，计算的解答过程如下： 原式① ② ③ ④ ⑤ (1)请你指出小明解答过程中错误出现在第______步（写出对应的序号即可）． (2)请你给出这道题的正确解答过程． 【变式11-1】（2025·广东深圳·一模）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 化简 解：原式① ② ③ (1)化简过程中，从第______（填序号）步开始出现错误．错误的原因是______． (2)请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 【变式11-2】（2025·江西宜春·二模）下面是小华化简分式的过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 …… (1)小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【变式11-3】（24-25八年级下·山西长治·期中）（1）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： ①以上化简过程中，第三步是进行分式的______，它的依据是______； ②上述解题过程中，从第______步开始出现错误，写出正确的化简过程； （2）先化简，再求值：，其中． 考点十二：与分式运算有关的规律性问题 例12. （2025·安徽·二模）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 【变式12-1】（2025·安徽阜阳·三模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第6个等式： ． (2)请你猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【变式12-2】（2025·安徽芜湖·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【变式12-3】（2025·安徽淮南·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 考点十三：与分式运算有关的新定义型问题 例13. （2025九年级下·河北·专题练习）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”，如分式，，．则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G． 【变式13-1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”．解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值． 【变式13-2】（24-25八年级下·河南·阶段练习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列式子：①；②；③；④其中，属于“和谐分式”的是___________．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：___________+__________； (3)请求出当取什么整数时，式子的值也为整数． 【变式13-3】（2025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列各式：，，，中，分式共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 5．（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 6．（2025·山东淄博·二模）已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．，的大小关系与的取值有关 二、填空题 7．（2025·辽宁丹东·二模）要使分式有意义，则的取值应该满足的条件为 ． 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）分式的值为零时，实数的值为 ． 9．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数且最简，结果为 ． 10．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知，则实数 ． 11．（2025·北京海淀·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 12．（24-25八年级下·北京朝阳·开学考试）若分式的值为正数，则需满足的条件是 ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·广东深圳·期中）计算 (1)； (2)． 14．（2025·江苏宿迁·二模）先化简，再从－2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 15．（24-25八年级上·山东济宁·期中）先化简：，再从，，，中选择一个适合的数代入求值． 16．（2025·宁夏银川·一模）下面是某同学计算的解题过程： 解：……① ……② ……③ 上述解题过程从第_____步开始出现错误？请分析错因是_______________． 请写出完整的正确解题过程，并求出当时的值 17．（2025·广东广州·一模）已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 18．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 19．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． 20．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$