第04讲 因式分解（思维导图+3知识点+8考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第04讲 因式分解 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 知识点02 提公因式法因式分解 ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完. 知识点03 运用公式法因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)； 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 考点一：判断是否因式分解 例1．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·贵州毕节·三模）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 考点二：已知因式分解的结果求参数 例2.（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，则常数 ． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 【变式2-2】（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 【变式2-3】（24-25八年级上·河南周口·期中）关于的代数式分解因式得，则的值为 ． 考点三：公因式 例3. （2025·河南三门峡·二模）把多项式分解因式，应提取的公因式为 ． 【变式3-1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）多项式的公因式是 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·山东泰安·期中）多项式的公因式是 ． 【变式3-3】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）与的公因式是 ． 考点四：综合提公因式和公式法因式分解 例4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）把下列各式分解因式： (1) (2) 【变式4-1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）因式分解． (1)． (2) 【变式4-2】（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）因式分解 (1)； (2)； (3) 【变式4-3】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点五：利用因式分解求值 例5.（2025·广东深圳·二模）已知，则 ． 【变式5-1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知，则 ． 【变式5-2】（2025·河北唐山·二模）若，，则的值为 ． 【变式5-3】（24-25八年级下·四川·期中）若，则的值为 ． 考点六：十字相乘法因式分解 例6. （24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【变式6-1】（24-25八年级上·河南漯河·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【变式6-2】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 【变式6-3】（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 考点七：分组分解法因式分解 例7．（2025八年级下·全国·专题练习）［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【变式7-1】（24-25八年级上·广东湛江·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】（1）请用分组分解法将分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式． 【变式7-2】（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【变式7-3】（24-25八年级下·重庆·期中）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 考点八：因式分解的应用 例8.（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． (2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 【变式8-1】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：将“”看成整体，令、则原式 再将还原， 得到：原式上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解： ． (2)因式分解： ． (3)知识运用：已知长方形的两邻边长分别为，，且满足，求该长方形的周长． 【变式8-2】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：． 例如：求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式（利用配方法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【变式8-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 一、单选题 1．（2025·重庆江津·二模）对多项式分解因式，正确的选项是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）下列因式分解中，错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．19 D．21 4．（2025·云南·模拟预测）若，则的值为（   ） A．16 B．4 C．2 D．1 5．（2025·河南商丘·二模）已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 6．（2025·广东清远·二模）因式分解： ． 7．（2025·山东潍坊·一模）因式分解： ． 8．（24-25八年级下·重庆綦江·期中）若，，则的值为 ． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）多项式，，中，它们的公因式是 ． 10．（2025·山东临沂·二模）定义：若一个正整数能表示成两个相邻偶数，的平方差，即，且的算术平方根是一个正整数，则称正整数是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第100个“双方数”为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·河北保定·期中）因式分解 (1)； (2)； (3) 12．（2025·宁夏银川·一模）因式分解： 小刚的解题过程如下： 第一步 ……第二步 ……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法． 13．（24-25八年级下·广东梅州·期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时 中又有公因式，于是可以提出，即 ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题： (1)解决问题：分解因式． (2)拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由． 14．（24-25八年级下·四川达州·期中）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：． (1)则图③可以解释为等式：______． (2)如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个长方形的两边，结合图案，指出以下关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式为______． (3)在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为，并通过拼图对多项式因式分解：______（拼图图形画在方框内）． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 因式分解 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 知识点02 提公因式法因式分解 ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完. 知识点03 运用公式法因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)； 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 考点一：判断是否因式分解 例1．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解此题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，再判断求解． 【详解】解：、，不符合因式分解的定义，故选项不符合题意； 、，右边不是积的形式，故选项不符合题意； 、，右边不是积的形式，故选项不符合题意； 、 是因式分解，故选项符合题意． 故选：D 【变式1-1】（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的判断，把一个多项式表示为几个多项式乘积的形式，称为因式分解，掌握因式分解的概念是解题的关键．根据因式分解的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； C、，因式分解错误，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（2025·贵州毕节·三模）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据把多项式写出几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、是多项式乘法运算，故此选项不符合题意； B、，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、，是因式分解，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义即可判断，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； B、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； C、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； D、从左到右的变形属于因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 考点二：已知因式分解的结果求参数 例2.（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，则常数 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解；根据因式分解的结果，用多项式乘法展开并比较对应项的系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解的意义．由题意可得式，则，，根据m、p，q都为整数确定m的值即可． 【详解】解：由题意可得， 则，， ∵m、p，q都为整数， ∴，或，， 则或， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级上·河南周口·期中）关于的代数式分解因式得，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知因式分解的结果求参数 【分析】根据因式分解的定义得，利用多项式乘以多项式展开右边，利用恒等式的性质，比较对应项系数，计算m，n的值，再求的值即可． 本题考查了有因式分解，恒等式的性质，求代数式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 考点三：公因式 例3. （2025·河南三门峡·二模）把多项式分解因式，应提取的公因式为 ． 【答案】/ 【知识点】公因式 【分析】此题主要考查了提取公因式法，直接根据公因式的定义分析得出答案．正确找出公因式是解题关键． 【详解】解：把多项式分解因式，应提取公因式：． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）多项式的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】多项式， 各项系数的最大公约数为， 各项都含有，的最低指数为， 该多项式的公因式为． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·山东泰安·期中）多项式的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义作答即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）与的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查公因式，根据三定法：系数的最大公约数，相同字母的最低次幂，进行判断即可． 【详解】解：与的公因式是； 故答案为：． 考点四：综合提公因式和公式法因式分解 例4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）把下列各式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）提取公因式，再利用完全平方公式进行因式即可得出答案； （2）根据平方差公式进行因式分解，最后再提公因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式4-1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）因式分解． (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用平方差公式分解因式，再提公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）因式分解 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练计算是解题的关键． （1）直接提取公因式，进而分解因式即可； （2）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用平方差，再利用完全平方公式即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， 【变式4-3】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，做这样的题目首先要提公因式，提完公因式后再利用公式法进行因式分解，需要注意观察最后是否因式分解彻底，以及符号问题，不要写错了． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （2）利用平方差公式分解因式，注意分解彻底； （3）利用整体的思想，运用完全平方公式分解因式即可； （4）利用整体思想，运用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1） （2） （3） （4） 考点五：利用因式分解求值 例5.（2025·广东深圳·二模）已知，则 ． 【答案】48 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键．将代数式因式分解后，整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查的是求解代数式的值，综合提公因式与公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，再整体代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为： 【变式5-2】（2025·河北唐山·二模）若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解的应用，求代数式值，掌握因式分解的步骤，公式的运用是解题的关键． 先提公式，再运用公式法，将待求的代数式用已知的代数表示，代入求解． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级下·四川·期中）若，则的值为 ． 【答案】8 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了代数式的求值、因式分解，利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．由得，再利用因式分解将变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：8． 考点六：十字相乘法因式分解 例6. （24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 【变式6-1】（24-25八年级上·河南漯河·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数a的所有可能的值是， 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为， 则； （2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 【变式6-2】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-3】（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 考点七：分组分解法因式分解 例7．（2025八年级下·全国·专题练习）［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用． （1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-1】（24-25八年级上·广东湛江·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】（1）请用分组分解法将分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式． 【答案】（1）；（2） 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式； （1）把原式化为，再进一步分解因式即可； （2）把原式化为，再进一步分解因式即可； 【详解】解：（1） ； （2） ； 【变式7-2】（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照进行分解即可； （）仿照进行分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-3】（24-25八年级下·重庆·期中）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）先把第一项和第二项提公因式，把第三项和第四项提公因式，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先运用完全平方公式把第一项，第二项和第三项进行因式分解，再将看作整体，最后再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 考点八：因式分解的应用 例8.（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． (2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 【答案】(1)， ， (2)作图见解析， 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查几何背景下的整式的乘法与因式分解，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）图2可看作是边长为的正方形，也可以看作4个部分组成，可分别表示出面积，再根据二者面积相等，即可作答； （2）拼成的大长方形需要2张A种纸片，1张B种纸片，3张C种纸片，据此即可作图，再由面积关系即可解答． 【详解】（1）解：图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式． 故答案为： ， ， ． （2）解：如图， 由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即， ∴可将因式分解为． 故答案为： 【变式8-1】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：将“”看成整体，令、则原式 再将还原， 得到：原式上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解： ． (2)因式分解： ． (3)知识运用：已知长方形的两邻边长分别为，，且满足，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题的过程，即可作答． （2）先整理原式，再模仿题干解题的过程，即可作答． （3）先整理原式为，再模仿题干解题的过程，得，再根据周长公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴将“”看成整体，令， 则 再将还原，得到原式； 故答案为：； （2）解：依题意，， ∴将“”看成整体，令， 则， 再将还原，得到原式； 故答案为：； （3）解：依题意，， ∴将“”看成整体，令， 则， 再将还原，得到原式； ∴， ∴， ∵长方形的两邻边长分别为，， ∴长方形的周长为． 【变式8-2】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：． 例如：求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式（利用配方法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)最小值为 (3)12 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用．熟练掌握因式分解是关键． （1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可； （2）配方后即可得出多项式的最值； （3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴的周长为． 【变式8-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 【答案】(1)27是“优美数”， 14与13，6与3都是27的平方差分解 (2)能，见解析 (3) 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用．解题的关键是理解新定义的意思． （1）根据“优美数”的定义进行计算即可； （2）根据“优美数”的定义进行解答即可； （3）通过因式分解得，根据“优美数”的定义，列出k的方程求得k即可． 【详解】（1）解：27是“完美数”， ∵， ， ∴27是“完美数”，14与13，6与3都是27的平方差分解； （2）解： ， ∵能被8整除， ∴由它们构成的“优美数”能被8整除； （3）解：∵ ； ∴当时，为“优美数”，此时， 故当时，N为“优美数”． 一、单选题 1．（2025·重庆江津·二模）对多项式分解因式，正确的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，关键是在分解因式时首先要考虑提取公因式，再考虑公式法进行分解，首先提取公因式，然后再利用平方差进行二次分解． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）下列因式分解中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】提公因式法分解因式、判断是否是因式分解、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了分解因式．分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，基本方法有提公因式法和公式法，熟练掌握定义和方法，是解题的关键． 要确定从左到右的变形中是否为分解因式正确，只需根据定义和方法来确定． 【详解】A. ，A正确； B. ，B正确； C. ，C不正确； D. ，D正确． 故选：C． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．19 D．21 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解的逆运算，解题的关键是得出，的值．将展开，得到，的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 4．（2025·云南·模拟预测）若，则的值为（   ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：， ， 原式． 故选：D． 5．（2025·河南商丘·二模）已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、因式分解的应用 【分析】此题考查了有理数的混合运算，分解因式（因数），熟练掌握是解本题的关键． 根据，，，得． 【详解】证明: ∵，， ∴． ∵，需要将其组合为四个连续正整数的乘积， ∴四个连续数中必有两个偶数，且其中一个是4的倍数，另一个是2的倍数；同时必有一个数是3的倍数，一个数是5的倍数（或含因数5）． ∴，恰好为四个连续正整数． ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（2025·广东清远·二模）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解；先提取公因式2，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 7．（2025·山东潍坊·一模）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 先整理再提公因式，最后结合平方差公式因式分解，即可解题． 【详解】解： ； 故答案为：． 8．（24-25八年级下·重庆綦江·期中）若，，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】因式分解的应用、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了利用完全平方公式因式分解，二次根式的混合运算． 先由完全平方公式对所求式子变形，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：4． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）多项式，，中，它们的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式、提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查公因式的确定，因式分解，熟练掌握公因式的定义及因式分解是解题的关键．先因式分解两个多项式，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【详解】解： ； ； ∵各项都含有， ∴它们的公因式是． 故答案为：． 10．（2025·山东临沂·二模）定义：若一个正整数能表示成两个相邻偶数，的平方差，即，且的算术平方根是一个正整数，则称正整数是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第100个“双方数”为 ． 【答案】158404 【知识点】数字类规律探索、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，因式分解的应用等内容，解题的关键是找出规律． 根据新定义表示出“双方数”，然后进行因式分解，找出“双方数”的规律进行计算即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵的算术平方根是一个正整数， 是一个完全平方数， 是奇数， 只能是奇数的平方，从小到大依次是， 那么 “双方数”从小到大依次为， 第100个“双方数”为158404， 故答案为：158404． 三、解答题 11．（24-25八年级下·河北保定·期中）因式分解 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)2500 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式7，再利用平方差公式分解因式即可； （2）运用提公因式法分解因式即可； （3）利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 12．（2025·宁夏银川·一模）因式分解： 小刚的解题过程如下： 第一步 ……第二步 ……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法． 【答案】①；②二；③，过程见解析 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．①根据平方差公式求解即可；②第二步中前面的符号在去括号时没有变号；③先利用平方差公式分解因式，再提取公因式，据此去括号合并同类项即可得到答案． 【详解】解：①观察可知第一步变形用到的乘法公式是平方差公式，即； ②观察解题过程可知，第二步出现了错误，原因是前面的符号在去括号时没有变号； ③ ． 13．（24-25八年级下·广东梅州·期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时 中又有公因式，于是可以提出，即 ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题： (1)解决问题：分解因式． (2)拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【知识点】分组分解法、因式分解的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握分解因式的几种方法． （1）把多项式的前两项分成一组，后两项分成一组，利用提公因式法和公式法分解因式； （2）把所给等式分组为，再分解因式，可得，再进一步即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： 是等腰三角形，理由如下： ， ， ∴， ∴， ∴， 或 ， 或 ， 为等腰三角形． 14．（24-25八年级下·四川达州·期中）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 【答案】(1)①；② (2)7 【知识点】十字相乘法、分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解的方法，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、十字相乘法进行分解、运用完全平方公式进行分解，解题的关键是理解分组分解法、十字相乘法的实质． （1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②画十字交叉线，即可利用十字相乘法分解； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出、、的值，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ②由图可得： 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故的周长为：7． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：． (1)则图③可以解释为等式：______． (2)如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个长方形的两边，结合图案，指出以下关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式为______． (3)在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为，并通过拼图对多项式因式分解：______（拼图图形画在方框内）． 【答案】(1) (2)①②③④ (3)图见解析， 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】此题考查了利用图形面积研究因式分解、平方差公式，此类题的解题思路为：原面积等于拼剪后的面积，掌握解题思路是解题的关键． （1）观察图形，根据面积列出等式即可； （2）根据图中每个图形的面积之间的关系，即可判断出正确的有几个； （3）画出的矩形边长分别为和即可； 【详解】（1）解：由图可知， 故答案为： （2）①，故正确； ②由图可知，，，，故正确； ③由图可知，，，则，故③正确； ④， ∴，故④正确 综上，正确的选项为：①②③④． （3）如图， 故答案为： 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$