第03讲 图形的平移与旋转（思维导图+6知识点+9考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第03讲 图形的平移与旋转 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 平移的概念和性质 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离 2.平移的性质：（1）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 （2）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行 （3）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离 知识点02 平移作图 平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点;②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来; ③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置;④连接关键点，还原图形. 知识点03 旋转的概念和性质 （1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换. 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角； 图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点. （2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上. （3）旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 知识点04 旋转作图 旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的各对应点. 知识点05 中心对称 （1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． （2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称. （3）中心对称与轴对称的区别与联系： 区别 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 （4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形. （5）确定对称中心的方法： 1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心； 2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心. （6）中心对称作图 1.连接原图形的关键点与对称中心； 2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等； 3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 知识点06 中心对称图形 （1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （2）中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 考点一：生活中的平移及图形的平移 例1．（24-25七年级下·山西大同·期中）随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的兴趣．下列选项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·福建厦门·期中）下列哪个图形可以通过平移得到（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）下列不属于平移现象的是（   ） A．升降电梯上下移动 B．电风扇扇叶的转动 C．拉抽屉 D．传送带上物品传输 【变式1-3】（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）图书馆是一个免费的知识库，收藏并提供了各种书籍．在以下图书馆的标志中，其文字上方的图案能够由一个基本图形通过多次平移得到的是（   ） A． B． C． D． 考点二：利用平移的性质求解 例2.（2025年贵州省中考二模数学试题）如图，是经过平移得到的图形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式2-2】（24-25七年级下·新疆喀什·期中）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地．如图，若将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这条小路的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位到位置．下列结论： ①，且； ②； ③若，则边扫过的图形的面积为5； ④若四边形的周长为a，三角形的周长为b，则． 其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点三：点在平面直角坐标系中的平移 例3. （24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B．则点B的坐标为 ． 【变式3-1】（2025·辽宁铁岭·二模）在平面直角坐标系中，将线段先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，点P是线段上的一点，平移后点P 的对应点 Q 的坐标为，则点 P 的坐标为 ． 【变式3-2】（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）如图，无人机编队飞行（即平行飞行，速度相同）的两架无人机A，B在坐标系中的坐标分别为，当无人机A飞到指定位置处时，无人机B飞到位置的坐标为 ． 【变式3-3】（2025·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是 ． 考点四：中心对称图形的识别 例4．（浙江省杭州市下城区2024-2025学年八年级下学期期末数学模拟试卷）剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【变式4-1】（2025九年级下·山东济南·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·广东肇庆·二模）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·山东滨州·二模）纹样既是有装饰、识别等实际作用的图案，也是各种寓意和文化内涵的载体，是人类文明发展过程中的重要组成部分.我国传统纹样大多寓意吉祥、幸福、平安，正所谓“纹必有意，意必吉祥”，常见的吉祥纹样有如意纹、葫芦纹、缠枝纹等，反映的是千百年来我们华夏大地上人们对于美好生活的追求.以下纹样属于中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 考点五：求关于原点的对称点的坐标 例5.（2025·云南西双版纳·二模）在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称， ． 【变式5-1】（2025·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，则点关于原点对称的点的坐标为 ． 【变式5-2】（2025·四川绵阳·二模）已知点 ，且，则点 P关于原点对称的点的坐标为 【变式5-3】（2025·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，将点向右平移一个单位得到点B，再取点B关于原点的对称点C，然后把点C绕原点顺时针旋转得到点，称作一个周期变化，第二个周期变化后得到的点为，第三个周期变化后得到的点为，以此类推，则点的坐标为 ． 考点六：求旋转中心、旋转角 例6. （2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，得到（点均为格点），则旋转中心的坐标为 ． 【变式6-1】（2025七年级下·江苏·专题练习）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是 点 【变式6-2】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是 ． 【变式6-3】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，每个小方格都是边长为1的正方形．是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ． 考点七：求某点旋转后的坐标 例7．（2025·湖北孝感·二模）如图，O是原点，，将绕O逆时针旋转得，则点C的坐标为 ． 【变式7-1】（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ． 【变式7-2】（2025·山东淄博·一模）如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是 ． 【变式7-3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时点的坐标是 ． 考点八：平面直角坐标系中平移和旋转作图 例8.（24-25八年级下·广东佛山·期中）智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是． (1)将三角板以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移三角板，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的． (3)将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标______． 【变式8-1】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出． (2)将绕着点按顺时针方向旋转得到，画出． 【变式8-2】（2025·安徽合肥·二模）如图，均在格点（网格线的交点）上，每一小格正方形的边长均为1． (1)作关于轴对称的图形，请在图中作出． (2)将绕点按顺时针方向旋转后，得到，请在图中作出． (3)直接写出（2）中点的坐标：________． 【变式8-3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知点A，B，C的坐标分别为，，． (1)将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请画出； (2)平移过程中，线段扫过的面积________． (3)将绕着O顺时针旋转后得到，请画出； (4)线段在x轴上运动（点D在点E左边），且，直接写出四边形周长的最小值________． 考点九：几何图形中的旋转综合问题 例9. （2025·贵州遵义·三模）如图，已知为等边三角形．P为内一点，，将绕点B逆时针旋转后得到． (1)求点P与点之间的距离； (2)求的度数． 【变式9-1】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）两块等腰直角三角形纸片和按图所示放置，直角顶点重合在点O处，，保持纸片不动，将纸片绕点O逆时针旋转角度，如图所示． (1)在图中，求证：且 (2)当与在同一直线上（如图）时， 若，求的长． 【变式9-2】（2025·湖南怀化·二模）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，，． (1)观察猜想：将图1中的三角尺绕逆时针的方向旋转至如图2的位置，使得，交于点，则的度数为_____； (2)操作探究：如图2所示，在（1）的条件下，已知，，求此时线段的长度； (3)深化拓展：将图1中的三角尺绕点逆时针的方向旋转至如图3的位置（），线段与交于点，点在线段上，求的值． 【变式9-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 已知等边三角形中，点，分别在，边上，且，将绕点旋转，连接，． 【问题背景】 （1）如图①，当点，分别在，边上时，线段和的数量关系为________； 【问题迁移】 （2）当旋转到如图②的位置时，线段和的数量关系为________；和的数量关系为________，并说明理由； 【问题拓展】 （3）当点旋转到线段上时，如图③所示，若，，则的长为________； （4）若，，则在旋转的过程中，当时，的长为________． 一、单选题 1．（24-25九年级下·广东广州·期中）剪纸文化是中国的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．（甘肃省陇南市2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）在平面直角坐标系中，点，．如果平移坐标系后点的坐标为，则平移后坐标系中点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②∥，③，④，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，…，第n次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则n的值为（   ） A．504 B．505 C．2021 D．2025 二、填空题 6．（2025·河北唐山·二模）点关于原点的对称点坐标为 ． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为 ． ∵， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得得点在第三象限， ∴， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则点到的距离是 ． 9．（吉林省松原市前郭县2024~2025学年下学期期中测试卷七年级数学试题）如图所示，的周长为，将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，如图所示．下列结论：①且；②且；③和的周长和为；④；⑤若，，则四边形的周长为14，正确的是 ．（填序号） 10．（24-25八年级下·山西太原·期中）如图，在中，，，点是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，直线与边分别交于点．若是等腰三角形，则旋转角为 ． 三、解答题 11．（2025·四川南充·二模）如图，在中，，，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 12．（24-25八年级下·山西太原·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为，，． (1)平移，使点A的对应点的坐标是 ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移__________个单位长度，再__________；如果看成一次平移，则平移的距离是__________个单位长度． (2)请在图中画出关于原点中心对称的，此时和关于某一点中心对称，这一点的坐标为__________． 13．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ． 14．（2025·安徽阜阳·三模）如图，已知点，将线段逆时针旋转并扩大倍得到，连接，得到第一个等腰；将线段逆时针旋转并扩大倍得到，连接，得到第二个等腰；将线段逆时针旋转并扩大倍得到，连接，得到第三个等腰；……如此进行下去． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)点的坐标为______． 15．（24-25八年级下·江西抚州·期中）（1）问题发现：如图1，在中，，为边上一点（不与点、重合）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系是____________，位置关系是____________． （2）探究证明：如图2，在与中，，将绕点A旋转，使点落在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的数量关系，并证明． （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，求的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 图形的平移与旋转 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 平移的概念和性质 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离 2.平移的性质：（1）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 （2）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行 （3）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离 知识点02 平移作图 平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点;②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来; ③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置;④连接关键点，还原图形. 知识点03 旋转的概念和性质 （1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换. 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角； 图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点. （2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上. （3）旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 知识点04 旋转作图 旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的各对应点. 知识点05 中心对称 （1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． （2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称. （3）中心对称与轴对称的区别与联系： 区别 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 （4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形. （5）确定对称中心的方法： 1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心； 2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心. （6）中心对称作图 1.连接原图形的关键点与对称中心； 2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等； 3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 知识点06 中心对称图形 （1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （2）中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 考点一：生活中的平移及图形的平移 例1．（24-25七年级下·山西大同·期中）随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的兴趣．下列选项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查图形的平移，解题的关键是掌握：平移的特征：平移由移动方向和距离决定，不改变方向、形状以及大小．据此判断即可． 【详解】解：A．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； B．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； C．左边的图案通过平移能得到右边图案，故此选项符合题意； D．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（24-25七年级下·福建厦门·期中）下列哪个图形可以通过平移得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题主要考查图形的平移，根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，结合图形，对选项进行一一分析，即可求解． 【详解】解：由平移知，B选项可以通过平移得到，其余选项都不可以通过平移得到， 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）下列不属于平移现象的是（   ） A．升降电梯上下移动 B．电风扇扇叶的转动 C．拉抽屉 D．传送带上物品传输 【答案】B 【知识点】生活中的平移现象 【分析】根据平移的定义对各选项分析判断即可得解． 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 【详解】解：A、升降电梯上下移动，属于平移； B、电风扇扇叶转动，不属于平移； C、拉抽屉，属于平移； D、传送带上物品传输，属于平移． 故选：B． 【变式1-3】（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）图书馆是一个免费的知识库，收藏并提供了各种书籍．在以下图书馆的标志中，其文字上方的图案能够由一个基本图形通过多次平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小对各选项分析判断即可得解． 【详解】 解：四川图书馆文字上方的图案能够由一个基本图形，再通过二次平移得到，其他图片不能由平移直接得到， 故选A． 考点二：利用平移的性质求解 例2.（2025年贵州省中考二模数学试题）如图，是经过平移得到的图形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的性质，学生们熟练掌握即可． 根据平移的性质，对应点的连接线互相平行且相等，平移变换只改变图形的位置不改变图形的大小和形状，对各项进行分析即可． 【详解】解：∵是经过平移得到的图形， ∴，，，故A，B，C正确； ∴，，但和不一定相等，故D错误． 故选：D． 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由平移的性质得到，又由即可求解． 【详解】解：∵的是直角三角形沿着斜边的方向平移后得到的， ， ， ∴， 故选：C． 【变式2-2】（24-25七年级下·新疆喀什·期中）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地．如图，若将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这条小路的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了利用平移解决实际问题，理解题意，草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，利用原长方形面积减去草坪面积，得出小路的面积． 【详解】解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴这条小路的面积为， 故选：C． 【变式2-3】（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位到位置．下列结论： ①，且； ②； ③若，则边扫过的图形的面积为5； ④若四边形的周长为a，三角形的周长为b，则． 其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质，平行四边形的面积公式即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移的性质可知，且，故①符合题意； ∵， ∴， ∴，故②符合题意； 当，，则边扫过的图形的面积为：，故③不符合题意； 四边形的周长为， 三角形的周长为， 由平移可知，， ∴， ∴，即，故④符合题意， 综上，符合题意的有①②④， 故选：C 考点三：点在平面直角坐标系中的平移 例3. （24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B．则点B的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查坐标与平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解∶∵点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B． ∴点B的坐标为，即， 故答案为∶ ． 【变式3-1】（2025·辽宁铁岭·二模）在平面直角坐标系中，将线段先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，点P是线段上的一点，平移后点P 的对应点 Q 的坐标为，则点 P 的坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标的平移规律，熟知点的坐标的平移规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据点的坐标的平移规律进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，点P 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后对应点 Q 的坐标为，即点P的坐标为， 即． 故答案为． 【变式3-2】（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）如图，无人机编队飞行（即平行飞行，速度相同）的两架无人机A，B在坐标系中的坐标分别为，当无人机A飞到指定位置处时，无人机B飞到位置的坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据无人机编队飞行，可知点A到点的平移方式相同，据此判断出平移方式，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴人机B飞到位置的坐标为，即， 故答案为：． 【变式3-3】（2025·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是 ． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解、由平移方式确定点的坐标、坐标系中的平移 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，点平移的变化规律是：横坐标左减右加；纵坐标上加下减，熟练掌握点平移的变化规律是解题的关键． 直接利用点平移的变化规律求解即可． 【详解】解：∵的顶点A，B的坐标分别为，，， ∴， ∴点A平移至点C的坐标为， 故答案为：． 考点四：中心对称图形的识别 例4．（浙江省杭州市下城区2024-2025学年八年级下学期期末数学模拟试卷）剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意. 故选：B． 【变式4-1】（2025九年级下·山东济南·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个选项判断即可，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及认真观察图形是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：． 【变式4-2】（2025·广东肇庆·二模）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的判定，解题的关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念． 利用轴对称图形和中心对称图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B. 该选项图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C. 该选项图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； D. 该选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【变式4-3】（2025·山东滨州·二模）纹样既是有装饰、识别等实际作用的图案，也是各种寓意和文化内涵的载体，是人类文明发展过程中的重要组成部分.我国传统纹样大多寓意吉祥、幸福、平安，正所谓“纹必有意，意必吉祥”，常见的吉祥纹样有如意纹、葫芦纹、缠枝纹等，反映的是千百年来我们华夏大地上人们对于美好生活的追求.以下纹样属于中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项合题意； C．该图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 考点五：求关于原点的对称点的坐标 例5.（2025·云南西双版纳·二模）在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称， ． 【答案】5 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的两点的坐标特征，掌握“关于原点对称的两点：横坐标与纵坐标分别互为相反数”这一特征是解题关键． 根据关于原点对称的两点的坐标特征求解． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， 故答案为：5 ． 【变式5-1】（2025·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，则点关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标，点B的坐标都取相反数即得． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点， ∴， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 【变式5-2】（2025·四川绵阳·二模）已知点 ，且，则点 P关于原点对称的点的坐标为 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、加减消元法、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了平方式和算术平方根的非负性、求关于原点对称的点的坐标以及解二元一次方程组，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答的关键． 根据平方式和算术平方根的非负性列方程组求解，从而求得点P坐标，再根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∴点P坐标为， ∴点关于原点对称的点的坐标， 故答案为：． 【变式5-3】（2025·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，将点向右平移一个单位得到点B，再取点B关于原点的对称点C，然后把点C绕原点顺时针旋转得到点，称作一个周期变化，第二个周期变化后得到的点为，第三个周期变化后得到的点为，以此类推，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、求关于原点对称的点的坐标 【分析】依据题意求出的坐标，发现4次一循环，那么得到点的坐标与点的坐标一样，即可求解． 【详解】解：如图： 由题意得，，即， ∵取点B关于原点的对称点C， ∴， ∵点C绕原点顺时针旋转得到点 ∴， 同理，由题意得，， 由旋转得：， 过点分别作轴的垂线，垂足为点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上操作可求：，，， 发现4次一循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标一样为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的规律探索，旋转的性质，点的平移，全等三角形的判定与性质等知识点，找出点的变化规律是解题的关键． 考点六：求旋转中心、旋转角 例6. （2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，得到（点均为格点），则旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为，同时旋转中心在和的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为， ∴交点在和的垂直平分线上，如图， ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． 【变式6-1】（2025七年级下·江苏·专题练习）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是 点 【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转图形的性质，，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故答案为：． 【变式6-2】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是 ． 【答案】/50度 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查旋转的性质，正确得出旋转角为是解题关键．根据旋转的性质旋转角为，结合，，即可解决问题． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到， ∴旋转角为， ∵，， ∴，即旋转角的度数是， 故答案为： 【变式6-3】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，每个小方格都是边长为1的正方形．是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了找旋转中心，坐标与图形；设旋转中心为点．根据旋转中心必然在一组对应点的中垂线上，根据网格找到的垂直平分线的交点，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：如图，旋转中心为点，． 故答案为：． 考点七：求某点旋转后的坐标 例7．（2025·湖北孝感·二模）如图，O是原点，，将绕O逆时针旋转得，则点C的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】过点C作于点D，结合条件是等腰直角三角形建构起一线三直角全等模型，利用模型的二级结论解决问题． 【详解】解：过点C作轴于点D，过点A作轴于点B， 根据绕O逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点C在第二象限， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，坐标与线段的关系，坐标与象限的关系，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【变式7-1】（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．根据题意画出图形，连接，作轴于点B，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转，可得点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 【详解】解：如图所示：连接，作轴于点B， ∵点A坐标是． ∴，， ∴， ∴， 当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转， ∴点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 故答案为：． 【变式7-2】（2025·山东淄博·一模）如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了图形的平移，图形的旋转，图形与坐标，根据题意画出图形即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，点的坐标是， 故答案为：． 【变式7-3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了勾股定理，点的坐标旋转规律，正确找到规律是解题的关键． 先利用勾股定理求出点的坐标，再根据题意得到规律每秒为一个循环，点回到起始位置，则第秒点的位置与第秒点的位置相同，即相当于把点绕点逆时针旋，由此求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴（正值舍去）， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，每秒旋转， ∴每秒为一个循环，点回到起始位置， ∵， ∴第秒点的位置与第秒点的位置相同，即相当于把点绕点逆时针旋转， 如下图， ∴此时点的对应点坐标为， 故答案为：． 考点八：平面直角坐标系中平移和旋转作图 例8.（24-25八年级下·广东佛山·期中）智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是． (1)将三角板以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移三角板，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的． (3)将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、画旋转图形、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、平移(作图) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，正确找到对应点位置是解题的关键． （1）根据题意可得点C分别是的中点，据此得到的坐标，描出，再顺次连接，C即可； （2）根据点A和点的坐标可知平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度，据此确定的坐标，再描出并顺次连接即可； （3）由于是绕点C旋转180度得到，是平移得到的，那么一定是绕某点旋转180度得到，故和的对应点连线的中点即为旋转中心，据此求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，线段的交点即为所求． 故答案为： 【变式8-1】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出． (2)将绕着点按顺时针方向旋转得到，画出． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】平移(作图)、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查旋转变换和平移变换，熟练掌握旋转变换和平移变换的定义是解题的关键，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标． （1）根据平移前后C点坐标和的坐标可画出图形； （2）将三角形三顶点分别绕着点O按顺时针方向旋转得到对应点，连接可得． 【详解】（1）解：由和的坐标为可知其平移规律为往右平移5个单位，往下平移3个单位，如下图所示，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【变式8-2】（2025·安徽合肥·二模）如图，均在格点（网格线的交点）上，每一小格正方形的边长均为1． (1)作关于轴对称的图形，请在图中作出． (2)将绕点按顺时针方向旋转后，得到，请在图中作出． (3)直接写出（2）中点的坐标：________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、画旋转图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了作图-旋转变换，作图-轴对称变换，点坐标，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质画出点、、的对应点分别为，即可画出； （2）根据旋转的性质即可将绕点顺时针旋转得到； （3）根据图象写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示；即为所求； （2）解：如图所示；即为所求； （3）解：． 【变式8-3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知点A，B，C的坐标分别为，，． (1)将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请画出； (2)平移过程中，线段扫过的面积________． (3)将绕着O顺时针旋转后得到，请画出； (4)线段在x轴上运动（点D在点E左边），且，直接写出四边形周长的最小值________． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)见解析 (4) 【知识点】用勾股定理解三角形、平移(作图)、坐标与图形变化——轴对称、画旋转图形 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，勾股定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用平移的性质即可求得线段扫过的面积； （3）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）连接，，当取得最小值时，四边形周长有最小值，取点左侧一格点，连接，作点关于轴的对称点，连接，当共线时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：平移过程中，线段扫过的面积； 故答案为：5； （3）解：如图，即为所求； ； （4）解：连接，， 四边形周长 ， 当取得最小值时，四边形周长有最小值， 取点左侧一格点，连接， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点关于轴的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为的长， ， ∴四边形周长有最小值． 考点九：几何图形中的旋转综合问题 例9. （2025·贵州遵义·三模）如图，已知为等边三角形．P为内一点，，将绕点B逆时针旋转后得到． (1)求点P与点之间的距离； (2)求的度数． 【答案】(1)9 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、判断三边能否构成直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接．由题意可知，证明．则可证明为等边三角形，即可得到． （2）证明，得到，由等边三角形的性质得到，则． 【详解】（1）解：如图，连接． 由题意可知， 为等边三角形， ， ∴ ． 为等边三角形， ． （2）解：∵， ∴ ∴， 为直角三角形，且， ∵为等边三角形， ∴， ． 【变式9-1】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）两块等腰直角三角形纸片和按图所示放置，直角顶点重合在点O处，，保持纸片不动，将纸片绕点O逆时针旋转角度，如图所示． (1)在图中，求证：且 (2)当与在同一直线上（如图）时， 若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、等腰三角形的定义 【分析】（1）如图2中，延长交于G，交于E．只要证明即可解决问题． （2）如图3中，在中，利用勾股定理求出，再根据即可解决问题． 本题考查了勾股定理，旋转性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵两块纸片和是等腰直角三角形， ∴， 如图2中，延长交于G，交于E． ∵， ∴ ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图3中，由（1）得 ， 由（1）得在同一直线上， ∴是直角三角形， ∴ 解得 【变式9-2】（2025·湖南怀化·二模）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，，． (1)观察猜想：将图1中的三角尺绕逆时针的方向旋转至如图2的位置，使得，交于点，则的度数为_____； (2)操作探究：如图2所示，在（1）的条件下，已知，，求此时线段的长度； (3)深化拓展：将图1中的三角尺绕点逆时针的方向旋转至如图3的位置（），线段与交于点，点在线段上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，平行线的性质； （1）根据平行线的性质可得，进而可得； （2）过点作于点，设，则，根据，求得，进而求得，根据，即可求解； （3）过点作，则是等腰直角三角形，设，根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质表示出，根据，，得出，进而求比值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， （3）解：如图，过点作， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形，， ∴，，是等腰直角三角形， 设 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【变式9-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 已知等边三角形中，点，分别在，边上，且，将绕点旋转，连接，． 【问题背景】 （1）如图①，当点，分别在，边上时，线段和的数量关系为________； 【问题迁移】 （2）当旋转到如图②的位置时，线段和的数量关系为________；和的数量关系为________，并说明理由； 【问题拓展】 （3）当点旋转到线段上时，如图③所示，若，，则的长为________； （4）若，，则在旋转的过程中，当时，的长为________． 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）． 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）直接根据等边三角形的定义及线段和差求解即可； （2）证明（）即可得解； （3）过点作于，由（）得，从而证明是等边三角形，，由勾股定理得，，从而即可得解； （4）如图，过点作于，由（）得，根据平行线的性质得，从而得，，进而利用勾股定理即可得解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴即， 故答案为：； （2），，理由如下： ∵是等边三角形，将绕点旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴（） ∴，； （3）过点作于， 由（2）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）如图，过点作于， 由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级下·广东广州·期中）剪纸文化是中国的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故符合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意． 故选：D． 2．（甘肃省陇南市2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）在平面直角坐标系中，点，．如果平移坐标系后点的坐标为，则平移后坐标系中点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题需要先根据点坐标的变化确定坐标系的平移规律，再依据此规律求出平移后点的坐标．本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标与坐标系平移的关系．解题的关键在于理解点坐标的变化与坐标系平移方向相反，通过已知点坐标的变化准确确定坐标系的平移规律，进而求出其他点在平移后坐标系中的坐标． 【详解】解：∵点原来坐标为，平移后坐标变为． 横坐标的变化：， ∴坐标系在轴方向向右平移了个单位． ∵纵坐标的变化：， ∴坐标系在轴方向向上平移了个单位． ∵点原来坐标为． ∴在轴方向，；在轴方向，． ∴平移后点的坐标为． 故选：B． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．由中心对称的性质可得，点与点关于点对称，，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，， ①②③正确，④错误， 故选：A 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②∥，③，④，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】内错角相等两直线平行、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：①绕点逆时针旋转得到， ，故①正确； ②绕点逆时针旋转， ． ， ． ， ． ，故②正确； ③在中， ， ． ． 与不垂直，故③不正确； ④在中， ， ． ，故④正确． ①②④这三个结论正确． 故选：B 5．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，…，第n次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则n的值为（   ） A．504 B．505 C．2021 D．2025 【答案】B 【知识点】图形类规律探索、利用平移的性质求解 【分析】此题主要考查了代数式，图形的变化规律，以及一元一次方程，根据图形变化规律得出长度的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，再找出长度的规律，然后根据所求得出数字变化规律，再根据规律列出方程求解n的值． 【详解】解：∵，第1次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，此时，， 第2次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，此时， 以此类推，第n次平移后，． ∵的长度为2025， ∴， 解得：， 故选：B． 二、填空题 6．（2025·河北唐山·二模）点关于原点的对称点坐标为 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数即可得解，熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解此题的关键． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为， 故答案为：． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查的是旋转的性质，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，灵活运用以上知识解题是关键．根据题意画出示意图，结合旋转的性质及全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图：则， ∵， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得得点在第三象限， ∴， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则点到的距离是 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用、用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键．过点作于点，先根据中心对称图形的性质可得，，，利用勾股定理可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵与关于点成中心对称，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点到的距离是， 故答案为：． 9．（吉林省松原市前郭县2024~2025学年下学期期中测试卷七年级数学试题）如图所示，的周长为，将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，如图所示．下列结论：①且；②且；③和的周长和为；④；⑤若，，则四边形的周长为14，正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质：平移前后图形的形状大小都不变，对应边平行且相等，对应点的连线平行（或共线）且相等．利用平移的性质即可判断结论①②正确；根据三角形的周长公式可得，根据平移的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可判断结论③错误；利用平移可得，再根据，即可判断结论④正确；根据四边形周长公式计算，即可判断结论⑤错误． 【详解】解：∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置， ∴且；且；，则结论①②正确； ∵的周长为， ∴， ∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置， ∴，， ∴和的周长和为 ，则结论③错误； ∵，，， ∴，则结论④正确； 由平移的性质得：， ∴四边形的周长为，则结论⑤错误； 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 10．（24-25八年级下·山西太原·期中）如图，在中，，，点是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，直线与边分别交于点．若是等腰三角形，则旋转角为 ． 【答案】或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了等边对等角，旋转的性质，三角形外角和的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意得到线段与所成角即为旋转角，分类讨论：当时，是等腰三角形；当时，时等腰三角形；结合等腰三角形定义，三角形外角和的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到对应线段， ∴线段与所成角即为旋转角， 当时，是等腰三角形， ∴，， ∴，即点与点重合， ∴旋转角为； 当时，是等腰三角形， 根据旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角为； 综上所述，旋转角为或； 故答案为：或 ． 三、解答题 11．（2025·四川南充·二模）如图，在中，，，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解； （2）根据全等三角形的面积相等，将所求面积转化为等腰直角的面积，进而利用直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转性质得，，又， ∴， 在和中， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积为． 12．（24-25八年级下·山西太原·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为，，． (1)平移，使点A的对应点的坐标是 ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移__________个单位长度，再__________；如果看成一次平移，则平移的距离是__________个单位长度． (2)请在图中画出关于原点中心对称的，此时和关于某一点中心对称，这一点的坐标为__________． 【答案】(1)①见解析；②4，向下平移2个单位长度， (2)图见解析； 【知识点】用勾股定理解三角形、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、判断中心对称图形的对称中心、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查中心变换和平移变换及勾股定理，熟练掌握中心变换和平移变换的定义是解题的关键． （1）①根据平移的性质得出坐标，进而画出图形即可；②根据平移的性质及勾股定理即可求解； （2）根据中心对称的性质先画出关于原点中心对称的，连接、、的交点就是对称中心． 【详解】（1）解：①如图所示， ②由图形得，将平移到的过程中，如果看成两次平移可描述为：先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，如果看成一次平移，则平移的距离是个单位长度； （2）解：如图所示；连接、、的交点为． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了图形平移性质、三角形内角和定理以及相关角度和面积的计算．解题关键是利用平移性质得到角与面积的等量关系，结合三角形内角和等知识求解角度与面积． （1）利用平移性质得到对应角相等，进而推出两直线平行，再依据平行线性质得出与已知角相等，结合较大锐角为，求出度数． （2）先由第一问结论得到度数，根据已知度数求出，再在中利用三角形内角和定理求出，从而得出结论． （3）根据平移性质可知，又因为，结合三块阴影部分面积和为，通过面积关系的等量代换，得出一个直角三角板的面积． 【详解】（1）解：是由向左平移得到的 ∵ ， ∴； （2）由（1）可知： ∵ 在中， ； （3）∵三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上， ∴， ∵，三块阴影部分的面积之和为6， ∴， ∴一个直角三角板的面积为6． 故答案为：6． 14．（2025·安徽阜阳·三模）如图，已知点，将线段逆时针旋转并扩大倍得到，连接，得到第一个等腰；将线段逆时针旋转并扩大倍得到，连接，得到第二个等腰；将线段逆时针旋转并扩大倍得到，连接，得到第三个等腰；……如此进行下去． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)点的坐标为______． 【答案】(1)； (2) 【知识点】点坐标规律探索、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查旋转变换，等腰直角三角形，图形规律，解题的关键是确定所在的象限． （1）根据等腰直角三角形的性质即可解答； （2）根据题意找到题中规律，即可解答． 【详解】（1）解：点， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）解：由上述规律可得分布的象限为个一循环， ， 在第一象限，且横纵坐标相等，为， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江西抚州·期中）（1）问题发现：如图1，在中，，为边上一点（不与点、重合）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系是____________，位置关系是____________． （2）探究证明：如图2，在与中，，将绕点A旋转，使点落在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的数量关系，并证明． （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，求的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题是三角形全等的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵在中，， ∴， 由旋转可知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 答案为：，； （2）， 理由：如图2，∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图3，将绕点A逆时针旋转至，连接、， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∴ ∵中，，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$