第02讲 一元一次不等式与一元一次不等式组（思维导图+8知识点+9考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第02讲 一元一次不等式与一元一次不等式组 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 知识点04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 2.一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点06 一元一次不等式（组）的整数解 1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 2.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点07 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 知识点08 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合. (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合. (3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合. (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合. 考点一：不等式的基本性质 例1．（24-25七年级下·北京·期中）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质、判断命题真假 【分析】本题考查了不等式的基本性质，真假命题的判断，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质逐一判断即可解答； 【详解】解：A、两边同时加上2得，，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意； B、两边同时乘以得，，不等号的方向改变，说法正确，故选项不符合题意； C、若，当时，，原说法不正确，假命题，故选项符合题意； D、，两边同时除以2，则，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（2025·四川绵阳·二模）以下说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，正确，符合题意； B、当时，，原说法错误，不符合题意； C、若，，则，原说法错误，不符合题意； D、若，，则，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，原变形正确， B．若且，则，原变形错误， C．若且，则，原变形错误， D．若，则，原变形错误， 故选：A． 【变式1-3】（2025·浙江杭州·二模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴，， 当时，， 而一定成立， 所以选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 考点二：解一元一次不等式（组） 例2.（北京市延庆区2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试卷）按要求解下列不等式（组） (1)解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】(1) (2)．所有整数解是． 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查解不等式（组），掌握不等式的性质是关键． （1）根据不等式的性质求解，并把解集表示在数轴上即可； （2）根据不等式的性质求解，再根据不等组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，最后根据整数解计算即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 系数化为1，得， 这个不等式的解集在数轴上表示为： （2）解：， 由①得：， 由②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的所有整数解是． 【变式2-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式（组） (1)解不等式 (2)解不等式组 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式的步骤． （1）利用解不等式的步骤进行求解即可； （2）利用解不等式组的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴该不等式组的解集为． 【变式2-2】（24-25七年级下·四川宜宾·期中）解不等式（组） (1) (2)（在数轴上把解集表示出来，并写出不等式组的整数解） 【答案】(1) (2)；数轴见解析；整数解为 和 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）； （1）按解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）先求出每一个不等式的解集，再找出公共解集即可． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以这个不等式的解集为，， 在数轴上表示为 整数解为 和 【变式2-3】（24-25八年级下·山东青岛·期中）按题目要求解不等式或不等式组 (1)解不等式：，并把解集表示在数轴上． (2)解不等式组． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 考点三：一元一次不等式（组）求解中错解复原问题 例3. （24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ．第五步 任务一：填空 ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________． 任务二：请写出正确的解题过程． 【答案】任务一：①不等式的性质2：不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；②三，移项没有改变符号；任务二：见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】任务一：①根据不等式的性质2可得答案；②由移项没有改变符号可得第三步开始出现错误； 任务二：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的性质2：不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变进行变形的； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有改变符号； 任务二： ． 解：， ， ， ， ． 【变式3-1】（24-25七年级下·山西临汾·期中）下面是小王同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：．    …第①步 ．        …第②步 ．        …第③步 ．        …第④步 (1)第①步的依据是________； (2)第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (3)请直接写出该不等式的解集． 【答案】(1)不等式的性质 (2)②，去括号时数字3没有乘以系数3 (3) 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）根据题意可得第①步的依据是不等式的性质； （2）第②步去括号时数字3没有乘以系数3，据此可得答案； （3）根据（2）所求，改正错误后解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得第①步的依据是不等式的性质； （2）解：观察解题过程可知，第②步开始出现错误，错误原因是去括号时数字3没有乘以系数3； （3）解： ．     ．        ．         ． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 第六步 …… (1)填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)第二步，第三步 (2)见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式解集的取值方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质分别解出①②的解集，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间中，大大小小无解”的方法即可求解，再在数轴表示出来即可． 【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步； （2）解：解不等式①得，， ， 解不等式②得，， ， ， ， 则不等式组的解集为：． 数轴上表示为： 【变式3-3】（2025·宁夏吴忠·二模）解不等式组 下面是某同学解不等式组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得：     第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 任务一： 填空：（1）以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的． （2）第________步开始出现错误．这一步错误的原因是________． 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【答案】任务一：（1）不等式的性质；（2）五，不等号的方向没有改变；任务二：解不等式②见解析，该不等式组的解集为 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质是关键． 任务一：（1）根据不等式的性质判断即可求解；（2）根据不等式的性质判断即可求解； 任务二：根据不等式的解法解不等式②，再根据不等式组解集的求法表示不等式组的解集即可． 【详解】解：任务一：解：由①得：     第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 （1）第一步是依据不等式的性质进行变形的， 故答案为：不等式的性质； （2）第五步开始出现错误．这一步错误的原因是不等号的方向没有改变， 故答案为：五，不等号的方向没有改变； 任务二：解不等式②： ， 该不等式组的解集为． 考点四：根据一元一次不等式的解集求参数 例4．（2025·广东广州·模拟预测）关于的不等式的解集如图所示，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查根据不等式的解集求参数的范围，用数轴表示不等式的解集，由数轴可知，不等式的解集为：，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：不等式的解集为：， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级下·上海松江·期中）已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式、由数轴得出不等式的解集，解题的关键是得出不等式的解集后和数轴上的解结合得出关于m的方程． 由不等式和数轴可以得出该不等式的解集，由此可知此时得到的两个式子是一样的，进而可以得到关于m的方程，解此方程即可得出结论． 【详解】解：由数轴可得不等式的解集为， ∴解不等式得， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）若的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】根据不等式的性质得，再解出的取值范围，即可作答．本题主要考查了不等式的性质，解一元一次不等式，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵的解集为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级下·四川内江·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘（或除以）同一个负数不等号方向要改变．由不等式的解集为得且，将原不等式变形可得，结合两边除以可得答案． 【详解】解：∵不等式， ∴， ∵不等式的解集为， ∴且， ∵ ∴ ∴，解得， 故答案为：． 考点五：利用一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围 例5.（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）关于的不等式有且只有三个负整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解 【分析】首先解不等式即，然后根据条件即可确定的取值范围，即可作答．本题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式有且只有三个负整数解， 则其负整数解为， ∴的取值范围为： ∴ 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解，解题关键在于掌握运算法则．根据题目中的不等式可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】由得，， ∵不等式的正整数解恰是1，2，3， ∴且， 解得，， 故答案为． 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得m的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集是：， 不等式组有3个整数解，则整数解是4，5，6， 则． 故答案为：． 【变式5-3】（2025·四川泸州·二模）关于的不等式组有且只有四个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查求含参数的不等式解集，熟练掌握解一元一次不等式组，不等式组的整数解：是解题关键． 求出原不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，得出关于a的不等式组，解不等式组确定出a的范围即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组只有4个整数解， 为2，1，0，， ∴， ∴． 故答案为：． 考点六：根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 例6. （24-25八年级下·宁夏银川·期中）不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 先解得，利用同大取大得到，然后解关于m的不等式即可． 【详解】解：， 解①，得， ∴， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-1】（2025·河南周口·三模）关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为 ． 【答案】． 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查不等式组解集的确定，关键在于理解参数与第二个不等式解集之间的包含关系．通过比较两个不等式解集的范围，可确定的取值范围．本题解第二个不等式，结合两个不等式的解集关系，即可分析参数的取值范围． 【详解】解：由，得到，即， 已知不等式组的解集为， 则第一个不等式的解集必须包含第二个不等式的解集， 因此的取值范围应满足． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级下·湖南怀化·期中）若不等式组的解集是，则 ． 【答案】1 【知识点】有理数的乘方运算、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别表示不等式组的解集，根据已知解集确定出与的值，即可求出原式的值． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 由不等式组的解集为，得到， 解得：，， 则原式， 故答案为：． 【变式6-3】（2025·黑龙江大庆·一模）若不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查由不等式组解集情况求参数，涉及不等式组的解法，先解不等式组，再由不等式组无解，分类讨论即可得到答案．掌握不等式组的解法，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得③； 不等式组无解， 当时，，解③得，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得为任意实数，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得，则，解得； 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 考点七：整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题 例7．（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得是解题关键．利用加减消元法求得，再建立不等式求m即可； 【详解】解： 由①②，得：， ∴， 当时，， 解得： ， ∴， 故答案为： 【变式7-1】（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如果关于x、y的方程组的解满足且，则实数a的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、求不等式组的解集、已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，数量掌握相关解法是解题关键．先解二元一次方程组，进而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 由得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 且， ， ， 的取值范围是， 故答案为： 【变式7-2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 考点八：一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题 例8.（辽宁省大连市金普新区2024-2025年八年级下学期期中数学试题　）如图，一次函数的图象经过，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 根据图象得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴由图象可得：当时，一次函数的图象在x轴上方 ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 【变式8-1】（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．先求出直线与x轴的交点坐标，然后根据函数特征，写出在x轴上方，直线在直线上方所对应的自变量的范围，即可得不等式组的解集． 【详解】解：令，则，解得， ∴直线与x轴的交点坐标为， ∵直线与直线交点为， ∴关于x的不等式组的解集为． 故答案为：． 【变式8-2】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式．不等式的解集就是图象上两个一次函数的图象都在轴的下方，且的图象在的图象的下边的部分对应的自变量的取值范围． 【详解】解：经过点的直线与直线相交于点， 不等式的解集为． 故答案为：． 【变式8-3】（2025八年级下·内蒙古·专题练习）一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是 ． 【答案】①② 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据函数图象结合一次函数性质逐项判断，由一次函数图像及其性质可知的符号情况，从而可判断①，由两函数图像的交点情况可判断②，根据函数图象结合一次函数性质可判断③，利用特殊值法可判断④，即可解题． 【详解】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， .∴， ∴，即，故②正确； ③∵， ∴ 当的值每增加，，故③错误， 当时，由图象可得：，故④错误． 综上所述，正确的是①②． 故答案为：①②． 考点九：用一元一次不等式与不等式组解决实际问题 例9. （23-24七年级下·全国·课后作业）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高． (1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)A型机器人的单价为4500元；B型机器人的单价为3000元 (2)商场应购买A型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程组即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设型机器人进价为元，购进型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即型机器人进价为 3000 元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人 3 台，型机器人 2 台，总费用为 19500 元． 【变式9-1】（2025·广东广州·二模）为响应“碳达峰，碳中和”的目标．其新能源公司推广智能充电桩建设，已知建设充电桩的总成本（万元）与充电桩数量（个）之间存在一次函数关系，10个充电桩的总成本为12万元，20个充电桩的总成本为22万元． (1)求这个一次函数解析式； (2)若每安装一个充电桩，公司可获得0.7万元的补贴，且本补贴可直接抵扣建设成本．该公司预计出资30万元建设充电桩，则最多能建设多少个充电桩? 【答案】(1) (2)最多能建设16个充电桩 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出函数关系式求解即可． （1）设一次函数解析式为，把代入函数关系式，求出的值即可； （2）根据“实际出资≤预计出资-获得的补贴”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 把代入函数关系式，得： ， 解得， 所以，一次函数解析式为； （2）解：设最多能建设x个充电桩，根据题意得， ， 解得，， ∵是整数， ∴的最大值为：16， 故最多能建设16个充电桩． 【变式9-2】（2025·云南昆明·二模）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束40元，购买康乃馨所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示． (1)求y与x的函数解析式； (2)该鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花共200束，若购买康乃馨的数量不超过150束，且不少于玫瑰花的数量，求购买这两种鲜花的总费用W的最小值． 【答案】(1) (2)8600元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题考查了一次函数的应用，根据图象求出函数关系式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到一元一次不等式组，求出x的取值范围，再得出W关于x的函数解析式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：当时，设函数解析式为 ∵图象过点 ∴   ∴ ∴    当时，设函数解析式为 ∵图象过，两点， ∴ 解得 ∴    综上所述，； （2）解：由题意，得   ∴    ∴ 即    ∵   ∴W随x增大而增大． 又∵ ∴当时，W取得最小值8600． 答：购买康乃馨和玫瑰花各100束时，花费最少，最少费用为8600元． 【变式9-3】（2025年四川省南充市名校联测中考二模数学试卷）某服装商店开辟专柜购进两款围巾销售，进货价和销售价如下表． 款 款 进价（元/条） 60 50 售价（元/条） 90 78 (1)第一次用10000元购进两款围巾共180条，求两款各购进多少条． (2)第二次根据销售情况，A款进货量不超过款进货量的一半，计划购进两款围巾共300条．应如何设计进货方案，才能获得最大利润，最大利润是多少？ (3)商店两次进货均按预期售完．请从利润率的角度分析，哪一次更划算？ 【答案】(1)两款分别购进100条，80条 (2)应购进A款围巾100条，款围巾200件，可获最大利润，最大利润为8600元 (3)从利润率的角度看，第二次更划算 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A款购进条，则款购进条．根据题意找出等量关系，列出方程组求解即可； （2）设第二次A款购进条，则款购进条．利润为元，先根据题意，列出不等式，求出x的取值范围，再根据总利润的利润的利润，得出y关于x的表达式，结合一次函数的增减性，即可解答． （3）先分别算出第一次的销售利润（A款利润与B款利润相加），再根据利润率公式算出第一次利润率；接着算出第二次进货成本和利润，进而得出第二次利润率；最后比较两次利润率大小，判断哪次更划算． 【详解】（1）解：设A款购进条，则款购进条．由题意，得 ． 解得． ∴． 即两款分别购进100条，80条． （2）设第二次A款购进条，则款购进条．由题意，得 ． 解得． 设利润为元，则． 随增大而增大， ∴时，． 此时． 即应购进A款围巾100条，款围巾200件，可获最大利润，最大利润为8600元． （3）第一次销售利润为（元）． 销售利润率为． 第二次进货款为（元）． 销售利润率为． ∴从利润率的角度看，第二次更划算． 一、单选题 1．（2025·浙江杭州·二模）已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．本题主要利用若，，则，依次进行判断即可． 【详解】解：A中，由，，则不一定成立，故选项A错误，不符合题意； B中，由，，则不一定成立，故选项B错误，不符合题意； C中，由，，则不一定成立，故选项C错误，不符合题意； D中，由，，则成立，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025·山东威海·一模）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、不等式的性质、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数的加减运算法则，根据点在数轴的位置判断式子的正负．解题的关键在于从数轴上获取正确的信息． 由数轴得，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴得， ，，∴、 错误，故不符合要求； ∵， ∴，∴C正确，故符合要求； ∵， ∴，∴错误，故不符合要求； 故选：C． 3．（湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年七年级下学期期中数学试题）已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是关键． 根据不等式的性质求解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”判定即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∵不等式组有解， ∴， 故选：A ． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了不等式的运用，理解数量关系，正确列不等式是关键． 根据题意可得，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于，由此列式即可． 【详解】解：小明家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，设小明同学跑步时间为，出家门时是，早上前要到达班级，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于， ∴， 故选：C ． 5．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】利用一次函数的性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性质及数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， 所以①正确； ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 所以②错误； ∵当时，， ∴关于x的方程的解为， 所以③正确； ∵当，直线在直线的下方， ∴时，． 所以④错误． 故答案为：C． 二、填空题 6．（2025·江西抚州·二模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查各象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组．根据第二象限内的点的横坐标为负数，纵坐标为正数即可列出不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第二象限， ， 解得． 故答案为：． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则不等式组的整数解的和为 ． 【答案】36 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】此题考查解一元一次不等式组，求不等式组的整数解的应用，解题的关键是求出不等式组的解集，难度适中． 根据新定义列出不等式组，求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，最后求出答案即可． 【详解】解：根据， 将不等式组整理得， 解得：， 所以整数，2，3，4，5，6，7，8，其和为， 故答案为：36． 8．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 根据得，结合直线与直线交于点，可得的值，再利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：由，得， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线与直线交于点， 又∵， ∴根据图像得：， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）已知关于的不等式组只有三个正整数解，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，先求出不等式组的解集，根据不等式组只有三个正整数解，得到，求出k的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 不等式组只有三个正整数解， ， 解得， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果关于x的不等式组有解，且关于x的方程有正整数解，那么符合条件k的所有整数和为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 先解方程，再根据不等式组有解求出的取值范围，然后根据方程有正整数解得出，将的取值代入，找出符合条件的值，并相加即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 该不等式组有解， ， 解得． 整理方程，得． 方程有正整数解， ，解得， ． 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得，不符合题意，舍去； 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·北京·期中）（1）解不等式，并写出它的所有负整数解； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），不等式的负整数解为、；（2），见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式与一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）∵， ∴， 移项得：， 整理得：， 解得：， 则不等式的负整数解为、； （2）由，得：， 由，得：， 则不等式组的解集为． 将解集表示在数轴上如下： ． 12．（24-25七年级下·山西临汾·期中）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．  第一步 移项，得．  第二步 合并同类项，得．  第三步 x系数化成1，得．  第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是________． (2)在解答过程中，第________处出错，错误原因是________． (3)原不等式的正确解集为________． (4)解不等式组：并把解集表示在数轴上． 【答案】(1)不等式的基本性质 (2)四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误） (3) (4)；数轴见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解不等式，求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，正确的求出不等式的解集，是解题的关键： （1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）第四步，系数化1时，不等号的方向没有发生改变出错； （3）第四步系数化1，正确的求解即可； （4）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可。 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质； （2）在解答过程中，第四步，系数化1时，不等号的方向没有发生改变出错； （3）解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． x系数化成1，得． （4）由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示解集如图： 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y都为非负数，求a的取值范围． 【答案】 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集 【分析】先求得方程组的解，后根据解的属性建立不等式组，解答即可． 此题考查了利用方程组的解的情况求参数，加减法解二元一次方程组，正确理解方程组的解是非负数得到不等式组是解题的关键． 【详解】解：由， 解得， 由解x，y都为非负数，得， 解不等式组，得， 故a的取值范围是． 14．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如果不等式组的解集是． (1)求的取值范围； (2)不等式的解集为，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得原则是解题的关键． （1）求出不等式组各不等式的解集，再与已知解集相比较即可得出m的取值范围； （2）根据不等式的基本性质得出m的取值范围，再结合（1）中m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：， 由①得，， 不等式组的解集是， ； （2）不等式的解为， ， 解得：， 由（1）知，， 15．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）某商场计划购进甲、乙两种商品出售，且甲种每件售价220元，乙种每件售价160元．每件甲商品的进价比乙种商品的进价贵40元，购进3件甲种商品的费用和购进4件乙种商品的费用相等，现计划购进两种商品共120件，其中甲种商品不少于60件 (1)求甲种、乙种商品的进价； (2)若购进这120件品的费用不得超过17400元． ①求甲种商品最多购进多少件？ ②现要对甲种商品降价促销，每件商品降价a（）元，乙种商品价格不变，如果这120件商品都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1)甲种商品每件的进价160元，乙种商品每件的进价120元； (2)①甲种商品最多购进75件；②见解析 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）设甲种商品每件的进价元，根据题意得：，解出的值可得答案； （2）①设甲种商品购进件，根据甲种商品不少于60件，购进这120件商品的费用不得超过17400元得不等式组，求出范围可知甲种商品最多购进75件； ②设获得利润为元，根据题意得，分三种情况讨论可得答案． 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价元，则乙种商品每件的进价元， 根据题意得：， 解得， ， 甲种商品每件的进价160元，乙种商品每件的进价120元； （2）解：①设甲种商品购进件， 甲种商品不少于60件，购进这120件商品的费用不得超过17400元， ， 解得； 甲种商品最多购进75件； ②设获得利润为元， 根据题意得：， 当时，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时购进甲种商品75件，乙种商品45件利润最大； 当时，所有进货方案利润都是4800元； 当时，随增大而减小， 当时，取最大值，此时购进甲种商品60件，乙种商品60件利润最大． 综上所述，当时，购进甲种商品75件，乙种商品45件利润最大；当时，所有进货方案利润都是4800元；当时，购进甲种商品60件，乙种商品60件利润最大． 16．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在y轴上找一点，使得的值最大，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，三角形三边关系的应用，正确利用数形结合解题是解题关键． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）利用两直线与轴交点横坐标，结合图象得出答案； （3）①利用三角形面积公式求得即可；②记交轴于点，此时最大，再求解直线解析式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，， ∴关于x的方程的解是，关于x的不等式的解集是， 故答案为：， （2）∵关于x的不等式的解集是，关于x的不等式的解集是， ∴关于x的不等式组的解集， 故答案为： （3）①点C的坐标为．, ∴的面积为， 故答案为： ②，记交轴于点，    此时，此时最大， 设直线为， ∴，解得， 直线为， 令，则， 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一元一次不等式与一元一次不等式组 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 知识点04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 2.一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点06 一元一次不等式（组）的整数解 1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 2.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点07 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 知识点08 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合. (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合. (3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合. (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合. 考点一：不等式的基本性质 例1．（24-25七年级下·北京·期中）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-1】（2025·四川绵阳·二模）以下说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【变式1-2】（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】（2025·浙江杭州·二模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 考点二：解一元一次不等式（组） 例2.（北京市延庆区2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试卷）按要求解下列不等式（组） (1)解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【变式2-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式（组） (1)解不等式 (2)解不等式组 【变式2-2】（24-25七年级下·四川宜宾·期中）解不等式（组） (1) (2)（在数轴上把解集表示出来，并写出不等式组的整数解） 【变式2-3】（24-25八年级下·山东青岛·期中）按题目要求解不等式或不等式组 (1)解不等式：，并把解集表示在数轴上． (2)解不等式组． 考点三：一元一次不等式（组）求解中错解复原问题 例3. （24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ．第五步 任务一：填空 ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________． 任务二：请写出正确的解题过程． 【变式3-1】（24-25七年级下·山西临汾·期中）下面是小王同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：．    …第①步 ．        …第②步 ．        …第③步 ．        …第④步 (1)第①步的依据是________； (2)第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (3)请直接写出该不等式的解集． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 第六步 …… (1)填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【变式3-3】（2025·宁夏吴忠·二模）解不等式组 下面是某同学解不等式组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得：     第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 任务一： 填空：（1）以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的． （2）第________步开始出现错误．这一步错误的原因是________． 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 考点四：根据一元一次不等式的解集求参数 例4．（2025·广东广州·模拟预测）关于的不等式的解集如图所示，则的取值范围是 ． 【变式4-1】（24-25七年级下·上海松江·期中）已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值是 ． 【变式4-2】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）若的解集为，则的取值范围是 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·四川内江·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是 ． 考点五：利用一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围 例5.（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）关于的不等式有且只有三个负整数解，则的取值范围为 ． 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是 ． 【变式5-3】（2025·四川泸州·二模）关于的不等式组有且只有四个整数解，则的取值范围是 ． 考点六：根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 例6. （24-25八年级下·宁夏银川·期中）不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【变式6-1】（2025·河南周口·三模）关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为 ． 【变式6-2】（24-25七年级下·湖南怀化·期中）若不等式组的解集是，则 ． 【变式6-3】（2025·黑龙江大庆·一模）若不等式组无解，则的取值范围为 ． 考点七：整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题 例7．（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式7-1】（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如果关于x、y的方程组的解满足且，则实数a的取值范围是 ． 【变式7-2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【变式7-3】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 考点八：一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题 例8.（辽宁省大连市金普新区2024-2025年八年级下学期期中数学试题　）如图，一次函数的图象经过，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式8-1】（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 【变式8-2】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 【变式8-3】（2025八年级下·内蒙古·专题练习）一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是 ． 考点九：用一元一次不等式与不等式组解决实际问题 例9. （23-24七年级下·全国·课后作业）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高． (1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【变式9-1】（2025·广东广州·二模）为响应“碳达峰，碳中和”的目标．其新能源公司推广智能充电桩建设，已知建设充电桩的总成本（万元）与充电桩数量（个）之间存在一次函数关系，10个充电桩的总成本为12万元，20个充电桩的总成本为22万元． (1)求这个一次函数解析式； (2)若每安装一个充电桩，公司可获得0.7万元的补贴，且本补贴可直接抵扣建设成本．该公司预计出资30万元建设充电桩，则最多能建设多少个充电桩? 【变式9-2】（2025·云南昆明·二模）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束40元，购买康乃馨所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示． (1)求y与x的函数解析式； (2)该鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花共200束，若购买康乃馨的数量不超过150束，且不少于玫瑰花的数量，求购买这两种鲜花的总费用W的最小值． 【变式9-3】（2025年四川省南充市名校联测中考二模数学试卷）某服装商店开辟专柜购进两款围巾销售，进货价和销售价如下表． 款 款 进价（元/条） 60 50 售价（元/条） 90 78 (1)第一次用10000元购进两款围巾共180条，求两款各购进多少条． (2)第二次根据销售情况，A款进货量不超过款进货量的一半，计划购进两款围巾共300条．应如何设计进货方案，才能获得最大利润，最大利润是多少？ (3)商店两次进货均按预期售完．请从利润率的角度分析，哪一次更划算？ 一、单选题 1．（2025·浙江杭州·二模）已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·一模）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年七年级下学期期中数学试题）已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 6．（2025·江西抚州·二模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围是 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则不等式组的整数解的和为 ． 8．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 9．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）已知关于的不等式组只有三个正整数解，则k的取值范围是 ． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果关于x的不等式组有解，且关于x的方程有正整数解，那么符合条件k的所有整数和为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·北京·期中）（1）解不等式，并写出它的所有负整数解； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 12．（24-25七年级下·山西临汾·期中）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．  第一步 移项，得．  第二步 合并同类项，得．  第三步 x系数化成1，得．  第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是________． (2)在解答过程中，第________处出错，错误原因是________． (3)原不等式的正确解集为________． (4)解不等式组：并把解集表示在数轴上． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y都为非负数，求a的取值范围． 14．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如果不等式组的解集是． (1)求的取值范围； (2)不等式的解集为，求m的取值范围． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）某商场计划购进甲、乙两种商品出售，且甲种每件售价220元，乙种每件售价160元．每件甲商品的进价比乙种商品的进价贵40元，购进3件甲种商品的费用和购进4件乙种商品的费用相等，现计划购进两种商品共120件，其中甲种商品不少于60件 (1)求甲种、乙种商品的进价； (2)若购进这120件品的费用不得超过17400元． ①求甲种商品最多购进多少件？ ②现要对甲种商品降价促销，每件商品降价a（）元，乙种商品价格不变，如果这120件商品都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？ 16．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在y轴上找一点，使得的值最大，求点的坐标． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$