第05讲 三角形全等的基本解题模型（思维导图+6知识点+6考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第05讲 三角形全等的基本解题模型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、中点型:如图2，为的中点. 证明思路：若延长至点，使得，连结，则; 若延长至点，使得，连结，则. 3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点. 证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则. 知识点二 截长补短模型 【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE 知识点三 一线三等角模型 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 知识点四 角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 知识点五 角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 知识点六 角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型解读与图示】 条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结. 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 考点一：三角形全等模型之倍长中线模型 例1．（24-25八年级上·云南文山·期中）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线作法． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围． 方法一：延长到E使，连接； 方法二：过点C作的平行线交的延长线于E． 请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北沧州·期中）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题： 如图1，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过证明，把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得，从而得到的取值范围是； 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，，求证：； 【变式拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，，延长交于点．若，，则四边形的面积等于． 考点二：三角形全等模型之截长补短模型 例2.（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【变式2-1】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 考点三：三角形全等模型之一线三等角模型 例3. （24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，、、三点在直线上，，求证：． 证明：______ 即____________ 又 ____________ （请继续完成证明过程） 【变式3-1】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 考点四：三角形全等模型之角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【变式4-1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，是的角平分线，为上任意一点，于，于． (1)求证：； (2)如图2，在中，是的角平分线，于，于，若，，求的值； (3)如图3，在中，是的外角平分线，交的延长于点，当，时，求与的数量关系． 考点五：三角形全等模型之角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例5.如图，平分为射线上任意一点（不与点重合），过点作的垂线分别交于点．    (1)求证：； (2)作点关于射线的对称点，连接，在线段上取一点（不与点，点重合），作，交线段于点，连接．①依题意补全图形；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【变式5-1】阅读与思考： 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是内一点，且平分，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作交延长线于点交于点E， 平分 ， ， 在和中， ， （依据1） （依据2），， ，，…… (1)任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，____________； (2)任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； (3)应用：如图3，在中，，平分交于点D，过点C作交延长线于点E，若，求的面积． 考点六：三角形全等模型之角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例6. 如图，，，点在上． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式6-1】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）数学活动课上，在学习了角平分线的尺规作图后．嘉嘉受此问题启发，利用轴对称性又发现了一种作角平分线的方法．如图，请仔细阅读并完成相应任务． 【作法】 ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②再以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，交于点； ③连接交于点； ④作射线． 则射线即为的平分线． 【任务】 (1)由尺规作图可直接得到的相等线段有：和______． (2)由（1）中的条件，可证，依据是______（填判定方法） (3)如果把（2）中的作为条件，求证：平分． 一、解答题 1．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 2．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：． 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是的角平分线上一点，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点．使，请说明：． 4．（2025·内蒙古·二模）如图，在四边形中，，，平分，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)若的面积是，，求长． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 6．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图1和2，在四边形中，，，平分． (1)如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； (2)问题解决：如图2，求证：； (3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）知识背景：已知，如图1是课本中角平分线的作法．某校八年级数学兴趣小组在此基础上，继续深入探究“角平分线的作法”． 探究1：只用三角尺画的平分线． 数学兴趣小组讨论的方法如下：在上分别取点，使，方法①：如图2，分别过点画的垂线，垂足分别为点，这两条垂线相交于点C，作射线即为的平分线．方法②：如图3，分别过点画的垂线，相交于点C，作射线即为的平分线． 解决问题 （1）在方法①和方法②这两种画法中，选择其中一种，证明：是的平分线． 探究2：数学兴趣小组发现以上角平分线的画法，本质都是利用轴对称图形的性质，如果对称线段所在直线相交，那么交点一定在对称轴上． 解决问题 （2）如图4，使用无刻度的直尺和圆规作的平分线，最多作两次圆弧，连线次数不限（保留作图痕迹，不写作法）． 探究3：在探究仅使用刻度尺作角平分线的过程中，小亮的方法如下：如图5，将直尺一边与重合，利用对边画的平行线，交于点P；在平行线上取一点H，使；射线即为的平分线． 解决问题 （3）如图6，已知，点分别在上，与相交于点G，连接，若平分于点于点M． ①证明：； ②直接写出的度数． 8．（24-25七年级下·四川雅安·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 10．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 三角形全等的基本解题模型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、中点型:如图2，为的中点. 证明思路：若延长至点，使得，连结，则; 若延长至点，使得，连结，则. 3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点. 证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则. 知识点二 截长补短模型 【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE 知识点三 一线三等角模型 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 知识点四 角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 知识点五 角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 知识点六 角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型解读与图示】 条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结. 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 考点一：三角形全等模型之倍长中线模型 例1．（24-25八年级上·云南文山·期中）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线作法． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围． 方法一：延长到E使，连接； 方法二：过点C作的平行线交的延长线于E． 请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)见解析 【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线； （1）方法一中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可；方法二中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可； （2）先用证明，得出，再用证明，即可解答． 【详解】（1）解：选方法一来证明， 是的中线， 在和中 ， ， 在中， ， ， 即：， ； 选方法二来证明， 过点C作的平行线交的延长线于E． ∴ 是的中线， ， ， 在中， ， ， 即：， ； （2）解：延长到F使，连接，如图所示； 点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北沧州·期中）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题： 如图1，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过证明，把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得，从而得到的取值范围是； 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，，求证：； 【变式拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，，延长交于点．若，，则四边形的面积等于． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）12 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，三角形的三边关系，关键是通过作辅助线构造全等三角形． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，由“”可证，可得，，即可求解； （3）延长到使，连接，又，即可判定，得到，，而，得到，由，得到，由三角形那么久公式求出的面积，又的面积的面积，于是得到四边形的面积的面积． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是的中线， ， 又， ， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 又， ， ． （3）延长到K使，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， 的面积， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积． 考点二：三角形全等模型之截长补短模型 例2.（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 【变式2-1】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 【答案】(1)；； (2)成立，过程见解析 (3)或或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）依据题意，补图，补充思路即可； （2）延长到，使，连接，证明即可； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，证明即可，再进行线段和差计算． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为， 故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ∵ ∴， ∵在与中， ， ∴． ∴， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）解：①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明； ②点在边延长线上，点在边延长线上，此时； 证明：在上截取，使，连接． ∵, ∴． ∵在与中， , ∴ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； ③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接， 同上可证明：， ∴， ∴， 即， 综上所述：线段之间的数量关系为或或， 故答案为：或或． 考点三：三角形全等模型之一线三等角模型 例3. （24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，、、三点在直线上，，求证：． 证明：______ 即____________ 又 ____________ （请继续完成证明过程） 【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据三角形外角的性质得出，证明，得出，，然后证明结果即可． 【详解】证明：， 即， 又， ， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【变式3-1】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据三线合一证明 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 考点四：三角形全等模型之角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理即可作出判断； （2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 如图，过点P作于E，于F， ， ∵是的平分线， ， ，， ， 在和中 ， ． 【变式4-1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，是的角平分线，为上任意一点，于，于． (1)求证：； (2)如图2，在中，是的角平分线，于，于，若，，求的值； (3)如图3，在中，是的外角平分线，交的延长于点，当，时，求与的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （）根据角平分线的定义可知，再证，由全等三角形的性质即可； （）由（）得：，利用等面积即可求出； （）同（）理可以求出，则． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴由（）得：， 设点到的距离为， ∴， 则有， （3）解：如图，过交的延长线于，交的延长线于，过作于， 由（）得：， ∴， 则有，即， ∴． 考点五：三角形全等模型之角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例5.如图，平分为射线上任意一点（不与点重合），过点作的垂线分别交于点．    (1)求证：； (2)作点关于射线的对称点，连接，在线段上取一点（不与点，点重合），作，交线段于点，连接．①依题意补全图形；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①补图见解析；②，证明见解析 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，证明，进而可证； （2）①如图1，即为所求；②如图2，连接，则截取，使得，连接，由轴对称的性质可知，，，，则，证明，则，，由，可得，则，，由，可得，证明，则，根据，等量代换可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）①解：如图1，    ②解：，证明如下： 如图2，连接，则截取，使得，连接，    由轴对称的性质可知，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质．解题的关键在于确定全等三角形的判定条件． 【变式5-1】阅读与思考： 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是内一点，且平分，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作交延长线于点交于点E， 平分 ， ， 在和中， ， （依据1） （依据2），， ，，…… (1)任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，____________； (2)任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； (3)应用：如图3，在中，，平分交于点D，过点C作交延长线于点E，若，求的面积． 【答案】(1)，全等三角形的对应边相等； (2)见解析； (3)9． 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形判定和性质即可得到答案； （2）先推出，得出，，进而可得，即可得到答案； （3）延长、交于点，先推出，得到，再推出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）上述解答过程中的依据1是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或）， 依据2是：全等三角形的对应边相等； （2）∵ ． 即 ； （3）延长交于点F． 平分 在和中 ， 在中， 在中， 在和中 考点六：三角形全等模型之角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例6. 如图，，，点在上． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】 本题主要考查三角形的全等的判定与性质，熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键． （1）由题中条件易知：，可得平分； （2）利用（1）的结论，可得，得出． 【详解】（1） 证明：在与中， ， ， ， 即平分； （2） 证明：由（1）， 在与中， ， ， ． 【变式6-1】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）数学活动课上，在学习了角平分线的尺规作图后．嘉嘉受此问题启发，利用轴对称性又发现了一种作角平分线的方法．如图，请仔细阅读并完成相应任务． 【作法】 ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②再以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，交于点； ③连接交于点； ④作射线． 则射线即为的平分线． 【任务】 (1)由尺规作图可直接得到的相等线段有：和______． (2)由（1）中的条件，可证，依据是______（填判定方法） (3)如果把（2）中的作为条件，求证：平分． 【答案】(1) (2)（或边角边） (3)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定与性质． （1）直接由尺规作图得出结论即可； （2）根据全等三角形的判定方法求解即可； （3）证明得出，进而证明得出，即可得证． 【详解】（1）解：由尺规作图可直接得到的相等线段有：和， 故答案为：． （2）解：∵ ∴， 故答案为：（或边角边）． （3）证明：∵ ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴ 在 ∴ ∴，即平分 一、解答题 1．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键； 先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】证明：，，， 为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， 平分． 2．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．根据角平分线的性质得出，，根据线段的和差关系即可得结论． 【详解】解：∵点、分别是、平分线上的点，，，， ∴，， ∴． 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是的角平分线上一点，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点．使，请说明：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． 结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明，结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：如图 是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； ， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 4．（2025·内蒙古·二模）如图，在四边形中，，，平分，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)若的面积是，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）过点作于点，由， 平分，得到，，推出，即可得到结论； （2）由（1）知，得到，证明，得到，推出，求出． 【详解】（1）证明：过点作于点， ，垂足为，且平分， ，， ， ， ， ，即， 平分； （2）解：由（1）知， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【答案】(1)见解析； (2)50 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和（）综合． （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； 【详解】（1）解：证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ∴． （2）类比（1）可知，，， ，，，， 则 ． 6．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图1和2，在四边形中，，，平分． (1)如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； (2)问题解决：如图2，求证：； (3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1)角平分线上的点到角的两边距离相等 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的性质定理解答； （2）作于E，于F，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，连接，可得，可证明，结合图形证明，从而得到，进而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等 （2）证明：如图，作于E，于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图，在上截取，连接． ∵在等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）知识背景：已知，如图1是课本中角平分线的作法．某校八年级数学兴趣小组在此基础上，继续深入探究“角平分线的作法”． 探究1：只用三角尺画的平分线． 数学兴趣小组讨论的方法如下：在上分别取点，使，方法①：如图2，分别过点画的垂线，垂足分别为点，这两条垂线相交于点C，作射线即为的平分线．方法②：如图3，分别过点画的垂线，相交于点C，作射线即为的平分线． 解决问题 （1）在方法①和方法②这两种画法中，选择其中一种，证明：是的平分线． 探究2：数学兴趣小组发现以上角平分线的画法，本质都是利用轴对称图形的性质，如果对称线段所在直线相交，那么交点一定在对称轴上． 解决问题 （2）如图4，使用无刻度的直尺和圆规作的平分线，最多作两次圆弧，连线次数不限（保留作图痕迹，不写作法）． 探究3：在探究仅使用刻度尺作角平分线的过程中，小亮的方法如下：如图5，将直尺一边与重合，利用对边画的平行线，交于点P；在平行线上取一点H，使；射线即为的平分线． 解决问题 （3）如图6，已知，点分别在上，与相交于点G，连接，若平分于点于点M． ①证明：； ②直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）画图见解析；（3）①证明见解析；② 【知识点】全等三角形综合问题、作角平分线(尺规作图)、角平分线的判定定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）方法①：先证明，再证明即可，方法②：证明即可； （2）如图，在上取，，以为圆心，，为半径分别画弧，交于，，连接，，交于点，则射线为的平分线； （3）①先证明，，，可得，再证明，可得平分，可得； ②证明，，结合外角求解，如图，过作于，证明，可得平分，从而可得答案． 【详解】证明：（1）方法①： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 方法②： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）如图，在上取，，以为圆心，，为半径分别画弧，交于，，连接，，交于点，则射线为的平分线； 由作图可得：，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （3）①∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴； ②∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 如图，过作于， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴． 【点睛】本题考查的是作角平分线，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，判定定理的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的作图与作辅助线是解本题的关键． 8．（24-25七年级下·四川雅安·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）成立，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至G，使，由可直接证明，即得出，．结合题意又易证，得出，进而得出； （2）延长到，使，连接，证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】解：（1）延长线段到点，使，连接，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到，使，连接，        ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 10．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 【答案】（1）①；②（2）见解析（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，，又，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到，从而得证结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明．，，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，，再证明，可得为等边三角形，从而，再根据面积即可求解． 【详解】解：（1）①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长至F，使． 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵， 由外角定理得：， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故平分． （3）如图3，延长至点，使得， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，， 从而， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， 故为等边三角形， ∴． 设点F到的距离为， ∵面积为16.8， ∴， ∴，即点F到的距离为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$