第04讲 图形的轴对称（思维导图+5知识点+8考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第04讲 图形的轴对称 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1】轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 【知识点2】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 【知识点3】等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 【知识点4】线段的垂直平分线（简称中垂线） 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.作法：作已知线段的垂直平分线. 【知识点5】角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 考点一：轴对称图形的识别 例1．（2025·湖北襄阳·一模）下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·陕西西安·二模）在图中，轴对称图形共有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-2】（重庆市巴南区2024-2025学年下学期九年级半期测试数学试题卷）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·陕西安康·二模）“长安回望绣成堆，山顶千门次第开．”长安即如今陕西西安，陕西拥有众多承载历史的古城．以下是陕西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点二：根据成轴对称图形的特征进行判断 例2.（2025七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【变式2-2】（2025·福建·一模）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 【变式2-3】（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，和关于直线对称，点为直线上一点，则下列说法中错误的是（    ）    A． B．垂直平分 C． D． 考点三：利用轴对称中的性质解决折叠问题 例3.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点、的对应点分别为、，线段交线段于点，若，则的度数是 ． 【变式3-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）在“折纸与平行”的拓展课上，老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点．请在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使与三角形的一边平行，则的度数为 ． 【变式3-3】（23-24七年级下·山东聊城·期末）学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． (2)如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 考点四：利用等腰三角形性质求解 例4．（24-25九年级下·重庆北碚·自主招生）如图，，点是上一点，，，则 ． 【变式4-1】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，于点D，若，则的周长是 ． 【变式4-2】（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，，分交于点D，E是的垂直平分线与的交点，连接，则的周长为 ． 【变式4-3】（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知点P是射线上一动点（即P可在射线上运动），，当 时，为等腰三角形． 考点五：利用等腰三角形性质证明 例5.（24-25八年级上·北京顺义·期中）已知：在中，过A点作直线，过点作于点，过点作于点 (1)直线与线段的无交点时，如图1，线段之间的数量关系为________； (2)直线与线段有交点（点除外），其余条件不变时，请你在备用图中画出图形，猜想线段之间的数量关系，并证明你的纯论． 【变式5-1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式5-2】（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探索 如图，在中，，，点从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图1，当点P为的中点时，求证：． (2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段长度是否保持不变？请说明理由． 【变式5-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，，点D是的中点，点E是线段上一点．于点F，交于点G． (1)如图1，求证： ①； ②． (2)如图2，过点A作交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点M，请在图中找出与相等的线段，并证明． 考点六：根据线段垂直平分线的性质求解 例6. （2025年贵州省遵义市三模数学试题）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，则的度数为 °． 【变式6-1】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 【变式6-2】（2025·湖南长沙·二模）如图，是直线外一点，按以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点，； ②分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ③作直线交于点． 若，，则四边形的面积为 ． 【变式6-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为 ． 考点七：根据角平分线的性质定理求解 例7．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若的长为2，则点到的最短距离为 ． 【变式7-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【变式7-2】（2025·云南楚雄·一模）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，，若的面积是，周长是，则的长是 . 【变式7-3】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的是 ． 考点八：垂直平分线与角平分线的综合问题 例8.（2025·山东临沂·二模）在中，， 的作图痕迹如图所示，交于点N，垂直平分边，交于点D，交于点E，交于点O，连接． (1)若，，求与的面积比； (2)若，求的度数． 【变式8-1】（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【变式8-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【变式8-3】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 一、单选题 1．（2025·山西运城·模拟预测）博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络，提升历史认知的重要场所．以下四个博物馆标识，其文字上方的图案不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，与关于直线对称，则以下结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 二、填空题 6．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，在3×3的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有 种． 7．（24-25八年级下·广东河源·期中）在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若，则的周长为 ． 8．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 9．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 10．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在中，．将的一角折叠，使两点重合，得到折痕，再将沿折叠，点恰好落到点上．求的周长． 12．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 14．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）如图1，点分别在长方形纸片的边上，连接．将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)若，求的大小； (2)若，求的大小； (3)如图2，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．求的度数． 15．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． （1）求证：． （2）求的取值范围． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 16．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）已知在中，，，为直线上一动点（点不与点，点重合），以为边作（其中，），连接． (1)如图1，当点在边上时，_____． (2)如图2，当点在边的延长线上运动时，______． (3)如图3，当点在边的延长线上时，求的度数． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 图形的轴对称 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1】轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 【知识点2】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 【知识点3】等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 【知识点4】线段的垂直平分线（简称中垂线） 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.作法：作已知线段的垂直平分线. 【知识点5】角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 考点一：轴对称图形的识别 例1．（2025·湖北襄阳·一模）下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形，将一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的图形能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是轴对称图形；不符合题意； B、它不是轴对称图形；不符合题意； C、它不是轴对称图形；不符合题意； D、它是轴对称图形．符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（2025·陕西西安·二模）在图中，轴对称图形共有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称的概念，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此作答即可． 【详解】解：左起第一、二、四这三个图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 第三个图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 【变式1-2】（重庆市巴南区2024-2025学年下学期九年级半期测试数学试题卷）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项A能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：A． 【变式1-3】（2025·陕西安康·二模）“长安回望绣成堆，山顶千门次第开．”长安即如今陕西西安，陕西拥有众多承载历史的古城．以下是陕西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：第3个中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 第1、2、4个中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 考点二：根据成轴对称图形的特征进行判断 例2.（2025七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据轴对称图形的性质可得，，垂直平分和，则结论①和④正确；再根据线段垂直平分线的性质、平行线的判定可得结论②和③正确． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴根据轴对称图形的性质可得，，，垂直平分和，所以结论①和④正确； ∴，，所以结论②和③正确； 综上所述，错误的结论有0个，所以选项C正确，符合题意， 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质即可得出结论． 【详解】解：∵关于直线进行轴对称变换后得到， ∴，，垂直平分，， 故选项A、B、C正确；故选项D不一定正确． 故选：D． 【变式2-2】（2025·福建·一模）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．由对称可得：，，，，进而得到是等腰三角形，即可判断． 【详解】解：其主体部分关于所在的直线对称（四边形，）， ，，，， 是等腰三角形， 故A、B、C正确；D不正确； 故选：D． 【变式2-3】（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，和关于直线对称，点为直线上一点，则下列说法中错误的是（    ）    A． B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等的性质、线段垂直平分线的判定与性质，连接交于，根据轴对称的性质得出，，，即可判断A，从而得出垂直平分，即可判断B、C，最后再根据全等三角形的性质即可判断D，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接交于，   ，和关于直线对称， ，，，故A正确，不符合题意； 垂直平分，故B正确，不符合题意； 点为直线上一点， ，故C正确，不符合题意； ， ，故D错误，符合题意； 故选：D． 考点三：利用轴对称中的性质解决折叠问题 例3.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、折叠问题 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质．先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解． 【详解】解：沿翻折到的位置， ． 将沿翻折到的位置， ， ． ， ． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点、的对应点分别为、，线段交线段于点，若，则的度数是 ． 【答案】/20度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，由折叠性质可知：，再根据得，再根据角度和差即可求解． 【详解】解：由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）在“折纸与平行”的拓展课上，老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点．请在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使与三角形的一边平行，则的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查折叠性质、平行线性质，熟练掌握折叠性质，利用分类讨论思想，结合图形进行角的运算是解答的关键． 分，，三种情况，利用折叠性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：， ∴， 当时，如图，则， 由折叠性质得：， ∴； 当时，如图，则， 由折叠性质得：， ∴． 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【变式3-3】（23-24七年级下·山东聊城·期末）学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． (2)如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，，由平行线的性质得，推出，即可得出． （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，可以得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点四：利用等腰三角形性质求解 例4．（24-25九年级下·重庆北碚·自主招生）如图，，点是上一点，，，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，根据等边对等角，得到，平行线的性质，得到，进而得到，利用平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，于点D，若，则的周长是 ． 【答案】 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据三线合一定理可求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，，分交于点D，E是的垂直平分线与的交点，连接，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及垂直平分线的性质．由题意得，，进而问题可求解． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的垂直平分线与的交点， ∴， ∴的周长为， 故答案为：14． 【变式4-3】（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知点P是射线上一动点（即P可在射线上运动），，当 时，为等腰三角形． 【答案】或或 【知识点】等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 若为等腰三角形则有、和三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得的值． 【详解】解：若为等腰三角形则有、和三种情况， ①当时，则； ②当时，则； ③当时，则有， ∴； 综上可知为或或 故答案为：或或． 考点五：利用等腰三角形性质证明 例5.（24-25八年级上·北京顺义·期中）已知：在中，过A点作直线，过点作于点，过点作于点 (1)直线与线段的无交点时，如图1，线段之间的数量关系为________； (2)直线与线段有交点（点除外），其余条件不变时，请你在备用图中画出图形，猜想线段之间的数量关系，并证明你的纯论． 【答案】(1) (2)或，见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】（1）由于点E，于点D，得，因为，所以，而，即可根据“AAS”证明，得，，则，于是得到问题的答案； （2）由于点E，于点D，得，而，可证明，因为，所以，则，，当，；当，． 此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，证明是解题的关键． 【详解】（1）解：∵于点E，于点D， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）或， 证明：∵于点E，于点D， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 如图2，直线与线段有交点，且， ∵，且， ∴； 如图3，直线与线段有交点，且， ∵，且， ∴， 综上所述，或． 【变式5-1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题主要考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，，运用角角边即可求证； （2）根据全等的性质，线段和差得到，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 又， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式5-2】（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探索 如图，在中，，，点从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图1，当点P为的中点时，求证：． (2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段长度是否保持不变？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)保持不变，见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过P点作交于F，由题意可证，根据全等三角形的性质即可得证； （2）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况讨论，利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变． 【详解】（1）证明：如图1，过点作交于点． ． 点和点同时出发，且移动的速度相同， ． ， ， ， ． ， ． ． （2）解：线段的长度保持不变，理由如下： 分两种情况，①若点在线段上， 如图2，过点作交于点． 与（1）同理可知，，， ． ， ． ． ②若点在线段的延长线上， 如图3，过点作交的延长线于点． ． 又， ． ． ， ． ， ， 又， ． ． ， ． 综上所述，线段的长度保持不变． 【变式5-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，，点D是的中点，点E是线段上一点．于点F，交于点G． (1)如图1，求证： ①； ②． (2)如图2，过点A作交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点M，请在图中找出与相等的线段，并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，见解析 【知识点】三线合一、等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）①先证明，再进一步可得；②由①可得，，证明，即可得出； （2）根据垂直的定义得出，再根据，，得出，进而证明出． 【详解】（1）证明：①∵点D是中点，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②由①知，， 在和中，， ∴， ∴； （2）证明：．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 又∵， 在和中，， ∴， ∴． 考点六：根据线段垂直平分线的性质求解 例6. （2025年贵州省遵义市三模数学试题）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，则的度数为 °． 【答案】30 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查作图－基本作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用三角形内角和定理求出，再求出，可得结论． 【详解】解：根据题意可知，垂直平分线的， ， ， ， ， ， 故答案为：30． 【变式6-1】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定， 先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 【变式6-2】（2025·湖南长沙·二模）如图，是直线外一点，按以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点，； ②分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ③作直线交于点． 若，，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图性质以及对角线垂直的四边形面积计算，解题关键是依据作图步骤明确线段关系，运用对应面积公式求解． 先依据作图步骤得出，垂直平分，进而得到的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，计算出结果． 【详解】解：由作图步骤可知： 步骤①中，以点为圆心作弧交直线于、， ∴． 步骤②中，分别以、为圆心，大于长为半径作弧相交于， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，． ∴． ∵四边形的对角线与互相垂直， ． 故答案为：12． 【变式6-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键．先根据轴对称的性质得出，，再由的周长是，即可得出结论． 【详解】解：交于点，交于点，交于点，交于点， ，， 的周长是， ， ． 故答案为：． 考点七：根据角平分线的性质定理求解 例7．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若的长为2，则点到的最短距离为 ． 【答案】2 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键． 过点作于点，可知点到的最短距离为，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：过点作于点，点到的最短距离为， 根据作图可知为的角平分线， ∵ ∴， 故答案为：2． 【变式7-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图，   平分，，， ， 点是射线上的动点， 的最小值为． 故答案为：3． 【变式7-2】（2025·云南楚雄·一模）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，，若的面积是，周长是，则的长是 . 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是关键． 如图所示，过点作于点，由题意可得，根据，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵点是，的平分线交点， ， ∴， ∵， ∴， ∴，且， 解得，， 故答案为：3 ． 【变式7-3】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的是 ． 【答案】①②④ 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的性质定理 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．利用，平分，平分，可以判断出①②正确；再根据 与不一定相等，再利用 与相等，可判断出③不一定正确；根据，推出与是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ， ∴， 故①②正确； ∴ 与不一定相等， 由题意可知， ∴与不一定相等， 故③错误； ∵， ∴与是等底等高的三角形， ∴， ∴， 故④正确， 故答案为：①②④． 考点八：垂直平分线与角平分线的综合问题 例8.（2025·山东临沂·二模）在中，， 的作图痕迹如图所示，交于点N，垂直平分边，交于点D，交于点E，交于点O，连接． (1)若，，求与的面积比； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】（1）过点作于点，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据等边对等角得出的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出的度数，即可推出结果． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由作图可知，平分， 又垂直平分边，， ， ，， ， △与△的面积比； （2）解：，， ，， 平分， ， 垂直平分边， ， ， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，尺规基本作图-作角平分线，熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键． 【变式8-1】（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此可证明； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长． 【详解】（1）证明：∵，垂足为D，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴的周长． 【变式8-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理即可作出判断； （2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 如图，过点P作于E，于F， ， ∵是的平分线， ， ，， ， 在和中 ， ． 【变式8-3】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)1或2或3或6 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：①平分，平分，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：当点在内部时，如图 ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图 设点到三边的距离为， 由题意得：，， ， ， 点到直线的距离是； 综上，点到直线的距离是2或6． 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是1或2或3或6． 故答案为：1或2或3或6． 一、单选题 1．（2025·山西运城·模拟预测）博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络，提升历史认知的重要场所．以下四个博物馆标识，其文字上方的图案不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，文字上方的图案是轴对称图形，不合题意； B，文字上方的图案不是轴对称图形，符合题意； C，文字上方的图案是轴对称图形，不合题意； D，文字上方的图案是轴对称图形，不合题意； 故选B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，结合的周长，得出，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ∵是的垂直平分线， ， ∵的周长， ， ， ， 故选：D． 3．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知，由等腰三角形两底角相等即可求解． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，与关于直线对称，则以下结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，①如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等；②如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段或者平行，或者共线，或者相交于对称轴上一点；③如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．根据轴对称的性质作答即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，， ∴， 根据现有条件无法得到， 故选：B． 5．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定、角平分线的性质，由作图过程可得，，可得，即可判断A，B选项；由作图过程可知，射线为的平分线，可得，即可判断C选项；由题意知，当时，取得最小值，此时结合角平分线的性质可得，即的最小值是的长，即可判断D选项． 【详解】解：连接，， 由作图过程可得，， ∵， ∴， ∴根据可判定， 故A选项正确，不符合题意，B选项不正确，符合题意； 由作图过程可知，射线为的平分线， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 由题意知，当时，取得最小值， ∵为的平分线，， ∴此时， 即的最小值是的长， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，在3×3的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有 种． 【答案】2 【知识点】设计轴对称图案 【分析】本题主要考查了利用轴对称的定义设计图案，正确掌握轴对称图形的定义(如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形)是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质分析解答即可． 【详解】解：如图：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1或2处涂黑，都是符合题意的图形． 故答案为：2． 7．（24-25八年级下·广东河源·期中）在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若，则的周长为 ． 【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质，得出，，即可由三角形周长公式求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 故答案为：8． 8．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的点到角两边的距离相等．连接，过作，，根据角平分线的性质，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过作，， 则：， ∴， 即：， ∵的周长是21， ∴； 故答案为：． 9．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．由角平分线的定义及平行线的性质可得，然后可证，，进而问题可求解． 【详解】解：∵平分，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的高，故①正确； ∵，， ∴， ∴，，即是的中线，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 10．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，分类讨论是解答本题的关键．分和两种情况求解即可． 【详解】解：当时， ∵，， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴ ∴． 当时， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵ ∴ 故答案为：或． 三、解答题 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在中，．将的一角折叠，使两点重合，得到折痕，再将沿折叠，点恰好落到点上．求的周长． 【答案】9 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了折叠问题，轴对称图形的性质，解题的关键是掌握轴对称图形对应边相等，将的周长转化为进行求解． 【详解】因为将折叠后，两点重合，所以． 因为，所以． 因为沿折叠，点恰好落到点上，所以． 又因为， 所以的周长． 12．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【答案】(1) (2)12 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【详解】（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角分平线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)垂直平分线，平分线； (2)2； (3)6． 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了垂直平分线，角的平分线基本作图，线段和的最值，角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质． （1）根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线． （2）过点E作于点M，根据角的平分线性质，得，根据三角形面积公式解答即可． （3）根据题意，点A与点B是关于直线的对称点，当P与点D重合时，取得最小值． 【详解】（1）解：根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线， 故答案为：垂直平分线，平分线； （2）解：过点E作于点M，如图． 因为射线是的平分线，， 所以， 所以． （3）解：如图，连接， 因为直线是线段的垂直平分线， 所以，， 所以， 所以当点P与点D重合时，取得最小值，且最小值为． 14．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）如图1，点分别在长方形纸片的边上，连接．将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)若，求的大小； (2)若，求的大小； (3)如图2，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、折叠问题、求一个角的补角 【分析】本题考查了翻折变换，涉及了折叠的性质、余角和补角的知识，根据条件求出各角的度数是解答本题的关键． （1）根据折叠的性质可求出的大小； （2）先由平角的定义求得，根据折叠的性质可得的大小； （3）根据折叠的性质可得，，可得，再由求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得； （2）解：， ， ； （3）解：由折叠可知，，， ， ， 15．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． （1）求证：． （2）求的取值范围． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）6 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、确定第三边的取值范围、线段垂直平分线的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先根据线段中点的定义可得，再利用定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得； （3）延长，交的延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得． 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴， 在中，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）解：如图，延长，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，即， ∴垂直平分， ∴． 16．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）已知在中，，，为直线上一动点（点不与点，点重合），以为边作（其中，），连接． (1)如图1，当点在边上时，_____． (2)如图2，当点在边的延长线上运动时，______． (3)如图3，当点在边的延长线上时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质三角形内角和定理，以及等腰直角三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）根据证明推出，由，即可求解； （2）根据证明，推出，，由，即可求解； （3）根据证明，推出，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$