第03讲 三角形（思维导图+6知识点+10考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第03讲 三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 2.三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 知识点02 三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)直接三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 知识点03 三角形的中线、角平分线、中线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 知识点04 全等三角形的概念和性质 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形．两个全等的三角形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 知识点05 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （4） 判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS”） 知识点06 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 考点一：三角形的稳定性 例1．（24-25七年级下·四川成都·期中）2023年8月2日，成都大运会射击项目中国队选手顶住压力，包揽10米气步枪和10米气手枪混合团体两枚金牌，为他们的大运会之旅画上圆满的句号，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行作答即可． 【详解】解：这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性； 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的内角和等于180° D．三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】B 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：如图所示的利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（     ） A．两点确定一点直线 B．三角形具有稳定性 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应用方法的几何原理是三角形具有稳定性； 故选B． 【变式1-3】（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】四边形的不稳定性、三角形的稳定性及应用 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩功能，不运用三角形的稳定性， 故选：D． 考点二：判断三边是否能构成三角形 例2.（24-25七年级下·上海松江·期中）下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边逐个判断即可． 【详解】解：A、，不能做成三角形框架，不符合题意； B、，不能做成三角形框架，不符合题意； C、，能做成三角形框架，符合题意； D、，不能做成三角形框架，不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）以下列各组长度的线段为边，能组成三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，3，9 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、，能构成三角形，故此选项符合题意； D、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】（2025·江苏南通·二模）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．3，4，9 B．3，4，8 C．3，4，7 D．3，4，6 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据两边之和大于第三边判断即可． 本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵，与两边之和大于第三边不一致， ∴A不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴B不符合题意； ∵,与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴C不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边一致，构成三角形， ∴D符合题意； 故选：D． 【变式2-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐一判断即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，知： A、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故选项此不符合题意； C、，能组成三角形，故此选项符合题意； D、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 考点三：已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 例3. （2025·广东·二模）一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据三角形的三边关系可得第三边长，再解可得第三边的范围，然后可得答案． 【详解】解：设第三边长为，由题意得： ， 解得：． 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此求出第三边长的取值范围，即可得到答案． 【详解】∵三角形三边的长度分别为，，， ∴， ∴， ∴第三边长不可能是2． 故选：A． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）一个三角形的两边长分别为和，那么第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【详解】解：设第三边的长为， 由三角形的三边关系可得， 即， 所以它的第三边的长可能是． 故选：B． 【变式3-3】（24-25七年级下·宁夏中卫·期中）下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三根木棒钉的长的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，第三根木棒钉的长， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 考点四：判断是否三角形的高线 例4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，边的高说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 本题考查了三角形的高，正确理解定义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是符合题意的，A，B，D都不符合题意， 故选C． 【变式4-1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）用三角板画点到所在直线的垂线段，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了画过一点画已知直线的垂线；画图时，三角板的直角一边与边重合，点A在直角的另一边上；按此画图步骤判断即可． 【详解】解：根据画垂线段的步骤知，选项A符合题意； 故选：A． 【变式4-2】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案． 【详解】解：在中，边上的高是线段， 故选：． 【变式4-3】（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：于点， 中，是边上的高，故A不符合题意， ，线段是边上的高，B选项符合题意； 于点， 是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 考点五：根据三角形的中线求解 例5.（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到，再根据三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的周长，根据中线的定义可得，再根据三角形的周长即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，则 ． 【答案】4 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分是解答此题的关键． 根据点、、分别是、、的中点，得到，，，继而得到，，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论． 【详解】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式5-3】（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ． 【答案】2 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是利用三角形中线性质找出各部分三角形面积之间的关系． 利用三角形中线平分面积性质，得出 ．根据中点及等底等高三角形面积相等，得到， ．分别表示出， ，将二者相加构建关于的等式并求解． 【详解】∵，分别是的边，的中点，的面积为6， ∴，． ∵是中点，是中点，的面积为，的面积为， ∴， ∴ ． ∴，即， 解得． 故答案为：2． 考点六：在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 例6. （24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点B作的平行线； (4)线段，直接写出点C到直线的距离______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4) 【知识点】用直尺、三角板画平行线、画三角形的高、根据三角形中线求长度、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高、平行线的判定、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）运用网格特征，观察，且结合平行线的判定，即可作图． （4）由题意可得，再根据三角形面积公式列式计算得点C到直线AB的距离，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：过点B作的平行线，如图所示： （4）解：依题意，， ∵线段， ∴点C到直线的距离． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·山西·期中）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点格点，点，，都在格点上． (1)只利用无刻度的直尺按要求画出下列图形： ①； ②的高，垂足为点； (2)的面积为________； 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【知识点】利用网格求三角形面积、画三角形的高、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了画平行线，画三角形的高和网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）①根据网格的特点和平行线的定义作图即可；②根据三角形高的定义作图即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； （2）解：由题意得 【变式6-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、利用网格求三角形面积 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 【变式6-3】（2025·浙江金华·二模）的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1．请借助网格和无刻度直尺按要求作图． (1)在图①中，作出的中线； (2)在图②中，作出的重心，记为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据三角形中线求长度、重心的概念、格点作图题 【分析】本题考查作图，三角形的中线与三角形的重心的定义，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据三角形中线的定义以及网格的特点找到的中点，即可求解； （2）根据网格的特点作出上的中线，交点即为所求； 【详解】（1）解：如图，点为所求作点． （2）如图，点为所求作点 考点七：利用三角形的中线、高线、角平分线求解 例7．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，，于，平分 (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)4.8 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，与三角形的高有关的计算. （1）根据三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分 ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形中线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，是的一个外角， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴． 【变式7-3】（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 考点八：利用全等三角形的性质求解 例8.（24-25七年级下·重庆·期中）如图，，若，，则 ． 【答案】2 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质．利用全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 【变式8-1】（2025·浙江台州·二模）如图，，点D在边上，若，，则 ． 【答案】5 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形得到，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图：、是的边、上的点，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】， ，，，，故①正确 ， ，， ，，故③④正确 是的中点， ， 又， ；所以②正确 故答案为：①②③④． 【变式8-3】（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为 ． 【答案】1或3 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，属于全等三角形的动点问题，解题关键是分和两种情况分别计算． 首先根据题意得到，然后分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则有，即， 解得， 当时，则，即， 解得， 故答案为：1或3． 考点九：全等三角形判定和性质多结论问题 例9. （24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质． 利用“”证，依据全等三角形对应角相等，得．分析线段关系，判断不成立．由全等得，进而推出．根据全等三角形面积相等，得，统计正确结论个数． 【详解】∵， ∴，即． ∵，， ∴， ∴①正确． ∵， ∴， ∴②正确． 由前面已证，仅根据已知条件无法得出， ∴③错误． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴④正确． 由于，根据全等三角形的性质：全等三角形面积相等， ∴， ∴⑤正确． 综上，①②④⑤正确，正确的个数是4个， 故选：B． 【变式9-1】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线定义，三角形外角的性质，证明三角形全等是解题的关键． 根据三角形内角和以及角平分线的定义得继而得出的度数，即可判断①；推出根据证明即可，即可判断②；证明， 得 ，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④；证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ， ， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故结论③错误； 又∵， ∴，即， 故结论④正确， ∴正确的个数是个． 故选： B． 【变式9-2】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．延长至点G，使得，连接．下列结论中正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．先利用证明，可得，，可判断①；再利用证明，得到，再利用三角形的外角性质可得，可判断②；利用全等三角形的性质可得，，可判断③；由得到，再利用三角形的面积公式可判断④，即可得出结论． 【详解】解：为中线， ， ，， ， 又， ， ，故①正确；， 又， ， ， ， 由于与不一定相等，故②不正确； 由全等三角形的性质可得：，， ，故③正确； ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，结论中正确的有①③④，共3个． 故选：C． 【变式9-3】（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，连接．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 延长至G，使，从而得出，进一步证明，且，利用证明，根据全等三角形的性质即可判断②；根据线段的等量代换推导即可判断④；设，则，根据平行线的性质，及角的计算即可得出即可判断③；当时，可得出；时，则无法说明，即可判断①． 【详解】解：如图，延长至G，使，设与交于点M， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ②是正确； ， ， 平分， 当时，，则； 当时，，则无法说明； ①是错误的； 设，则， ， ， ， ， ， ， ③是正确的； ， ， ， ， ④是正确的； 故选C． 考点十：全等三角形的性质和判定综合问题 例10．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，同角的余角相等． （1）利用同角的余角相等求出，，根据证即可； （2）推出，求出，把代入求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴. （2）解：∵， 由（1）得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式10-1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，， (1)求证：． (2)，，求当中边的取值范围． 【答案】(1)证明见结论 (2) 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． （1）由得出，再利用证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）先利用全等三角形的结论得到 ，再结合三角形三边关系列出关于的不等式，最后代入数值求出取值范围． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， ∴； （2）∵ ∴， 在中， ∵， ∵， ， ∴， 即． 【变式10-2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，已知，平分，， (1)若的面积是，求的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（）延长交于点，可证，可得，进而由中线性质可得，，即得，即可求解； （）过点作于，过点作的延长线于，可证，可得，又由（）得，即可得，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 【变式10-3】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． (1)如图1，求证：； (2)若，则 ； (3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质等； （1）由可判定，即可得证； （2）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； （3）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； 掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中 ， （）； （2）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（2025年湖南省长沙市初中学业水平考试数学试卷（二））下列各组数中，能构成三角形三边长的是（   ） A．1，1，2 B．2，3，6 C．1，2，2 D．3，4，7 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题型，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键； 根据三角形的三边关系逐项判断即可得解. 【详解】解：A、因为，所以1，1，2的三个数不能构成三角形三边长； B、因为，所以2，3，6的三个数不能构成三角形三边长； C、因为，所以1，2，2的三个数能构成三角形三边长； D、因为，所以3，4，7的三个数不能构成三角形三边长； 故选：C. 2．（2025·广东深圳·二模）如图，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、垂线的定义理解、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关的性质是解题的关键．先根据平行线性质求出，再在直角三角形中利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 3．（2025·福建三明·二模）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 利用“边角边”证得，由全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：设小正方形的边长为， 依题得：，，， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：． 4．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先题意得到，再证明得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形类规律探索、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解题关键． 根据等高的三角形推出，，推出，可得，依此类推可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ，， ，， ， ， 同理可得：， ， 同理可得：， 依此类推：． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）在中，的补角是，则是 三角形． 【答案】钝角 【知识点】求一个角的补角、三角形的分类 【分析】本题考查了补角的定义、三角形的分类，熟练掌握补角的定义是解题的关键．根据补角的定义和三角形的分类即可解答． 【详解】解：的补角是， ， ， 是钝角三角形． 故答案为：钝角． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边长分别为2，7，x，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键；因此此题可根据“三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行求解． 【详解】解：由题意得：x的取值范围是，即； 故答案为：． 8．（2025·山东济南·二模）现有下列长度的四根木棒：3，6，9，11，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 ． 【答案】 【知识点】构成三角形的条件、根据概率公式计算概率 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据三角形三边之间的关系与概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：有四根木棒，长度分别为3，6，9，11， 从中任取三根木棒，共有4种等可能出现的结果：3，6，9；3，6，11；6，9，11；3，9，11； 根据三角形两边之和大于第三边，能组成三角形的有6，9，11；3，9，11，共2种， 组成三角形的概率为， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．根据全等三角形的判定方法结合添加的条件逐一分析即可． 【详解】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②由，推出，而，可得，结合，由判定，故②符合题意； ③如图，记交点为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴由判定，故③符合题意； ④增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图所示，已知四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使与全等． 【答案】或 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， 点为线段的中点， ， ， 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点的运动速度为； 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，中，为的高线，，，． (1)画出中边上的高线． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题 【分析】此题考查了三角形高的定义，三角形面积公式，根据三角形的高求三角形面积是解决本题关键． （1）根据三角形高的定义，过点C作交延长线于点E即可； （2）根据三角形面积公式得到的面积，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵为的高线，，，， ∴的面积， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知：，，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，得，再结合，，即可证明； （2）由全等三角形的对应角相等得，再根据内错角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∴， ∵，， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边长分别为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【知识点】三角形三边关系的应用、带有字母的绝对值化简问题、整式加减的应用 【分析】（1）根据三角形存在的条件，解答即可． （2）根据三角形三边关系，化简解答即可． 本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵第三边长c为奇数，， ∴． 的周长为． （2）解：∵，，是三角形的三边长， 故， ∴，， ∴ ． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图2中的边上画一点E，使； (4)已知，在图2中画出的角平分线． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】画三角形的高、利用网格求三角形面积、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， （1）由三角形面积公式可得答案； （2）取格点G，连接并延长交于D，线段即为所求； （3）取格点G，连接交于E，点E即为所求； （4）取格点M、N，连接、、，与交于点F，则即为所求． 解题的关键是掌握全等三角形判定与性质定理和网格的特征． 【详解】（1）解：由图可知，； （2）解：取格点G，连接并延长交于D，线段即为所求，如图： ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：取格点G，连接交于E，点E即为所求，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）解：取格点M、N，连接、、，与交于点F，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）问题解决： （1）如图1，中，为边上的中线，则． （2）如图2，，，分别为，，的中点，则___________． （3）如图3，，，分别为，，的中点，若，则___________． 问题探究： （1）如图4，，是的中线，，交于点，与相等吗？ 解：中，由问题解决的结论可得，，． ． ． 即． （2）如图5，中，是上的一点，，是的中线，且，试求的值． 问题拓展： 如图6，中，平分，，则___________． 【答案】问题解决：（2）；（3）；问题探究：（2）；问题拓展： 【知识点】根据三角形中线求面积、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】问题解决：（1）根据等底等高的三角形面积相等即可得三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形； （2）根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积； （3）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用表示出、、，的面积，然后表示出的面积，再表示出的面积，即可得解； 问题探究：（2）先求出，再结合即可解答； 问题拓展：延长交于，由“”可证，可得，由面积关系可求解． 【详解】解：问题解决：（1）如图1，中， ∵为边上的中线， ∴； （2）如图2，∵为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3，连接， ∵点、分别为、的中点， ∴，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：8； 问题探究：（2）如图5， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴； 问题拓展：，理由如下： 如图6，延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．（24-25七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：____． 【问题应用】 （2）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图（3），是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）；（3），，见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）由全等三角形的判定可得出答案； （2）延长至，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案； （3）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明、和，再证明得到和，即可求解． 【详解】（1）解：延长至点，使． 在和中， ， ， 故答案为：； （2）证明：延长至，使， 是的中线， ，且，， ， ，， ， ， ， ， 即，且，， ． ， ， ． （3）解：，，证明如下： 如图，在的延长线上截取，连接， 则， 是的中线， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ，． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 2.三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 知识点02 三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)直接三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 知识点03 三角形的中线、角平分线、中线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 知识点04 全等三角形的概念和性质 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形．两个全等的三角形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 知识点05 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （4） 判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS”） 知识点06 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 考点一：三角形的稳定性 例1．（24-25七年级下·四川成都·期中）2023年8月2日，成都大运会射击项目中国队选手顶住压力，包揽10米气步枪和10米气手枪混合团体两枚金牌，为他们的大运会之旅画上圆满的句号，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【变式1-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的内角和等于180° D．三角形的任意两边之和大于第三边 【变式1-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（     ） A．两点确定一点直线 B．三角形具有稳定性 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【变式1-3】（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A．B．C．D． 考点二：判断三边是否能构成三角形 例2.（24-25七年级下·上海松江·期中）下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 【变式2-1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）以下列各组长度的线段为边，能组成三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，3，9 【变式2-2】（2025·江苏南通·二模）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．3，4，9 B．3，4，8 C．3，4，7 D．3，4，6 【变式2-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 考点三：已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 例3. （2025·广东·二模）一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【变式3-1】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 【变式3-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）一个三角形的两边长分别为和，那么第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级下·宁夏中卫·期中）下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 考点四：判断是否三角形的高线 例4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，边的高说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）用三角板画点到所在直线的垂线段，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式4-3】（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 考点五：根据三角形的中线求解 例5.（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 【变式5-1】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，则 ． 【变式5-3】（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ． 考点六：在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 例6. （24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点B作的平行线； (4)线段，直接写出点C到直线的距离______． 【变式6-1】（24-25七年级下·山西·期中）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点格点，点，，都在格点上． (1)只利用无刻度的直尺按要求画出下列图形： ①； ②的高，垂足为点； (2)的面积为________； 【变式6-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【变式6-3】（2025·浙江金华·二模）的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1．请借助网格和无刻度直尺按要求作图． (1)在图①中，作出的中线； (2)在图②中，作出的重心，记为点． 考点七：利用三角形的中线、高线、角平分线求解 例7．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，，于，平分 (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【变式7-1】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【变式7-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【变式7-3】（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 考点八：利用全等三角形的性质求解 例8.（24-25七年级下·重庆·期中）如图，，若，，则 ． 【变式8-1】（2025·浙江台州·二模）如图，，点D在边上，若，，则 ． 【变式8-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图：、是的边、上的点，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 （填序号）． 【变式8-3】（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为 ． 考点九：全等三角形判定和性质多结论问题 例9. （24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式9-1】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 【变式9-2】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．延长至点G，使得，连接．下列结论中正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-3】（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，连接．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点十：全等三角形的性质和判定综合问题 例10．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式10-1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，， (1)求证：． (2)，，求当中边的取值范围． 【变式10-2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，已知，平分，， (1)若的面积是，求的面积； (2)求证：． 【变式10-3】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． (1)如图1，求证：； (2)若，则 ； (3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 一、单选题 1．（2025年湖南省长沙市初中学业水平考试数学试卷（二））下列各组数中，能构成三角形三边长的是（   ） A．1，1，2 B．2，3，6 C．1，2，2 D．3，4，7 2．（2025·广东深圳·二模）如图，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建三明·二模）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）在中，的补角是，则是 三角形． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边长分别为2，7，x，则x的取值范围是 ． 8．（2025·山东济南·二模）现有下列长度的四根木棒：3，6，9，11，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 ． 9．（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图所示，已知四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使与全等． 三、解答题 11．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，中，为的高线，，，． (1)画出中边上的高线． (2)求的长． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知：，，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 13．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边长分别为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图2中的边上画一点E，使； (4)已知，在图2中画出的角平分线． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）问题解决： （1）如图1，中，为边上的中线，则． （2）如图2，，，分别为，，的中点，则___________． （3）如图3，，，分别为，，的中点，若，则___________． 问题探究： （1）如图4，，是的中线，，交于点，与相等吗？ 解：中，由问题解决的结论可得，，． ． ． 即． （2）如图5，中，是上的一点，，是的中线，且，试求的值． 问题拓展： 如图6，中，平分，，则___________． 16．（24-25七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：____． 【问题应用】 （2）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图（3），是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$