第02讲 相交线与平行线（思维导图+5知识点+10考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第02讲 相交线与平行线 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1】对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点4】平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3.平行线的公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【知识点5】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 考点一：对顶角的定义及性质 例1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列四个图形中，与是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·北京·期中）如图，直线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·陕西渭南·二模）如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点二：求一个角的余角、补角 例2.（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知，则的余角的度数是 ． 【变式2-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，一块的直角三角板放在一条直线上，若，则 °； 【变式2-2】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如果一个角的补角是，那么这个角的度数是 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）已知一个角的余角是其补角的，则这个角的度数为 ． 考点三：利用垂线的定义求角的度数 例3. （2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式3-1】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知直线，相交于点O，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 【变式3-2】（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，直线，交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式3-3】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，直线相交于点，，． (1)写出的所有余角及和它相等的角； (2)若，求的度数． 考点四：网格中作平行线或垂线 例4.（24-25七年级下·北京·期中）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，请完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为M； ②在射线上找一点N，使得直线； （2）在上图中这三条线段大小关系是________________（用“<”号连接），并说明其中的数学理由：________________． 【变式4-1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请用无刻度的直尺借助网格的格点画图，保留画图痕迹）． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为 (2)线段___________的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是___________（用“”号连接），理由是___________； (3)图中的余角是___________（不再标注其它字母）． 【变式4-2】（24-25七年级下·山西运城·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下述要求画图． (1)画直线； (2)画线段； (3)过点画直线的垂线，垂足为； (4)在线段中，最短的线段为___________，依据为___________． 【变式4-3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)过点P画的垂线，垂足为H； (3)线段的长度是点P到直线 的距离，线段 长度是点C到直线的距离； (4)因为直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段这三条线段长度的大小关系是 （用“<”连接）． 考点五：同位角、内错角、同旁内角的辨别 例5. （23-24七年级下·四川南充·期中）下列四个图形中，和不是同位角的是（        ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽黄山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线分别交的两边于点，下列说法不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 考点六：平行线的判定和性质多结论题 例6.（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，下列结论：①；②；③；④．正确的个数是（　　）   A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】（24-25七年级下·天津和平·期中）如图，已知，添加一个以下条件：①；②；③；能证明的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式6-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知（其中），添加以下一个条件：①；②；③；④．能判定的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点七：平行线的性质在生活中的应用 例7. （24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池板与水平线的夹角为，电池板与水平线的夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转．则的度数为 ． 【变式7-1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时、会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若，则与的度数和是 °． 【变式7-2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 【变式7-3】（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 考点八：平行线的判定和性质综合问题 例8.（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 【变式8-1】（24-25七年级下·重庆涪陵·期中）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式8-2】（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，点，在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点，交于点，过点作交的延长线于点，若，求的度数． 【变式8-3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示是超市购物车的侧面示意图，扶手框顶框底，车轮两支脚架． (1)求的度数． (2)若支脚架所在的直线垂直于，试判断与支脚架的位置关系，并说明理由． 考点九：根据平行线的判定与性质探究角的关系 例9. （24-25七年级下·福建厦门·期中）已知直线，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C． (1)如图1，当点P在点A左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由； (2)若，平分，交直线于点D． ①如图2，若点P在点A左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【变式9-1】（24-25七年级下·山西大同·期中）综合与探究 如图，，点，分别在直线，上． (1)如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明． (2)如图2，是直线，之间一点，连接，．若，，求的度数． (3)如图3，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式9-2】（24-25七年级下·广西桂林·期中）【问题情境】已知，，平分交于点． 【问题探究】（1）如图1，已知． ①若，则的度数为________． ②若，，求的度数：________． 【问题解决】（2）如图2，若，，当时，求的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若，请直接写出、和三者之间的数量关系． 【变式9-3】（24-25七年级下·四川达州·期中）【感知】 （1）如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数．按小明的思路，易求得的度数为 度； 【探究】 （2）如图2，点B，D在射线上，点A，C在射线上，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，问∠APC与，之间有何数量关系？请说明理由； 【迁移】 （3）在（2）的条件下，如果点P在线段外运动时（点P与点O，B，D不重合），试探究与，之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由． ①点P在射线上； ②点P在线段上． 考点十：根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 例10.（24-25七年级下·河南濮阳·期中）本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题： 如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为． 【问题解决】 （1）下列结论错误的是（      ） A．　B．　C．　D． （2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数； 【探索发现】 （3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A、C的对应点分别为F、G）．设旋转时间为t秒； ①在旋转过程中，若边，求t的值； ②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时的值． 【变式10-2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图1方式叠放在一起，其中，，，． (1)求证：； (2)如图2，若交于点，时，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当点在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当这两块三角尺一组边互相平行时，请直接写出此时的度数． 【变式10-3】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 一、单选题 1．（2025年广西壮族自治区南宁市初中毕业班质量调研（二）数学试卷）如图，已知直线，被直线所截，则的同位角是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·二模）如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁丹东·二模）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（    ） A．30° B．50° C．60° D．70° 4．（北京市延庆区2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试卷）如图，，则下列结论：①，②，③，④，其中一定成立的是（   ） A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 5．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图，平分平分，点、、在一条直线上，点、、A、在一条直线上，，则下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．②③ 二、填空题 6．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，的长度就是李明同学的成绩，其中的数学依据是 ． 7．（黑龙江省齐齐哈尔市2024-2025学年七年级下学期5月期中考试数学试题）如果的两边与的两边分别平行，并且的2倍比大，那么的度数为 ． 8．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，若，则的度数是 ． 9．（24-25七年级下·重庆南川·期中）如图，，，垂足分别为，．已知，，，，则点到直线的距离为 ． 10．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点，作的平分线，交直线于点，则的度数为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，直线，交于点，过点作，在内作射线，． (1)的补角是___________； (2)若，求的度数． 12．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，在边长为的正方形网格中，的三个顶点都在网格的顶点上，按如下要求作图． (1)在图1中找一格点，作 (2)在图2中找一格点，作． 13．（24-25七年级下·广西玉林·期中）请将解答过程填写完整： 如图，，，若，求的度数． 解：（已知）， （_____）． ， _____（等量代换）． ∥_____． _____（两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， _____（等式的性质）． 14．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，已知，，交的延长线于点E． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 15．（湖北省武汉市四区2024-2025学年七年级下学期五月联考三模数学试题）已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 16．（24-25七年级下·北京·期中）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数． （4）若在内部作射线，过点B作射线交直线于点M，得到，请在图4中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 相交线与平行线 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1】对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点4】平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3.平行线的公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【知识点5】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 考点一：对顶角的定义及性质 例1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的识别，掌握对顶角的定义，数形结合分析是关键． 在一个平面内，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做互为对顶角、两条直线相交，构成两对对顶角，由此即可求解． 【详解】解：A、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； B、是三条直线相交的角，不符合题意； C、是对顶角，符合题意； D、是三条直线相交的角，不符合题意； 故选：C ． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列四个图形中，与是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，属于基础题，熟练掌握对顶角的定义是解决本题的关键．根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此即可判断． 【详解】解： A、两角没有公共顶点，不符合题意； B、两角也是只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意； C、两角没有公共顶点，不符合题意； D、两角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级下·北京·期中）如图，直线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质：对顶角相等，掌握这一性质是解题的关键；根据对顶角相等即可作答． 【详解】解：； 故选：B． 【变式1-3】（2025·陕西渭南·二模）如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 根据角平分线的定义求出，再由对顶角相等即可解答． 【详解】解：因为平分，， 所以， 所以． 故选：A． 考点二：求一个角的余角、补角 例2.（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知，则的余角的度数是 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了求一个角的余角，根据余角的定义解答即可，掌握余角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，一块的直角三角板放在一条直线上，若，则 °； 【答案】35 【知识点】三角板中角度计算问题、求一个角的余角 【分析】本题考查平角的性质．由，计算可得结论． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， 故答案为：35． 【变式2-2】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如果一个角的补角是，那么这个角的度数是 ． 【答案】/150度 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题主要考查了求一个角的补角度数，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 【详解】解：∵一个角的补角是， ∴这个角的度数是， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）已知一个角的余角是其补角的，则这个角的度数为 ． 【答案】/80度 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角的定义，设这个角的度数为x，则这个角的余角为，补角为，再根据题意列出方程，即可求出x的值． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角为，补角为， 由题意得：， 解得， 故答案为：． 考点三：利用垂线的定义求角的度数 例3. （2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义、垂线的定义． （1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得， 即可求解； （2）根据，可得，再结合的度数比的度数的3倍多，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴．                                                    ∵， ∴．                                                            ∵平分， ∴，                                                          ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴．                                                    ∵， ∴． ∵的度数比的度数的3倍多， ∴，                                             ∴．                                                          ∵， ∴． 【变式3-1】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知直线，相交于点O，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，垂直的定义； （1）先证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）由条件可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，直线，交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查角平分线的定义，垂直的定义，对顶角性质等知识； （1）先根据角平分线的定义求出，根据垂直得出，进而根据平角得出答案； （2）得出，根据对顶角相等得出，进而根据角平分线的定义得出答案． 【详解】（1）平分， ， ， ， ． （2），， ， ， ． 【变式3-3】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，直线相交于点，，． (1)写出的所有余角及和它相等的角； (2)若，求的度数． 【答案】(1)、是的余角；； (2)． 【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题主要考查了补角的定义和角度计算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （），，推出，，再则对顶角相等，通过等角的余角相等，可求解； （）利用角度和差求解即可； 【详解】（1）解：、是的余角；，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴、是的余角； （2）解：∵， ∴， 解得． 考点四：网格中作平行线或垂线 例4.（24-25七年级下·北京·期中）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，请完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为M； ②在射线上找一点N，使得直线； （2）在上图中这三条线段大小关系是________________（用“<”号连接），并说明其中的数学理由：________________． 【答案】（1）①见解析；②见解析．（2）；垂线段最短． 【知识点】垂线段最短、画垂线、格点作图题 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、垂线、垂线段最短等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）①根据垂线的定义画图即可；②根据垂线的定义画图即可． （2）结合垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：（1）①如图，即为所求； ②如图，即为所求． （2）由图可得，． 数学理由为：垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 【变式4-1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请用无刻度的直尺借助网格的格点画图，保留画图痕迹）． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为 (2)线段___________的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是___________（用“”号连接），理由是___________； (3)图中的余角是___________（不再标注其它字母）． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 (3)和 【知识点】求一个角的余角、点到直线的距离、画垂线、垂线段最短 【分析】本题主要考查了画垂线，点到直线的距离，垂线段最短和余角的定义，正确作出对应的图形是解题的关键； （1）如图所示，取格点H，连接交于E，则点E和射线即为所求；如图所示，取格点F，连接，则点F和射线即为所求； （2）点到直线的距离为该点向该直线作垂线，该点与垂足的距离，据此可得第一空答案，根据垂线段最短可得第二、三空的答案； （3）根据度数之和为90度的两个角互余，结合三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴线段的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是，理由是垂线段最短； （3）解：∵， ∴， ∴的余角是和． 【变式4-2】（24-25七年级下·山西运城·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下述要求画图． (1)画直线； (2)画线段； (3)过点画直线的垂线，垂足为； (4)在线段中，最短的线段为___________，依据为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，点到直线的距离垂线段最短 【知识点】画垂线、垂线段最短、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了作图知识及把几何语言转化为几何图形的能力，熟练掌握直线、射线、线段和垂直的定义是解答本题的关键． （1）根据直线的特征画图即可； （2）根据线段的特征画图即可； （3）结合网格，过点作垂线画图即可． （4）根据垂线段最短，并结合题干信息即可求解 【详解】（1）解：连接点、点并延长，如图： （2）解：连接点、点和点、点，且不要延长出点，如图： （3）解：过点画直线的垂线，垂足为，如图： （4）解：∵垂线段最短， ∴最短的线段为， 故答案为：，垂线段最短 【变式4-3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)过点P画的垂线，垂足为H； (3)线段的长度是点P到直线 的距离，线段 长度是点C到直线的距离； (4)因为直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段这三条线段长度的大小关系是 （用“<”连接）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， (4) 【知识点】画垂线、点到直线的距离、垂线段最短 【分析】本题考查了垂线的作法，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解答本题的关键． （1）（2）利用方格线画垂线即可； （3）根据点到直线的距离的定义得到线段的长度是点P到的距离，线段的长是点C到直线的距离； （4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到，，即可得到线段的大小关系． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：线段的长度是点P到直线的距离，线段的长是点C到直线的距离． 故答案为：，； （4）解：∵，， ∴． 考点五：同位角、内错角、同旁内角的辨别 例5. （23-24七年级下·四川南充·期中）下列四个图形中，和不是同位角的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角的识别，关键是清楚同位角的概念，即若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角． 根据同位角的定义判断可得选项． 【详解】解：根据同位角的概念判断知，A，C，D中的和符合同位角的定义， 选项B中的和不是两条直线被第三条直线所截形成的，故不是同位角外． 故选：B． 【变式5-1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义解答即可． 本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 与是同旁内角，错误，不符合题意， B. 与是内错角，错误，不符合题意， C. 与是同位角，错误，不符合题意， D. 与是同旁内角，正确，符合题意， 故选：D． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽黄山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键． 根据内错角的定义“两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角”，逐项分析可得答案． 【详解】解：A．与是同位角，不符合题意； B．与是内错角，符合题意； C．与是对顶角，不符合题意； D．与是同旁内角，不符合题意； 故选：B． 【变式5-3】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线分别交的两边于点，下列说法不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、和是内错角，原说法正确，不符合题意； B、和是同旁内角，原说法正确，不符合题意； C、和是同位角，原说法错误，符合题意； D、和是同位角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 考点六：平行线的判定和性质多结论题 例6.（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂线，关键是相关性质的熟练掌握．延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长，交于， ， ，， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ； ①错误；②正确； ，， ，③正确； 平分， ， ， ， ， ④平分不一定正确． 其中正确结论的是②③， 故选：B． 【变式6-1】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，下列结论：①；②；③；④．正确的个数是（　　）   A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键，根据平行线的性质，结合三角板中的角度和平角，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，∴，故结论①正确； ∵，∴，故结论②正确； ∵，∴，故结论③正确； ∵，即， ∵， ∴， ∴，即，故结论④正确； ∴结论正确的是①②③④． 故选：D． 【变式6-2】（24-25七年级下·天津和平·期中）如图，已知，添加一个以下条件：①；②；③；能证明的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题关键．过点作，根据平行线的性质得出，则，可判断①条件；根据同旁内角互补，可判断②③条件． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ，①条件正确； ， ，②条件错误； ， ，③条件错误； 故选：A． 【变式6-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知（其中），添加以下一个条件：①；②；③；④．能判定的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定定理，“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”，以及邻补角的定义．本题的关键是通过作辅助线得到角相等，将已知条件进行转化．过F作，结合条件①可证；条件②可证；条件③可证；条件④的结果得到恒等式，据此判断即可． 【详解】解：添加①， 过F作， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，故①正确； 添加②， 过F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 添加③， 则， 而F不在， 故不能证明，故③错误； 添加④， ∵， ∴，即， 无法证明，故④错误； 故选：C 考点七：平行线的性质在生活中的应用 例7. （24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池板与水平线的夹角为，电池板与水平线的夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转．则的度数为 ． 【答案】/10度 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查平行线的知识．由平行线的性质，得，则，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式7-1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时、会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若，则与的度数和是 °． 【答案】 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】根据平行线的性质，得，结合，计算即可， 本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据平行线的性质，得， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 【答案】/66度 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 【答案】/72度 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查平行线性质的应用，由，可得，，由反射的性质可得，由此可解． 【详解】解：， ， 由题意知，， ， ， ， ， 故答案为：． 考点八：平行线的判定和性质综合问题 例8.（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）先由，得到，则，进而得到，由此即可证明； （2）先由平行线的性质得到，，再证明，结合进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式8-1】（24-25七年级下·重庆涪陵·期中）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键： （1）由，推出，进而推出，即可得证； （2）根据平行线性质，角的和差关系，以及对顶角相等，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴，， ∴， ∴． 【变式8-2】（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，点，在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点，交于点，过点作交的延长线于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由题意，结合图形，得到，从而证得两直线平行； （2）根据题意，得到的度数，利用角平分线的定义以及平行线的性质得的度数，，即可得解． 【详解】（1）解：为平角， 又， ， ； （2）解：如图所示， ，    ， ， ， ，    又为的角平分线， ， ， ，    ， ． 【变式8-3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示是超市购物车的侧面示意图，扶手框顶框底，车轮两支脚架． (1)求的度数． (2)若支脚架所在的直线垂直于，试判断与支脚架的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)平行，理由见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行性的性质可得，再由，即可求解； （2）根据题意可得， 从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 又∵ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点九：根据平行线的判定与性质探究角的关系 例9. （24-25七年级下·福建厦门·期中）已知直线，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C． (1)如图1，当点P在点A左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由； (2)若，平分，交直线于点D． ①如图2，若点P在点A左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)①不变，②与之间的数量关系是：或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）延长到E，由得，进而得，再根据平分得，然后根据平行线的性质得，据此可得的度数； （2）①延长到E，设，根据角平分线的定义得，，再根据得，进而得，，再根据平分，得，然后根据可得结论； ②（ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，根据，得，进而得，，，然后由平分得，则，据此得；（ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，再根据，得，进而得，，，，然后根据平分得，则，据此可得．综上所述即可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：延长到E，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：①点P在点A左侧运动时，的度数不发生变化，，理由如下： 延长到E，如图2所示： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ②与之间的数量关系是：或，理由如下： （ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，如图3所示： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，如图4所示： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 【变式9-1】（24-25七年级下·山西大同·期中）综合与探究 如图，，点，分别在直线，上． (1)如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明． (2)如图2，是直线，之间一点，连接，．若，，求的度数． (3)如图3，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可得出结论； （2）由（1）可得，代入数据，即可求解． （3）根据角平分线以及平角的定义可得，，由（1）可得，，进而得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵ ∴ ∵， 由（1）可得 （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， 由（1）可得， ∴ 即． 【变式9-2】（24-25七年级下·广西桂林·期中）【问题情境】已知，，平分交于点． 【问题探究】（1）如图1，已知． ①若，则的度数为________． ②若，，求的度数：________． 【问题解决】（2）如图2，若，，当时，求的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若，请直接写出、和三者之间的数量关系． 【答案】（1）①②（2）（3） 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键： （1）①根据平行线的性质进行求解即可；②证明，根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可； （2）证明，推出，利用平行线的性质，进行求解即可； （3）证明，推出，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式9-3】（24-25七年级下·四川达州·期中）【感知】 （1）如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数．按小明的思路，易求得的度数为 度； 【探究】 （2）如图2，点B，D在射线上，点A，C在射线上，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，问∠APC与，之间有何数量关系？请说明理由； 【迁移】 （3）在（2）的条件下，如果点P在线段外运动时（点P与点O，B，D不重合），试探究与，之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由． ①点P在射线上； ②点P在线段上． 【答案】（1）110；（2）；（3）①；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出，即可得到答案； （2）利用两直线平行内错角相等得到，，由即可得到结论； （3）①过点P作，．则．由即可得到； ②过点P作，则．再证得到．由即可得到结论． 【详解】（1）解：过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． （2），理由如下： 如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）①如图，，理由如下： 过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ②如图，，理由如下： 过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟练掌握平行线的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 考点十：根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 例10.（24-25七年级下·河南濮阳·期中）本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题： 如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为． 【问题解决】 （1）下列结论错误的是（      ） A．　B．　C．　D． （2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数； 【探索发现】 （3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系． 【答案】（1）D （2），，， （3），理由见解析 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质和平行公理的推论是解题的关键． （1）根据平行线的性质逐项判断即可； （2）利用平行线的性质与邻补角性质求解即可； （3）过点E作，根据平行线的性质得出，再证明，得到，从而由得出结论． 【详解】解：（1）A、∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 又∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等，原结论错误，故此选项符合题意； 故选：D． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）， 理由：过点E作，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A、C的对应点分别为F、G）．设旋转时间为t秒； ①在旋转过程中，若边，求t的值； ②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时的值． 【答案】(1) (2)①5或35 ②或或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】（1）首先求出，根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质求出，继而可得结果； （2）①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于t的方程，解之即可；②表示出，，分三种情况（如解析所示），画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． （2）解：①如图，当在上方时，， ， ， ， ， ． 如图，当在下方时，， ， ∵， ∴， 此时旋转了， ∴， ． 在旋转过程中，若边，的值为5或35． ②如图，延长，与交于H，由题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 如图，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得：； 如图，延长，与交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上：t的值为或或． 【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 【变式10-2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图1方式叠放在一起，其中，，，． (1)求证：； (2)如图2，若交于点，时，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当点在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当这两块三角尺一组边互相平行时，请直接写出此时的度数． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或或或或． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．数形结合并分类讨论是解题的关键． （1）根据余角的性质进行解答即可； （2）根据平行线的性质得，，根据角的和差关系即可解答； （3）根据题意，分五种情况进行分类讨论：①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时；分别利用平行线的性质进行求解即可得． 【详解】（1）证明：， ． ． ． （2）∵， ∴， ， ∴ ∴； （3）如图，当时， ∴， ∵ ； 如图，当时， ∴； 如图，当时， ∴， ； 如图，当时 ， ∴， ． 当时， ， ∴， ， ， ， 综上，的度数为或或或或． 【变式10-3】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值是20或； (3)或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，一元一次方程的应用等知识，也体现了数形结合的思想，读懂题，熟悉条件，理解题意是解题的关键． （1）根据角的和与差即可解答； （2）分两种情况：在的左边和右边，根据列方程即可解答； （3）分情况画出图形，根据两直线平行内错角相等列方程即可解答． 【详解】（1）解：如图①，，， 如图②，当时，；    故答案为：，； （2）解：分两种情况： ①如图1，当在的左边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； ②如图2，当在的右边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； 综上，t的值是20或； （3）解：如图，由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图：由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，或． 一、单选题 1．（2025年广西壮族自治区南宁市初中毕业班质量调研（二）数学试卷）如图，已知直线，被直线所截，则的同位角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了同位角的判断， 根据同位角的定义逐个判断即可得出答案． 【详解】解：因为和是邻补角， 所以A不符合题意； 因为和是同位角， 所以B符合题意； 因为和不是同位角， 所以C不符合题意； 因为和不是同位角， 所以D不符合题意． 故选：B． 2．（2025·湖南长沙·二模）如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由邻补角的定义得，由角平分线的定义得，最后根据得，即可得解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 故选：B． 3．（2025·辽宁丹东·二模）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（    ） A．30° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角；由互补关系可分别求得；再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，； ∵， ∴， ∴； 故选：B． 4．（北京市延庆区2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试卷）如图，，则下列结论：①，②，③，④，其中一定成立的是（   ） A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查平行线的性质，涉及两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、两直线平行同位角相等等知识．熟记平行线的性质逐项验证是解决问题的关键． 【详解】解：， ，故①一定正确； 与是否平行不确定， 不一定与相等，故②不一定成立； ， ，故③一定正确； ， ，故④一定正确； 综上所述，结论一定正确的是①③④， 故选：D． 5．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图，平分平分，点、、在一条直线上，点、、A、在一条直线上，，则下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．②③ 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义等，熟练掌握知识点是解题的关键，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等得出，，再根据角的和差即可判断②；根据角的和差计算即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，②正确； ∴， ∵， ∴，③错误； 综上所述：正确的结论有①②． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，的长度就是李明同学的成绩，其中的数学依据是 ． 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，理解相关含义是解题关键． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 7．（黑龙江省齐齐哈尔市2024-2025学年七年级下学期5月期中考试数学试题）如果的两边与的两边分别平行，并且的2倍比大，那么的度数为 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质找出或是解题的关键．由和的两边分别平行，利用平行线的性质可得出或，结合的度数比度数的2倍少，即可求出的度数． 【详解】解：∵和的两边分别平行， ∴或， ∵的2倍比大， ∴设，则， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上分析可知：或． 故答案为：或． 8．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，若，则的度数是 ． 【答案】/58度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 9．（24-25七年级下·重庆南川·期中）如图，，，垂足分别为，．已知，，，，则点到直线的距离为 ． 【答案】6 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”，熟记定义是解题关键．根据点到直线的距离的定义求解即可得． 【详解】解：∵，垂足为，且， ∴点到直线的距离为6， 故答案为：6． 10．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点，作的平分线，交直线于点，则的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查图形的平移，平行线的判定与性质，先证明，得到，再根据和的位置分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 当在右边时，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴； 当在左边时，交线段于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在左边时，交直线于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 三、解答题 11．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，直线，交于点，过点作，在内作射线，． (1)的补角是___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、求一个角的补角、垂线的定义理解 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，补角的定义，垂直的定义： （1）根据补角的定义，作答即可； （2）由题意易得，根据垂直的定义，得到，进而求出的度数，即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵直线，交于点， ∴， ∴的补角是； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 12．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，在边长为的正方形网格中，的三个顶点都在网格的顶点上，按如下要求作图． (1)在图1中找一格点，作 (2)在图2中找一格点，作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画垂线、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了作图——网格作图，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据垂直的定义作图即可； （2）结合平行线的判定与性质，过点在的左侧作，所经过的格点即为点． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，点即为所求． 13．（24-25七年级下·广西玉林·期中）请将解答过程填写完整： 如图，，，若，求的度数． 解：（已知）， （_____）． ， _____（等量代换）． ∥_____． _____（两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， _____（等式的性质）． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．根据题意，利用平行线的判定和性质填空即可． 【详解】解：（已知） （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， ∴． （两直线平行，同旁内角互补）． （已知） （等式的性质）． 14．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，已知，，交的延长线于点E． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2)的度数为 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质和判定．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等得到，通过角的等量代换得到，最后根据内错角相等，两直线平行即可证明． （2）由得到，设，则，可得，求出，根据求出即可求出． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：，， ，，． ， ， 设，则， 可得， 解得：， ， ，， ， ． 15．（湖北省武汉市四区2024-2025学年七年级下学期五月联考三模数学试题）已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了利用平行线的性质和角平分线的定义判断角度的关系，三角形内角和和外角的性质，熟练利用分类讨论思想是解题的关键． （1）过点作的平行线，利用平行线的判定和性质即可解答； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义可得，根据三角形内角和求得，即可解答； （3）分类讨论：分点在点左边或右边，画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的平行线， ，， ，， ， ； （2）解：， ， 是的平分线， ， ，， ， ； （3）解：当点在点左边时，如图， ，，平分， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ，即； 当点在点右边时，如图， ，， 平分， ， ， ，即， 综上，或． 16．（24-25七年级下·北京·期中）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数． （4）若在内部作射线，过点B作射线交直线于点M，得到，请在图4中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质． （1）根据题意得到，即可判定，再由平行公理即可得证； （2）小刚的方法：过点B作直线，根据平行线的判定与性质求解即可； 小红的方法：连接，由，得到，根据对顶角相等和三角形的内角和定理得到，，，代入即可解答； （3）过点O作，则，先证明，结合角平分线的定义可证，进而可求出； （4）由（2）知，，从而，再证明，由得，可得，从而，进而可得． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴ ∵， ∴； （2），理由如下： 过点B作直线，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3），理由如下：    如图3，过点O作，则， ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴，即． （4）如图， ，理由如下： 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$