第11讲 立体几何中的外接球、内切球问题（思维导图+知识串讲+10大考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第11讲 立体几何中的外接球、内切球问题 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 外接球模型一：墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 知识点02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 知识点04 外接球模型四：垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 知识点05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点06 内切球思路： 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 5、棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【考点一：墙角模型】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川成都·期中）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东青岛·期中）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖北·开学考试）在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【考点二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型】 一、单选题 1．（23-24高一上·云南德宏·期末）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高一下·重庆荣昌·月考）在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为 ． 【考点三：其他补成长方体模型】 一、单选题 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知正四面体的外接球的体积为， 则该正四面体的棱长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高一上·陕西咸阳·月考）三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于 . 【考点四：直棱柱、圆柱的外接球模型】 一、单选题 1．（23-24高一上·河北唐山·开学考试）已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东潮州·期中）已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一·全国·专题练习）已知直三棱柱的个顶点都在球的表面上，若，，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【考点五：正棱锥、圆锥及侧棱相等模型】 一、单选题 1．（23-24高一下·河北邢台·期中）如图，圆锥的顶点及底面圆的圆周都在球的球面上，且圆锥的母线长和底面圆的直径均为2，则球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏泰州·期末）已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）在三棱锥中，，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·浙江金华·期中）体积为1的正三棱锥的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为（    ） A． B． C． D． 【考点六：垂面模型】 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南常德·一模）已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 3．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东·月考）在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（    ） A．96π B．84π C．72π D．48π 5．（2025·四川德阳·二模）在三棱锥中，平面平面为等腰三角形，且，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【考点七：棱柱、圆柱内切球】 一、单选题 1．（2025·天津河东·二模）已知正方体的边长为，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 2．（23-24高一下·重庆长寿·期末）某圆柱的底面直径和高都等于4，则该圆柱的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃·模拟预测）半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·全国·课后作业）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【考点八：圆锥、圆台内切球】 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东广州·期中）某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·福建龙岩·期末）已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（    ）    A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【考点九：棱锥内切球】 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东烟台·一模）如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·福建莆田·期中）一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为 A． B． C． D． 4．（23-24高一下·全国·月考）若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（    ） A． B．4 C． D． 【考点十：棱切球】 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东肇庆·二模）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一上·江苏连云港·月考）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 . 5．（23-24高一下·河南·月考）在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为 ． 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球的球面上，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，三棱锥的三条棱两两互相垂直，且，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东肇庆·期末）三棱锥中，，，，，，已知三棱锥外接球体积为，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河北张家口·月考）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东汕尾·期末）已知在四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，直线与平面．所成角的正弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川绵阳·三模）已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·湖北·月考）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·福建福州·期中）已知圆台上、下底面的半径分别为2，4，圆台的高为6．若该圆台的两个底面的圆周都在同一个球的表面上，则这个球的半径为（    ） A．3 B． C．4 D． 9．（23-24高一下·河北石家庄·期中）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，，PA为球O的直径，且，则点P到底面ABC的距离为（   ） A．4 B． C． D． 10．（23-24高一下·浙江金华·期末）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江苏南京·开学考试）若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（    ） A．24 B．32 C．96 D．128 12．（24-25高一下·天津东丽·期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·浙江台州·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为且半径为2的扇形，记该圆锥的内切球半径为，外接球半径为，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·福建·月考）已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在三棱锥中，，，，点P在平面上投影为A，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 16．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为 ． 17．（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为 ． 18．（24-25高一下·陕西西安·期中）正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为 ． 19．（23-24高一下·山西朔州·月考）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为 ． 20．（24-25高一下·浙江·期中）已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台体积为 ． 21．（23-24高一上·河南周口·期末）正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 . 22．（23-24高一下·浙江温州·期末）与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD满足， ，且四面体ABCD有棱切球，则AC的长为 ． 1 / 8 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2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 知识点05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点06 内切球思路： 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 5、棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【考点一：墙角模型】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川成都·期中）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得长方体对角线长得外接球直径，再计算球的表面积即可． 【详解】由已知得长方体的对角线长为，所以外接球半径为， 球的表面积为， 故选：A． 2．（24-25高一下·山东青岛·期中）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算. 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径. 所以外接球的体积. 故选：B 3．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将四棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，又长方体的体对角线即为外接球的直径，求出外接球的半径，即可求出其表面积. 【详解】因为在四棱锥中，底面是矩形，平面， 如图将四棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球， 又，设长方体外接球的半径为，则， 所以外接球的表面积. 故选：A    4．（24-25高一下·湖北·开学考试）在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过补形为长方体的方法求得外接球的半径，进而求得外接球的体积. 【详解】将四面体补形为长方体， 则外接球的直径即为长方体的体对角线长， 即， 因此外接球的半径为，其表面积为 故选：B 【考点二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型】 一、单选题 1．（23-24高一上·云南德宏·期末）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥转化为长方体，结合长方体的外接球以及长度关系运算求解. 【详解】如图，将三棱锥转化为长方体，    可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则，可得， 则外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 二、填空题 2．（23-24高一下·重庆荣昌·月考）在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】将四面体补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，则长方体的体对角线即为四面体的外接球的直径，再结合球表面积公式计算即可. 【详解】由题意知，将四面体补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，如图所示， 设长方体的长、宽、高分别为，，， 则，解得， 所以长方体的体对角线长为， 所以外接球的直径为，即， 所以四面体的外接球的表面积为. 故答案为：. 【考点三：其他补成长方体模型】 一、单选题 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得平面，将鳖臑补全成长方体，进而可求外接球半径，从而得解. 【详解】根据题意，平面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 将鳖臑补全成长方体，如图， 则此四面体的外接球的半径为， 其外接球的表面积为. 故选：B. 2．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知正四面体的外接球的体积为， 则该正四面体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出正四面体的外接球半径，将正四面体放入正方体中，求出正方体的棱长，即可求得该正四面体的棱长. 【详解】设正四面体的外接球半径为，则， 解得， 将正四面体放入正方体中，设正方体的棱长为，如下图所示： 则，所以，，故该正四面体的棱长为. 故选：C. 二、填空题 3．（24-25高一上·陕西咸阳·月考）三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于 . 【答案】 【分析】先用补形法求出外接球的半径R，再利用表面积公式即可得答案. 【详解】如图：      将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：， 所以，所以外接球的表面积为， 故答案为：. 【考点四：直棱柱、圆柱的外接球模型】 一、单选题 1．（23-24高一上·河北唐山·开学考试）已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱外接球的直径与圆柱的底面直径和圆柱的高的关系求解即可. 【详解】由题可知该圆柱底面直径为， 所以底面半径为 所以圆柱体积为 故选：C 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，该直三棱柱可补形为长方体，则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球，由球的表面积求出半径，根据长方体的体对角线长的公式列方程，即可解得侧棱长. 【详解】由题意，该直三棱柱可补形为长方体， 则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球. 所以体对角线的长为球的直径，设球的半径为， 则，解得， 设侧棱长为，则，解得，即侧棱长为. 故选：C. 3．（23-24高一下·广东潮州·期中）已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六棱柱的性质结合球的性质得，其外接球的球心为上下面外接圆圆心连线中点，利用勾股定理计算半径，代入球的体积公式求解即可. 【详解】如图，设正六棱柱下底面的中心为，其外接球的圆心为点， 则，为等边三角形，故，即为其外接球的半径， 所以， 所以该正六棱柱的外接球的体积为. 故选：C. 4．（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因为，利用正弦定理得外接圆半径为，利用勾股定理即可得外接球半径为，代入球的体积公式即可求解. 【详解】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为， 因为，，在中由正弦定理有， 则，则有， 所以，所以球的体积为：    ， 故选：D. 5．（2024高一·全国·专题练习）已知直三棱柱的个顶点都在球的表面上，若，，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理及余弦定理求得底面的外接圆的半径，结合的长度求得球O的半径，从而得到球的体积. 【详解】设的外接圆圆心为，半径为，连接，则平面， 在中，由余弦定理得：， ，，， ，球的体积为. 故选：A. 【考点五：正棱锥、圆锥及侧棱相等模型】 一、单选题 1．（23-24高一下·河北邢台·期中）如图，圆锥的顶点及底面圆的圆周都在球的球面上，且圆锥的母线长和底面圆的直径均为2，则球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，求出各边长，利用勾股定理列出方程，求出半径，得到表面积. 【详解】如图，连接，由题意可得，， 由勾股定理得， 设． 因为，所以，解得， 所以球的表面积为．    故选：D 2．（23-24高一下·江苏泰州·期末）已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得圆锥的高，结合球的截面圆的性质，以及球的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的高为，因为圆锥的体积为，可得，解得， 设圆锥的外接球的半径为，可得，即， 解得，所以外接球的表面积为. 故选：A. 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）在三棱锥中，，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件确定球心的位置，即可得到球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果. 【详解】 由题意可得，点在底面上的射影是的中点，是三角形的外心， 令球心为，因为，且，所以， 又因为，所以， 在直角三角形中，，即，解得， 则三棱锥外接球的表面积为. 故选：B 4．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 5．（23-24高一下·浙江金华·期中）体积为1的正三棱锥的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据体积公式得到底面边长和三棱锥的高的关系，再由正三棱锥和其外接球的几何关系，得到外接球半径与底面边长比值表达式，再化简利用基本不等式求得最值即可. 【详解】如图，设正三棱锥的底面边长为，高为，外接球半径为. 因为体积为1，所以，所以. 不论外接球的球心在正三棱锥的内部（图1），外部（图2）还是与重合（图3）， 其外接球半径均满足， 将代入化简得， 当且仅当即时取等号，所以最小值为. 故选：D. 【考点六：垂面模型】 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补形成正三棱柱，利用它们有相同的外接球，结合正三棱柱的结构特征求出球半径即可. 【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合， 正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为， 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：，而为的中点，则， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故选：A 2．（2024·湖南常德·一模）已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】如图， 设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心， 在中，由3，，7，得， 故，设的外接圆的半径为， 则，， ． 三棱锥外接球的表面积为． 故选：B 3．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点为E，以及的外心为，的外心为，依据平面平面可知为正方形，然后计算外接球半径，最后根据球表面积公式计算. 【详解】设是中点，连接，设的外心为，的外心为， 是四面体外接球球心， 由于和都是边长为的正三角形， 所以， 且分别在靠近E的三等分点处. 根据二面角的大小为及球的性质可知： 平面，平面，所以， 由于，所以四边形是正方形， ，， 设四面体外接球的半径为，则. 所以外接球的表面积为. 故选：A 4．（24-25高一上·广东·月考）在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（    ） A．96π B．84π C．72π D．48π 【答案】B 【分析】令的外心为，取中点，由已知可得四边形是矩形，利用球的截面性质求出球半径即可得解. 【详解】在中，，则，中点为的外心， 于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC， 平面平面，平面，则平面，， 令正的外心为，则为的3等分点，， 又平面，则，而，则四边形是矩形， ，因此球O的半径， 所以球O的表面积为. 故选：B 5．（2025·四川德阳·二模）在三棱锥中，平面平面为等腰三角形，且，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，的中点，连接，设三棱锥的外接球的球心为，过作交延长线于点，然后根据已知数据在中可求出三棱锥的外接球的半径，从而可求出外接球的表面积. 【详解】如图取的中点，的中点，连接，则， 因为为等腰三角形，所以, 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为为直角三角形，且，所以为的外心， 设三棱锥的外接球的球心为，则平面， 所以‖， 在等腰中，，， 则，的外心在外， 所以， 在中，，则， 所以 设三棱锥的外接球的半径为，则， 过作交延长线于点，则， 在中，，则 ，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 【考点七：棱柱、圆柱内切球】 一、单选题 1．（2025·天津河东·二模）已知正方体的边长为，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用正方体的外接球与内切球的性质结合球体的表面积与体积公式计算即可. 【详解】易知正方体的外接球半径为其体对角线的一半，即， 内切球半径为棱长的一半，即，由球体的表面积公式及体积公式可知： . 故选：A 2．（23-24高一下·重庆长寿·期末）某圆柱的底面直径和高都等于4，则该圆柱的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由底面直径和高相等得出该圆柱的内切球的半径，进而得出内切球的表面积. 【详解】因为该圆柱的底面直径和高都等于4， 所以该圆柱的内切球的半径等于该圆柱的底面半径， 则该圆柱的内切球的表面积为. 故选：B 3．（2024·湖北·二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半径，从而可求外接球的表面积. 【详解】因为，故， 故的内切圆的半径为. 因为直三棱柱存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径. 而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1， 故直三棱柱的高为2. 将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线， 故外接球的半径为， 故外接球的表面积为. 故选：D. 4．（2025·甘肃·模拟预测）半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据球内切于正三棱柱求出高，然后内切球的性质求得底面正三角形的边长，最后利用柱体体积公式求解即可. 【详解】因为半径为2的球内切于正三棱柱， 所以正三棱柱的高，且该组合体过球心且平行于平面的截面为球的大圆内切于与全等的正三角形，如图. 由正三角形及其内切圆的性质，得， 所以的面积为， 所以正三棱柱的体积为. 故选：A 5．（23-24高一下·全国·课后作业）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，由正三棱柱的结构特征确定正三棱柱的高，再计算出其外接球的半径，进而由体积公式求解即可. 【详解】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，则正三棱柱的内切球半径等于正三角形的内切圆半 径，则内切球的半径，正三棱柱的高． 设正三角形的外接圆半径为R，易得， 所以外接球的半径． 所以它的外接球与内切球体积之比为． 故选：C 【考点八：圆锥、圆台内切球】 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到三角形相似，表达出各边，根据相似得到方程，求出答案. 【详解】由题意得⊥，⊥，故∽， 故， 其中， 故，， 所以，即，解得. 故选：D 2．（24-25高一下·广东广州·期中）某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求得圆锥的高和母线长，进而判断轴截面三角形为等边三角形，得出圆锥外接球球心位置，计算得出半径，得出结果. 【详解】作出如图所示轴截面，设圆锥底面半径为，则圆锥的高，设圆锥母线长为，    由勾股定理可得 ， 因为圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1， 所以，轴截面三角形面积为， 解得 ，则圆锥的高 ， 所以母线， 三角形为等边三角形，设圆锥外接球的球心与内切球的球心重合均为， 设外接球半径为，则， 根据球的表面积公式，可得. 所以该圆锥外接球的表面积为. 故选：B 3．（23-24高一下·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知圆台的轴截面为等腰梯形，计算出梯形的高，结合圆台的体积公式求解即可. 【详解】圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为，下底面半径为，则腰长为， 故梯形的高为， 则该圆台的体积为. 故选：D. 4．（23-24高一下·福建龙岩·期末）已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，作出图形，得到上下底面的半径，进而分析运用勾股定理求出高即可． 【详解】根据圆和等腰梯形的对称性知道，分别为上下底的中点. 连接，则，过于.四边形为矩形． 由于,则，则. 由切线的性质知道. 则. ，． 代入计算可得，. 故选：D.    5．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设上底面半径为，下底面半径为，根据圆台的内切球的性质以及线面角可得，且母线长为，以及内切球的半径，再结合圆台和球的面积公式运算求解. 【详解】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：母线与底面所成角为， 则，可得， 即，，可得， 可知内切球的半径， 可得，， 所以. 故选：D. 【考点九：棱锥内切球】 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设四面体内切球的球心为，半径为，则，求得，，从而求得，根据球的表面积公式即可求解. 【详解】    因为四面体四个面都为直角三角形，平面， 所以，， 设四面体内切球的球心为，半径为， 则 所以， 因为四面体的表面积为， 又因为四面体的体积， 所以， 所以内切球表面积. 故选：C. 2．（2024·山东烟台·一模）如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长､宽､高，求出该三棱锥外接球的半径，设该三棱锥的内切球的半径为，由三棱锥的体积公式可得，可得答案. 【详解】因为底面底面，所以. 又因为，所以，而， 所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长､宽､高， 因此该三棱锥外接球的半径， 设该三棱锥的内切球的半径为， 因为， 所以. 因为， 所以， 由三棱锥的体积公式可得 ， 所以. 故选：C. 3．（23-24高一下·福建莆田·期中）一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四面体的结构特征，求出内切球半径与外接球半径即可作答. 【详解】依题意，正四面体的内切球与外接球球心重合，记为， 令正的中心为，连接， 显然点在上，令正四面体的内切球与外接球半径分别为，， 即，， 而， 则， 在中，，解得，， 所以它的外接球与内切球的表面积之比为. 故选：C 4．（23-24高一下·全国·月考）若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由正四棱锥体积先求出外接球半径，进而得到正四棱锥的底面边长与高，再利用等体积法可求出四棱锥内切球的半径. 【详解】因为正四棱锥内接于球O，且底面过球心O， 设球的半径为， 所以， 所以， 于是正四棱锥的体积，解得， 所以正四棱锥的表面积， 设正四棱锥内切球的半径为， 则，解得. 故选：A. 【考点十：棱切球】 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，根据勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，则， 解得（负值已舍去），所以其棱切球的表面积. 故选：B 2．（2024·全国·模拟预测）正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将正四面体放在正方体中，正方体的内切球即为正四面体的棱切球，求解即可. 【详解】把正四面体放在正方体中，如图，    则正方体的内切球即为正四面体的棱切球， 即正方体的棱长为正四面体的棱切球的直径， 因为，所以正方体的棱长为，棱切球的半径为， 所以正四面体的棱切球的体积为. 故选：C. 3．（2024·广东肇庆·二模）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意构造直角三角形，列出关于高及得方程组，即可求解出正三棱锥的棱切球半径. 【详解】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长，侧棱 设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中点，连接，过点作垂足为，则，设， 在中， 因为为的中心，则，， 在中即； 在中，，即， 在中，，则； 在中，，则， 在中，，则， 又因为，则，化简得， 由得解得. 故选：C. 二、填空题 4．（23-24高一上·江苏连云港·月考）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 . 【答案】 【分析】利用三棱柱的体积公式、球的特征及其体积公式即可. 【详解】    如图所示，取上下底面的中心，分别为上底面棱上的切点， 则为的中点，设， 由题意易知， 则， 因为， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一下·河南·月考）在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为 ． 【答案】 【分析】先判断出球心和半径，利用表面积公式直接求解. 【详解】如图示： 取的中心E，连接PE，则平面ABC，且与棱均相切的球的球心O在PE上. 连接AE并延长交BC于D，则D为BC的中点，，连接OD. 因为平面ABC，所有 . 因为平面，平面，，所有平面. 因为平面，所有 .过O作，交PA于点F. 球O的半径为r，则. 由题意：为正三角形，因为，所以，，. 因为，，所以，所以. 设，所以，因为，所以，解得:，所以，故球O的表面积为． 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球的球面上，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据外接球性质结合圆柱特征得出球的半径结合球的表面积公式计算求解. 【详解】圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球的球面上， 则球的半径为 则球的表面积是. 故选：A. 2．（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，三棱锥的三条棱两两互相垂直，且，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意三棱锥可以补成一个长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，求出长方体的体对角线，可得外接球的直径，从而可求出球的表面积. 【详解】因为三棱锥的三条棱两两互相垂直， 所以三棱锥可以补成一个长方体，如图所示 长方体的长，宽，高分别为， 则此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，设外接球的半径为，则 ， 得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 3．（24-25高一上·广东肇庆·期末）三棱锥中，，，，，，已知三棱锥外接球体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出三棱锥的外接球半径，将三棱锥补成长方体，根据长方体的外接球直径等于其体对角线长，即可求出线段的长. 【详解】设三棱锥的外接球半径为，则，解得， 因为，，，则，可得， 又因为，，所以，、、两辆相互垂直， 将三棱锥补成长方体， 则该长方体的外接球直径为，解得， 故选：B. 4．（23-24高一下·河北张家口·月考）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，将三棱锥放到长方体中，求出长方体的体对角线长，从而求得三棱锥外接球的半径，从而得解. 【详解】因为在三棱锥中，，，， 将三棱锥放到长方体中，设长方体同个顶点的三条棱长分别为，如图，    则，所以， 因为长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径， 所以三棱锥外接球的直径为，半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：D. 5．（23-24高一下·广东汕尾·期末）已知在四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，直线与平面．所成角的正弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，补形成长方体模型来解题. 【详解】如图所示，四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，直线与平面所成角的正弦值为. 根据题意，可以补充成长方体。    且底面是边长为4的正方形，直线与平面所成角为, 则长宽高分别为4,4,4，即图形为正方体.外接球的球心为体对角线中点. 体对角线长刚好为球的直径，且.外接球的表面积为:. 故选：C． 6．（2025·四川绵阳·三模）已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直棱柱补全成长体即可知道其外接球直径，进而可求其体积. 【详解】如图所示，将直三棱柱补全成长方体， 则长方体的体对角线为该三棱柱外接球的直径， 所以其半径为 球O的体积为， 故选：． 7．（24-25高一下·湖北·月考）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥可以嵌入一个长方体内用体积转化的方法求解该三棱锥的内切球的半径. 【详解】根据题意，三棱锥可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a，b，，如图所示， 则，，，解得，，. 所以该三棱锥的的体积为， 而， 所以可求得，故选：C 8．（24-25高一下·福建福州·期中）已知圆台上、下底面的半径分别为2，4，圆台的高为6．若该圆台的两个底面的圆周都在同一个球的表面上，则这个球的半径为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理建立等量关系，求出球的半径即可得解. 【详解】如图：取圆台的一条母线，连接、， 由题意可知，四边形为直角梯形，且，，， 设外接球半径为，球心为， 若外接球球心在线段上， ， 故，整理得，，检验符合， 若外接球球心在射线上，则， 故，整理得，无解， 故， 故选：D. 9．（23-24高一下·河北石家庄·期中）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，，PA为球O的直径，且，则点P到底面ABC的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】推导出球心是的中点，球半径，过作平面，垂足是，则是中点，且，从而求出，点到底面的距离为． 【详解】三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径且， 球心是的中点，球半径， 过作平面，垂足是， 满足，， 是中点，且， ， 点到底面的距离为． 故选：A． 10．（23-24高一下·浙江金华·期末）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用公式求侧面积即可. 【详解】如图所示，设球与圆锥底面相切于点，与母线相切于点， 根据已知得， 设母线长，则在直角△中， 因为，所以 即，化简得， 解得，或(舍去)， 所以圆锥的侧面积为：. 故选：C. 11．（24-25高一上·江苏南京·开学考试）若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（    ） A．24 B．32 C．96 D．128 【答案】C 【分析】根据正四棱锥及球的特征求出锥体的底边边长和侧棱长，然后结合勾股定理利用侧面积公式计算即可. 【详解】   如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥的外接球球心在上， 由题意球O的半径， 所以，，则， 故中，边AB的高为， 所以该正四棱锥的侧面积为. 故选：C 12．（24-25高一下·天津东丽·期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合底面直角三角形的外接圆的半径，以及直棱柱的结构特征，得到外接球的半径，满足，再由球的体积公式，即可求解. 【详解】由直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和， 设底面直角三角形的外接圆的半径为，可得， 设直三棱柱上下底面直角三角形的外心（斜边的中点）分别为， 则三棱柱外接球的球心为的中点，设为， 又因为三棱柱的高为， 所以外接球的直径为， 可得，所以该三棱柱的外接球的体积为. 故选：A. 13．（23-24高一下·浙江台州·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为且半径为2的扇形，记该圆锥的内切球半径为，外接球半径为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设为圆锥的轴截面，为底面圆的圆心，先求出圆锥的底面圆的半径，利用等面积法求出，利用正弦定理可求出，即可得解. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为， 则，所以， 如图，为圆锥的轴截面，为底面圆的圆心， 则内切圆的半径即为该圆锥的内切球半径， ， 则，解得， 在中，，则， 则，所以， 所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 14．（23-24高一上·福建·月考）已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三棱锥底面边长为6，且侧面与底面所成角的正切值为，求出三棱锥的高和侧高，利用勾股定理求出外接球半径，再利用等体积法求出内切圆半径即可. 【详解】因为三棱锥为正三棱锥，底面边长为6， 且侧面与底面所成角的正切值为，所以可得正三棱锥的高，侧面的高； 设正三棱锥底面中心为，其外接球的半径为，内切球半径为， 则有，也即，解得：， 正三棱锥的体积， 也即，解得：， 所以， 故选：B. 【点睛】内切球的球心到各面的距离是相等的，球心和各面可以组成四个等高的三棱锥，那么内切球的半径乘以正三棱锥的表面积再乘以三分之一就等于体积，通常用等体积法求解内切球的半径. 15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在三棱锥中，，，，点P在平面上投影为A，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中由余弦定理求得，由题意平面，进而确定外接球球心，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可. 【详解】如图，在中，由余弦定理，， ，， 设的外接圆半径为，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：A.    二、填空题 16．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为 ． 【答案】64 【分析】利用球的体积公式求出球半径，进而求出正方体的棱长即可. 【详解】设正方体的内切球半径为，则该正方体的棱长为， ，可得，则正方体的棱长为4， 这个正方体的体积为. 故答案为：64 17．（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为 ． 【答案】 【分析】结合条件可求，，即可根据等面积法求解内切球半径，即可根据面积公式求解. 【详解】因为， 所以，， 设的内切圆的半径为， 则， 即，解得， 由题可知三棱柱的内切球的半径为1，其表面积为， 故答案为：． 18．（24-25高一下·陕西西安·期中）正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为 ． 【答案】 【分析】设正方体的棱长为，分别求出内切球､棱切球､外接球的半径，再根据体积公式，可知体积比为半径比的立方比，即可得解. 【详解】设正方体的棱长为，则其内切球､棱切球､外接球的半径分别为，即半径之比为， 又球的体积公式为（为球的半径）， 所以正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为. 故答案为： 19．（23-24高一下·山西朔州·月考）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为 ． 【答案】 【分析】作出正四面体的图形，结合正四面体的性质分别求得其内切球、棱切球及外接球的半径，从而得解. 【详解】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为， 如图所示，为的中点，，    由正四面体的性质可知线段为正四面体的高， 在正中，， 同理，在正中，， 则，， 所以， 则， 由正四面体的性质知，三个球的球心重合，且球心在线段上， 则， ， 所以，故， 而棱切球与棱相切，故其半径为， 则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为. 故答案为：. 20．（24-25高一下·浙江·期中）已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台体积为 ． 【答案】/ 【分析】作出圆台的轴截面，依题意可得圆台的高，又，，，设，利用勾股定理求出，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆台的一个底面面积为，则该底面圆的半径，不妨令其为上底面， 如图为该几何体的轴截面，其中圆为等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底分别切于点，，球的半径， 则圆台的高，又，，， 设，则，所以，解得， 所以圆台的体积. 故答案为： 21．（23-24高一上·河南周口·期末）正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】设正三棱锥的高为h，从而求得棱锥的表面积，结合棱锥的体积求出，进而求得，即可得的表达式，利用换元，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】设正三棱锥的高为h，设E为的中点，O为底面中心，O在上， ，则，侧面上高为， 则正三棱锥的表面积为， 则正三棱锥的体积为， 即，故， 又，则，则， 故， 令，则， 则 ， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为3， 故答案为：3 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据正三棱锥的几何特征，结合棱锥体积求出外接球半径以及内切球半径的表达式，从而可得的表达式，利用换元，结合基本不等式即可求解. 22．（23-24高一下·浙江温州·期末）与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD满足， ，且四面体ABCD有棱切球，则AC的长为 ． 【答案】4 【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析运算即可. 【详解】设棱切球的球心为，与棱分别切于点， 可知， 由题意可得：，解得， 所以. 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是切线长相等，结合棱长列式求解即可. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$