三轮冲刺 专题05几何与尺规作图综合-2025年数学中考预测专项突破

【三轮冲刺】专题05 几何与尺规作图综合 2025年数学中考预测专项突破 1．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图，直线，求证： （1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由 解：过点作直线， 已知，， 【方法运用】 （2）如图2，直线，若，，求的度数． 2．阅读理解，补全证明过程及推理依据． 如图，点分别在上，，于点，，求证：． 证明：（______）， （______），（______）， （已知），（______）， （已知），______（______） （______） （______）． 3．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 4．已知在平行线m，n上分别有A，B，C，D四点，连接，． (1)尺规作图：作射线，在射线上作，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，证明． 5．如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，与交于点．（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的作图下，求证：． 6．如图，被弄污了，请你重新作一个，使（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 7．如图，在中，，，AD是中线． (1)请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 8．如图，已知，请用尺规作图法，求作一点，使，且．（保留作图痕迹，不写作法） 9．如图，已知，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高． 10．有趣的倍圆问题：根据圆的面积公式，圆面积扩大的倍数是半径扩大倍数的平方，也就是半径扩大2倍，面积会扩大4倍． 应用：如图，校园里有个圆形花坛，记为，为美化校园，准备春季改造，想把该花坛的面积扩大成原来面积的8倍，但原来花坛在新花坛的内部，请你根据他们的设计的步骤，完成下面的作图题：（按如下步骤完成，保留作图痕迹） ①在中作直径，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直径上方交于点C，作射线； ②延长直径，在延长线上截取，同样在射线上截取，连接； ③以点O为圆心，的长为半径画圆，大为所求作的花坛． 11．如图是的正方形网格，网格边长为1，的顶点均在格点上．已知的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，保留作图痕迹． (1)作的外接圆的直径； (2)过点B作的外接圆的切线． 12．如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 13．如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 14．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长约为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． ①在图①中，以格点为顶点画一个三边长分别为4、、的三角形； ②在图②中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为3，一个角是； ③在图③中，以格点为顶点画一个面积为4的菱形． 15．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点），过格点的直线与线段相交于格点O，且． (1)画出线段关于直线对称的线段（其中为的对应点） (2)将线段绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段（其中为的对应点）． (3)在网格内找到两个格点、（、均不与点重合），使得均在的角平分线上，画出线段． 16．如图，若每一个小正方形的边长为1，的顶点、、都在小正方形的顶点上． (1)画，使它与关于对称； (2)在方格纸上画出一个格点三角形，使其与全等且有一条边重合； (3)在方格纸上画出一个格点三角形，使其与全等且只有一个公共顶点，并且与（1）中的成中心对称． 17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点A，是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，先在上画点，使；再在上画点，使． (2)在图（2）中，先在上画点，使；再画的高． 18．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段、的端点均在小正方形的顶点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保留作图痕迹） (1)在图中画出一个以为一边的正方形，且点、点均在小正方形顶点上； (2)在图中画出一个以、为邻边的平行四边形，且点在小正方形的顶点上．点在上，连接交于点，把平行四边形分成面积相等的两部分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《【三轮冲刺】专题05 几何与尺规作图综合 -2025年数学中考预测专项突破》参考答案 1．（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据（1）的方法过点作直线，进而根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：过点作直线， 两直线平行，内错角相等 已知，， 平行于同一条直线的两条直线平行 两直线平行，内错角相等 （2）解：过点作直线 ， ， ，， ， ， ， ， °． 2．已知；垂直的定义；直角三角形的两个锐角互余；同角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】先证明，进而证明，由平行线的性质得到，则，即可证明． 【详解】证明：（已知）， （垂直的定义），（直角三角形的两个锐角互余）， （已知），（同角的余角相等）， （已知），（两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；垂直的定义；直角三角形的两个锐角互余；同角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，同角的余角相等，直角三角形的两个锐角互余，灵活运用所学知识是解题的关键． 3．(1)平行四边形；矩形 (2)菱形，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可推出，则可证明四边形是平行四边形；同理可证明四边形为平行四边形，由菱形的性质得到，则，即可证明平行四边形为矩形 （2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论； （3）连接交于O，连接，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再证明即可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 如图，四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，， ∴， 同理可得， ∴四边形为平行四边形， 又∵四边形是菱形， ∴，则， ∴平行四边形为矩形； （2）解：四边形为菱形．证明如下： 连接，，如图2所示： ∵和为等边三角形， ，，， ∴， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M，E分别是的中点， ∴， 同理可得， ∴； 又∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， 同理可得的最小值， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴； ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键． 4．(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，画射线，作一条线段等于已知线段； （1）根据射线，线段的特点画图即可； （2）先证明，可得，结合，可得，从而可得结论. 【详解】（1）解：如图，射线，线段，即为所求； ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 5．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本尺规作图，勾股定理，涉及三角形的内角和定理，正确作出图形，得到是解答的关键． （1）根据作一个角等于已知角的作图步骤画图即可； （2）根据三角形的内角和定理得到，进而利用定理可得结论． 【详解】（1）解：（作法不唯一）如图，即为所求； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 6．见解析 【分析】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 先作射线，然后作，在射线上作，再作，即可． 【详解】解：如图，即为所求． 7．(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查角平分线的作法，全等三角形的判定和性质及含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）作的平分线交于点P即为所求；连接，利用含30度角的直角三角形的性质及中线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，即可证明． （2）根据，，AD是中线，可求出，，继而求出 ，，根据三角函数即可解答． 【详解】（1）解：作的平分线交于点P即为所求； 证明：连接， ∵，， ∴ ∵是BC边上的中线， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵，，AD是中线， ∴，， ∴， ∵PB平分， ∴， ∴， ∴． 8．见解析 【分析】本题考查了角平分线线段的垂直平分线的性质和作法，作的角平分线及作线段的垂直平分线，因为，故先作线段的垂直平分线，由可得点到、的距离相等即可得出点在的角平分线上，它们的交点，即为点P，进行作答即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 9．(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图，需要利用直尺和圆规，深刻理解等腰三角形的性质，即两底角相等；等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条特殊线段重合为一条线段，根据给定的底角和底边或高进行作图．解题的关键是利用已知条件，通过得到顶角，或利用两直线平行，同位角相等，来转化相等的角． （1）先作射线，再以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，分别作，交于点，则即为所求； （2）先作出的补角，即为等腰三角形的顶角，再作顶角的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，在角平分线上截取，过点作，分别交、于点、点，即得所求． 【详解】（1）解：作法：先作射线，再以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，分别作，交于点，则即为所求； （2）解：①原图中，在角的一边上作一个与相等的角， ②原图中，延长已知角的另一条边，得到，即， ③作， ④作的角平分线， ⑤在上取点，使， ⑥过点作，分别交、于点、点， 10．见解析 【分析】此题考查了尺规作垂线，尺规作圆，根据题目中的作图方法求解即可． 【详解】如图所示，大为所求作的花坛． 11．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，三角形的外接圆，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直径所对圆周角为，结合网格的特征，取格点，则，即交圆于点D，连接即可； （2）由（1）知为的外接圆的直径，利用网格的特征，取中点，即为的外接圆的圆心，连接，再利用网格的特征，取格点E，作直线，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，直径即为所求． （2）解：如图，切线即为所求． AI 12．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）连接，以为边，在上方作等边，作的外接圆交于点B，连接交于点A即可； （2）连接，以为直径作，以P为圆心，为半径画弧交于Q，连接交于点A，延长交于点B即可． 【详解】（1）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 13．图见解析 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 14．①见解析②见解析③见解析 【分析】（1）根据，画出三角形三边即可； （2）利用网格的特点先确定一个的角，再取一边长为3，利用平行四边形的性质即可画出图形； （3）根据菱形的面积为4，利用菱形对角线之积为8即可画出图形． 【详解】解：①三边长分别为4、、的三角形，如图1即为所求； （2）如图2，平行四边形即为所求； （3）如图3，菱形即为所求． 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握网格的特点，解题的关键是熟练掌握网格的特点． 15．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称作图、旋转作图，正方形的判定及性质； （1）由轴对称的性质作出、关于直线的对称点，即可求解； （2）由旋转的性质作出、逆时针旋转的对应点，即可求解； （3）由正方形的判定方法作出、为边的正方形，由正方形的性质得、在对角线上，即可求解． 能熟练利用轴对称的性质及旋转的性质作图，并能根据正方形的判定及性质作图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 线段即所求； （2）解：如图， 线段即所求； （3）解：如图， 线段即所求． 16．(1)见解析 (2)见解析（答案不唯一） (3)见解析 【分析】（1）作出点A、B、C关于直线l的对称点、、，然后再顺次连接即可； （2）根据全等三角形的判定进行作图即可； （3）根据中心对称图形的特点，三角形全等的判定进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：为所求作的三角形； 为所求作的三角形； 为所求作的三角形； （3）解：如图，为所求作的三角形． 【点睛】本题主要考查了轴对称作图，中心对称作图，三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图、三角形的角平分线、中线和高、解直角三角形等知识点，理解题意、正确作出图形是解题的关键． （1）如图：取格点D，连接即可，取格点R，连接交于点E，点D，点E即为所求； （2）取格点W，连接，取的中点J，连接交于点F，线段，点F即为所求；取的中点O，连接并延长到，使得，此时点在右边第一根竖线上，连接并延长交于，则即为所求． 【详解】（1）解：如图中，点D、点E即为所求． 证明：不妨设，每个小正方形的边长为1， 由作图可知：， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴点D、点E即为所求； （2）解：如图2中，点F、线段即为所求． 证明：由作图可知：将绕着点B顺时针旋转得到线段， 即， 再由作图可知：， ∴， 根据平行线截线段成比例可知：，， 即：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点F、线段即为所求. 18．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了网格作图，正方形的判定，平行四边形的性质及判定；能利用正方形的判定方法及平行四边形的性质及判定进行作图是解题的关键． （1）网格正方形的边长为，，同理可找出、、的格点，由正方形的判定，即可求解； （2），，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形及连接点与平行四边形对角形的交点并延长，即可求解； 【详解】（1）解：如图， 四边形为所求作； （2）解：如图， 和为所求作． 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