专题10.1.2 事件的关系和运算讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

专题10.1.2 事件的关系和运算 (知识梳理及题型总结) ·模块一 事件的关系和运算 ·模块二 课后作业 模块一 事件的关系和运算 1. 事件的关系 定义 符号表示 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B,即且，则称事件A与事件B相等。 2. 交事件与并事件 定义 符号表示 图示 并事件 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） 交事件 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） 3. 互斥事件和对立事件 定义 符号表示 图示 互斥事件 一般地，事件A与事件B不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，则称事件A与事件B互斥（或互不相容） 对立事件 一般地，事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 ，且 4. 互斥事件与对立事件的区别与联系 A与B是互斥事件 A与B是对立事件 区别1 包含情况： ①A发生，B不发生； ②B发生，A不发生； ③A,B都不发生 包含情况： ①A发生，B不发生； ②B发生，A不发生； 区别2 不一定是必然事件 是必然事件 区别3 事件A（或B）的互斥事件可以有多个 事件A（或B）的对立事件只有一个 联系 互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，对立事件是互斥事件的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立。 【考点1 事件的包含关系】 【例1.1】抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数是1或2或3或4”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则下列结论正确的是 .（填序号）①A与B是互斥事件，但不是对立事件；②；③A与C是互斥事件；④. 【例1.2】掷一枚骰子，观察其向上的点数，可能得到以下事件：“出现1点”；“出现2点”；“出现4点”；“出现5点”；“出现的点数不大于1”；“出现的点数小于5”；“出现奇数点”；“出现偶数点”.请判断下列两个事件的关系：（1）B H；（2）D J；（3）E I；（4）A G. 【变式1.1】从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是（    ） A．A与B互斥且为对立事件 B．B与C互斥且为对立事件 C．A与C存在有包含关系 D．A与C不是对立事件 【变式1.2】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球．设事件A：1个红球和2个白球，事件B：2个红球和1个白球，事件C：至少有1个红球，事件D：既有红球又有白球，则： (1)事件D与事件A，B是什么关系？ (2)事件C与事件A是什么关系？ 【考点2 事件的运算】 【例2.1】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【例2.2】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（多选）对空中移动的目标连续射击两次，设{两次都击中目标}，{两次都没击中目标}，{恰有一次击中目标}，{至少有一次击中目标}，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 模块二 课后作业 1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至少有1个红球 C．至多有1个红球 D．1个红球，1个白球 2．对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（    ） A． B．出现的点数为6 C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 4．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 5．如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（    ） A． B． C． D． 6． ， ， ， ． 7．已知电路图如图，“开关合上”，“开关合上”．则表示的含义是 ． 8．从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张．设A：抽出红桃，B：抽出黑桃，C：抽出红色牌，D：抽出黑色牌，E：抽出的牌点数为5的倍数，F：抽出的牌点数大于9，G：抽出黑桃10．讨论： (1)A与B的关系； (2)C与D的关系； (3)B与D的关系； (4)E与F的关系； (5)B、F、G之间的关系． 9. 盒子里有大小和质地均相同的个红球和个白球，现从中任取个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}. (1)事件D与A，B是什么运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？ 10. 掷一枚骰子，观察它朝上的点数.设事件A=“点数为1”，B=“点数为偶数”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3的倍数”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述各事件； (2)事件A与C，C与D，D与E之间各有什么关系？ (3)用集合形式表示事件，，，. 11. 抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．设A：至多一个点数是偶数，B：点数之和是奇数．求： (1)； (2)； (3)； (4)． 12. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.1.2 事件的关系和运算 (知识梳理及题型总结) ·模块一 事件的关系和运算 ·模块二 课后作业 模块一 事件的关系和运算 1. 事件的关系 定义 符号表示 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B,即且，则称事件A与事件B相等。 2. 交事件与并事件 定义 符号表示 图示 并事件 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） 交事件 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） 3. 互斥事件和对立事件 定义 符号表示 图示 互斥事件 一般地，事件A与事件B不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，则称事件A与事件B互斥（或互不相容） 对立事件 一般地，事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 ，且 4. 互斥事件与对立事件的区别与联系 A与B是互斥事件 A与B是对立事件 区别1 包含情况： ①A发生，B不发生； ②B发生，A不发生； ③A,B都不发生 包含情况： ①A发生，B不发生； ②B发生，A不发生； 区别2 不一定是必然事件 是必然事件 区别3 事件A（或B）的互斥事件可以有多个 事件A（或B）的对立事件只有一个 联系 互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，对立事件是互斥事件的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立。 【考点1 事件的包含关系】 【例1.1】抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数是1或2或3或4”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则下列结论正确的是 .（填序号）①A与B是互斥事件，但不是对立事件；②；③A与C是互斥事件；④. 【答案】①②④ 【分析】根据互斥事件，对立事件，事件的包含关系，事件相等的定义判断各命题即可. 【详解】试验的样本空间， 根据题意，，，，. 因为，，所以A与B是互斥事件，但不是对立事件，故①正确； 因为，，所以，故②正确； 因为，所以A与C不是互斥事件，故③错误； 因为，，所以，故④正确. 故答案为：①②④. 【例1.2】掷一枚骰子，观察其向上的点数，可能得到以下事件：“出现1点”；“出现2点”；“出现4点”；“出现5点”；“出现的点数不大于1”；“出现的点数小于5”；“出现奇数点”；“出现偶数点”.请判断下列两个事件的关系：（1）B H；（2）D J；（3）E I；（4）A G. 【答案】 ＝ 【分析】易知“出现的点数小于5”包含出现2点，即；“出现偶数点”包括出现4点，即；“出现奇数点”包括出现5点，即；“出现的点数不大于1”只包括出现1点一种情况，即. 【详解】（1）因为“出现的点数小于5”包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故. （2）“出现偶数点”包括出现2点，出现4点，出现6点三种情况，所以事件发生时，事件必然发生，故， （3）“出现奇数点”包括出现1点，出现3点，出现5点三种情况，所以事件发生时，事件必然发生，故. （4）“出现的点数不大于1”只包括出现1点一种情况，即事件A与事件G相等，故. 故答案为：，，，＝ 【变式1.1】从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是（    ） A．A与B互斥且为对立事件 B．B与C互斥且为对立事件 C．A与C存在有包含关系 D．A与C不是对立事件 【答案】A 【分析】将取出的三件产品分类为M= “三件产品全是正品”，N= “两件正品，一件次品”，P= “一件正品，两件次品”，Q= “三件产品全是次品”，进而根据题意得到答案. 【详解】取出的三件产品分类为M= “三件产品全是正品”，N= “两件正品，一件次品”，P= “一件正品，两件次品”，Q= “三件产品全是次品”，它们之间两两互斥. 于是A=M，B=Q，， 所以A与B互斥但不对立，A错误；B,C,D正确. 故选：A. 【变式1.2】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球．设事件A：1个红球和2个白球，事件B：2个红球和1个白球，事件C：至少有1个红球，事件D：既有红球又有白球，则： (1)事件D与事件A，B是什么关系？ (2)事件C与事件A是什么关系？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由事件的运算即可判断； （2）由事件的基本关系即可判断. 【详解】（1）对于事件D，可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球，故． （2）对于事件C，可能的结果为1个红球和2个白球，2个红球和1个白球或3个红球，故事件C真包含事件A，． 【考点2 事件的运算】 【例2.1】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用随机事件的关系和运算直接判断选项即可. 【详解】对空中飞行的飞机连续射击两次， 其样本点有：“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”， 和“恰有一次击中飞机”， 所以，AC正确； 事件和事件交集为，且，B正确，D错. 故选：ABC 【例2.2】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，由事件之间的基本关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中， “至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中， 故，，，. 故选：BC 【变式2.1】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，先将事件等价求出，再结合事件之间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意得，事件第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中 ，事件恰有一枚击中或两枚都击中， 对于A中，由事件两炮弹都击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得，正确； 对于B中，由事件两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得事件与事件是互斥事件，所以，正确； 对于C中，由事件两炮弹都击中飞机，两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得不是必然事件，为必然事件，所以，不正确； 对于D中，事件两炮弹都击中飞机，恰有一炮弹击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得至少有一炮弹击中飞机，所以，正确. 故选：ABD. 【变式2.2】（多选）对空中移动的目标连续射击两次，设{两次都击中目标}，{两次都没击中目标}，{恰有一次击中目标}，{至少有一次击中目标}，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据事件之间的关系与运算对每个选项进行判断即可. 【详解】对于选项A，事件包含于事件，故A正确； 对于选项B，由于事件，不能同时发生，故，故B正确； 对于选项C，由题意知，故C错误； 对于选项D，由于至少有一次击中目标，恰有一次击中目标，所以两次都击中目标，故D正确． 故选：ABD. 模块二 课后作业 1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至少有1个红球 C．至多有1个红球 D．1个红球，1个白球 【答案】C 【分析】根据题意，写出事件“至少有1个白球”所包含的基本事件，根据选项即可判断和选择. 【详解】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，若至少有1个白球， 则其包含的基本事件是：个白球个红球，个白球； 又至多有1个红球包含的基本事件也是：个白球个红球，个白球. 故选：. 2．对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据事件关系，即可判断选项. 【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B 3．掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（    ） A． B．出现的点数为6 C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 【答案】B 【分析】利用两个事件的关系对各个选项进行判断即可． 【详解】出现的点数不小于5出现的点数为，出现的点数为偶数出现的点数为， 则出现的点数为，故B正确，A错误； 因为事件A与事件B可以同时发生，故事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故C，D错误， 故选：B． 4．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 【答案】B 【分析】理解题意即可选出正确答案. 【详解】表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发. 故选：B. 5．如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，得出甲、乙两个元件的故障情况，即可得出结果. 【详解】因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障， 即甲、乙都没有故障，即事件和同时发生，即事件发生. 故选：D. 6． ， ， ， ． 【答案】 7．已知电路图如图，“开关合上”，“开关合上”．则表示的含义是 ． 【答案】开关，同时合上 【分析】根据条件，利用积事件的定义，即可求出结果. 【详解】因为“开关合上”，“开关合上”，所以表示开关、同时合上， 故答案为：开关，同时合上. 8．从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张．设A：抽出红桃，B：抽出黑桃，C：抽出红色牌，D：抽出黑色牌，E：抽出的牌点数为5的倍数，F：抽出的牌点数大于9，G：抽出黑桃10．讨论： (1)A与B的关系； (2)C与D的关系； (3)B与D的关系； (4)E与F的关系； (5)B、F、G之间的关系． 【答案】(1)是互斥事件，不是对立事件； (2)既是互斥事件，又是对立事件； (3)； (4)； (5) 【分析】（1）（2）根据互斥事件和对立事件的定义分析判断； （3）（4）根据事件的包含关系分析判断； （5）根据事件的运算关系分析判断. 【详解】（1）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生，所以A与B是互斥事件， 但不能保证其中必有一个发生，因为可能抽出“方块”或“梅花”，所以事件A与B不是对立事件， 所以A与B是互斥事件，不是对立事件； （2）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张,“抽出红色牌”和“抽出黑色牌”是不可能同时发生，且其中必有一个发生， 所以C与D既是互斥事件，又是对立事件； （3）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张，抽出的是黑桃，一定是黑色牌， 但抽出的是黑色牌，不一定是黑桃，有可能是梅花， 所以事件B发生时，事件D一定发生，而事件D发生时，事件B不一定发生， 所以； （4）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张，抽出的牌点数大于9，即牌点数为10，一定是5的倍数， 而抽出的牌点数为5的倍数，可能牌的点数为5，也可能是10， 所以事件F发生时，事件E一定发生，而事件E发生时，事件F不一定发生， 所以； （5）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张， 若抽出的是黑桃，且牌点数大于9，则抽出的一定是黑桃10， 所以 9. 盒子里有大小和质地均相同的个红球和个白球，现从中任取个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}. (1)事件D与A，B是什么运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？ 【答案】(1) (2) 【分析】利用事件间的包含关系，即可得出结论． 【详解】（1）事件{3个球中既有红球又有白球}， 包括3个球中有1个红球、2个白球，3个球中有2个红球、1个白球， 所以. （2）事件{3个球中至少有1个红球}，包括3个球中有1个红球、2个红球，3个红球， 所以. 10. 掷一枚骰子，观察它朝上的点数.设事件A=“点数为1”，B=“点数为偶数”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3的倍数”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述各事件； (2)事件A与C，C与D，D与E之间各有什么关系？ (3)用集合形式表示事件，，，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意写出样本空间和各对应事件的基本事件的集合形式即可； （2）根据事件中基本事件，判断各事件的包含等关系，即可判断相关事件的关系； （3）写出相关事件的对立事件，利用事件的运算性质确定所求事件的集合形式. 【详解】（1）由题意，样本空间且， （2）由（1）知：是的子事件，是的子事件， 且，即是对立事件. （3）由（1），， 所以，，，. 11. 抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．设A：至多一个点数是偶数，B：点数之和是奇数．求： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)都是奇数 【分析】（1）（2）（3）（4）抛掷两颗骰子，出现的两个点数可以分成三个互斥的事件：两个都是偶数，记为；一奇一偶，记为；两个都是奇数，记为，所以，，然后利用事件的运算求解即可. 【详解】（1）抛掷两颗骰子，出现的两个点数可以分成三个互斥的事件：两个都是偶数，记为；一奇一偶，记为；两个都是奇数，记为， 所以，, 所以； （2）由（1）知, 所以； （3）由（1）知，，, 所以， 所以； （4）由（1）（3）知，, 所以都是奇数. 12. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【分析】（1）根据交事件（积事件）的概念求解即可； （2）根据并事件（和事件）的概念求解即可； （3）根据对立事件与交事件、并事件运算求解即可. 【详解】（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子，样本空间为， 事件包含的样本点为,. 故,. （2）由（1）知，. （3）由（1）知，, 故. 13. 从0、1、2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字． (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)写出“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$